专题10 球- 【暑假自学课】2024年新高二数学暑假提升精品讲义（沪教版2020，上海专用）

专题10 球 考点剖析 3 【知识点1】球及其截面 3 【知识点2】球体积 4 【知识点3】外接球 5 【知识点4】内切球 6 【知识点5】球表面积 7 过关检测 8 A组 双基过关 8 B组 巩固提高 10 C组 综合训练 14 D组 拓展延伸 21 一、新课引入 1. 球的概念： 与定点距离等于或小于定长的点的集合，叫做球体，简称球，定点叫球心，定长叫球的半径。与定点距离等于定长的点的集合叫做球面。一个球或球面用表示它的球心的字母表示，例如：球O 2. 球的截面： 用一平面去截—个球O，设OO'是平面的垂线段，O'为垂足，且OO'=，则它们的交线上的任一点P，，是一个定值，这说明交线是到定点O'距离等于定长的点的集合。所以，一个平面截一个球面，所得的截面是以球心在截面内的射影为圆心，以为半径的一个圆，截面是一个圆面。球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做小圆。 3. 经度、纬度： 经线：球面上从北极到南极的半个大圆； 纬线：与赤道平面平行的平面截球面所得的小圆； 经度：某地的经度就是经过这点的经线与地轴确定的半平面与O°经线及轴确定的半平面所成的二面角的度数； 纬度：某地的纬度就是指过这点的球半径与赤道平面所成角的度数。 4. 球的体积及球的表面积公式 （1）半径为R的球的体积为： （2）半径为R的球的表面积为： 5. 多面体与旋转体的外接球 （1）长方体的外接球的球心是其体对角线的中点，半径为体对角线的一半; （2）直三棱柱（圆柱）的外接球的球心是其上下底面外心（圆心）的中点; （3）正棱锥（圆锥）的外接球的球心在其高所在的直线上。 情况1： 题设：直三棱柱内接于一球（棱柱的上下底面为任意三角形） 第一步：确定球心的位置，为的外心，则平面 第二步：算出小圆面半径， 第三步：勾股定理： 情况2： 题设：的投影落在的外心上 第一步：确定球心的位置，为的外心,则三点共线 第二步：算出小圆面半径，算出棱锥的高 第三步：勾股定理，解出 考点剖析 【知识点1】球及其截面 【例1】下列说法中正确的个数是 （ ） ①球的半径是球面上任意一点与球心的连线； ②球面上任意两点的连线是球的直径； ③用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆； ④用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面； ⑤以半圆的直径所在直线为轴旋转形成的曲面叫做球； ⑥空间中到定点的距离等于定长的所有的点构成的曲面是球面. A．0 B．1 C．2 D．3 【例2】如图所示的平面结构（阴影部分为实心，空白部分为空心），绕中间轴旋转一周，形成的几何体为 （ ） A．一个球 B．一个球中间挖去一个圆柱 C．一个圆柱 D．一个球中间挖去一个棱柱 【例3】湖面上浮着一个球，湖水结冰后将球取出，冰上留下一个直径为24cm，深为8cm的空穴，则这球的半径为______________cm. 【例4】球的两个平行截面的面积分别为，两截面之间的距离为1，求球的半径． 【知识点2】球体积 【例5】（祖暅原理）如图，取一个底面半径和高都为的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体与一个半径为的半球放在同一水平面上．用一平行于平面的平面去截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环面（图中阴影部分）．设截面面积分别为和，那么 （ ） A． B． C． D．不确定 【例6】 （1）已知球的半径为3，则它的体积为______________． （2）已知三个球的半径，，满足，则它们的体积，，满足的等量关系是__ 【知识点3】外接球 【例7】 （1）若棱长为1的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的体积为 （ ） A． B． C． D． （2）棱长为的正四面体的外接球体积为___________. 【例8】 （1）已知圆柱上下底面圆周均在球面上，且圆柱底面直径和高相等，则该球与圆柱的体积之比为（ ） A． B． C． D． （2）某圆锥的侧面展开后是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的体积与它的外接球的体积之比为（ ） A． B． C． D． 【知识点4】内切球 【例9】 （1）如图所示，有一个很漂亮的中心球状建筑引起了小明的注意，为了测量球的半径，小明设计了一个方案：构造正三棱柱侧面均与球相切如图所示，底面边长约为30米，估计此时球的完整表面积为________平方米. （2）若在母线长为，高为的圆锥中挖去一个小球，则剩余部分体积的最小值为______________． 