预习专题09 球（6知识点+7题型+提升练）-【暑假自学课】2025年新高二数学暑假提升精品讲义（沪教版2020）

预习专题09 球 1. 了解并掌握球的体积和表面积公式． 2．会用球的体积与表面积公式解决实际问题．(重点) 3．会解决球的切、接问题．(难点、易混点) 知识点1 球的定义 名称 定义 图形表示 相关概念 球 半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球 如图可记作：球O 球心：半圆的圆心 半径：连接球心和球面上任意一点的线段 直径：连接球面上两点并经过球心的线段； 给出下列命题，其中真命题的个数是（    ） ①球面上四个不同的点一定不在同一平面上； ②球心与截面圆心（截面不过球心）的连线垂直于截面； ③一个平面截球，截面是一个圆． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据球的概念逐一判断即可. 【详解】对于①：作球的一个截面，在截面的圆周上任意取四个不同的点，则这四个点就在同一平面上，故①错误； 对于②：根据球的几何性质可知，球心与截面圆心（截面不过球心）的连线垂直于该截面，故②正确； 对于③：用任意一个平面去截球得到的截面一定是一个圆面，故③正确. 故选：C 如图，将圆心为O的半圆面绕其直径所在的直线旋转一周，所形成的几何体叫做 ，记作 ．半圆的圆弧绕直径旋转所形成的旋转面叫做 ．点O到球面上任意一点的距离都 ，点O叫做 ，原半圆的半径和直径分别叫做球的 和 ．    【答案】 球 球O 球面 相等 球心 半径 直径 知识点2 球的对称性 球具有丰富的对称性，所有经过球心的直线都可以作为球的旋转轴，每条旋转轴与球面交点之间的线段都是球的直径； 所有经过 的直线都可以作为球的旋转轴，每条旋转轴与球面交点之间的线段都是球的 ． 【答案】 球心 直径 【分析】根据球的性质即可得答案. 【详解】解：因为球是半圆绕直径旋转一周所成的几何体， 所以只要经过球心的直线都可以作为球的旋转轴，每条旋转轴与球面的交点之间的线段都是球的直径. 故答案为：球心；直径. 知识点3 平面截球 球的截面均是圆面，球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆． 过球的半径的中点，作一个垂直于这条半径的截面，则这截面圆的半径是球半径的（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】C 【分析】根据球的截面圆半径、球半径、球心与截面圆距离满足的关系式即可求解. 【详解】设球的半径为，过球O半径中点且垂直于半径的球O的截面圆半径为， 则由题球心O与截面圆距离为，故截面圆的半径为， 所以截面圆的半径是球O半径的. 故选：C. 球半径为25cm，球心到截面距离为24cm，则截面面积为 【答案】 【分析】根据勾股定理可以求出截面的半径，进而求出截面的面积. 【详解】假设截面半径为，球半径为，球心到截面的距离为 所以 所以截面面积为 故答案为：. 知识点4 地球的经纬度 用平行于赤道平面的平面截地球得到的小圆（如图）的圆周称为纬线，按照南北方向分为南纬和北纬；过球心的大圆的半圆周（如图）称为经线；按照约定，通过英国伦敦格林尼治天文台原址的那条经线称为０度经线； 我国首都靠近北纬纬线，求北纬纬线的长度等于多少?（地球半径大约为6370km）（答案精确到个位） 【答案】30660 【分析】利用球截面的大圆计算出半径，再求解纬线长度即可. 【详解】 如图，是北纬上一点，由题意得，， 所以，故， 设是北纬的纬线长，． 知识点5 球的体积公式 设球的半径为R，则球的体积V＝πR3. 表面积为 的球的体积是 . 【答案】 【分析】设球的半径为，根据表面积求出，再由球的体积公式计算可得. 【详解】设球的半径为，则，解得， 所以球的体积. 故答案为： 如图，已知平面截球所得截面圆的半径为，该球面的点到平面的最大距离为3，则球的体积为　　 A． B． C． D． 【分析】根据条件求出球的半径即可． 【解答】解：依题意得：截面圆半径，设球的半径为，则球心到截面圆的距离． 如图，由勾股定理得：，解得， 所以球的体积为． 故选：． 【点评】本题考查球体的体积的求法，考查运算求解能力，属于基础题． 知识点6 球的表面积 设球的半径为R，则球的表面积S＝4πR2，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍； 若一个球的体积是，则这个球的表面积是 . 【分析】根据球的体积得到，再根据，计算表面积． 【解答】解：由球的体积，可得， 所以，解得， 所以． 故答案为：． 【点评】本题考查球的表面积和体积公式，属基础题． 若球的半径为1，则其表面积为 . 【答案】 【分析】利用球体表面积公式求已知球的表面积. 【详解】由球体表面积为. 故答案为： 棱长为a的正方体内切球体积为 ，外接球体积为 ． 【答案】 【分析】由正方体的性质可知正方体内切球的半径为，正方体的体对角线长等于外接球的直径，从而可求出外接球的半径，进而可求出球的体积. 