专题11 球（3大知识点+8大题型+21题强化）-2026-2027学年高二数学暑假班预修提升讲义（沪教版必修第三册）

2026-2027学年高二数学暑假班预修提升讲义【精英班课程】 专题11 球 知识点1.球的概念及相关概念 1.球的定义 名称 定义 图形表示 相关概念 球 半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球 如图可记作：球O 球心：半圆的圆心 半径：连接球心和球面上任意一点的线段 直径：连接球面上两点并经过球心的线段； 2.球具有丰富的对称性，所有经过球心的直线都可以作为球的旋转轴，每条旋转轴与球面交点之间的线段都是球的直径； 3.地球的经纬度 用平行于赤道平面的平面截地球得到的小圆（如图）的圆周称为纬线，按照南北方向分为南纬和北纬；过球心的大圆的半圆周（如图）称为经线；按照约定，通过英国伦敦格林尼治天文台原址的那条经线称为０度经线； 知识点二、球的性质 1.圆与球的性质比较 圆的主要性质 球的主要性质 1 平面内与定点距离等于定长的点集（轨迹） 空间与定点距离等于定长的点集（轨迹）是球面 2 同圆（或等圆）的半径相等，直径是半径的2倍 同球（或等球）的半径相等，直径是半径的2倍 3 与弦垂直的直径过弦的中点，圆半径2＝圆心到弦距离2＋弦长的一半2 与截面积垂直的直径过截面圆的圆心，球半径2＝球心到截面圆距离2＋截面圆的半径2 4 不过圆心的弦小于直径；经过圆心的弦是直径，是最大的弦 不过球心的截得的是球的小圆，其半径和面积都小于球的大圆的半径和面积；经过球心的截面截得的是球的大圆，是最大的截面圆 5 过切点的圆半径垂直于圆的切线 过切点的球半径垂直于球的切面 6 圆周长＝2π×圆半径 大圆周长＝2π×球半径 2.球的截面性质 球的截面均是圆面，球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆． 球的截面的性质：①球的截面是一个圆面；②球心与截面圆圆心的连线垂直于截面；③球半径、截面圆半径，则球心到截面的距离． 知识点三、球的体积与表面积 球的体积：设球的半径为R，则球的体积V＝πR3. 球的表面积：设球的半径为R，则球的表面积S＝4πR2，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍； 考点一、球的概念与性质 题型一、球的结构特征及辨析 【例1】以下说法正确的是（     ） A．半圆弧以其直径所在的的直线为轴旋转所成的曲面叫球； B．球的大圆的半径等于球的半径； C．球面和球是同一个概念； D．经过球面上不同的两点只能做一个最大的圆. 【跟踪训练】 1.下列关于球体的说法中，错误的是（    ）． A．球面是空间中到定点的距离等于定长的点的集合 B．用一个平面去截一个球得到的截面是圆面 C．一个圆绕其直径所在直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体是球体 D．球的对称轴只有1条 2.下列命题正确的是(    ) ①过球面上任意两点只能作一个经过球心的圆；②球的任意两个经过球心的圆的交点的连线是球的直径；③用不过球心的截面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面；④球面上任意三点可能在一条直线上；⑤球的半径是球面上任意一点和球心的连线段. A．①②③ B．②③④ C．②③⑤ D．①④⑤ 题型二、 球的截面性质及计算 【例2】已知球的两个平行截面的面积分别为和，球的半径为10，则这两个平行截面之间的距离为______. 【例3】球的体积为，用一个平面截球，若球心到截面的距离为，则截面圆的半径为 . 【跟踪训练】 1．球半径为25cm，球心到截面距离为24cm，则截面面积为 2．已知球的半径为10 cm，若它的一个截面圆的面积为36π cm2，则球心与截面圆圆心的距离是 cm. 3.现有一个棱长为3的正方体，如果以这个正方体的一个顶点为球心，以为半径作球面，那么该球面被这个正方体的表面所截得的所有弧长的和为 .    题型三、求球面距离 【例4】上海地处东经至，北纬至之间，地球半径约为6371千米，则上海所辖区域纬线所在两平面的距离为______千米.（结果保留到1千米） 【跟踪训练】 1.设地球半径为，赤道上两点经度相差，求两点的球面距离。 2.球面上两点间距离的定义为：经过球面上两点的大圆在这两点间劣弧的长度（大圆就是经过球心的平面截球面所得的圆）．设地球的半径为，若甲地位于北纬东经，乙地位于北纬西经，则甲、乙两地的球面距离为（    ） A． B． C． D． 3. 已知上海地处东经至，北纬至之间，地球半径为6371.004km．求上海所辖区域： (1)经线对应的两平面所成的二面角的大小； (2)纬线所在两平面的距离． 考点二、球的体积 题型四、球的体积计算 【例5】已知球的直径，则球体积为______． 【例6】一平面截一球得到直径是6cm的圆面，球心到这个平面的距离是4cm，则该球的体积是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1. 如图，半径为3，圆心角为的扇形绕着旋转一周得到几何体，则的体积为___________．    2. 将一个半径为2的铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的铁锭，若这个铁锭的上、下底面边长分别为1和2，则它的高为（    ） A． B． C． D． 3. 把直径分别为的三个铁球熔成一个大铁球，则这个大铁球的半径为（    ） A． B． C． D． 题型五、球的截面与体积的交汇 【例7】祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家．祖暅原理用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．例如可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，底面半径和高都为R的圆柱与半径为R的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个底面半径为R，高为R的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等．若用垂直于半径的平面去截半径为R的半球，且球心到平面的距离为，则平面所截得的较小部分（阴影所示称之为“球冠”）的几何体的体积是 ． 【跟踪训练】 1. 