【知识点5】球表面积 【例10】 （1） 半径为2的球的表面积为___________． （2）将一个球的半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的　　 A．2倍 B．4倍 C．8倍 D．16倍 【例11】 （1）棱长为2的正方体的外接球的表面积为　　 A． B． C． D． （2）已知球与棱长为2的正方体的各条棱都相切，则球内接圆柱的侧面积的最大值为　　 A． B． C． D． 过关检测 A组 双基过关 【难度系数：★ 时间：8分钟 分值：20分】 1．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知长方体的8个顶点都在球的表面上，若，则球的表面积为 . 2．（23-24高二上·上海·期末）若一个球的半径为，则它的体积为 ． 3．（2023高二上·上海·专题练习）若球的过球心的圆面圆周长是，则这个球的表面积是 . 4．（23-24高二上·上海·期末）已知球的半径为5，则球的一个大圆的面积为 . 5．（23-24高二上·上海·期末）现行国际比赛标准的乒乓球直径是40毫米，在忽略材料厚度和制造误差的情况下，则乒乓球的表面积大约为 平方毫米．（数值近似到0.01） 6．（2023高二上·上海·专题练习）求解多面体的外接球时，经常用到截面图.如图所示，设球O的半径为R，截面圆O′的半径为r，M为截面圆上任意一点，球心O到截面圆O′的距离为d，则R、r、d满足的关系式是 . 7．（23-24高二上·上海·期末）若用与球心距离为3的平面截球体所得的圆面半径为4，则球的体积为 . B组 巩固提高 【难度系数：★★ 时间：10分钟 分值：20分】 8．（23-24高二上·上海·阶段练习）已知各顶点都在一个球面上的正三棱柱的高为2，这个球的体积为，则这个正三棱柱的体积为（    ） A． B． C．6 D．4 9．（23-24高三下·上海浦东新·阶段练习）若一个圆柱的底面半径为1，侧面积为，球是该圆柱的外接球，则球的表面积为 ． 10．（23-24高二下·上海·期中）设正方体的所有棱长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 . 11．（23-24高二上·上海·期末）若将两个半径为的铁球熔化后铸成一个球，则该球的表面积为 . 12．（23-24高二上·上海·期末）在边长为1的正方形中裁去一个如图所示的扇形，再将剩余的阴影部分绕旋转一周，则所得几何体的体积为 . 13．（23-24高二上·上海·阶段练习）球面上三点、、所确定的截面到球心的距离等于球半径的，且，，，则该球的表面积为 . 14．（2023高二上·上海·专题练习）已知一个表面积为的正方体的四个顶点在半球的球面上，四个顶点在半球的底面上，求半球的表面积. 15．（2023高二上·上海·专题练习）（1）已知球的直径为，求它的表面积和体积； （2）已知球的体积为，求它的表面积； （3）若三个球的表面积之比为，求这三个球的体积之比. C组 综合训练 【难度系数：★★★ 时间：15分钟 分值：30分】 16．（23-24高二上·上海青浦·期末）球的两个平行截面面积分别为和，球心到这两个截面的距离之差等于1，则球的直径为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 17．（23-24高二下·上海闵行·阶段练习）已知三个球的半径满足，且它们的表面积分别为，体积分别为，则 . 18．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知一个正四面体的棱长为4，则其外接球与以其一个顶点为球心，2为半径的球面所形成的交线的长度为 ． 19．（23-24高二上·上海·期末）如图，在一个轴截面为正三角形的圆锥形容器中注入高为h的水，然后，将一个铁球放入这个圆锥形的容器中，若水面恰好和球面相切，则这个球的半径为 .    20．（23-24高二上·上海松江·期末）已知球的体积为，高为1的圆锥内接于球O，经过圆锥顶点的平面截球和圆锥所得的截面面积分别为，若，则 21．（23-24高二上·上海·期末）如图所示，已知一个半径为2的半圆面剪去了一个等腰三角形，将剩余部分绕着直径所在直线旋转一周得到一个几何体，其中点为半圆弧的中点，该几何体的体积为 . 22．（23-24高二下·上海·期中）已知正四面体的棱长为3，点在棱上，点在线段上，且. (1)如图1，若点在棱的中点处，求证：平面； (2)如图2，若，求三棱锥的体积； (3)如图3，当点在棱上移动时，求线段长度的最小值. 23．（23-24高二上·上海·期中）某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知半球的直径是6cm，圆柱筒长4cm． (1)这种“浮球”的体积是多少cm3？