专题1.5 绝对值和有理数的大小比较（高效培优讲义）数学人教版2024版七年级上册

专题1.5 绝对值和有理数的大小比较 教学目标 1. 掌握绝对值的定义并能够熟练的求一个数的绝对值。 2. 掌握绝对值的性质并解决相关题目。 3. 掌握求式子的绝对值的方法并能够熟练的求式子的绝对值。 4. 掌握有理数比较大小的方法，能够熟练的比较有理数的大小。 教学重难点 1. 重点 （1）绝对值的认识与应用； （2）绝对值的非负性与化简； （3）有理数的大小比较。 2. 难点 （1）绝对值的非负性及根据意义求范围； （2）绝对值与相反数、与数轴的综合应用。 知识点01 绝对值的定义与数的绝对值 1. 绝对值的定义： 一般地，数轴上表示数的点到 的距离就是数的绝对值。数的绝对值记作 ，读作 。 2. 求一个数的绝对值： 由绝对值的定义可知，一个正数的绝对值是 ，一个负数的绝对值是 ，0的绝对值是 。 【即学即练1】 1．﹣2025的绝对值是（　　） A．﹣2025 B．2025 C． D． 【即学即练2】 2．||＝（　　） A． B． C．﹣6 D．6 知识点02 绝对值的性质 1. 绝对值的非负性： 由定义可知，绝对值表示到原点的距离，所以不能为 。所以绝对值是一个 ，所以绝对值具有 。即若|| 0。 考点：几个非负数的和等于0，这几个非负数一定分别等于0。 即：若||＋||＋...＋||＝0，则一定有 。 2. 绝对值与数轴： 在数轴上，一个数离原点越近，绝对值就 ，一个数离原点越远，绝对值 。 3. 绝对值与相反数： ①数轴上互为相反数的两个数在原点的两侧，且到原点的距离相等，所以互为相反数的两个数他们的绝对值 。即若与互为相反数，则|| ||。 ②绝对值等于某个正数的数一定有 ，它们 。即若||=，则 ＝ ③绝对值相等的两个数要么 ，要么 。即若||＝||，则有 或 。 【即学即练1】 3．若|x﹣3|+|y﹣4|＝0，x＝　 　 ，y＝　 　 ． 【即学即练2】 4．式子|x+1|+2取最小值时，x等于（　　） A．0 B．1 C．2 D．﹣1 【即学即练3】 5．如图，四个有理数m，n，p，q在数轴上对应的点分别为M，N，P，Q，若n+q＝0，则m，n，p，q四个有理数中，绝对值最小的一个是（　　） A．p B．q C．m D．n 【即学即练4】 6．|x|＝2，则这个数是（　　） A．2 B．2和﹣2 C．﹣2 D．以上都错 【即学即练5】 7．如果点M、N在数轴上表示的数分别是a，b，且|a|＝3，|b|＝1，试确定M、N两点之间的距离． 【即学即练6】 8．若，则m的值为 　 ． 知识点03 求式子的绝对值 1. 求一个式子的绝对值： 正数的绝对值等于它 ，0的绝对值等于 ，负数的绝对值等于 。求一个式子的绝对值先判断式子与 的大小关系，再对式子进行求绝对值。若式子大于等于0，则去掉绝对值符号等于 ，若式子小于等于0，去掉绝对值符号等于 。即：。反之，若一个数的绝对值等于它本身，则这个数 0，解||=，则 0，若一个数的绝对值等于它的相反数，则这个数 0。||=﹣，则 0。 【即学即练1】 9．如果|﹣2a|＝﹣2a，则a的取值范围是（　　） A．a＞0 B．a≥0 C．a≤0 D．a＜0 【即学即练2】 10．若|1﹣a|＝a﹣1，则a的取值范围是（　　） A．a＞1 B．a≥1 C．a＜1 D．a≤1 知识点04 有理数的大小比较 1. 有理数的大小比较： ①定义法：正数 0，0 负数，所以正数 负数。负数与负数进行比较时，绝对值大的负数反而 。 ②数轴比较法：数轴上右边所表示的数一定 数轴上左边所表示的数。 ③两个负数进行比较时，绝对值大的数反而 。 【即学即练1】 11．把﹣（﹣1），，﹣||，0．用“＞”连接正确的是（　　） A．0＞﹣（﹣1）＞﹣|| B．0＞﹣（﹣1）|| C．﹣（﹣1）＞0|| D．﹣（﹣1）＞0＞﹣|| 【即学即练2】 12．如图，根据有理数a，b，c在数轴上的位置，下列关系正确的是（　　） A．c＞a＞0＞b B．a＞b＞0＞c C．b＞0＞a＞c D．b＞0＞c＞a 题型01 求数或式子的绝对值 【典例1】﹣2024的绝对值是（　　） A．2024 B．﹣2024 C． D． 【变式1】计算|﹣2|的值是（　　） A．﹣2 B． C． D．2 【变式2】若a，b都是有理数，且ab≠0，则的取值不可能是（　　） A．0 B．1 C．2 D．﹣2 【变式3】若ab＞0，则的值为（　　） A．