【详解】设棱长为a的正方体内切球的半径为，外接球的半径为，则 ，，得， 所以棱长为a的正方体内切球体积为， 外接球的体积为. 故答案为：， 题型一、球的结构特征辨析 例1 下列几何体是旋转体的是（    ） A．五棱柱 B．六棱锥 C．八棱台 D．球 变式1-1 以下说法正确的是（     ） A．半圆弧以其直径所在的直线为轴旋转所成的曲面叫球； B．球的大圆的半径等于球的半径； C．球面和球是同一个概念； D．经过球面上不同的两点只能做一个最大的圆. 变式1-2 A、B为球面上任意两点，则通过A、B可作大圆的个数是 个． 题型二、球的截面的性质及计算 例2 已知球的半径为5，球心到平面的距离为4，则球被平面截得的截面面积为 ． 变式2-1 若球的半径为5，平面与球心的距离为3，则平面截球所得的圆面面积为 ． 变式2-2 若球的半径为5，圆为该球的一个小圆且面积为，则线段的长度是 . 题型三、求球面距离 例3 球面距离在地理学、导航系统、信息技术等多个领域有着广泛应用．球面距离的定义：经过球面上两点的大圆在这两点间劣弧的长度（大圆就是经过球心的平面截球面所得的圆）．四面体的外接球直径为，且，，则A、B两点在外接球上的球面距离为（    ） A． B． C． D． 变式3-1 如图为半径为1的球心，点A、B、C在球面上，OA，OB，OC两两垂直，E、F分别是大圆弧AB与AC中点，则点E、F在该球面上的球面距离为 ．    变式3-2 设地球半径为，北纬圈上两地的经度差为，若，则两地的球面距离为 ． 变式3-3 已知地球半径约为6371千米．上海的位置约为东经121°、北纬31°，大连的位置约为东经121°、北纬39°．若飞机以平均速度720千米/小时飞行，则从上海到大连的最短飞行时间约为 小时．（飞机飞行高度忽略不计，结果精确到0.1小时） 变式3-4 上海地处东经至，北纬至之间，地球半径约为6371千米，则上海所辖区域纬线所在两平面的距离为 千米.（结果保留到1千米） 变式3-5 在长方体中，，，E为中点. (1)求DE与平面所成角的大小； (2)求A，C两点在长方体所在外接球上的球面距离. 题型四、直线与球、平面与球的位置关系 例4 已知是半径为1的球面上的三点，若，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D．2 变式4-1 已知圆锥的侧面积是，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的内切球半径为（    ） A． B． C． D． 变式4-2 北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统．已知卫星运行轨道近似为以地球为圆心的圆形，运行周期与轨道半径之间关系为（K为常数）．已知甲、乙两颗卫星的运行轨道所在平面互相垂直，甲的周期是乙的8倍，且甲的运行轨道半径为，分别是甲、乙两颗卫星的运行轨道上的动点，则之间距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 变式4-3 若平面α，β截球O所得截面圆的面积分别为，，且球心O到平面α的距离为3，则球心O到平面β的距离为（    ） A． B．2 C． D．4 变式4-4 半径为1的球放在教室的墙角，紧靠两墙面和地面，墙角顶点到球面上的点的最远距离是（    ） A．2 B． C． D． 题型五、球的体积的有关计算 例5 某圆柱形容器里有一个球，该球与圆柱形容器的底面和侧面都相切，若球的体积为则圆柱的表面积为 ． 变式5-1 若一个球的半径为3，则其体积为 . 变式5-2 已知正方体的表面积为24，若球与正方体的各个面均相切，则该球的体积是 ． 变式5-3 已知矩形中，，，现将沿对角线向上翻折，得到三棱锥，则三棱锥的外接球的体积为 . 变式5-4 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时，测得水深为6cm.不计容器的厚度. (1)求球的体积； (2)正方体上底面所在平面将球分割成两部分，体积较小的部分称为“劣球缺”.根据祖暅原理，其体积为一个圆柱的体积减去一个圆台的体积.请根据以下示意图，求出本题中“劣球缺”的体积. 题型六、球的表面积的有关计算 例6 在三棱锥中，平面，，若点A，B，C，D均在球O的表面上，且，则球O的表面积为 . 变式6-1 已知三棱锥的每个顶点都在球的球面上，平面，，且，，则球的表面积为 . 变式6-2 已知，，是表面积为的球的球面上的三个点，且，则球心到平面的距离为 ． 变式6-3 将一个半径为5的金属球熔化后，重新铸造为64个相同的小球，则这些小球的表面积之和为 ． 变式6-4 如图，半球内有一内接正四棱柱（即正四棱柱的一个面在半球的底面圆上，其余顶点在半球面上）. (1)若正四棱柱的各棱长均为（即为正方体），求半球的表面积和体积； (2)若半球的底面圆的半径为10，求正四棱柱表面积的最大值. 题型七、多面体与球体内切外接问题 例7 防蝇罩是我国南方城市家庭中普遍使用的餐桌用品，可以使饭菜不受苍蝇的污染，某家庭预计购买一个防蝇罩，要求防蝇罩可以将摆放在桌面上四只等大的、直径为的碗完全罩住（防蝇罩与碗皆可视为半球且厚度忽略不计，且碗正放在桌上），则防蝇罩与桌面接触处半径至少为 .