（结果精确到0.1） (2)要在2500个这样的“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，那么共需涂胶约多少克？（结果精确到个位）． D组 拓展延伸 【难度系数：★★★ 时间：20分钟 分值：30分】24．（21-22高二下·上海杨浦·期中）为提高学生数学学习的积极性，复旦附中联合浦东分校、青浦分校、复旦中学组织了复旦附中月度数学学科知识竞赛．本次比赛的年度总冠军奖杯由一个铜球O和一个底座组成，如图（1）所示，已知球的体积为，底座由边长为12的正三角形铜片ABC沿各边中点的连线垂直向上折叠成直二面角所得，如图（2）所示．则在图（1）所示的几何体中，下列结论中正确的是（    ） A．CD与BE是异面直线 B．异面直线AB与CD所成角的大小为45° C．由A、B、C三点确定的平面截球所得的截面面积为 D．球面上的点到底座底面DEF的最大距离为 25．（23-24高二上·上海浦东新·期中）已知球的体积为，高为1的圆锥内接于球，经过圆锥顶点的平面截球和圆锥所得的截面面积分别为，若，则 ． 26．（23-24高二上·上海徐汇·期中）勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动. 勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分，如图所示，若正四面体ABCD的棱长为a. ① 能够容纳勒洛四面体的正方体的棱长的最小值为a    ② 勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为 ③ 勒洛四面体中过三点的截面面积为 ④ 勒洛四面体的体积 上述命题中正确的是 27．（22-23高二下·上海徐汇·阶段练习）若正方体的棱长为3，P是正方体表面上一动点.设是以P为球心，半径为1的动球在运动过程中经过区域的全体，则的体积为 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 球 考点剖析 3 【知识点1】球及其截面 3 【知识点2】球体积 4 【知识点3】外接球 5 【知识点4】内切球 6 【知识点5】球表面积 7 过关检测 8 A组 双基过关 8 B组 巩固提高 10 C组 综合训练 14 D组 拓展延伸 21 一、新课引入 1. 球的概念： 与定点距离等于或小于定长的点的集合，叫做球体，简称球，定点叫球心，定长叫球的半径。与定点距离等于定长的点的集合叫做球面。一个球或球面用表示它的球心的字母表示，例如：球O 2. 球的截面： 用一平面去截—个球O，设OO'是平面的垂线段，O'为垂足，且OO'=，则它们的交线上的任一点P，，是一个定值，这说明交线是到定点O'距离等于定长的点的集合。所以，一个平面截一个球面，所得的截面是以球心在截面内的射影为圆心，以为半径的一个圆，截面是一个圆面。球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做小圆。 3. 经度、纬度： 经线：球面上从北极到南极的半个大圆； 纬线：与赤道平面平行的平面截球面所得的小圆； 经度：某地的经度就是经过这点的经线与地轴确定的半平面与O°经线及轴确定的半平面所成的二面角的度数； 纬度：某地的纬度就是指过这点的球半径与赤道平面所成角的度数。 4. 球的体积及球的表面积公式 （1）半径为R的球的体积为： （2）半径为R的球的表面积为： 5. 多面体与旋转体的外接球 （1）长方体的外接球的球心是其体对角线的中点，半径为体对角线的一半; （2）直三棱柱（圆柱）的外接球的球心是其上下底面外心（圆心）的中点; （3）正棱锥（圆锥）的外接球的球心在其高所在的直线上。 情况1： 题设：直三棱柱内接于一球（棱柱的上下底面为任意三角形） 第一步：确定球心的位置，为的外心，则平面 第二步：算出小圆面半径， 第三步：勾股定理： 情况2： 题设：的投影落在的外心上 第一步：确定球心的位置，为的外心,则三点共线 第二步：算出小圆面半径，算出棱锥的高 第三步：勾股定理，解出 考点剖析 【知识点1】球及其截面 【例1】下列说法中正确的个数是 （ ） ①球的半径是球面上任意一点与球心的连线； ②球面上任意两点的连线是球的直径； ③用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆； ④用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面； ⑤以半圆的直径所在直线为轴旋转形成的曲面叫做球； ⑥空间中到定点的距离等于定长的所有的点构成的曲面是球面. A．0 B．1 C．2 D．