一个平面截一球得到直径为6的圆面，球心到这个圆面的距离为4，则这个球的体积为（    ） A． B． C． D． 2. 如图，过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，所得截面圆的半径为，则球的体积是（    ） A． B． C． D． 3. 祖暅（gèng）（5世纪—6世纪），字景烁，祖冲之之子，范阳郡道县（今河北省涞水县）人，南北朝时期的伟大科学家.他在实践的基础上，于5世纪末提出了下面的体积计算原理：“幂势既同，则积不容异”.这就是“祖暅原理”.用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”.例如可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，半径为R的半球与底面半径和高都为R的圆柱放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个半径为R，高为R的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等.若球心到平面的距离为，则平面截半球所得的较小部分的几何体的体积等于 . 4. 根据祖暅原理，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．如图1所示，一个容器是半径为R的半球，另一个容器是底面半径和高均为R的圆柱内嵌一个底面半径和高均为R的圆锥，这两个容器的容积相等．若将这两容器置于同一平面，注入等体积的水，则其水面高度也相同．如图2，一个圆柱形容器的底面半径为，高为，里面注入高为的水，将一个半径为的实心球缓慢放入容器内，当球沉到容器底端时，水面的高度为 ．（注：） 5．祖暅是南北朝时期伟大的数学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异.“意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等，现有以下三个几何体：半径为R的半球，底面半径和高均为R的圆锥与圆柱，体积分别记为，，. (1)写出，，三者之间的关系； (2)过半径上一点A，且平行于半球大圆的平面将半球分割成两部分，位于上方的部分称为“球缺”.根据祖暅原理，其体积为一个圆柱的体积减去一个圆台的体积.当点A为半径中点时，求解下面两个问题： （i）求截得的“球缺”的体积； （ii）求截得的“球缺”的表面积. 考点三、球的表面积 题型六、球的表面积计算 【例8】若球的半径为1，则其表面积为 . 【例9】若两球表面积之差为48π，大圆周长和为12π，则两球的半径为（    ） A．2，4； B．2π，4π； C．6，4； D．6π，4π． 【跟踪训练】 1．一个球内有相距9cm的两个平行截面，它们的面积分别为和，求球的表面积． 2.将半径为2、高为1的实心圆锥体熔成一个球，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 3.将一个底面半径为1，高为的圆柱形铁块熔铸成一个实心铁球，则该实心铁球的表面积为_________． 题型七、球的表面积与体积的交汇问题 【例10】已知球的体积为，则球的表面积为 ． 【例11】已知圆锥的轴截面是等边三角形，若该圆锥的表面积与球O的表面积相等，则该圆锥的体积与球O的体积之比为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．球的表面积增大为原来的9倍，那么球的体积增大为原来的（ ） A．9倍 B．18倍 C．27倍 D．81倍 2.已知正四棱锥的所有顶点都在同一个球面上，若该棱锥的高为1，底面边长为2，则球的体积为（   ） A． B． C． D． 题型八、几何体的外接球与内切球问题 【例12】长、宽、高分别为的长方体的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【例13】已知圆锥的母线长为6，其外接球表面积为，则该圆锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 【例14】已知体积为的圆柱存在内切球．则该内切球的表面积为（） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．设正方体的所有棱长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 . 2．长、宽、高分别为5、4、3的长方体的外接球的表面积是 ． 3．已知一个圆柱的底面直径与其外接球半径均为2，则该圆柱的侧面积为（    ） A． B． C． D． 4．一个体积为的球在一个正三棱柱的内部，且球面与该正三棱柱的所有面都相切，则此正三棱柱的表面积为（   ） A． B．54 C． D．27 5. 已知球内切于正四棱台（即球与该正四棱台的上､下底面以及侧面均相切），且该正四棱台的上､下底面棱长之比为，则球与该正四棱台的体积之比为__________. 一、填空题 1．若两球的表面积之比是，则它们的体积之比是____________. 2.若一个球的表面积是，则这个球的体积为______. 3.若一个球的体积是，则这个球的半径为______. 4. 已知球的半径为，一个平面截球所得截面圆的半径为，则截面圆的圆心与球心之间的距离为______ 5．一个半径为5cm的球，被一平面所截，球心到截面圆心的距离为4cm，则截面圆面积为 cm2. 6.已知地球半径为6371千米.上海的位置约为东经､北纬，台北的位置约为东经､北纬，则经过这两个城市的大圆的劣弧长度约为___________千米（结果保留到1千米）. 7.设地球半径为，北纬圈上两地的经度差为，若，则两地的球面距离为______． 8．已知正方体的内切球的体积为，则该正方体的外接球的表面积为_______ 9．若某正四面体的内切球的表面积为，则该正四面体的外接球的体积为_______ 10.直三棱柱中，，，，则它的外接球的表面积是_______ 11．石墩是常见的维护交通秩序的道路设施．某路口放置的石墩（如图），其上部是原球半径为15cm的球缺，下部可看作是上、下底面半径分别为9cm、16cm的圆台，球缺的截面圆与圆台的上底面完全吻合，整个石墩的高为33cm，则石墩的体积为______ （注：球体被平面所截，截得的部分叫球缺，球缺表面上的点到截面的最大距离为球缺的高，球缺的体积，其中为原球半径，为球缺的高．） 12. 我国南北朝时期的著名数学家祖晅提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异．”