（结果取整数） 变式7-1 如图，一个四分之一球形状的玩具储物盒，若放入一个玩具小球，合上盒盖，可放小球的最大半径为.若是放入一个正方体，合上盒盖，可放正方体的最大棱长为，则 .      变式7-2 如图，在四棱锥中，底面为菱形，底面，为对角线与的交点，若，则三棱锥的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 变式7-3 已知点均在半径为2的球面上，是边长为3的等边三角形，平面，则 ． 变式7-4 在正方体中，为的中点，若该正方体的棱与球的球面有公共点，则球的半径的取值范围是 ． 变式7-5 球O是棱长为 1 的正方体的外接球，则球O的内接正四面体体积为 . 变式7-6 将一个半径为1的球形石材加工成一个圆柱形摆件，则该圆柱形摆件侧面积的最大值为 . 变式7-7 一个圆柱的外接球的体积为，该圆柱的轴截面是一个正方形，则该圆柱的底面面积为 ． 1．设地球的半径为，若在北纬的纬线图上，则此纬线圈构成的小圆面积为 .（结果用表示） 2．已知正四面体中，是棱上一点，过作平面，满足，，若、到平面的距离分别是3和9，则正四面体的外接球被平面截得的截面面积为 ． 3．如图，设地球的半径为，两地的纬度均为，经度差为，飞机从地沿大圆（经过球心的平面截球面所得的圆弧）飞行到地的弧长为（飞机的飞行高度忽略不计），则（    ） A． B． C． D． 4．将一个半径为的金属球熔化后，重新铸造为64个相同的小球，则这些小球的表面积之和，比原金属球的表面积增加了 5．在正方体中，E，F分别为AB，的中点，以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有 个公共点． 6．已知圆锥（是底面圆的圆心，是圆锥的顶点）的母线长为，高为1，、为底面圆周上任意两点.有以下三个结论： ①三角形面积的最大值为2； ②三棱锥体积的最大值为 ③四面体外接球表面积的最小值为. 以上正确的结论是 . 7．已知长方体中， ，若该长方体的各顶点都在球O的表面上.求： (1)异面直线CD与所成角的大小； (2)求球O的表面积. 8．如图，边长为4的正方形是圆柱的轴截面，是圆柱底面圆周上一点. (1)求证：； (2)若直线和平面所成的角为，求三棱锥的体积； (3)设圆柱的外接球为球，求直线与球的两个交点间的距离. 试卷第1页，共3页 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 预习专题09 球 1. 了解并掌握球的体积和表面积公式． 2．会用球的体积与表面积公式解决实际问题．(重点) 3．会解决球的切、接问题．(难点、易混点) 知识点1 球的定义 名称 定义 图形表示 相关概念 球 半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球 如图可记作：球O 球心：半圆的圆心 半径：连接球心和球面上任意一点的线段 直径：连接球面上两点并经过球心的线段； 给出下列命题，其中真命题的个数是（    ） ①球面上四个不同的点一定不在同一平面上； ②球心与截面圆心（截面不过球心）的连线垂直于截面； ③一个平面截球，截面是一个圆． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据球的概念逐一判断即可. 【详解】对于①：作球的一个截面，在截面的圆周上任意取四个不同的点，则这四个点就在同一平面上，故①错误； 对于②：根据球的几何性质可知，球心与截面圆心（截面不过球心）的连线垂直于该截面，故②正确； 对于③：用任意一个平面去截球得到的截面一定是一个圆面，故③正确. 故选：C 如图，将圆心为O的半圆面绕其直径所在的直线旋转一周，所形成的几何体叫做 ，记作 ．半圆的圆弧绕直径旋转所形成的旋转面叫做 ．点O到球面上任意一点的距离都 ，点O叫做 ，原半圆的半径和直径分别叫做球的 和 ．    【答案】 球 球O 球面 相等 球心 半径 直径 知识点2 球的对称性 球具有丰富的对称性，所有经过球心的直线都可以作为球的旋转轴，每条旋转轴与球面交点之间的线段都是球的直径； 所有经过 的直线都可以作为球的旋转轴，每条旋转轴与球面交点之间的线段都是球的 ． 【答案】 球心 直径 【分析】根据球的性质即可得答案. 【详解】解：因为球是半圆绕直径旋转一周所成的几何体， 所以只要经过球心的直线都可以作为球的旋转轴，每条旋转轴与球面的交点之间的线段都是球的直径. 故答案为：球心；直径. 知识点3 平面截球 球的截面均是圆面，球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆． 过球的半径的中点，作一个垂直于这条半径的截面，则这截面圆的半径是球半径的（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】C 【分析】根据球的截面圆半径、球半径、球心与截面圆距离满足的关系式即可求解. 