3 B．﹣1 C．±1或±3 D．3或﹣1 题型02 绝对值的非负性 【典例1】若|m﹣2|+|n﹣4|＝0，则m+n＝　 　 ． 【变式1】若|2x﹣4|与|y﹣3|互为相反数，求2x﹣y的值． 【变式2】若|x﹣2|+2|y+3|+3|z﹣5|＝0． 计算：（1）x，y，z的值． （2）求|x|+|y|﹣|z|的值． 【变式3】如果x为有理数，式子2023﹣|x﹣2023|存在最大值，这个最大值是（　　） A．2023 B．4046 C．20 D．0 【变式4】当a＝　 　 时，|1﹣a|+2会有最小值，且最小值是 　 　 ． 题型03 根据绝对值的意义求字母范围 【典例1】已知|a|＝﹣a，则a的值是（　　） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 【变式1】若|x|＝x，则x的取值范围是（　　） A．x＞0 B．x≤0 C．x≥0 D．x＜0 【变式2】若|a﹣1|＝a﹣1，则a的取值范围是（　　） A．a≥1 B．a≤1 C．a＜1 D．a＞1 【变式3】如果|x﹣2|+x﹣2＝0，那么x的取值范围是（　　） A．x＞2 B．x＜2 C．x≥2 D．x≤2 题型04 绝对值与相反数 【典例1】若一个数的绝对值是4，则这个数是（　　） A．4 B． C．±4 D． 【变式1】若|x|＝3，则x＝　 　 ． 【变式2】下列判断正确的是（　　） A．若|a|＝|b|，则a＝b B．若|a|＝|b|，则a＝﹣b C．若a＝b，则|a|＝|b| D．若a＝﹣b，则|a|≠|b| 【变式3】如果|m|＝|﹣3|，那么m＝　 　 ． 题型05 绝对值与数轴 【典例1】绝对值相等的两个数在数轴上对应的两个点间的距离是8，则这两个数分别是（　　） A．8和﹣8 B．0和﹣8 C．0和8 D．﹣4和4 【变式1】若有理数a、b在数轴上对应的位置如图所示，则下列关系正确的是（　　） A．|a|＜|b| B．a＞b C．a＜b D．a＝b 【变式2】已知a、b是有理数，|a|＝﹣a，|b|＝b，且|a|＞|b|＞0，用数轴上的点来表示a，b，正确的是（　　） A． B． C． D． 题型06 绝对值的化简 【典例1】若a＞3，化简|a|﹣|3﹣a|的结果为（　　） A．3 B．﹣3 C．2a﹣3 D．2a+3 【变式1】如图，数轴上的点A所表示的数为k，化简|k|+|1﹣k|的结果为（　　） A．1 B．2k﹣1 C．2k+1 D．1﹣2k 【变式2】如果1＜x＜2，化简|x﹣1|+|x﹣2|＝　 　 ． 【变式3】化简|a﹣1|+a﹣1＝（　　） A．2a﹣2 B．0 C．2a﹣2或0 D．2﹣2a 题型04 有理数的大小比较 【典例1】下列比较大小正确的是（　　） A． B． C．﹣0.01＜﹣1 D． 【变式1】有理数a在数轴上对应的点如图所示，则a，﹣a，1的大小关系正确的是（　　） A．﹣a＜a＜1 B．a＜﹣a＜1 C．1＜﹣a＜a D．a＜1＜﹣a 【变式2】a、b两数在数轴上位置如图所示，将a、b、﹣a、﹣b用“＜”连接，其中正确的是（　　） A．a＜﹣a＜b＜﹣b B．﹣b＜a＜﹣a＜b C．﹣a＜b＜﹣b＜a D．﹣b＜a＜b＜﹣a 【变式3】把下列各数表示在数轴上，然后把这些数按从大到小的顺序用“＞”连接起来． 0，，﹣3，﹣（﹣5），，， 1．数轴上表示的点到原点的距离是（　　） A． B． C．﹣3 D．3 2．如果一个有理数的绝对值等于它的相反数．那么这个数一定是（　　） A．负数 B．负数或零 C．正数或零 D．正数 3．数轴上点M到原点的距离是5，则点M表示的数是（　　） A．5 B．﹣5 C．5或﹣5 D．不能确定 4．如果1，则a的取值（　　） A．a＜0 B．a≤0 C．a≥0 D．a＞0 5．a、b是有理数，且|a|＝﹣a，|b|＝b，|a|＞|b|，用数轴上的点来表示a、b，正确的是（　　） A． B． C． D． 6．已知|x﹣2|+|y﹣1|＝0，则x﹣y的相反数为（　　） A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3 7．|a|+|b|＝|a+b|，则a，b关系是（　　） A．a，b的绝对值相等 B．a，b异号 C．a+b的和是非负数 D．a，b同号或其中至少一个为零 8．a、b两数在数轴上的位置如图所示，将a、b、﹣a、﹣b用“＜”连接，正确的是（　　） A．