意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等．运用祖暅原理计算球的体积时，构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱，与半球（如图1）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体（如图2），用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面面积相等，由此可证明新几何体与半球体积相等，即．图3是一种“四脚帐篷”的示意图，其中曲线和均是以2为半径的半圆，平面和平面均垂直于平面，用任意平行于帐篷底面的平面截帐篷，所得截面四边形均为正方形，类比上述半球的体积计算方法，运用祖暅原理可求得该帐篷的体积为_____ 二、选择题 13．给出下列命题，其中真命题的个数是（    ） ①球面上四个不同的点一定不在同一平面上； ②球心与截面圆心（截面不过球心）的连线垂直于截面； ③一个平面截球，截面是一个圆． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 14.已知球的半径和圆锥的底面半径相等，且圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，则球与圆锥的体积之比为（    ） A．2 B．3 C． D． 15.已知棱长为2的正方体的体积与球的体积相等，则球的半径为（    ） A． B． C． D． 16.圆台的上、下底面半径分别为2和4，一个球与该圆台的两个底面和侧面均相切，则这个球的表面积为（   ） A． B． C． D． 三、解答题 17.（1）已知球的直径为，求它的表面积和体积； （2）已知球的体积为，求它的表面积； （3）若三个球的表面积之比为，求这三个球的体积之比. 18．如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知半球的直径是6 cm，圆柱筒长2 cm． (1)这种“浮球”的体积是多少?（结果精确到0.1) (2)要在2500个这样的“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，那么共需涂胶约多少克?附：． 19. 沪教版教材11．4．2在推导半径为的球的体积公式时，先构造如图所示的圆柱体，圆柱体的底面半径和高都为，其底面和半球体的底面同在平面上，然后在圆柱体内挖去一个圆锥后，运用祖暅原理来推导，请解答以下问题：    (1)补全完整祖暅原理：夹在两个 间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的 截得的两个截面的 ，那么这两个几何体的体积必相等． (2)请把如图补充完整并写出球的体积公式的推导过程． 20．如图，边长为4的正方形是圆柱的轴截面，是圆柱底面圆周上一点. (1)求证：； (2)若直线和平面所成的角为，求三棱锥的体积； (3)设圆柱的外接球为球，求直线与球的两个交点间的距离. 21．已知完全封闭且内部中空的圆柱底面的半径为R，母线长为l，如图． (1)当，时，在圆柱内放一个半径为1的实心球，求圆柱内空余部分的体积；（结果用精确值表示） (2)在（1）的条件下，在圆柱内部空余的地方放入和实心球、侧面及相应底面均相切的半径为r的同样大小的小球n个，求n的最大值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学暑假班预修提升讲义【精英班课程】 专题11 球 知识点1.球的概念及相关概念 1.球的定义 名称 定义 图形表示 相关概念 球 半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球 如图可记作：球O 球心：半圆的圆心 半径：连接球心和球面上任意一点的线段 直径：连接球面上两点并经过球心的线段； 2.球具有丰富的对称性，所有经过球心的直线都可以作为球的旋转轴，每条旋转轴与球面交点之间的线段都是球的直径； 3.地球的经纬度 用平行于赤道平面的平面截地球得到的小圆（如图）的圆周称为纬线，按照南北方向分为南纬和北纬；过球心的大圆的半圆周（如图）称为经线；按照约定，通过英国伦敦格林尼治天文台原址的那条经线称为０度经线； 知识点二、球的性质 1.圆与球的性质比较 圆的主要性质 球的主要性质 1 平面内与定点距离等于定长的点集（轨迹） 空间与定点距离等于定长的点集（轨迹）是球面 2 同圆（或等圆）的半径相等，直径是半径的2倍 同球（或等球）的半径相等，直径是半径的2倍 3 与弦垂直的直径过弦的中点，圆半径2＝圆心到弦距离2＋弦长的一半2 与截面积垂直的直径过截面圆的圆心，球半径2＝球心到截面圆距离2＋截面圆的半径2 4 不过圆心的弦小于直径；经过圆心的弦是直径，是最大的弦 不过球心的截得的是球的小圆，其半径和面积都小于球的大圆的半径和面积；经过球心的截面截得的是球的大圆，是最大的截面圆 5 过切点的圆半径垂直于圆的切线 过切点的球半径垂直于球的切面 6 圆周长＝2π×圆半径 大圆周长＝2π×球半径 2.球的截面性质 球的截面均是圆面，球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆． 球的截面的性质：①球的截面是一个圆面；②球心与截面圆圆心的连线垂直于截面；③球半径、截面圆半径，则球心到截面的距离． 知识点三、球的体积与表面积 球的体积：设球的半径为R，则球的体积V＝πR3. 球的表面积：设球的半径为R，则球的表面积S＝4πR2，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍； 考点一、球的概念与性质 题型一、球的结构特征及辨析 【例1】以下说法正确的是（     ） A．半圆弧以其直径所在的的直线为轴旋转所成的曲面叫球； B．球的大圆的半径等于球的半径； C．球面和球是同一个概念； D．经过球面上不同的两点只能做一个最大的圆. 【答案】B 【分析】根据球面和球的定义判断ABC，根据球的性质判断D 【详解】对于A，半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫球面，而球面围成的几何体叫球，所以A错误， 对于B，球的大圆的半径等于球的半径，所以B正确， 对于C，因为半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫球面， 而球面围成的几何体叫球，所以球面和球是不同的概念，所以C错误， 对于D，如果球面上的两点是球的直径的两个端点，则可以作无数个大圆，所以D错误， 故选：B 【跟踪训练】 1.