1.2一元二次方程的解法（第4课时因式分解法）（教学课件）数学苏科版九年级上册

苏科版·九年级上册 1.2.4 一元二次方程的 解法——因式分解法 第一章 一元二次方程 章节导读 学 习 目 标 1 2 理解用因式分解法解一元二次方程的原理，体会数学转化思想 掌握用因式分解法解一元二次方程的一般步骤，并能选择合适的方法进行因式分解 新知探究 思 考 1. 请完成下列填空： 若a·b = 0，则________________； 若( x - 2 ) ( x - 3 ) = 0，则________________； 若( 2x + 5 ) ( 3x + 7 ) = 0，则________________。 a = 0或b = 0 x = 2或x = 3 x = 或x = 新知探究 思 考 2. 解方程：x2 - x = 0。 可以用配方法或公式法求解 还有其他方法吗？ x2 - x可以化为x ( x - 1 ) 新知探究 思 考 2. 解方程：x2 - x = 0。 解：将方程左边分解因式得：x ( x - 1 ) = 0， 则x和x-1两个因式中至少有一个为0，即x = 0或x - 1 = 0， ∴x1 = 0，x2 = 1。 新知探究 因式分解法的定义： 当一个一元二次方程的一边是0， 另一边能分解为两个一次因式的乘积时， 就可以把解这样的一元二次方程转化为解两个一元一次方程， 这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。 知识要点 蕴含了“降次”的数学转化思想 一元二次方程 ⇒ ( ax + b ) ( cx + d ) = 0 ⇒ ( ax + b ) = 0或( cx + d ) = 0 典例分析 典例1 解方程：x2 = -16x。 解：① 移项：x2 + 16x = 0， ② 因式分解：x ( x + 16 ) = 0， ③ 赋值：x = 0或x + 16 = 0， ④ 求解：x1 = 0，x2 = -16。 方法技巧 解题关键： 严格按照步骤计算。 注意： 提公因式x 典例分析 典例2 解方程：( x + 5 ) - x ( x + 5 ) = 0。 将( x + 5)看作整体， 提公因式( x + 5) 解：① 因式分解：( x + 5 ) ( 1 - x ) = 0， ② 赋值：x + 5 = 0或1 - x = 0， ③ 求解：x1 = -5，x2 = 1。 新知探究 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ① 移项：使方程的右边化为零； ② 因式分解：将方程的左边分解为两个一次因式的乘积； ③ 赋值：令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； ④ 求解：解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解。 知识要点 新知探究 【复习巩固】因式分解的常用方法： ① 提公因式法：ax + bx + cx = x ( a + b + c )； ② 公式法：a2 ± 2ab + b2 = ( a ± b )2，a2 - b2 = ( a + b ) ( a - b )； ③ 分组分解法：am + bm + an + bn = m ( a + b ) + n ( a + b ) = ( a + b ) ( m + n )； ④ 十字相乘法：x2 + ( p + q ) x + pq = ( x + p ) ( x + q )。 知识要点 典例分析 典例3 解方程：x2 + 9 = 6x。 解：① 移项：x2 - 6x + 9 = 0， ② 因式分解：( x - 3 )2 = 0， ③ 直接开平方：x - 3 = ±0， ④ 解一元一次方程：x1 = x2 = 3。 公式法： a2 ± 2ab + b2 = ( a ± b )2 典例分析 典例4 解方程：( 2x + 1 )2 - ( x - 7 )2 = 0。 将( 2x + 1 )、( x + 7 )分别看作整体， 用公式法： a2 - b2 = ( a + b ) ( a - b) 解：法一： ①因式分解： ( 2x + 1 + x - 7 ) ( 2x + 1 - x + 7 ) = 0， ( 3x - 6 ) ( x + 8 ) = 0， ②赋值：3x - 6 = 0或x + 8 = 0， ③求解：x1 = 2，x2 = -8。 方法技巧 解题关键： 已知A2 - B2 = 0 ( 或A2 = B2 ) 法一：因式分解法 ( A + B )( A - B ) = 0， A + B = 0或A - B = 0， A = -B或A = B。 典例分析 典例4 解方程：( 2x + 1 )2 - ( x - 7 )2 = 0。 法二：( 2x + 1 )2 = ( x - 7 )2， 两边同时开平方：2x + 1 = ± ( x - 7 )， 2x + 1 = x - 7或2x + 1 = -x + 7， ∴x1 = -8，x2 = 2。 方法技巧 解题关键： 已知A2 - B2 = 0 ( 或A2 = B2 ) 法二：直接开平方法 A = ±B。 典例分析 典例5 解方程：x2 - 6x + 8 = 0。 十字相乘 解：① 因式分解：( x - 2 ) ( x - 4 ) = 0， ② 赋值：x - 2 = 0或x - 4 = 0， ③ 求解：x1 = 2，x2 = 4。 典例分析 典例6 已知方程( x + 2 )2 = 4 ( x + 2 )，请判断小丽、小明的解法是否正确。 