【详解】设球的半径为，过球O半径中点且垂直于半径的球O的截面圆半径为， 则由题球心O与截面圆距离为，故截面圆的半径为， 所以截面圆的半径是球O半径的. 故选：C. 球半径为25cm，球心到截面距离为24cm，则截面面积为 【答案】 【分析】根据勾股定理可以求出截面的半径，进而求出截面的面积. 【详解】假设截面半径为，球半径为，球心到截面的距离为 所以 所以截面面积为 故答案为：. 知识点4 地球的经纬度 用平行于赤道平面的平面截地球得到的小圆（如图）的圆周称为纬线，按照南北方向分为南纬和北纬；过球心的大圆的半圆周（如图）称为经线；按照约定，通过英国伦敦格林尼治天文台原址的那条经线称为０度经线； 我国首都靠近北纬纬线，求北纬纬线的长度等于多少?（地球半径大约为6370km）（答案精确到个位） 【答案】30660 【分析】利用球截面的大圆计算出半径，再求解纬线长度即可. 【详解】 如图，是北纬上一点，由题意得，， 所以，故， 设是北纬的纬线长，． 知识点5 球的体积公式 设球的半径为R，则球的体积V＝πR3. 表面积为 的球的体积是 . 【答案】 【分析】设球的半径为，根据表面积求出，再由球的体积公式计算可得. 【详解】设球的半径为，则，解得， 所以球的体积. 故答案为： 如图，已知平面截球所得截面圆的半径为，该球面的点到平面的最大距离为3，则球的体积为　　 A． B． C． D． 【分析】根据条件求出球的半径即可． 【解答】解：依题意得：截面圆半径，设球的半径为，则球心到截面圆的距离． 如图，由勾股定理得：，解得， 所以球的体积为． 故选：． 【点评】本题考查球体的体积的求法，考查运算求解能力，属于基础题． 知识点6 球的表面积 设球的半径为R，则球的表面积S＝4πR2，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍； 若一个球的体积是，则这个球的表面积是 . 【分析】根据球的体积得到，再根据，计算表面积． 【解答】解：由球的体积，可得， 所以，解得， 所以． 故答案为：． 【点评】本题考查球的表面积和体积公式，属基础题． 若球的半径为1，则其表面积为 . 【答案】 【分析】利用球体表面积公式求已知球的表面积. 【详解】由球体表面积为. 故答案为： 棱长为a的正方体内切球体积为 ，外接球体积为 ． 【答案】 【分析】由正方体的性质可知正方体内切球的半径为，正方体的体对角线长等于外接球的直径，从而可求出外接球的半径，进而可求出球的体积. 【详解】设棱长为a的正方体内切球的半径为，外接球的半径为，则 ，，得， 所以棱长为a的正方体内切球体积为， 外接球的体积为. 故答案为：， 题型一、球的结构特征辨析 例1 下列几何体是旋转体的是（    ） A．五棱柱 B．六棱锥 C．八棱台 D．球 【答案】D 【分析】根据旋转体、多面体的定义，判断即可． 【详解】根据一个平面图形绕着它的一条边所在的直线旋转一周形成的几何体叫做旋转体，判断球是旋转体； 一个几何体围成它的各个面都是多边形，这个几何体是多面体，由此判断五棱柱、六棱柱、八棱台都是多面体． 故选：D 变式1-1 以下说法正确的是（     ） A．半圆弧以其直径所在的直线为轴旋转所成的曲面叫球； B．球的大圆的半径等于球的半径； C．球面和球是同一个概念； D．经过球面上不同的两点只能做一个最大的圆. 【答案】B 【分析】根据球面和球的定义判断ABC，根据球的性质判断D 【详解】对于A，半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫球面，而球面围成的几何体叫球，所以A错误， 对于B，球的大圆的半径等于球的半径，所以B正确， 对于C，因为半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫球面， 而球面围成的几何体叫球，所以球面和球是不同的概念，所以C错误， 对于D，如果球面上的两点是球的直径的两个端点，则可以作无数个大圆，所以D错误， 故选：B 变式1-2 A、B为球面上任意两点，则通过A、B可作大圆的个数是 个． 【答案】1或无数 【分析】合理对两点分类讨论，并结合球的性质求解即可. 【详解】当两点与球心不共线时，可作1个大圆， 当两点与球心共线时，可作无数个大圆. 故答案为：1或无数. 题型二、球的截面的性质及计算 例2 已知球的半径为5，球心到平面的距离为4，则球被平面截得的截面面积为 ． 【答案】 【分析】利用勾股定理可求得截面的半径，即可求解 【详解】    设截面圆的半径为，球的半径为，球心到平面的距离为， 则， 即 可得， 所以截面面积为， 故答案为：. 变式3-1 若球的半径为5，平面与球心的距离为3，则平面截球所得的圆面面积为 ． 【答案】 【分析】设出截面圆的半径，然后根据勾股定理完成计算即可. 【详解】设所截圆面的半径为， 由题意可知，，解得， 所以截面圆的面积为， 故答案为：. 变式3-2 若球的半径为5，圆为该球的一个小圆且面积为，则线段的长度是 . 【答案】3 【分析】求出小圆的半径，从而由勾股定理得到答案. 【详解】设小圆的半径为，则，解得， 又球的半径为5，故线段. 