下列关于球体的说法中，错误的是（    ）． A．球面是空间中到定点的距离等于定长的点的集合 B．用一个平面去截一个球得到的截面是圆面 C．一个圆绕其直径所在直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体是球体 D．球的对称轴只有1条 【答案】D 【分析】根据球面和球体的定义可判断A和C；根据球的对称性可判断D；根据圆与圆面的区别可判断B. 【详解】对于A，球面是空间中到定点的距离等于定长的点的集合是正确的； 对于B，用一个平面去截一个球得到的截面是圆面是正确； 对于C，一个圆绕其直径所在直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体是球体是正确的； 对于D，球的每一条直径都是对称轴，有无数条，故D错误. 故选：D 2.下列命题正确的是(    ) ①过球面上任意两点只能作一个经过球心的圆；②球的任意两个经过球心的圆的交点的连线是球的直径；③用不过球心的截面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面；④球面上任意三点可能在一条直线上；⑤球的半径是球面上任意一点和球心的连线段. A．①②③ B．②③④ C．②③⑤ D．①④⑤ 【答案】C 【分析】根据球体概念和性质即可求解. 【详解】由球的概念与性质，当任意两点与球心在一条直线上时，可作无数个圆，故①错；②正确；③正确；球面上任意三点一定不共线，故④错误；根据球的半径的定义可知⑤正确. 故选：C. 题型二、 球的截面性质及计算 【例2】已知球的两个平行截面的面积分别为和，球的半径为10，则这两个平行截面之间的距离为______. 【答案】1或17 【分析】根据球的两个平行截面的面积分别为和，分别求得两个平行截面的半径和球心到截面的距离，再分截面圆在球心的同侧和异侧求解. 【详解】解：因为球的两个平行截面的面积分别为和， 所以球的两个平行截面的半径分别为和6， 则球心到截面的距离为， 球心到截面的距离为， 当截面圆在球心的同侧时，如图所示： 这两个平行截面之间的距离为 当截面圆在球心的异侧时，如图所示： 这两个平行截面之间的距离为 ， 故答案为：1或17 【例3】球的体积为，用一个平面截球，若球心到截面的距离为，则截面圆的半径为 . 【答案】 【来源】河北省张家口市尚义县第一中学等校2023-2024学年高一下学期5月阶段测试数学试题（A） 【分析】求出球的半径，再利用球的截面小圆的性质列式计算即得. 【详解】令球半径为，则，解得， 所以截面圆的半径. 故答案为： 【跟踪训练】 1．球半径为25cm，球心到截面距离为24cm，则截面面积为 【答案】 【分析】根据勾股定理可以求出截面的半径，进而求出截面的面积. 【详解】假设截面半径为，球半径为，球心到截面的距离为 所以 所以截面面积为 故答案为：. 2．已知球的半径为10 cm，若它的一个截面圆的面积为36π cm2，则球心与截面圆圆心的距离是 cm. 【答案】8 【分析】 根据球的截面圆的性质即可求解. 【详解】 如图，设截面圆的半径为r，球心与截面圆圆心之间的距离为d，球半径为R. 由题意知，R=10cm，由πr2=36π，得r=6cm， 所以 故答案为：8 3.现有一个棱长为3的正方体，如果以这个正方体的一个顶点为球心，以为半径作球面，那么该球面被这个正方体的表面所截得的所有弧长的和为 . 【答案】 【分析】画出图形，说明截面弧长，利用弧长公式求解即可. 【详解】如图，以为球心，为半径的球面被正方体表面所截得的弧， 即分别在平面､平面､平面上， 以为圆心､3为半径的圆与所在平面形成的弧，弧，弧， 三条弧所对圆心角都是， 所以所求弧长的和为. 故答案为：    题型三、求球面距离 【例4】上海地处东经至，北纬至之间，地球半径约为6371千米，则上海所辖区域纬线所在两平面的距离为______千米.（结果保留到1千米） 【答案】135 【分析】求出纬度差，纬线所在两平面的距离为以地球为半径的圆，角度为纬度差所对应的弧长，由弧长公式求解即可. 【详解】上海在北纬至之间，则纬度差为度， 上海所辖区域纬线所在两平面的距离为以地球的半径为半径的圆，角度为所对应的弧长， 于是， 所以上海所辖区域纬线所在两平面的距离为. 故答案为：135 【跟踪训练】 1.设地球半径为，赤道上两点经度相差，求两点的球面距离。 解：步骤1：角度转化，将角度制转为弧度制： 步骤2：赤道为大圆，两点球心角。 步骤3：代入球面距离公式： 答案：两点球面距离为。 2.球面上两点间距离的定义为：经过球面上两点的大圆在这两点间劣弧的长度（大圆就是经过球心的平面截球面所得的圆）．设地球的半径为，若甲地位于北纬东经，乙地位于北纬西经，则甲、乙两地的球面距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析甲、乙两地的球心角，即可得解. 【详解】甲、乙两地在北纬线上，所对圆心角为， 即甲、乙两地在北纬线所在小圆的直径的两端，且小圆的半径， 则，所以甲、乙两地的球心角为， 故甲、乙两地的球面距离为. 故选：C. 3. 已知上海地处东经至，北纬至之间，地球半径为6371.004km．求上海所辖区域： (1)经线对应的两平面所成的二面角的大小； (2)纬线所在两平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）上海地处东经至，两个经度作差即可求解； （2）先求出纬度差，两纬线所在两平面的距离为以地球为半径的圆，角度为纬度差所对应的弧长，由弧长公式求解即可. 【详解】（1）因为上海地处东经至， 所以经线对应的两平面所成的二面角的大小为：. （2）因为上海在北纬至之间， 所以纬度差为， 两纬线所在两平面的距离为以地球为半径的圆，角度为所对应的弧长， 所以， 故纬线所在两平面的距离为. 考点二、球的体积 题型四、球的体积计算 【例5】已知球的直径，则球体积为______． 【答案】 【详解】因为球的直径，所以球的半径， 所以球的体积为. 【例6】一平面截一球得到直径是6cm的圆面，球心到这个平面的距离是4cm，则该球的体积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由球的半径、圆面半径、球心到这个平面的距离构成直角三角形，由勾股定理求得半径即可求解； 【详解】设球的半径为，圆面半径为，球心到这个平面的距离为， 根据球的截面性质，有， ． 故选：C 【跟踪训练】 1. 