3 【解析】①正确；当球面上两点的连线经过球心时，这两点的连线才是球的直径，故②错误； ③用一个平面截一个球，得到的截面是圆面，而不是一个圆，故③错误； ④正确；曲面所围成的几何体叫做球，故⑤错误；⑥正确；故正确说法为①④⑥，共3个.故选： 【例2】如图所示的平面结构（阴影部分为实心，空白部分为空心），绕中间轴旋转一周，形成的几何体为 （ B ） A．一个球 B．一个球中间挖去一个圆柱 C．一个圆柱 D．一个球中间挖去一个棱柱 【解析】由题意，根据球的定义，可得外面的圆旋转形成一个球，根据圆柱的概念，可得里面的长方形旋转形成一个圆柱，所以绕中间轴旋转一周，形成的几何体为一个球中间挖去一个圆柱，故选B. 【例3】湖面上浮着一个球，湖水结冰后将球取出，冰上留下一个直径为24cm，深为8cm的空穴，则这球的半径为______________cm. 【答案】13； 【解析】设球的半径为，将球取出，留下空穴的直径为，深， 则截面圆的半径为，球心距为，又由，即，化简得，解得.故答案为. 【例4】球的两个平行截面的面积分别为，两截面之间的距离为1，求球的半径． 【解析】解：设半径为，圆心为，（画图，将空间图形化为平面图形，一个圆，圆内有两条相距1的两条平行弦）大弦长，小弦长，到大弦距离，到小弦的距离，若两弦在圆心的同侧则，若两弦在圆的异侧，则 即，整理得，无意义 综上得，的研究球的半径为3 【知识点2】球体积 【例5】（祖暅原理）如图，取一个底面半径和高都为的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体与一个半径为的半球放在同一水平面上．用一平行于平面的平面去截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环面（图中阴影部分）．设截面面积分别为和，那么 （ ） A． B． C． D．不确定 【答案】 【解析】解：根据题意：①半球的截面圆：，， ②取一个底面半径和高都为的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，，， 根据①②得出：， 故选：． 【例6】 （1）已知球的半径为3，则它的体积为______________． 【答案】． 【解析】解：球的半径为3，则它的体积为．故答案为：． （2）已知三个球的半径，，满足，则它们的体积，，满足的等量关系是__【答案】 【解析】解：因为，所以，同理，． 由，得．它们的体积，，满足的等量关系是：．故答案为：． 【知识点3】外接球 【例7】 （1）若棱长为1的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的体积为 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为正方体的体对角线长为其外接球的直径，所以球的直径为，即半径，故其体积为．故选：C． （2）棱长为的正四面体的外接球体积为___________. 【答案】 【解析】如图，棱长为的正四面体可以嵌入到棱长为的立方体中，所以正四面体的外接球与所嵌入的立方体的外接球相同.设立方体的外接球半径为，则，所以立方体外接球的体积.故正四面体的外接球体积为.故答案为： 【例8】 （1）已知圆柱上下底面圆周均在球面上，且圆柱底面直径和高相等，则该球与圆柱的体积之比为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设圆柱的底面半径为，球的半径为，则圆柱的高为， 作出球与圆柱的轴截面，如图： 则，所以，所以.故选：C （2）某圆锥的侧面展开后是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的体积与它的外接球的体积之比为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：设圆锥的母线长为，则展开后扇形的弧长为， 再设圆锥的底面圆半径为，可得，即，圆锥的高为， 设圆锥外接球的半径为，则，解得． 圆锥的体积为，圆锥外接球的体积， ∴该圆锥的体积与它的外接球的体积之比为．故选：C． 【知识点4】内切球 【例9】 （1）如图所示，有一个很漂亮的中心球状建筑引起了小明的注意，为了测量球的半径，小明设计了一个方案：构造正三棱柱侧面均与球相切如图所示，底面边长约为30米，估计此时球的完整表面积为________平方米. 【答案】 【解析】过球心作与正三棱柱底面平行的截面，如图, 则,,所以,即, 所以 （2）若在母线长为，高为的圆锥中挖去一个小球，则剩余部分体积的最小值为______________． 【答案】． 【解析】如图是圆锥的轴截面，它的内切圆是圆锥的内切球的大圆．设半径为， 易知母线长为，高为4时，底面半径为，因此，， 所以剩余部分体积的最小值为．故答案为：． 【知识点5】球表面积 【例10】 （1） 半径为2的球的表面积为___________． 