故答案为：3 题型三、求球面距离 例3 球面距离在地理学、导航系统、信息技术等多个领域有着广泛应用．球面距离的定义：经过球面上两点的大圆在这两点间劣弧的长度（大圆就是经过球心的平面截球面所得的圆）．四面体的外接球直径为，且，，则A、B两点在外接球上的球面距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设球O，再求出A、B所在球大圆所对应的圆心角，进而利用弧长公式即可求出A、B两点之间的球面距离. 【详解】球的半径为， 设球心为O，， 所以在中，由于，，所以， 所以A、B两点之间的球面距离为 故选：C 变式4-1 如图为半径为1的球心，点A、B、C在球面上，OA，OB，OC两两垂直，E、F分别是大圆弧AB与AC中点，则点E、F在该球面上的球面距离为 ．    【答案】 【分析】先求出的长度，再求出大圆中对应的圆心角的弧度数，从而可求球面距离. 【详解】    如图，在平面内过点作，在平面内过作，垂足分别为，连接， 在扇形中，为大圆弧的中点，则，且， 同理可得， ∴ 在中，， 在平面中，由，，则， 同理可证，故，即四边形为平行四边形， ∴ ，故为等边三角形，故， ∴ 点在该球面上的球面距离为. 故答案： 变式4-2 设地球半径为，北纬圈上两地的经度差为，若，则两地的球面距离为 ． 【答案】 【分析】由已知及余弦定理计算，可确定球心角，再由球面距离定义即得答案． 【详解】由题意知及余弦定理得 ， 则球心角为， 两地的球面距离为 故答案为：. 变式4-3 已知地球半径约为6371千米．上海的位置约为东经121°、北纬31°，大连的位置约为东经121°、北纬39°．若飞机以平均速度720千米/小时飞行，则从上海到大连的最短飞行时间约为 小时．（飞机飞行高度忽略不计，结果精确到0.1小时） 【答案】1.2 【分析】设上海、大连分别为点，先求出，再计算时间即可. 【详解】 由题意知：上海与大连在同一经线上，所以它们在地球的同一个大圆上，设地球球心为，上海、大连分别为点， 则，地球半径约为6371千米，则千米，小时， 故从上海到大连的最短飞行时间约为1.2小时. 故答案为：1.2. 变式4-4 上海地处东经至，北纬至之间，地球半径约为6371千米，则上海所辖区域纬线所在两平面的距离为 千米.（结果保留到1千米） 【答案】135 【分析】求出纬度差，纬线所在两平面的距离为以地球为半径的圆，角度为纬度差所对应的弧长，由弧长公式求解即可. 【详解】上海在北纬至之间，则纬度差为度， 上海所辖区域纬线所在两平面的距离为以地球的半径为半径的圆，角度为所对应的弧长， 于是， 所以上海所辖区域纬线所在两平面的距离为. 故答案为：135 变式4-5 在长方体中，，，E为中点. (1)求DE与平面所成角的大小； (2)求A，C两点在长方体所在外接球上的球面距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等体积法,求得点到平面的距离，然后计算即可. （2）先计算该长方体的外接球的半径，然后使用余弦定理得到，并得到，根据弧长公式计算即可. 【详解】（1），点到平面的距离为2 所以为等腰三角形，点到的距离为 所以，设点到平面的距离为 由，所以 又设DE与平面所成角为， 所以,所以 （2）该长方体的外接球的球心为正方体的中心, 外接球的半径为 ，所以 所以 所以所求结果为 题型四、直线与球、平面与球的位置关系 例4 已知是半径为1的球面上的三点，若，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】设球心为，连接，则可得和均为等边三角形，所以，再在中利用余弦定理可求出. 【详解】设球心为，连接，由， 所以和均为等边三角形， 所以， 所以，当且仅当共面时取等号，如图所示， 此时取得最大值， 在中，由余弦定理得 ， 所以， 所以的最大值为， 故选：C 变式5-1 已知圆锥的侧面积是，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的内切球半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出圆锥底面圆的半径，并由题意联立方程组求出；再由勾股定理解出圆锥内切球的半径即可. 【详解】 设圆锥底面圆的半径为，高为，母线长为，由题意知：， 两式相除解得，； 所以圆锥的顶角为，轴截面为等边三角形，圆锥的高， 设圆锥的内切圆半径为，，解得. 故选：D. 变式5-2 北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统．已知卫星运行轨道近似为以地球为圆心的圆形，运行周期与轨道半径之间关系为（K为常数）．已知甲、乙两颗卫星的运行轨道所在平面互相垂直，甲的周期是乙的8倍，且甲的运行轨道半径为，分别是甲、乙两颗卫星的运行轨道上的动点，则之间距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题设条件得到，再根据图形，利用，当且仅当三点共线时取等号即可求出结果. 