如图，半径为3，圆心角为的扇形绕着旋转一周得到几何体，则的体积为___________．    【答案】 【详解】由半径为3，圆心角为的扇形绕着旋转一周得到几何体为一个半径为的半球， 所以几何体的体积为. 故答案为：.    2. 将一个半径为2的铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的铁锭，若这个铁锭的上、下底面边长分别为1和2，则它的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】球的体积为，设铁锭的高为， 则正四棱台的体积为， 由，可得，解得. 3. 把直径分别为的三个铁球熔成一个大铁球，则这个大铁球的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】利用球的体积公式即可求解. 设大铁球的半径为，则有 ，解得．故选：B. 题型六、球的截面与体积的交汇 【例7】祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家．祖暅原理用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．例如可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，底面半径和高都为R的圆柱与半径为R的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个底面半径为R，高为R的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等．若用垂直于半径的平面去截半径为R的半球，且球心到平面的距离为，则平面所截得的较小部分（阴影所示称之为“球冠”）的几何体的体积是 ． 【答案】 【解析】根据圆柱与圆锥的体积公式，结合题意，可得答案. ∵，，， ∴， ∴． 故答案为：. 【跟踪训练】 1. 一个平面截一球得到直径为6的圆面，球心到这个圆面的距离为4，则这个球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】利用勾股定理结合给定条件得到球的半径，再求解体积即可. 如图，设截面圆的圆心为，由题意可知，圆面的直径为6，则， 又，所以球的半径， 所以球的体积，故选：C. 2. 如图，过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，所得截面圆的半径为，则球的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】利用勾股定理列方程，求得球的半径，进而求得球的体积. 设球的半径为，则，解得， 球的体积. 故选：A 3. 祖暅（gèng）（5世纪—6世纪），字景烁，祖冲之之子，范阳郡道县（今河北省涞水县）人，南北朝时期的伟大科学家.他在实践的基础上，于5世纪末提出了下面的体积计算原理：“幂势既同，则积不容异”.这就是“祖暅原理”.用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”.例如可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，半径为R的半球与底面半径和高都为R的圆柱放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个半径为R，高为R的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等.若球心到平面的距离为，则平面截半球所得的较小部分的几何体的体积等于 . 【答案】 【解析】由题意知，， ， 所以， 所以该平面α截半球所得的较小部分的几何体的体积为： 4. 根据祖暅原理，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．如图1所示，一个容器是半径为R的半球，另一个容器是底面半径和高均为R的圆柱内嵌一个底面半径和高均为R的圆锥，这两个容器的容积相等．若将这两容器置于同一平面，注入等体积的水，则其水面高度也相同．如图2，一个圆柱形容器的底面半径为，高为，里面注入高为的水，将一个半径为的实心球缓慢放入容器内，当球沉到容器底端时，水面的高度为 ．（注：） 【答案】 【解析】设铁球沉到容器底端时，水面的高度为h， 由图2知，容器内水的体积加上球在水面下的部分体积等于圆柱的体积， 由图1知相应圆台的体积加上球在水面下的部分体积也等于圆柱的体积， 故容器内水的体积等于相应圆台的体积，因为容器内水的体积为， 相应圆台的体积为， 所以，解得. 5．祖暅是南北朝时期伟大的数学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异.“意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等，现有以下三个几何体：半径为R的半球，底面半径和高均为R的圆锥与圆柱，体积分别记为，，. (1)写出，，三者之间的关系； (2)过半径上一点A，且平行于半球大圆的平面将半球分割成两部分，位于上方的部分称为“球缺”.根据祖暅原理，其体积为一个圆柱的体积减去一个圆台的体积.当点A为半径中点时，求解下面两个问题： （i）求截得的“球缺”的体积； （ii）求截得的“球缺”的表面积. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）由圆柱、圆锥和球的体积公式，分别求得圆柱、圆锥和半球的体积，即可得出结论；可得，，，所以，即圆柱的体积等于圆锥和半球的体积和. （2）（i）根据祖暅原理，由小球缺的体积等于图（2）中截面上方的圆柱挖去其中圆台后剩余的几何体的体积，所以小球缺的体积为，令，代入计算，即可求解；（ii）将球缺底部的圆与球心连线，组成一几何体，连接球心O和每个小网格的顶点，整个几何体就被分割成n个“小锥体”，求得球缺曲面部分的面积为，进而得到球缺的表面积. 【详解】（1）解：根据题意，利用圆柱、圆锥和球的体积公式， 可得，，， 所以，即圆柱的体积等于圆锥和半球的体积和. （2）解：（i）图（1）中，截面圆的半径为，所以截面圆的面积为， 图（2）中，截面为圆环，其中小圆的半径为，大圆的半径为， 所以截面圆环的面积为， 根据祖暅原理，由小球缺的体积等于图（2）中截面上方的圆柱挖去其中圆台后剩余的几何体的体积， 所以小球缺的体积为， 令，可得. （ii）类比球的表面积和体积的求法，将球缺底部的圆与球心连线，组成一几何体， 把球缺的曲面部分分成n个小网格，连接球心O和每个小网格的顶点， 整个几何体就被分割成n个“小锥体”，记球缺曲面部分的面积为S， 则，可得，， 所以该球缺的表面积为. 