﹣b＜a＜﹣a＜b B．a＜﹣b＜﹣a＜b C．a＜b＜﹣a＜﹣b D．﹣b＜﹣a＜a＜b 9．已知|x|表示数轴上某一点到原点的距离，|x﹣3|表示数轴上某一点到表示数3的点的距离，|x+2|表示数轴上某一点到表示数﹣2的点的距离．设S＝|x﹣1|+|x+1|，则下面四个结论中正确的是（　　） A．S没有最小值 B．有限个x（不止一个）使S取最小值 C．只有一个x使S取最小值 D．有无穷个x使S取最小值 10．若a、b、c均为整数，且|a﹣b|+|c﹣a|＝1，则|a﹣c|+|c﹣b|+|b﹣a|的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 11．比较大小： 　 　 （填“＞”、“＝”、“＜”号）． 12．如果|n|＝5，且n＜0，那么n＝　 　 ． 13．要通过举反例说明“如果a＞b，那么|a|＞|b|”是错误的，请写出一组a，b的值：a＝ 　 　 ，b＝ 　 　 ． 14．若m为任意实数，则|m+2019|的最小值是　 　 ． 15．若非零有理数a、b同号，求的值为 　 　 ． 16．已知有理数a，b，且1＜a＜b＜3．化简：|a﹣1|+|b﹣a|+|3﹣b|． 17．若|x﹣2|+|y+7|+|z﹣9|＝0，计算： （1）x，y，z的值． （2）求|x|+|y|+|z|的值． 18．分类讨论式子的不同结果． 19．有理数：，﹣|﹣1|，3.2，0，2，﹣5． （1）在如图所示的数轴上画出表示这6个数的点； （2）把这6个数用“＜”连接起来； （3）这6个数中，绝对值等于它的相反数的数有几个； （4）由（1）可知在数轴上表示这6个数的点中，其中两点之间最大距离是多少？（列式计算） 20．大家知道|5|＝|5﹣0|，它在数轴上表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离．又如式子|6﹣3|，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离．即点A、B在数轴上分别表示数a、b，则A、B两点的距离可表示为：|AB|＝|a﹣b|．根据以上信息，回答下列问题： （1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是 　 ；数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是　 　 ； （2）点A、B在数轴上分别表示实数x和﹣1． ①用代数式表示A、B两点之间的距离； ②如果|AB|＝2，求x的值． （3）直接写出代数式|x+1|+|x﹣4|的最小值及相应的x的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.5 绝对值和有理数的大小比较 教学目标 1. 掌握绝对值的定义并能够熟练的求一个数的绝对值。 2. 掌握绝对值的性质并解决相关题目。 3. 掌握求式子的绝对值的方法并能够熟练的求式子的绝对值。 4. 掌握有理数比较大小的方法，能够熟练的比较有理数的大小。 教学重难点 1. 重点 （1）绝对值的认识与应用； （2）绝对值的非负性与化简； （3）有理数的大小比较。 2. 难点 （1）绝对值的非负性及根据意义求范围； （2）绝对值与相反数、与数轴的综合应用。 知识点01 绝对值的定义与数的绝对值 1. 绝对值的定义： 一般地，数轴上表示数的点到 原点 的距离就是数的绝对值。数的绝对值记作 || ，读作 数的绝对值 。 2. 求一个数的绝对值： 由绝对值的定义可知，一个正数的绝对值是 本身 ，一个负数的绝对值是 它的相反数 ，0的绝对值是 0 。 【即学即练1】 1．﹣2025的绝对值是（　　） A．﹣2025 B．2025 C． D． 【答案】B 【解答】解：由题知， ﹣2025的绝对值是2025． 故选：B． 【即学即练2】 2．||＝（　　） A． B． C．﹣6 D．6 【答案】B 【解答】解：||， 故选：B． 知识点02 绝对值的性质 1. 绝对值的非负性： 由定义可知，绝对值表示到原点的距离，所以不能为 负数 。所以绝对值是一个 非负数 ，所以绝对值具有 非负性 。即若|| ≥ 0。 考点：几个非负数的和等于0，这几个非负数一定分别等于0。 即：若||＋||＋...＋||＝0，则一定有 。 2. 绝对值与数轴： 在数轴上，一个数离原点越近，绝对值就 越小 ，一个数离原点越远，绝对值 越大 。 