【答案】 【解析】解：球的半径为2，所以球的表面积为：,故答案为： （2）将一个球的半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的　　 A．2倍 B．4倍 C．8倍 D．16倍 【答案】 【解析】解：设球的半径为，则原来的表面积，当半径变为原来的2倍时，即半径为， 则表面积为，即这个球的表面积就变为原来的4倍．故选：． 【例11】 （1）棱长为2的正方体的外接球的表面积为　　 A． B． C． D． 【答案】 【解析】解：由于正方体与外接球之间的关系为正方体的对角线长即为球的直径， 则，即，则球的表面积为．故选：． （2）已知球与棱长为2的正方体的各条棱都相切，则球内接圆柱的侧面积的最大值为　　 A． B． C． D． 【答案】 【解析】解：由于球与棱长为2的正方体的各条棱都相切，所以球的半径为，解得，设球体的内接圆柱的底面半径为，设圆柱的高为，则， 所以圆柱的侧面积， 当时，侧面积的最大值为．故选：． 过关检测 A组 双基过关 【难度系数：★ 时间：8分钟 分值：20分】 1．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知长方体的8个顶点都在球的表面上，若，则球的表面积为 . 2．（23-24高二上·上海·期末）若一个球的半径为，则它的体积为 ． 3．（2023高二上·上海·专题练习）若球的过球心的圆面圆周长是，则这个球的表面积是 . 4．（23-24高二上·上海·期末）已知球的半径为5，则球的一个大圆的面积为 . 5．（23-24高二上·上海·期末）现行国际比赛标准的乒乓球直径是40毫米，在忽略材料厚度和制造误差的情况下，则乒乓球的表面积大约为 平方毫米．（数值近似到0.01） 6．（2023高二上·上海·专题练习）求解多面体的外接球时，经常用到截面图.如图所示，设球O的半径为R，截面圆O′的半径为r，M为截面圆上任意一点，球心O到截面圆O′的距离为d，则R、r、d满足的关系式是 . 7．（23-24高二上·上海·期末）若用与球心距离为3的平面截球体所得的圆面半径为4，则球的体积为 . 参考答案： 1． 【分析】由题意，确定外接球的直径，根据勾股定理计算即可求解. 【详解】如图，该长方体的外接球的直径为，设其半径为， 则， 得，所以该外接球的表面积为. 故答案为：      2． 【分析】由球的体积公式可得. 【详解】由球的半径， 得, 故答案为：. 3． 【分析】利用大圆的周长求出求的半径，再用球的表面积公式求解. 【详解】设求的半径为，则， 所以球的表面积是：. 故答案为： 4． 【分析】由圆的面积公式求出即可. 【详解】因为球的半径为5， 则则球的一个大圆的面积为. 故答案为：. 5． 【分析】利用球的表面积公式计算即可． 【详解】由题意知． 故答案为：． 6． 【分析】根据勾股定理得到关系式. 【详解】在中，根据勾股定理得，即. 故答案为：. 7．/ 【分析】 利用球的截面小圆性质，求出求半径及体积. 【详解】 依题意，球的半径，所以球的体积. 故答案为： B组 巩固提高 【难度系数：★★ 时间：10分钟 分值：20分】 8．（23-24高二上·上海·阶段练习）已知各顶点都在一个球面上的正三棱柱的高为2，这个球的体积为，则这个正三棱柱的体积为（    ） A． B． C．6 D．4 9．（23-24高三下·上海浦东新·阶段练习）若一个圆柱的底面半径为1，侧面积为，球是该圆柱的外接球，则球的表面积为 ． 10．（23-24高二下·上海·期中）设正方体的所有棱长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 . 11．（23-24高二上·上海·期末）若将两个半径为的铁球熔化后铸成一个球，则该球的表面积为 . 12．（23-24高二上·上海·期末）在边长为1的正方形中裁去一个如图所示的扇形，再将剩余的阴影部分绕旋转一周，则所得几何体的体积为 . 13．（23-24高二上·上海·阶段练习）球面上三点、、所确定的截面到球心的距离等于球半径的，且，，，则该球的表面积为 . 14．（2023高二上·上海·专题练习）已知一个表面积为的正方体的四个顶点在半球的球面上，四个顶点在半球的底面上，求半球的表面积. 15．（2023高二上·上海·专题练习）（1）已知球的直径为，求它的表面积和体积； （2）已知球的体积为，求它的表面积； （3）若三个球的表面积之比为，求这三个球的体积之比. 参考答案： 8．B 【分析】先根据外接球体积得到外接球半径，进而得到底面正三角形的外接圆半径为，利用柱体体积公式求出答案. 【详解】设球的半径为，则， 又正三棱柱的高为， 设底面正三角形的外接圆半径为， ，故，解得， 由正弦定理得底面等边三角形的边长为， 则这个正三棱柱的体积为. 故选：B. 9． 