考点三、球的表面积 题型八、球的表面积计算 【例8】若球的半径为1，则其表面积为 . 【答案】 【分析】利用球体表面积公式求已知球的表面积. 【详解】由球体表面积为. 故答案为： 【例9】若两球表面积之差为48π，大圆周长和为12π，则两球的半径为（    ） A．2，4； B．2π，4π； C．6，4； D．6π，4π． 【答案】A 【分析】设出两球半径和，依题列出关于和的方程组，求解即得. 【详解】设两个大小球的半径分别为和，依题意得，，解得. 故选：A. 【跟踪训练】 1．一个球内有相距9cm的两个平行截面，它们的面积分别为和，求球的表面积． 【答案】 【分析】对截面的位置分类讨论，利用勾股定理求解球的半径，再求解表面积即可. 【详解】当截面在球心的同侧时，如图所示为球的轴截面，由球的截面性质知， 且，为两截面圆的圆心，则，． 设球的半径为，，． ，． 设，则． 在中，，记为①式， 在中，，记为②式， 联立①②可得，． ，故球的表面积为． 当截面在球心的两侧时，如图所示为球的轴截面， 由球的截面性质知，，且，分别为两截面圆的圆心， 则，．设球的半径为， ，． ，． 设，则． 在中，．在中，． ，解得，不合题意，舍去． 综上所述，球的表面积为． 2.将半径为2、高为1的实心圆锥体熔成一个球，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由圆锥的体积求出球的半径，再计算球的表面积即可. 【详解】由题意知，圆锥的体积等于球的体积，设球的半径为，则， 解得，故球的表面积为. 故选：A. 3.将一个底面半径为1，高为的圆柱形铁块熔铸成一个实心铁球，则该实心铁球的表面积为_________． 【答案】 【详解】圆柱形铁块的体积为， 设实心铁球的半径为，则，解得， 故该实心铁球的表面积为. 题型九、球的表面积与体积的交汇问题 【例10】已知球的体积为，则球的表面积为 ． 【答案】 【分析】求出球的半径长，利用球体的表面积公式可求得球的表面积. 【详解】设球的半径长为，则该球的体积为，解得， 所以，球的表面积为. 故答案为：. 【例11】已知圆锥的轴截面是等边三角形，若该圆锥的表面积与球O的表面积相等，则该圆锥的体积与球O的体积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设圆锥的底面半径为r，则其母线长为2r，高为， 所以该圆锥的表面积为， 设球O的半径为R，则球O的表面积为， 由题意知，所以， 圆锥的体积，球O的体积， 所以. 【跟踪训练】 1．球的表面积增大为原来的9倍，那么球的体积增大为原来的（ ） A．9倍 B．18倍 C．27倍 D．81倍 【答案】C 【分析】根据球的表面积公式可确定变化前后球的半径的关系，结合球的体积公式，即可求得答案. 【详解】设原来球体的半径为，则原来球体的表面积为：， 原来球体的体积为：， 当球的表面积增大为原来的9倍时，则此时球的半径， 此时球体体积为：，由， 所以球的体积增大为原来的27倍. 故选：C. 2.已知正四棱锥的所有顶点都在同一个球面上，若该棱锥的高为1，底面边长为2，则球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作正四棱锥，为底面中心，由数据判断其外接球球心在高的延长线上，设球心为，在内，根据勾股定理求得外接球半径即可． 【详解】如图，作正四棱锥，连结，，交于点，连结， 则平面，则，， 根据对称性，正四棱锥的外接球球心在高的延长线上，设为E，连接EC， 则球的半径，则， 则在内，由可得， 解得，故正四棱锥外接球的体积为﹒ 故选：B． 题型十、几何体的外接球与内切球问题 【例12】长、宽、高分别为的长方体的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出长方体外接球半径，再利用球的表面积公式即可得到答案. 【详解】长方体的外接球的半径. 则接球表面积为. 故选：B. 【例13】已知圆锥的母线长为6，其外接球表面积为，则该圆锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由圆锥及其外接球的轴截面可得关系，再结合和即可计算. 【详解】圆锥及其外接球的轴截面如图， 该其外接球的半径为，则外接球表面积为，则， 即， 设圆锥的高为，圆锥的底面圆半径为，则， 由，解得， 则此圆锥的表面积为. 故选：B 【例14】已知体积为的圆柱存在内切球．则该内切球的表面积为（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设内切球的半径为，依题意可知圆柱的高和底面直径均为， 圆柱的体积，解得， 故圆柱内切球的表面积为, 故选：C. 【跟踪训练】 1．设正方体的所有棱长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 . 【答案】 【分析】结合正方体的性质与球的表面积公式计算即可得. 【解析】正方体的对角线就是球的直径，即，则， 则. 故答案为：. 2．长、宽、高分别为5、4、3的长方体的外接球的表面积是 ． 【答案】 【分析】根据长方体外接球的性质分析求解. 【解析】由题意可知：长方体的外接球的半径， 所以外接球的表面积是. 故答案为：. 3．已知一个圆柱的底面直径与其外接球半径均为2，则该圆柱的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画出轴截面，利用长度关系求出圆柱半径和母线，进而得到答案. 【详解】如图，轴截面为   ， 所以圆柱的侧面积为， 故选：B. 4．一个体积为的球在一个正三棱柱的内部，且球面与该正三棱柱的所有面都相切，则此正三棱柱的表面积为（   ） A． B．54 C． D．27 【答案】A 【分析】先根据内切球得出三棱柱的高，再计算得出底面边长，进而计算得出表面积即可. 【详解】设球的半径为，因为，所以， 因为球面与该正三棱柱的所有面都相切， 所以正三棱柱的高为，设正三棱柱底面边长为， 因为球的半径等于底面正三角形的内切圆半径， 所以，所以， 则正三棱柱的表面积为. 故选：A. 5. 已知球内切于正四棱台（即球与该正四棱台的上､下底面以及侧面均相切），且该正四棱台的上､下底面棱长之比为，则球与该正四棱台的体积之比为__________. 