3. 绝对值与相反数： ①数轴上互为相反数的两个数在原点的两侧，且到原点的距离相等，所以互为相反数的两个数他们的绝对值 相等 。即若与互为相反数，则|| ＝ ||。 ②绝对值等于某个正数的数一定有 两个 ，它们 互为相反数 。即若||=，则 ＝ ＋ 或﹣。 ③绝对值相等的两个数要么 相等 ，要么 互为相反数 。即若||＝||，则有 ＝ 或 ＝﹣ 。 【即学即练1】 3．若|x﹣3|+|y﹣4|＝0，x＝　3　 ，y＝　4　 ． 【答案】3，4． 【解答】解：∵|x﹣3|+|y﹣4|＝0， ∴x﹣3＝0，y﹣4＝0， 解得：x＝3，y＝4． 故答案为：3，4． 【即学即练2】 4．式子|x+1|+2取最小值时，x等于（　　） A．0 B．1 C．2 D．﹣1 【答案】D 【解答】解：∵式子|x+1|+2取最小值时， ∴x+1＝0， 解得：x＝﹣1． 故选：D． 【即学即练3】 5．如图，四个有理数m，n，p，q在数轴上对应的点分别为M，N，P，Q，若n+q＝0，则m，n，p，q四个有理数中，绝对值最小的一个是（　　） A．p B．q C．m D．n 【答案】C 【解答】解：∵n+q＝0， ∴n和q互为相反数，0在线段NQ的中点处， ∴绝对值最小的点M表示的数m， 故选：C． 【即学即练4】 6．|x|＝2，则这个数是（　　） A．2 B．2和﹣2 C．﹣2 D．以上都错 【答案】B 【解答】解：由|x|＝2， 解得：x＝±2， 故选：B． 【即学即练5】 7．如果点M、N在数轴上表示的数分别是a，b，且|a|＝3，|b|＝1，试确定M、N两点之间的距离． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵|a|＝3，|b|＝1， ∴a＝±3，b＝±1， ∴M、N两点之间的距离＝3﹣1＝2或﹣1﹣（﹣3）＝2或3﹣（﹣1）＝4或1﹣（﹣3）＝4． 【即学即练6】 8．若，则m的值为 　　 ． 【答案】． 【解答】解：∵|﹣m|＝||，即|m|， ∴m， 故答案为：． 知识点03 求式子的绝对值 1. 求一个式子的绝对值： 正数的绝对值等于它 本身 ，0的绝对值等于 0 ，负数的绝对值等于 它的相反数 。求一个式子的绝对值先判断式子与 0 的大小关系，再对式子进行求绝对值。若式子大于等于0，则去掉绝对值符号等于 它本身 ，若式子小于等于0，去掉绝对值符号等于 它的相反数 。即：。反之，若一个数的绝对值等于它本身，则这个数 大于等于 0，解||=，则 ≥ 0，若一个数的绝对值等于它的相反数，则这个数 小于等于 0。||=﹣，则 ≤ 0。 【即学即练1】 9．如果|﹣2a|＝﹣2a，则a的取值范围是（　　） A．a＞0 B．a≥0 C．a≤0 D．a＜0 【答案】C 【解答】解：∵|﹣2a|＝﹣2a， ∴﹣2a≥0， a≤0． 故选：C． 【即学即练2】 10．若|1﹣a|＝a﹣1，则a的取值范围是（　　） A．a＞1 B．a≥1 C．a＜1 D．a≤1 【答案】B 【解答】解：∵|1﹣a|＝a﹣1， ∴1﹣a≤0， ∴a≥1， 故选：B． 知识点04 有理数的大小比较 1. 有理数的大小比较： ①定义法：正数 ＞ 0，0 ＞ 负数，所以正数 ＞ 负数。负数与负数进行比较时，绝对值大的负数反而 小 。 ②数轴比较法：数轴上右边所表示的数一定 ＞ 数轴上左边所表示的数。 ③两个负数进行比较时，绝对值大的数反而 小 。 【即学即练1】 11．把﹣（﹣1），，﹣||，0．用“＞”连接正确的是（　　） A．0＞﹣（﹣1）＞﹣|| B．0＞﹣（﹣1）|| C．﹣（﹣1）＞0|| D．﹣（﹣1）＞0＞﹣|| 【答案】C 【解答】解：∵﹣（﹣1）＝1，﹣||，||，||， ∴﹣（﹣1）＞0||， 故选：C． 【即学即练2】 12．如图，根据有理数a，b，c在数轴上的位置，下列关系正确的是（　　） A．c＞a＞0＞b B．a＞b＞0＞c C．b＞0＞a＞c D．b＞0＞c＞a 【答案】C 【解答】解：∵数轴上的数，右边的数总比左边的数大， ∴b＞0＞a＞c． 故选：C． 题型01 求数或式子的绝对值 【典例1】﹣2024的绝对值是（　　） A．2024 B．﹣2024 C． D． 【答案】A 【解答】解：﹣2024的绝对值是2024． 故选：A． 【变式1】计算|﹣2|的值是（　　） A．﹣2 B． C． D．2 【答案】D 【解答】解：|﹣2|的值是2． 故选：D． 