【详解】如图，设卫星乙的运行轨道半径为，因为，且，所以， 设地球的球心为，则，当且仅当与共线且位于两侧时取得等号， 故选：B． 变式5-3 若平面α，β截球O所得截面圆的面积分别为，，且球心O到平面α的距离为3，则球心O到平面β的距离为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】设平面，截球所得截面圆的半径分别为，，再根据圆的面积公式，结合球内的垂径定理列式求解即可. 【详解】设平面，截球所得截面圆的半径分别为，，则，，则，. 设球的半径为，球心到平面的距离为，则，所以. 故选：A 变式5-4 半径为1的球放在教室的墙角，紧靠两墙面和地面，墙角顶点到球面上的点的最远距离是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据球与相切面的几何特点即可得到最远距离. 【详解】设球心到墙角的距离为，球心半径为，则， 则距离为棱长为1的正方体的对角线长，即， 则墙角顶点到球面上的点的最远距离等于. 故选：D. 题型五、球的体积的有关计算 例5 某圆柱形容器里有一个球，该球与圆柱形容器的底面和侧面都相切，若球的体积为则圆柱的表面积为 ． 【答案】 【分析】根据球的体积公式可得，即可根据圆柱的体积公式求解. 【详解】可设球的半径为，则根据题意可知圆柱的底面半径也为， 圆柱的高等于球的直径，即为，由球的体积为， 利用球的体积公式可得：，解得：， 再由圆柱的表面积公式得： ． 故答案为：. 变式6-1 若一个球的半径为3，则其体积为 . 【答案】 【分析】根据球的体积公式计算即可. 【详解】因为球的半径为， 所以球的体积为. 故答案为： 变式6-2 已知正方体的表面积为24，若球与正方体的各个面均相切，则该球的体积是 ． 【答案】/ 【分析】求出正方体的棱长，再利用球的体积公式求出体积. 【详解】设正方体的棱长为，由正方体的表面积为24，得，解得， 因此与正方体的各个面均相切的球半径， 所以该球的体积是. 故答案为： 变式6-3 已知矩形中，，，现将沿对角线向上翻折，得到三棱锥，则三棱锥的外接球的体积为 . 【答案】/ 【详解】设为为中点，连接，由于，，故, 则由为直角可得， 故外接球半径为1， 故三棱锥的外接球的体积为， 故答案为： , 变式6-4 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时，测得水深为6cm.不计容器的厚度. (1)求球的体积； (2)正方体上底面所在平面将球分割成两部分，体积较小的部分称为“劣球缺”.根据祖暅原理，其体积为一个圆柱的体积减去一个圆台的体积.请根据以下示意图，求出本题中“劣球缺”的体积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设球的半径为，根据球和正方体的结构特征结合题意可得球心到正方体上底面中心的距离为和过正方体上底面截球所得截面圆的半径，再根据即可求解. （2）分别计算圆柱的体积，小圆锥的体积和大圆锥的体积，从而计算出圆台的体积，从而得到劣球缺的体积. 【详解】（1）设球的半径为， 则由题可知球心到正方体上底面中心的距离为，且过正方体上底面截球所得截面圆的半径为， 所以即，， 所以球的体积为. （2）圆柱体的体积为小圆锥的体积为大圆锥的体积为圆台的体积为 则劣球缺的体积为 题型六、球的表面积的有关计算 例6 在三棱锥中，平面，，若点A，B，C，D均在球O的表面上，且，则球O的表面积为 . 【答案】 【分析】由条件，三棱锥的顶点都为棱长为1的正方体的顶点，所以将三棱锥补成正方体，正方体的外接球即为三棱锥的外接球，进而求得半径即可求解. 【详解】 由题意可知三棱锥的顶点都为棱长为1的正方体的顶点， 将三棱锥补成正方体，棱长为1， 则该正方体的外接球的直径为， 即三棱锥的外接球的直径为，则三棱锥的外接球的半径为， 则球O的表面积为. 故答案为：. 变式7-1 已知三棱锥的每个顶点都在球的球面上，平面，，且，，则球的表面积为 . 【答案】 【分析】依题意可通过构造长方体求出外接球的半径，即可得出其表面积. 【详解】根据题意分别以为棱长构造长方体如下图所示： 易知三棱锥的外接球与长方体的外接球相同，设其半径为， 因此， 所以球的表面积为. 故答案为： 变式7-2 已知，，是表面积为的球的球面上的三个点，且，则球心到平面的距离为 ． 【答案】 【分析】根据题意可得球的半径为和的外接圆半径，结合球的性质运算求解即可. 【详解】设球的半径为， 则，解得， 由题意可知：是边长为3的等边三角形，其外接圆半径， 所以球心到平面的距离为. 故答案为：. 变式7-3 将一个半径为5的金属球熔化后，重新铸造为64个相同的小球，则这些小球的表面积之和为 ． 【答案】; 【分析】根据球的体积和表面积公式，即可求解. 【详解】设小球的半径为，则，得， 所以这些小球的表面积之和为. 故答案为： 变式7-4 如图，半球内有一内接正四棱柱（即正四棱柱的一个面在半球的底面圆上，其余顶点在半球面上）. (1)若正四棱柱的各棱长均为（即为正方体），求半球的表面积和体积； (2)若半球的底面圆的半径为10，求正四棱柱表面积的最大值. 