【答案】 【详解】如图为该几何体的轴截面，其中圆O是等腰梯形ABCD的内切圆，    设圆O与梯形的腰相切于点P，Q，与上、下底面分别切于点，， 不妨设正四棱台上、下底面的棱长为，， 则，，， 故在直角梯形中，过点C作，垂足为E，所以， 在中，，为棱台的高，也是球的直径， 所以半径为，所以球的体积为， 棱台体积为， 所以球与棱台的体积比为. 故答案为：. 一、填空题 1．若两球的表面积之比是，则它们的体积之比是____________. 【答案】 【分析】利用两球表面积之比计算出半径之比，再利用球体的体积公式可计算出答案. 【详解】设两球半径分别为，表面积分别为，体积分别为， 则，即， 因此两球体积之比为. 故答案为：. 2.若一个球的表面积是，则这个球的体积为______. 【答案】 【分析】根据表面积可得半径，即可根据体积公式求解. 【详解】设球的半径为，则，则， 故球的体积为， 故答案为： 3.若一个球的体积是，则这个球的半径为______. 【答案】 【分析】根据球的体积公式计算求解即可. 【详解】设这个球的半径为，球的体积是，则这个球的半径. 故答案为：1. 4. 已知球的半径为，一个平面截球所得截面圆的半径为，则截面圆的圆心与球心之间的距离为______ 【答案】 【分析】根据直接求值. 【详解】已知球的半径，截面圆的半径为， 所以截面圆的圆心与球心的距离为： （）. 故答案为： 5．一个半径为5cm的球，被一平面所截，球心到截面圆心的距离为4cm，则截面圆面积为 cm2. 【答案】9π 【分析】根据球的半径，截面圆的半径，球心到截面圆的距离满足勾股定理，求出截面圆的半径，最后利用圆的面积公式求面积即可. 【详解】由题球的半径，截面圆的半径，球心到截面圆的距离满足勾股定理， ∴截面圆半径，则截面圆面积为， 故答案为：. 6.已知地球半径为6371千米.上海的位置约为东经､北纬，台北的位置约为东经､北纬，则经过这两个城市的大圆的劣弧长度约为___________千米（结果保留到1千米）. 【答案】673 【分析】设地球球心为点，上海、台北分别为点，计算出的大小，进而可求解. 【详解】因为上海和台北在同一经线上，所以它们在地球的同一个大圆上. 在这个大圆上，设地球球心为点，上海、台北分别为点， 由上海、台北的经纬度可知,地球半径为（千米）， 所以（千米）. 故答案为：. 7.设地球半径为，北纬圈上两地的经度差为，若，则两地的球面距离为______． 【答案】 【分析】由已知及余弦定理计算，可确定球心角，再由球面距离定义即得答案． 【详解】由题意知及余弦定理得 ， 则球心角为， 两地的球面距离为 故答案为：. 8．已知正方体的内切球的体积为，则该正方体的外接球的表面积为_______ 【分析】利用正方体的内切球、外接球的半径与正方体边长关系可求解. 【详解】设正方体的边长为， 则正方体内切球的半径为，内切球的体积等于，解得， 所以正方体的体对角线等于， 所以正方体外接球的半径等于，则外接球的表面积等于， 9．若某正四面体的内切球的表面积为，则该正四面体的外接球的体积为_______ 【分析】根据给定条件，结合正四面体的结构特征，再求出其外接球的半径即可. 【详解】正四面体的内切球与其外接球球心重合， 如图，正四面体内切球与外接球球心在其高上， 则是正四面体内切球半径，是正四面体外接球半径， 由正四面体的内切球的表面积为，得，令， ，，， 在中，，解得，， 所以该正四面体的外接球的体积. 10.直三棱柱中，，，，则它的外接球的表面积是_______ 【分析】根据直三棱柱的外接球，即为对应长方体的外接球，外接球的直径是长方体的对角线，由此求出外接球的表面积. 【详解】由题意，直三棱柱中，，，，画出长方体，如图所示： 则长方体的外接球即为三棱柱的外接球，所求的外接球的直径为体对角线，则外接球的表面积是， 11．石墩是常见的维护交通秩序的道路设施．某路口放置的石墩（如图），其上部是原球半径为15cm的球缺，下部可看作是上、下底面半径分别为9cm、16cm的圆台，球缺的截面圆与圆台的上底面完全吻合，整个石墩的高为33cm，则石墩的体积为______ （注：球体被平面所截，截得的部分叫球缺，球缺表面上的点到截面的最大距离为球缺的高，球缺的体积，其中为原球半径，为球缺的高．） 【分析】根据球的几何性质确定求缺的高以及圆台的高，再根据球缺与圆台的体积公式即可得组合体石墩的体积. 【详解】如图，为整个几何体的高度，设为球心，分别为圆台上下底面圆心， 则，，， 所以，则球缺的高， 则圆台的高， 故石墩的体积为 . 12. 我国南北朝时期的著名数学家祖晅提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异．”意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等．运用祖暅原理计算球的体积时，构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱，与半球（如图1）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体（如图2），用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面面积相等，由此可证明新几何体与半球体积相等，即．图3是一种“四脚帐篷”的示意图，其中曲线和均是以2为半径的半圆，平面和平面均垂直于平面，用任意平行于帐篷底面的平面截帐篷，所得截面四边形均为正方形，类比上述半球的体积计算方法，运用祖暅原理可求得该帐篷的体积为_____ 【解析】设截面与底面的距离为h，在帐篷中的截面为， 设底面中心为O，截面中心为，则， 所以，所以截面为的面积为． 设截面截正四棱柱得四边形为，截正四棱锥得四边形为， 底面中心O与截面中心之间的距离为， 在正四棱柱中，底面正方形边长为，高为， 所以，所以为等腰直角三角形， 所以，所以四边形边长为，所以四边形面积为， 所以图2中阴影部分的面积为，与截面面积相等， 由祖暅原理知帐篷体积为正四棱柱的体积减去正四棱锥的体积， 即． 二、选择题 13．给出下列命题，其中真命题的个数是（    ） ①球面上四个不同的点一定不在同一平面上； ②球心与截面圆心（截面不过球心）的连线垂直于截面； ③一个平面截球，截面是一个圆． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【来源】【温故练】第11章 简单几何体 单元测试-沪教版（2020）必修第三册 【分析】根据球的概念逐一判断即可. 【详解】对于①：作球的一个截面，在截面的圆周上任意取四个不同的点，则这四个点就在同一平面上，故①错误； 对于②：根据球的几何性质可知，球心与截面圆心（截面不过球心）的连线垂直于该截面，故②正确； 对于③：用任意一个平面去截球得到的截面一定是一个圆面，故③正确. 