【变式2】若a，b都是有理数，且ab≠0，则的取值不可能是（　　） A．0 B．1 C．2 D．﹣2 【答案】B 【解答】解：∵a，b都是有理数，且ab≠0， 当a＜0，b＜0时，， 当a＜0，b＞0时，， 当a＞0，b＜0时，， 当a＞0，b＞0时，， 故选：B． 【变式3】若ab＞0，则的值为（　　） A．3 B．﹣1 C．±1或±3 D．3或﹣1 【答案】D 【解答】解：因为ab＞0，所以a，b同号． ①若a，b同正，则1+1+1＝3； ②若a，b同负，则1﹣1+1＝﹣1． 故选：D． 题型02 绝对值的非负性 【典例1】若|m﹣2|+|n﹣4|＝0，则m+n＝　6　 ． 【答案】6． 【解答】解：根据题意得m﹣2＝0，n﹣4＝0， 解得m＝2，n＝4， 则原式＝2+4＝6． 故答案为：6． 【变式1】若|2x﹣4|与|y﹣3|互为相反数，求2x﹣y的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：根据题意得，|2x﹣4|+|y﹣3|＝0， 所以，2x﹣4＝0，y﹣3＝0， 解得x＝2，y＝3， 所以2x﹣y＝2×2﹣3＝4﹣3＝1． 【变式2】若|x﹣2|+2|y+3|+3|z﹣5|＝0． 计算：（1）x，y，z的值． （2）求|x|+|y|﹣|z|的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由题意，得， 解得． 即x＝2，y＝﹣3，z＝5； （2）当x＝2，y＝﹣3，z＝5时， |x|+|y|﹣|z|＝|2|+|﹣3|﹣|5|＝2+3﹣5＝0， 即|x|+|y|﹣|z|的值是0． 【变式3】如果x为有理数，式子2023﹣|x﹣2023|存在最大值，这个最大值是（　　） A．2023 B．4046 C．20 D．0 【答案】A 【解答】解：∵绝对值具有非负性， ∴|x﹣2023|≥0， ∵2023﹣|x﹣2023|有最大值， ∴当|x﹣2023|＝0时，式子有最大值，此时的值是2023，故A正确． 故选：A． 【变式4】当a＝　1　 时，|1﹣a|+2会有最小值，且最小值是 　2　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵|1﹣a|≥0， ∴当1﹣a＝0时，|1﹣a|+2会有最小值， ∴当a＝1时，|1﹣a|+2会有最小值，且最小值是2． 故答案为：1，2． 题型03 根据绝对值的意义求字母范围 【典例1】已知|a|＝﹣a，则a的值是（　　） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 【答案】C 【解答】解：∵|a|＝﹣a， ∴a≤0， 故选：C． 【变式1】若|x|＝x，则x的取值范围是（　　） A．x＞0 B．x≤0 C．x≥0 D．x＜0 【答案】C 【解答】解：∵|x|＝x， ∴x的取值范围是：x≥0． 故选：C． 【变式2】若|a﹣1|＝a﹣1，则a的取值范围是（　　） A．a≥1 B．a≤1 C．a＜1 D．a＞1 【答案】A 【解答】解：因为|a﹣1|＝a﹣1，则a﹣1≥0， 解得：a≥1， 故选：A． 【变式3】如果|x﹣2|+x﹣2＝0，那么x的取值范围是（　　） A．x＞2 B．x＜2 C．x≥2 D．x≤2 【答案】D 【解答】解：∵|x﹣2|+x﹣2＝0，|x﹣2|≥0， ∴x﹣2≤0， ∴x≤2， 故选：D． 题型04 绝对值与相反数 【典例1】若一个数的绝对值是4，则这个数是（　　） A．4 B． C．±4 D． 【答案】见试题解答内容 【解答】C 【分析】本题考查了绝对值的意义和性质，解题的关键是掌握正数的绝对值是他本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．据此即可解答． 【详解】解：一个数的绝对值是4，则这个数是±4， 故选：C． 【变式1】若|x|＝3，则x＝　±3　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵|x|＝3， ∴x＝±3． 故答案为：±3． 【变式2】下列判断正确的是（　　） A．若|a|＝|b|，则a＝b B．若|a|＝|b|，则a＝﹣b C．若a＝b，则|a|＝|b| D．若a＝﹣b，则|a|≠|b| 【答案】C 【解答】解：若|a|＝|b|，则a＝±b，A、B选项错误； 若a＝b，则|a|＝|b|，C选项正确； 若a＝﹣b，则|a|＝|b|，D选项错误， 故选：C． 