【分析】先利用侧面积求出圆柱的高，再求出球的半径可得表面积. 【详解】设圆柱的高为，其外接球的半径为， 因为圆柱的底面半径为1，侧面积为，所以，解得； 由圆柱和球的对称性可知，球心位于圆柱上下底面中心连线的中点处， 所以，所以球的表面积为. 故答案为： 10． 【分析】结合正方体的性质与球的表面积公式计算即可得. 【详解】正方体的对角线就是球的直径，即，则， 则. 故答案为：. 11． 【分析】根据熔化前后体积不变可求出熔化后所得球的半径长，再利用球体的表面积公式可得结果. 【详解】设熔化后铸成球的半径为，则，可得． 所以，球的表面积为. 故答案为：. 12．/ 【分析】根据题意，由条件可得所形成的旋转体是圆柱去掉一个半径为1的半球，然后结合圆柱以及球的体积公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】图中阴影部分绕旋转一周所形成的旋转体是圆柱去掉一个半径为1的半球， 其中圆柱的底面半径为1，高为1， 则所得几何体的体积为圆柱的体积减去半球的体积， 即. 故答案为： 13． 【分析】求出的外接圆半径，根据勾股定理可得出关于的等式，即可解得的值，再利用球体的表面积公式可求得球的表面积. 【详解】因为，，，则，所以，， 所以，的外接圆半径为， 设球的半径为，由题意可知，，即，解得， 因此，球的表面积为. 故答案为：. 14． 【分析】设正方体的棱长为a，半球的半径为R，根据勾股定理列出方程，解出即可. 【详解】如图所示为过正方体对角面的截面图．设正方体的棱长为a，半球的半径为R， 由，得， 在中，，， 由勾股定理，得， 所以半球的表面积为． 15．（1），；（2）；（3） 【分析】根据球的表面积、体积公式计算可得. 【详解】（1）因为直径为，所以半径，所以球的表面积， 球的体积. （2）设球的半径为，因为，所以， 所以球的表面积. （3）设三个球的半径分别为，，， ∵三个球的表面积之比为， ∴， 即， ∴，得， ∴. C组 综合训练 【难度系数：★★★ 时间：15分钟 分值：30分】 16．（23-24高二上·上海青浦·期末）球的两个平行截面面积分别为和，球心到这两个截面的距离之差等于1，则球的直径为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 17．（23-24高二下·上海闵行·阶段练习）已知三个球的半径满足，且它们的表面积分别为，体积分别为，则 . 18．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知一个正四面体的棱长为4，则其外接球与以其一个顶点为球心，2为半径的球面所形成的交线的长度为 ． 19．（23-24高二上·上海·期末）如图，在一个轴截面为正三角形的圆锥形容器中注入高为h的水，然后，将一个铁球放入这个圆锥形的容器中，若水面恰好和球面相切，则这个球的半径为 .    20．（23-24高二上·上海松江·期末）已知球的体积为，高为1的圆锥内接于球O，经过圆锥顶点的平面截球和圆锥所得的截面面积分别为，若，则 21．（23-24高二上·上海·期末）如图所示，已知一个半径为2的半圆面剪去了一个等腰三角形，将剩余部分绕着直径所在直线旋转一周得到一个几何体，其中点为半圆弧的中点，该几何体的体积为 . 22．（23-24高二下·上海·期中）已知正四面体的棱长为3，点在棱上，点在线段上，且. (1)如图1，若点在棱的中点处，求证：平面； (2)如图2，若，求三棱锥的体积； (3)如图3，当点在棱上移动时，求线段长度的最小值. 23．（23-24高二上·上海·期中）某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知半球的直径是6cm，圆柱筒长4cm． (1)这种“浮球”的体积是多少cm3？（结果精确到0.1） (2)要在2500个这样的“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，那么共需涂胶约多少克？（结果精确到个位）． 参考答案： 16．D 【分析】根据题设知较近的截面圆半径为，另一个截面圆半径为，结合截面圆半径与球体半径、球心与截面距离关系列方程求球体半径，即得结果. 【详解】令球心到较近的截面距离为，则到另一个截面距离为，且球的半径为， 易知较近的截面圆面积为，另一个截面圆面积为， 所以较近的截面圆半径为，另一个截面圆半径为， 由截面圆半径与球体半径、球心与截面距离关系知：， 所以，故，则球的直径为6. 故选：D 17．/ 【分析】由表面积公式结合列出方程组求出，结合球的体积公式即可求解. 【详解】由题意知， 所以， . 故答案为：. 18． 【分析】作出图形，利用和得到关于的方程组，求出的值，再由题意，判断两球相交形成的图形为圆面，利用余弦定理求出，求得圆面的半径，即得交线长. 