故选：C 14.已知球的半径和圆锥的底面半径相等，且圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，则球与圆锥的体积之比为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【解析】根据给定条件，利用弧长公式用圆锥底面圆半径表示其母线，再利用球与圆锥体积公式列式计算. 设球的半径和圆锥的底面半径均为，圆锥的母线长为， 由圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，得，则， 所以球的体积与圆锥的体积之比为.故选：C 15.已知棱长为2的正方体的体积与球的体积相等，则球的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由棱长为2的正方体的体积为， 设球的半径为，可得，解得.故选：D. 16.圆台的上、下底面半径分别为2和4，一个球与该圆台的两个底面和侧面均相切，则这个球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知作图，然后得到其轴截面，根据题意得到线段长，由切线长得到圆台母线长，由等腰梯形求得梯形的高，即可得到求得半径，然后得到表面积. 【详解】如图，    则该几何体的轴截面如下：    所以，， ∵与圆相切，点为切点， ∴， 过点作与点， ∴，∴，则， 即球的半径，∴这个球的表面积， 故选：D. 三、解答题 17.（1）已知球的直径为，求它的表面积和体积； （2）已知球的体积为，求它的表面积； （3）若三个球的表面积之比为，求这三个球的体积之比. 【答案】（1），；（2）；（3） 【解析】（1）因为直径为，所以半径，所以球的表面积， 球的体积. （2）设球的半径为，因为，所以， 所以球的表面积. （3）设三个球的半径分别为，，， ∵三个球的表面积之比为， ∴，即， ∴，得， ∴. 18．如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知半球的直径是6 cm，圆柱筒长2 cm． (1)这种“浮球”的体积是多少?（结果精确到0.1) (2)要在2500个这样的“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，那么共需涂胶约多少克?附：． 【答案】(1) (2)3768 【分析】（1）分别求出两个半球的体积，和圆柱体的体积，即可求出“浮球”的体积； （2）先求出一个“浮球”的表面积，再求出2500个的面积，即可求解. 【详解】（1）该半球的直径， 所以“浮球”的圆柱筒直径也是，得半径， 所以两个半球的体积之和为， 而， 该“浮球”的体积是； （2）上下两个半球的表面积是， 而“浮球”的圆柱筒侧面积为， 所以1个“浮球”的表面积为， 因此，2500个“浮球”的表面积的和为， 因为每平方米需要涂胶100克， 所以总共需要胶的质量为：（克）． 19. 沪教版教材11．4．2在推导半径为的球的体积公式时，先构造如图所示的圆柱体，圆柱体的底面半径和高都为，其底面和半球体的底面同在平面上，然后在圆柱体内挖去一个圆锥后，运用祖暅原理来推导，请解答以下问题：    (1)补全完整祖暅原理：夹在两个 间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的 截得的两个截面的 ，那么这两个几何体的体积必相等． (2)请把如图补充完整并写出球的体积公式的推导过程． 【答案】(1)平行面；任意平面；面积相等 (2).   【分析】（1）结合题意求解； （2）半球截面面积可以看成是在半径为的圆面上挖去一个半径为的同心圆所得的圆环的面积，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，利用祖暅原理可求解. 【详解】（1）平行面；任意平面；面积相等 （2）如图（1），设平行于大圆且与大圆的距离为的平面截半球所得圆面的半径为，， 于是截面面积， 则可以看成是在半径为的圆面上挖去一个半径为的同心圆所得的圆环的面积， 所以，取一个底面半径和高均为的圆柱， 从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体与半球放在同一水平面上， 如图（2）， 用同一水平面去截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环面， 可知圆环大圆半径为，小圆半径为，圆环面积，所以， 则根据祖暅原理可得这两个几何体的体积相等，即， 所以可得球的体积为.    20．如图，边长为4的正方形是圆柱的轴截面，是圆柱底面圆周上一点. (1)求证：； (2)若直线和平面所成的角为，求三棱锥的体积； (3)设圆柱的外接球为球，求直线与球的两个交点间的距离. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）由线面垂直的性质可得，结合可得证明平面，再由线面垂直的性质即可证明； （2）由（1）可得，可求得和，根据棱锥的体积公式即可求解； （3）过作，垂足为，根据等面积法及勾股定理求出即可. 【详解】（1）因为正方形是圆柱的轴截面，是圆柱底面圆周上一点， 所以. 因为平面，平面， 所以. 因为平面， 所以平面. 因为平面, 所以. （2）由（1）可得平面， 所以直线和平面所成的角为，即. 因为正方形的边长为4， 所以， 所以,， 所以. （3）过作，垂足为， 因为, 所以. 由等面积法可得， 所以. 易知圆柱的外接球的半径为，即, 所以, 所以直线与球的两个交点间的距离为. 21．已知完全封闭且内部中空的圆柱底面的半径为R，母线长为l，如图． (1)当，时，在圆柱内放一个半径为1的实心球，求圆柱内空余部分的体积；（结果用精确值表示） (2)在（1）的条件下，在圆柱内部空余的地方放入和实心球、侧面及相应底面均相切的半径为r的同样大小的小球n个，求n的最大值． 【答案】(1) (2)30 【分析】（1）圆柱体积减去球的体积即可； （2）分别拿出垂直底面截面和平行底面截面进行分析，结合内切知识，得出，再求出每个小圆占整个空间的圆心角，进而得解. 【解析】（1）由题意可得：，， 所以圆柱内空余部分的体积为． （2）垂直底面截面如图．所示， ，，， 在中，，． 因为，所以， 即，解得． 平行底面截面如图所示，． ，所以， 所以下方空余位置可以放，因为为整数，所以， 所以整个空余空间最多可以放个． 1 学科网（北京）股份有限公司 $