【变式3】如果|m|＝|﹣3|，那么m＝　±3　 ． 【答案】±3． 【解答】解：∵|m|＝|﹣3|， ∴|m|＝3， ∴m＝±3， 故答案为：±3． 题型05 绝对值与数轴 【典例1】绝对值相等的两个数在数轴上对应的两个点间的距离是8，则这两个数分别是（　　） A．8和﹣8 B．0和﹣8 C．0和8 D．﹣4和4 【答案】D 【解答】解：设其中一个数为x， 因为两数绝对值相等，所以另一数为﹣x， 由两个数在数轴上对应的两个点间的距离是8得， |x﹣（﹣x）|＝8， 解得：x1＝4，x2＝﹣4， 所以这两个数分别是4和﹣4． 故选：D． 【变式1】若有理数a、b在数轴上对应的位置如图所示，则下列关系正确的是（　　） A．|a|＜|b| B．a＞b C．a＜b D．a＝b 【答案】C 【解答】解：根据题意得：|a|＞|b|，a＜b， 故选：C． 【变式2】已知a、b是有理数，|a|＝﹣a，|b|＝b，且|a|＞|b|＞0，用数轴上的点来表示a，b，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：由于|a|＝﹣a，|b|＝b，即a为非正数，b为非负数， 又∵|a|＞|b|＞0， ∴a＜0，b＞0，且|a|＞|b|， 在数轴上表示a、b大致如下： 故选：C． 题型06 绝对值的化简 【典例1】若a＞3，化简|a|﹣|3﹣a|的结果为（　　） A．3 B．﹣3 C．2a﹣3 D．2a+3 【答案】A 【解答】解：∵a＞3， ∴a＞0，3﹣a＜0， ∴|a|﹣|3﹣a|＝a+3﹣a＝3． 故选：A． 【变式1】如图，数轴上的点A所表示的数为k，化简|k|+|1﹣k|的结果为（　　） A．1 B．2k﹣1 C．2k+1 D．1﹣2k 【答案】B 【解答】解：由数轴可知：k＞1，∴k＞0，1﹣k＜0． ∴|k|+|1﹣k|＝k﹣1+k＝2k﹣1． 故选：B． 【变式2】如果1＜x＜2，化简|x﹣1|+|x﹣2|＝　1　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵1＜x＜2， ∴x﹣1＞0，x﹣2＜0， ∴|x﹣1|+|x﹣2|＝x﹣1+2﹣x＝1． 故答案为：1． 【变式3】化简|a﹣1|+a﹣1＝（　　） A．2a﹣2 B．0 C．2a﹣2或0 D．2﹣2a 【答案】C 【解答】解：当a≥1时，|a﹣1|+a﹣1＝a﹣1+a﹣1＝2a﹣2． 当a＜1时，|a﹣1|+a﹣1＝1﹣a+a﹣1＝0． 故选：C． 题型04 有理数的大小比较 【典例1】下列比较大小正确的是（　　） A． B． C．﹣0.01＜﹣1 D． 【答案】B 【解答】解：A、∵，，∴，则该选项错误； B、∵，∴2，则该选项正确； C、∵|﹣0.01|＝0.01，|﹣1|＝1，0.01＜1，∴﹣0.01＞﹣1，则该选项错误； D、1+（），1+（），∵、分子相同，分母不同，且4＜5，∴，∴，则该选项错误； 故选：B． 【变式1】有理数a在数轴上对应的点如图所示，则a，﹣a，1的大小关系正确的是（　　） A．﹣a＜a＜1 B．a＜﹣a＜1 C．1＜﹣a＜a D．a＜1＜﹣a 【答案】D 【解答】解：由数轴，得 a＜﹣1， ﹣a＞1， a＜1＜﹣a， 故选：D． 【变式2】a、b两数在数轴上位置如图所示，将a、b、﹣a、﹣b用“＜”连接，其中正确的是（　　） A．a＜﹣a＜b＜﹣b B．﹣b＜a＜﹣a＜b C．﹣a＜b＜﹣b＜a D．﹣b＜a＜b＜﹣a 【答案】B 【解答】解：令a＝﹣0.8，b＝1.5，则﹣a＝0.8，﹣b＝﹣1.5， 则可得：﹣b＜a＜﹣a＜b． 故选：B． 【变式3】把下列各数表示在数轴上，然后把这些数按从大到小的顺序用“＞”连接起来． 0，，﹣3，﹣（﹣5），，， 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵1.5，﹣（﹣5）＝5，1.5，4.5， |﹣3|＝3，|﹣1.5|＝1.5，|﹣4.5|＝4.5， 1.5＜3＜4.5， 在数轴上表示为： ∴． 1．数轴上表示的点到原点的距离是（　　） A． B． C．﹣3 D．3 【答案】B 【解答】解：数轴上表示的点到原点的距离是||． 故选：B． 2．如果一个有理数的绝对值等于它的相反数．那么这个数一定是（　　） A．负数 B．负数或零 C．正数或零 D．