【详解】 如图，设正四面体的外接球半径为，外接球球心到底面的距离为，过点作于，连接, 则必过的中心，， 则又，联立解得. 由题意，两球相交形成的图形为圆面， 如图，在中，，故， 所以交线所在圆的半径为，所以交线长度为． 故答案为： 19． 【分析】根据水的高度以及圆锥形容器的轴截面为等边三角形得到水的体积，设出球的半径表示出球的体积，则根据放球后总体积，得到关于铁球半径的方程，解出即可. 【详解】如图，作出圆锥容器的轴截面，为正三角形，，，故. 设铁球的半径为，则，，在中，. 设放入球后，球与水共占体积为，则， 又，依题意有，故，解得.    故答案为： 20． 【分析】根据给定条件，求出球O半径，平面截球O所得截面小圆半径，圆锥底面圆半径，再求出平面截圆锥所得的截面等腰三角形底边长及高即可计算作答. 【详解】设球O半径为R，由，得， 平面截球O所得截面小圆半径，由，得， 因此，球心O到平面的距离， 而球心O在圆锥的轴上，则圆锥的轴与平面所成的角为， 因圆锥的高为1，则球心O到圆锥底面圆的距离为， 于是得圆锥底面圆半径， 令平面截圆锥所得截面为等腰，线段为圆锥底面圆的弦， 点C为弦中点，如图，由题意，， 则，，， 所以. 故答案为：. 21．/ 【分析】在三角形中作于点，求得圆锥的底面半径和高，计算出球体和圆锥体积即可求得结果. 【详解】根据题意可知，三角形即为等腰直角三角形， 作于点，如下图所示： 则三角形绕着直径所在直线旋转一周得到的几何体为两个全等的圆锥和, 由半径为2可得圆锥底面圆半径为，圆锥的高， 则圆锥的体积， 半圆面旋转一周形成半径为2的球体，其体积为； 因此剩余部分所形成的几何体的体积为. 故答案为： 22．(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由线面垂直的判定定理即可证明； （2）首先需要结合余弦定理以及等面积法求出，则的结果可得，因此可将求问题转化为求问题，最终结果乘以即可得答案. （3）取的中点为，取的中点为，连接，在上取一点，使得，取的中点为Q，连接，则平面，则点在以点为球心、为直径的球面上，且轨迹是以点为圆心的一段圆弧，结合几何知识即可求出答案． 【详解】（1）由于E是的中点，结合正四面体的性质可得, 又因为，所以平面； （2）因为，所以， 在三角形ACE中，由余弦定理可得， 同理， 在三角形ABE中，E到AB的距离为， 所以由等面积法可得，代入数据得， 所以， 因为，所以F到底面BCD的距离为A到底面BCD的距离的， 三角形BCE的面积是三角形BCD面积的， 所以， 如图，取CD中点记为H，AG为棱锥的高， ，， 所以， 则， 所以. （3）∵， ∴点在以为直径的球面上，取的中点为， ∵点在中， 由于一个平面截一个球所得的是一个圆面， ∴点的轨迹为一段圆弧， 取的中点为，连接，在上取一点，使得， 在等边中，易得点为的中心， ∴在正四面体中，易得平面， 取的中点为，连接，则，则平面， 由于一个平面截一个球所得的是一个圆面，且球心与这个圆的圆心所在直线与该平面垂直， ∴点的轨迹是以点为圆心的一段圆弧， 在中，，， ∴，则， ∴， ∴， ∴圆的半径， 而， ∴， 故长度的最小值为． 23．(1) (2)4710克 【分析】（1）分别求出两个半球的体积，和圆柱体的体积，即可求出“浮球”的体积； （2）先求出一个“浮球”的表面积，再求出2500个的面积，即可求解. 【详解】（1） 该半球的直径， 所以“浮球”的圆柱筒直径也是，得半径， 所以两个半球的体积之和为， 而， 该“浮球”的体积是； （2）上下两个半球的表面积是， 而“浮球”的圆柱筒侧面积为， 所以1个“浮球”的表面积为， 因此，2500个“浮球”的表面积的和为， 因为每平方米需要涂胶100克， 所以总共需要胶的质量为：（克）． D组 拓展延伸 【难度系数：★★★ 时间：20分钟 分值：30分】 24．（21-22高二下·上海杨浦·期中）为提高学生数学学习的积极性，复旦附中联合浦东分校、青浦分校、复旦中学组织了复旦附中月度数学学科知识竞赛．本次比赛的年度总冠军奖杯由一个铜球O和一个底座组成，如图（1）所示，已知球的体积为，底座由边长为12的正三角形铜片ABC沿各边中点的连线垂直向上折叠成直二面角所得，如图（2）所示．则在图（1）所示的几何体中，下列结论中正确的是（    ） A．CD与BE是异面直线 B．异面直线AB与CD所成角的大小为45° C．由A、B、C三点确定的平面截球所得的截面面积为 D．球面上的点到底座底面DEF的最大距离为 25．（23-24高二上·上海浦东新·期中）已知球的体积为，高为1的圆锥内接于球，经过圆锥顶点的平面截球和圆锥所得的截面面积分别为，若，则 ． 26．