【答案】(1)表面积，体积； (2). 【分析】（1）根据给定条件，求出半球半径，再借助球的表面积及体积公式列式计算即得. （2）设半球内接正四棱柱的底边长为2a，高为b，求出的关系，再求出正四棱柱表面积的关系，借助三角代换求出最大值. 【详解】（1）依题意，半球内接正方体下底面正方形中心为半球底面圆圆心， 而正方体下底面正方形外接圆半径为， 因此半球的半径， 所以半球表面积，体积. （2）设半球内接正四棱柱的底边长为2a，高为b， 依题意，，即，令，， 该正四棱柱的表面积 ，其中锐角由确定， 则当，即时，， 所以正四棱柱表面积的最大值. 题型七、多面体与球体内切外接问题 例7 防蝇罩是我国南方城市家庭中普遍使用的餐桌用品，可以使饭菜不受苍蝇的污染，某家庭预计购买一个防蝇罩，要求防蝇罩可以将摆放在桌面上四只等大的、直径为的碗完全罩住（防蝇罩与碗皆可视为半球且厚度忽略不计，且碗正放在桌上），则防蝇罩与桌面接触处半径至少为 .（结果取整数） 【答案】19 【分析】结合半球的知识计算出正确答案. 【详解】依题意可知，防蝇罩的半径至少为cm. 故答案为：. 变式7-1 如图，一个四分之一球形状的玩具储物盒，若放入一个玩具小球，合上盒盖，可放小球的最大半径为.若是放入一个正方体，合上盒盖，可放正方体的最大棱长为，则 .      【答案】 【分析】画出截面图，设储物盒所在球的半径为，从而利用表达出小球最大半径和正方体棱长，进而求出比值. 【详解】设储物盒所在球的半径为，如图，    小球最大半径满足，所以， 正方体的最大棱长满足，解得：， ∴， 故答案为： 变式7-2 如图，在四棱锥中，底面为菱形，底面，为对角线与的交点，若，则三棱锥的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间几何体及球的特征确定球心，结合球体体积公式计算即可. 【详解】 因为底面，底面，即， 根据题意可知为等边三角形，为直角三角形， 而， 则， 取的中点，连接，所以， 易知，则， 所以三棱锥的外接球的球心为F， ， ∴该外接球的体积为. 故选：B 变式7-3 已知点均在半径为2的球面上，是边长为3的等边三角形，平面，则 ． 【答案】2 【分析】先用正弦定理求底面外接圆半径，再结合直棱柱的外接球以及求的性质运算求解. 【详解】如图，将三棱锥转化为正三棱柱， 设的外接圆圆心为，半径为， 则，可得， 设三棱锥的外接球球心为，连接，则， 因为，即，解得. 故答案为：2. 【点睛】方法点睛：多面体与球切、接问题的求解方法 （1）涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解； （2）若球面上四点P、A、B、C构成的三条线段PA、PB、PC两两垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R2＝a2＋b2＋c2求解； （3）正方体的内切球的直径为正方体的棱长； （4）球和正方体的棱相切时，球的直径为正方体的面对角线长； （5）利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解． 变式7-4 在正方体中，为的中点，若该正方体的棱与球的球面有公共点，则球的半径的取值范围是 ． 【答案】 【分析】当球是正方体的外接球时半径最大，当边长为的正方形是球的大圆的内接正方形时半径达到最小. 【详解】设球的半径为. 当球是正方体的外接球时，恰好经过正方体的每个顶点，所求的球的半径最大，若半径变得更大，球会包含正方体，导致球面和棱没有交点， 正方体的外接球直径为体对角线长，即，故；    分别取侧棱的中点，显然四边形是边长为的正方形，且为正方形的对角线交点， 连接，则，当球的一个大圆恰好是四边形的外接圆，球的半径达到最小，即的最小值为. 综上，. 故答案为： 变式7-5 球O是棱长为 1 的正方体的外接球，则球O的内接正四面体体积为 . 【答案】 【分析】将正四面体补形为正方体，利用正四面体和正方体有同一外接球求解即可. 【详解】 如图，正四面体可以补形为正方体，可知图中正四面体和正方体有同一外接球， 即球O是棱长为 1 的正方体的外接球也是图中正四面体的外接球， 因为正方体棱长为1，则体积为1， 可得正四面体体积为正方体体积去掉四个角上的三棱锥体积， 即球O的内接正四面体体积为. 故答案为：. 变式7-6 将一个半径为1的球形石材加工成一个圆柱形摆件，则该圆柱形摆件侧面积的最大值为 . 【答案】 【分析】设圆柱形工件的高为h，底面半径为r，得到圆柱形工件的侧面积为，再结合基本不等式求解侧面积的最大值. 【详解】设圆柱形工件的高为h，底面半径为r，， 则圆柱形工件的侧面积为， 又因为，当且仅当时等号成立， 所以， 故答案为：. 变式7-7 一个圆柱的外接球的体积为，该圆柱的轴截面是一个正方形，则该圆柱的底面面积为 ． 【答案】 【分析】设圆柱的底面半径为，外接球的半径为，根据条件得到，即可求解. 【详解】设圆柱的底面半径为，则母线长为，外接球的半径为， 由题有，则，解得， 所以圆柱的底面面积为， 故答案为：. 1．