小丽 ( x + 2)2 - 4 ( x + 2 ) = 0 ( x + 2 ) ( x - 2 ) = 0 x + 2 = 0或x - 2 = 0 ∴x1 = -2，x2 = 2。 小明 方程两边都除以( x + 2 ) x + 2 = 4 ∴x = 2。 当x + 2 = 0时， 方程两边不能同时除以( x + 2 ) 典例分析 典例6 已知方程( x + 2 )2 = 4 ( x + 2 )，请判断小丽、小明的解法是否正确。 小明 方程两边都除以( x + 2 ) x + 2 = 4 ∴x = 2。 当x + 2 = 0时， 方程两边不能同时除以( x + 2 ) 解：小明的正解： ① 当x + 2 ≠ 0时， 方程两边都除以( x + 2 )， x + 2 = 4， ∴x = 2； ② 当x + 2 = 0时， x = -2，成立； 综上，x = -2或x = 2。 题型探究 【例1】解方程： ( 1 ) 3x ( x - 4 ) = x - 4； ( 2 ) x ( x + 2 ) = 3x + 6； 因式分解法解方程——提公因式 题型一 ( 2 ) x ( x + 2 ) = 3 ( x + 2 )， x ( x + 2 ) - 3 ( x + 2 ) = 0， ( x + 2 ) ( x - 3 ) = 0， x + 2 = 0或x - 3 = 0， ∴x1 = -2，x2 = 3； 解：( 1 ) 3x ( x - 4 ) - ( x - 4 ) = 0， ( x - 4 ) ( 3x - 1 ) = 0， x - 4 = 0或3x - 1 = 0， ∴x1 = 4，x2 = ； 题型探究 【例1】解方程： ( 3 ) x2 - 4 = 2x ( x - 2 )。 因式分解法解方程——提公因式 题型一 ( 3 ) ( x + 2 ) ( x - 2 ) = 2x ( x - 2 )， ( x + 2 )( x - 2 ) - 2x ( x - 2 ) = 0， ( x - 2 ) ( -x + 2 ) = 0， x - 2 = 0或-x + 2 = 0， ∴x1 = x2 = 2。 题型探究 因式分解法解方程——公式法 题型二 解：法一： ( 3x + 4 + 4x - 1 ) (3x + 4 - 4x + 1 ) = 0， ( 7x + 3 ) ( -x + 5 ) = 0， 7x + 3 = 0或-x + 5 = 0， ∴x1 = ，x2 = 5。 法二：( 3x + 4 )2 = ( 4x - 1 )2 两边同时开平方：3x + 4 = ± ( 4x - 1 )， 3x + 4 = 4x - 1或3x + 4 = -4x + 1， ∴x1 = 5，x2 = -。 【例2】解方程：( 3x + 4 )2 - ( 4x - 1 )2 = 0。 题型探究 因式分解法解方程——十字相乘法 题型三 【例3】解方程： ( 1 ) 2x2 - x - 3 = 0； ( 2 ) 3x2 - 5x - 2 = 0； 解：( 1 ) ( 2x - 3) ( x + 1 ) = 0， 2x - 3 = 0或x + 1 = 0， ∴x1 = ，x2 = -1； ( 2 ) ( 3x + 1 ) ( x - 2 ) = 0， 3x + 1 = 0或x - 2 = 0， ∴x1 = ，x2 = 2； 题型探究 因式分解法解方程——十字相乘法 题型三 【例3】解方程： ( 3 ) ( x - 2 )2 - 5 ( x - 2 ) + 6 = 0。 解：( x - 2 - 2 ) ( x - 2 - 3 ) = 0， ( x - 4 ) ( x - 5 ) = 0， x - 4 = 0或x - 5 = 0， ∴x1 = 4，x2 = 5。 题型探究 因式分解法的应用 题型四 【例4】已知三角形两边的长分别是2和5，第三边的长是方程x2 - 7x + 10 = 0的根，则这个三角形的周长是________。 解：∵三角形两边的长分别是2和5， ∴第三条边长的取值范围是：3 < 第三边的长 < 7， ∵第三边的长是方程x2 - 7x + 10 = 0的根， ∴( x - 2 ) ( x - 5 ) = 0，解得：x1 = 2，x2 = 5， ∴第三边长为：5， ∴这个三角形的周长是：2+ 5 + 5 = 12。 12 题型探究 因式分解法的应用 题型四 【例5】已知( x2 + y2 + 1 ) ( x2 + y2 - 3 ) = 5，则x2 + y2的值为（　　） A．0 B．4 C．4或-2 D．-2 解：设 x2 + y2 = z，则原方程换元为( z + 1) ( z - 3 ) = 5， 整理得：z2 - 2z - 8 = 0， ∴( z - 4 ) ( z + 2 ) = 0，解得：z1 = 4，z2 = -2， ∴x2 + y2 = 4或 x2 + y2 = -2（舍） 。 B 课堂小结 因式分解法的定义： 当一个一元二次方程的一边是0，另一边能分解为两个一次因式的乘积时， 就可以把解这样的一元二次方程转化为解两个一元一次方程， 这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ① 移项：使方程的右边化为零； ② 因式分解：将方程的左边分解为两个一次因式的乘积； ③ 赋值：令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； ④ 求解：解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解。 感谢聆听! $$