正数 【答案】B 【解答】解：设这个有理数是a，则根据题意有：|a|＝﹣a，因此a≤0，即这个有理数是非正数． 故选：B． 3．数轴上点M到原点的距离是5，则点M表示的数是（　　） A．5 B．﹣5 C．5或﹣5 D．不能确定 【答案】C 【解答】解：数轴上到原点的距离是5的点有2个，分别表示5和﹣5，则M表示5或﹣5． 故选：C． 4．如果1，则a的取值（　　） A．a＜0 B．a≤0 C．a≥0 D．a＞0 【答案】A 【解答】解：∵a为分母， ∴a≠0， ∴当a＞0时，1； 当a＜0时，1． 故选：A． 5．a、b是有理数，且|a|＝﹣a，|b|＝b，|a|＞|b|，用数轴上的点来表示a、b，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：|a|＝﹣a，|b|＝b，|a|＞|b|， ∴a≤0，b≥0，|a|＞|b|， 故选：A． 6．已知|x﹣2|+|y﹣1|＝0，则x﹣y的相反数为（　　） A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3 【答案】A 【解答】解：根据题意得：x﹣2＝0，y﹣1＝0， 解得：x＝2，y＝1， 则x﹣y＝2﹣1＝1， 所以x﹣y的相反数为﹣1． 故选：A． 7．|a|+|b|＝|a+b|，则a，b关系是（　　） A．a，b的绝对值相等 B．a，b异号 C．a+b的和是非负数 D．a，b同号或其中至少一个为零 【答案】D 【解答】解：∵|a|+|b|＝|a+b|， ∴a、b满足的关系是a、b同号或a、b有一个为0，或同时为0， 故选：D． 8．a、b两数在数轴上的位置如图所示，将a、b、﹣a、﹣b用“＜”连接，正确的是（　　） A．﹣b＜a＜﹣a＜b B．a＜﹣b＜﹣a＜b C．a＜b＜﹣a＜﹣b D．﹣b＜﹣a＜a＜b 【答案】A 【解答】解：令a＝﹣0.8，b＝1.2，则﹣a＝0.8，﹣b＝﹣1.2， 则可得﹣b＜a＜﹣a＜b． 故选：A． 9．已知|x|表示数轴上某一点到原点的距离，|x﹣3|表示数轴上某一点到表示数3的点的距离，|x+2|表示数轴上某一点到表示数﹣2的点的距离．设S＝|x﹣1|+|x+1|，则下面四个结论中正确的是（　　） A．S没有最小值 B．有限个x（不止一个）使S取最小值 C．只有一个x使S取最小值 D．有无穷个x使S取最小值 【答案】D 【解答】解：如图，， ∵S＝|x﹣1|+|x+1|，1﹣（﹣1）＝2， ∴S的最小值是2， ∵x取[﹣1，1]之间的任意一个值时，S都能取到最小值2， ∴有无穷个x使S取最小值． 故选：D． 10．若a、b、c均为整数，且|a﹣b|+|c﹣a|＝1，则|a﹣c|+|c﹣b|+|b﹣a|的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解答】解：∵a，b，c均为整数，且|a﹣b|+|c﹣a|＝1， ∴|a﹣b|＝1，|c﹣a|＝0或者|a﹣b|＝0，|c﹣a|＝1 当|a﹣b|＝1，|c﹣a|＝0时， c＝a，a＝b±1， 所以|a﹣c|+|c﹣b|+|b﹣a|＝|a﹣c|+|a﹣b|+|b﹣a|＝0+1+1＝2； 当|a﹣b|＝0，|c﹣a|＝1 a＝b， 所以|a﹣c|+|c﹣b|+|b﹣a|＝|a﹣c|+|c﹣a|+|b﹣a|＝1+1+0＝2； 综合可知：|a﹣c|+|c﹣b|+|b﹣a|的值为2． 故选：B． 11．比较大小： 　＞　 （填“＞”、“＝”、“＜”号）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：1+（），1+（）， ∵、分子相同，分母不同，且4＜6， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：＞． 12．如果|n|＝5，且n＜0，那么n＝　﹣5　 ． 【答案】﹣5． 【解答】解：根据题意可知，n＝±5， 又∵n＜0， ∴n＝﹣5． 故答案为：﹣5． 13．要通过举反例说明“如果a＞b，那么|a|＞|b|”是错误的，请写出一组a，b的值：a＝ 　3（答案不唯一）　 ，b＝ 　﹣6（答案不唯一）　 ． 【答案】a＝3（答案不唯一），b＝﹣6（答案不唯一）． 【解答】解：当a＝3，b＝﹣6时， ∵|a|＝3，|b|＝6， ∴|a|＜|b|， ∴“如果a＞b，那么|a|＞|b|”是错误的， 故答案为：a＝3（答案不唯一），b＝﹣6（答案不唯一）． 