设地球的半径为，若在北纬的纬线图上，则此纬线圈构成的小圆面积为 .（结果用表示） 【答案】 【分析】作出图象，求出小圆半径即可得答案. 【详解】解：如图所示： 则点A所在小圆半径， 所以小圆的面积为. 故答案为： 2．已知正四面体中，是棱上一点，过作平面，满足，，若、到平面的距离分别是3和9，则正四面体的外接球被平面截得的截面面积为 ． 【答案】 【分析】采用补体法将正四面体放入正方体中，根据题意求出正方体的棱长，进而求得其外接球的半径，根据勾股定理求出截面圆的半径，即可求解截面面积. 【详解】如图所示，将正四面体放入一个正方体中，    因为、到的距离分别为3、9，距离之和为12， 即正方体的棱长为12，因为球心是正方体的中心， 故球心到平面的距离为， 又球的直径，所以， 所以所截得的截面圆的半径， 故球被平面所截得的圆的面积． 故答案为： 3．如图，设地球的半径为，两地的纬度均为，经度差为，飞机从地沿大圆（经过球心的平面截球面所得的圆弧）飞行到地的弧长为（飞机的飞行高度忽略不计），则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，在中，求得，且，利用余弦定理，得到，结合，得到，得出，即可求解. 【详解】如图所示，连接，在中，可得，且， 在中，由余弦定理，可得 ，所以， 因为从地沿大圆飞行到地的弧长为，可得，所以， 所以，解得. 故选：B. 4．将一个半径为的金属球熔化后，重新铸造为64个相同的小球，则这些小球的表面积之和，比原金属球的表面积增加了 【答案】 【分析】根据球的体积公式，结合表面积公式进行求解即可. 【详解】设小球的半径为， 由题意可知：， 于是有， 故答案为： 5．在正方体中，E，F分别为AB，的中点，以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有 个公共点． 【答案】12 【分析】根据正方体的对称性，可知球心到各棱距离相等，故可得解. 【详解】不妨设正方体棱长为2，中点为，取，中点，侧面的中心为，连接，如图， 由题意可知，为球心，在正方体中，， 即， 则球心到的距离为， 所以球与棱相切，球面与棱只有1个交点， 同理，根据正方体的对称性知，其余各棱和球面也只有1个交点， 所以以EF为直径的球面与正方体棱的交点总数为12. 故答案为：12 6．已知圆锥（是底面圆的圆心，是圆锥的顶点）的母线长为，高为1，、为底面圆周上任意两点.有以下三个结论： ①三角形面积的最大值为2； ②三棱锥体积的最大值为 ③四面体外接球表面积的最小值为. 以上正确的结论是 . 【答案】② 【分析】首先确定的最大值，再结合三角形面积公式，即可判断①；利用三棱锥等体积转化，再集合三角形面积公式，即可判断②；首先表示四面体外接球的半径，再判断有无最值. 【详解】对于①：如图，由条件可知，，点是直径的两个端点， ，所以是钝角， ， 所以当时，的面积最大，最大值是，故①错误； 对于②：， ，当时，的最大值是， 所有三棱锥的最大值是，故②正确； 对于③：设外接圆的半径为，四面体SOPQ外接球的半径， 中，根据正弦定理可得，得， ，所以，则外接球的半径也无最小值，所以四面体SOPQ外接球表面积无最小值，故③错误.    故答案为：② 7．已知长方体中， ，若该长方体的各顶点都在球O的表面上.求： (1)异面直线CD与所成角的大小； (2)求球O的表面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平行得出异面直线CD与所成角等于直线与所成角，再在三角形中计算结合反三角函数求角； （2）长方体的外接球的直径即为长方体体对角线的长度，即可求出半径，从而求出球O的表面积． 【详解】（1）连接，因为，所以异面直线CD与所成角等于直线与所成角， 在中，， 因为，所以， ，， 所以异面直线CD与所成角的大小； （2）长方体，， 所以长方体的对角线长为. 因为长方体的对角线为球O的直径， 所以球O的半径为， 所以球的表面积是. 8．如图，边长为4的正方形是圆柱的轴截面，是圆柱底面圆周上一点. (1)求证：； (2)若直线和平面所成的角为，求三棱锥的体积； (3)设圆柱的外接球为球，求直线与球的两个交点间的距离. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）由线面垂直的性质可得，结合可得证明平面，再由线面垂直的性质即可证明； （2）由（1）可得，可求得和，根据棱锥的体积公式即可求解； （3）过作，垂足为，根据等面积法及勾股定理求出即可. 【详解】（1）因为正方形是圆柱的轴截面，是圆柱底面圆周上一点， 所以. 因为平面，平面， 所以. 因为平面， 所以平面. 因为平面, 所以. （2）由（1）可得平面， 所以直线和平面所成的角为，即. 因为正方形的边长为4， 所以， 所以,， 所以. （3）过作，垂足为， 因为, 所以. 由等面积法可得， 所以. 易知圆柱的外接球的半径为，即, 所以, 所以直线与球的两个交点间的距离为. 试卷第1页，共3页 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$