（23-24高二上·上海徐汇·期中）勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动. 勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分，如图所示，若正四面体ABCD的棱长为a. ① 能够容纳勒洛四面体的正方体的棱长的最小值为a    ② 勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为 ③ 勒洛四面体中过三点的截面面积为 ④ 勒洛四面体的体积 上述命题中正确的是 27．（22-23高二下·上海徐汇·阶段练习）若正方体的棱长为3，P是正方体表面上一动点.设是以P为球心，半径为1的动球在运动过程中经过区域的全体，则的体积为 . 参考答案： 24．C 【分析】取中点N，M，利用给定条件证明，推理判断A，B；求出外接圆半径，结合球面截面圆性质计算判断C，D作答. 【详解】取中点N，M，连接，如图， 因为正三角形，则，而平面平面，平面平面，平面， 于是得平面，同理平面，即，， 因此，四边形是平行四边形，有，则直线CD与BE在同一平面内，A不正确； 由选项A，同理可得，则异面直线AB与CD所成角等于直线DF与CD所成角，B不正确； 由选项A知，，同理可得，正外接圆半径， 由A、B、C三点确定的平面截球所得的截面圆是的外接圆，此截面面积为，C正确； 体积为的球半径，由得，由选项C知，球心到平面的距离， 由选项A，同理可得点A到平面的距离为，即平面与平面的距离为， 所以球面上的点到底座底面DEF的最大距离为，D不正确. 故选：C 【点睛】易错点睛：异面直线所成的角的取值范围是，当求出角的余弦值为负时，要取其相反数作为异面直线夹角余弦． 25． 【分析】计算球的半径和截面圆的半径，确定圆锥的轴与平面的夹角为，截面为等腰三角形，计算边长得到面积. 【详解】设球的半径为，则，解得， 设球的截面半径为，则，故， 故球心到平面的距离， 球心在圆锥的轴上，圆锥的轴与平面的夹角为. 圆锥的高为，故球心到圆锥底面圆的距离为， 圆锥的底面半径为， 如图所示：截面为等腰三角形，，，， ，故. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题考查了球与圆锥的截面问题，意在考查学生的转化能力，空间想象能力和综合应用能力，其中，确定圆锥的轴与平面的夹角为，再确定截面形状得到面积是解题的关键. 26．①④ 【分析】对于①，根据勒洛四面体表面上任意两点间距离小于等于，进行判断；对于②，求出，，相减即为能够容纳的最大球的半径；对于③，勒洛四面体中过三点的截面为三个半径为，圆心角为的扇形的面积减去两个边长为的正三角形的面积，由此可判断；对于④，勒洛四面体的体积介于正四杨体的体积和正四面体的外接球体积之间，求出正四面体的体积和正四面体的外接球的体积，从而求出答案． 【详解】对于①，由题意知：勒洛四面体表面上任意两点间距离的最大值，故①正确； 对于②，勒洛四面体能容纳的最大球，与勒洛四面体的弧面相切，如图，      其中点为该球与勒洛四面体的一个切点，为该球的球心， 由题意得该球的球心为正四面体的中心，半径为，连接， 则三点共线， 设正四面体的外接球半径为， 由题意得：，解得， ，， 由题意得，故②错误； 对于③，勒洛四面体中过三点的截面为三个半径为， 圆心角为的扇形的面积减去两个边长为的正三角形的面积，      即，故③错误； 对于④， 勒洛四面体的体积介于正四面体的体积和正四面体的外接球的体积之间，    正四面体底面面积为，底面所在圆的半径为， 正四面体的高为， 正四面体的体积， 设正四面体的外接球半径为，则由题意得： ，解得， 正四面体的外接球的体积为， 勒洛四面体的体积满足，故④正确． 故答案为：①④． 【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下： （1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径； （2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的； （3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解. 27． 【分析】由空间想象得到为棱长为5的正方体，去掉中心处棱长为1的正方体，各角去掉正方体减去一个顶点为球心半径为1的球后余下部分，各棱处去掉长方体减去一条高为轴，1为底面半径的圆柱后的部分，再结合正方体、球体、圆柱的体积公式求体积. 【详解】由题设，动球在运动过程中经过区域可看作棱长为5的正方体，先去掉中心处棱长为1的正方体， 8个角处去掉：棱长为1的正方体减去一个顶点为球心半径为1的球后剩余部分， 12条棱处去掉：底面边长为1，高为3的棱柱减去一条高为3，底面半径为1的圆柱后剩余部分， 综上，的体积为. 故答案为： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$