14．若m为任意实数，则|m+2019|的最小值是　0　 ． 【答案】0． 【解答】解：|m+2019|的最小值是0， 故答案为：0． 15．若非零有理数a、b同号，求的值为 　±2　 ． 【答案】±2． 【解答】解：当a＞0，b＞0时，2， 当a＜0，b＜0时，2， ∴±2． 故答案为：±2． 16．已知有理数a，b，且1＜a＜b＜3．化简：|a﹣1|+|b﹣a|+|3﹣b|． 【答案】2． 【解答】解：∵1＜a＜b＜3， ∴a﹣1＞0，b﹣a＞0，3﹣b＞0， ∴|a﹣1|+|b﹣a|+|3﹣b| ＝（a﹣1）+（b﹣a）+（3﹣b） ＝a﹣1+b﹣a+3﹣b ＝2． 17．若|x﹣2|+|y+7|+|z﹣9|＝0，计算： （1）x，y，z的值． （2）求|x|+|y|+|z|的值． 【答案】（1）x＝2，y＝﹣7，z＝9； （2）18． 【解答】解：（1）∵|x﹣2|+|y+7|+|z﹣9|＝0， 解得x＝2，y＝﹣7，z＝9； （2）当x＝2，y＝﹣7，z＝9时， 原式＝|2|+|﹣7|+|9| ＝2+7+9 ＝18． 18．分类讨论式子的不同结果． 【答案】见解析． 【解答】解：分类讨论：①当a＞0，b＞0，c＞0时，原式＝1+1+1＝3； ②当a＞0，b＞0，c＜0时，原式＝1； ③当a＞0，b＜0，c＞0时，原式＝1； ④当a＜0，b＞0，c＞0时，原式＝1； ⑤当a＞0，b＜0，c＜0时，原式＝﹣1； ⑥当a＜0，b＜0，c＞0时，原式＝﹣1； ⑦当a＜0，b＞0，c＜0时，原式＝﹣1； ⑧当a＜0，b＜0，c＜0时，原式＝﹣3． 19．有理数：，﹣|﹣1|，3.2，0，2，﹣5． （1）在如图所示的数轴上画出表示这6个数的点； （2）把这6个数用“＜”连接起来； （3）这6个数中，绝对值等于它的相反数的数有几个； （4）由（1）可知在数轴上表示这6个数的点中，其中两点之间最大距离是多少？（列式计算） 【答案】（1）见解析； （2）； （3）4； （4）8.2． 【解答】解：（1）如图： （2）由数轴可得； （3）∵负数和0的绝对值等于它的相反数， ∴这6个数中，绝对值等于它的相反数的数有，0，﹣5， 绝对值等于它的相反数的数有：，共4个， （4）由（1）可知在数轴上表示这6个数的点中，其中两点之间最大距离是：3.2﹣（﹣5）＝8.2． 20．大家知道|5|＝|5﹣0|，它在数轴上表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离．又如式子|6﹣3|，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离．即点A、B在数轴上分别表示数a、b，则A、B两点的距离可表示为：|AB|＝|a﹣b|．根据以上信息，回答下列问题： （1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是　3　 ；数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是　3　 ； （2）点A、B在数轴上分别表示实数x和﹣1． ①用代数式表示A、B两点之间的距离； ②如果|AB|＝2，求x的值． （3）直接写出代数式|x+1|+|x﹣4|的最小值及相应的x的取值范围． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：根据分析，可得 （1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是：|5﹣2|＝3； 数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是： |（﹣2）﹣（﹣5）|＝|﹣2+5|＝|3|＝3． （2）①|AB|＝|x﹣（﹣1）|＝|x+1|． ②如果|AB|＝2， 则|x+1|＝2， x+1＝2或x+1＝﹣2， 解得x＝1或x＝﹣3． （3）∵代数式|x+1|+|x﹣4|表示数轴上有理数x所对应的点到4和﹣1所对应的两点距离之和， ∴当﹣1≤x≤4时，代数式|x+1|+|x﹣4|的最小值是：|4﹣（﹣1）|＝5， 即代数式|x+1|+|x﹣4|的最小值是5，x的取值范围是﹣1≤x≤4． 故答案为：5，﹣1≤x≤4． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$