1.2 因式分解法（第6课时）（教学课件）-2024-2025学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（苏科版）

九年级苏科版数学上册 第一章 一元二次方程 第六课时 因式分解法 1.2 一元二次方程的解法 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1.理解用因式分解法解方程的依据. 2.会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程. （重点） 3.会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程. （难点） 判别式的情况 根的情况 两个不相等的实数根 两个相等的实数根 没有实数根 两个实数根 Δ= b2−4ac. Δ > 0 Δ = 0 Δ < 0 Δ ≥ 0 ax2+bx+c=0(a≠0) 旧知回顾 4 旧知回顾 我们目前学过哪些解一元二次方程的方法？你还记得吗？ 直接开平方法 配方法 公式法 今天我们学习新的方法 因式分解法 形如、 直接通过求平方根来解 x2+px+( )2=(x+ )2 （通用方法） 情景导入 一个数的平方与这个数的4倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？ 李磊、莉莉、小雷都设这个数为x. 根据题意，可得方程x2＝4x. 但他们的解法各不相同： 李磊的解法： 由方程x2＝4x，得x2－4x＝0. 这里a＝1，b＝－4，c＝0. ∵b2－4ac＝(－4)2－4×1×0＝16＞0， ∴x＝ .即x1＝4，x2＝0， ∴这个数是4或0. 莉莉的解法： 方程x2＝4x两边同时约去x， 得x＝4， ∴这个数是4. 小明的解法： 由方程x2＝4x，得x2－4x＝0， 即x(x－4)＝0.于是x＝0，或x－4＝0. ∴x1＝4，x2＝0， ∴这个数是4或0. 肯定是我的最简单 这是什么法？ 概念归纳 当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以用小明的方法来解决．这种解法称为 因式分解法．（本质还是实现方程降次） 尝试与交流：如何解方程 x²-x=0? 既可以用配方法解，也可以用公式法来解. 解： 我们先将x²-x=0化为x(x － 1)形式 ∵ x(x － 1)＝0， 此时x和x － 1两个因式中必有一个为0， 即 x＝0或x － 1＝0， ∴ x1＝0，x2＝1． 1.因式分解法解一元二次方程 新知探究 两个因式的积等于零 至少有一个因式为零 因式分解法的依据是：如果 a·b=0，那么 a=0 或 b=0． 因式分解，得 (x－2)(x＋1)＝0. 于是得 x－2＝0，或x＋1＝0， x1＝2，x2＝－1. 例1.解方程：x(x－2)＋x－2＝0； 解： 转化为两个一元一次方程 典例剖析 例2.解方程： 移项、合并同类项，得 4x2－1＝0. 因式分解，得 (2x＋1)(2x－1)＝0. 于是得 2x＋1＝0，或 2x－1＝0， 解： 典例剖析 1.解下列方程： 解：(1)因式分解，得 于是得 x－2＝0或x＋1=0, x1=2，x2=－1. (2)移项、合并同类项，得 因式分解，得 ( 2x＋1)( 2x－1 )=0. 于是得 2x＋1=0或2x－1=0, (x－2)(x＋1)=0. 练一练 注意：用因式分解法解一元二次方程时，不能将“或”写成“且”， 因为降次后两个一元一次方程并没有同时成立，只要其中之一 成立了就可以了. 典例剖析 简记歌诀： 右化零 左分解 两因式 各求解 因式分解法的基本步骤 一移-----方程的右边=0; 二分-----方程的左边因式分解; 三化-----方程化为两个一元一次方程; 四解-----写出方程两个解; 2.灵活选用方法快速解一元二次方程 新知探究 例3.用适当的方法解下列方程： (1) 3x（x + 5）= 5（x + 5）； (2)（5x + 1）2 = 1； 分析：该式左右两边可以提取公因式， 所以用因式分解法解答较快. 解：化简 (3x -5) (x + 5) = 0. 即 3x - 5 = 0 或 x + 5 = 0. 分析：方程一边以平方形式出现，另一边是常数，可直接开平方法. 解：开平方,得 5x + 1 = ±1. 解得, x 1= 0 , x2= （3）x2 - 12x = 4 ; （4）3x2 = 4x + 1； 分析：二次项的系数为1，可用配方法来解题较快. 解：配方,得 x2 - 12x + 62 = 4 + 62, 即 (x - 6)2 = 40. 开平方,得 解得 x1= , x2= 分析：二次项的系数不为1，且不能直接开平方，也不能直接因式分解，所以适合公式法. 解：化为一般形式 3x2 - 4x + 1 = 0. ∵Δ=b2 - 4ac = 28 > 0, 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 ① x2-6x+1=0 ； ② 6x2-1=0 ； ③ -6t2+t=0 ； ④ x2-4x=2 ； ⑤ 2x2-x=0； ⑥ 5(m+2)2=8； ⑦ 6y2-y-1=0； ⑧ 2x2+4x-1=0； ⑨ (x-2)2=2(x-2). 适合运用直接开平方法 ； 适合运用因式分解法 ； 适合运用公式法 ； 适合运用配方法 . 1.填空 ⑥ ① ② ③ ④ ⑤ ⑦ ⑧ ⑨ 练一练 2.用适当的方法解方程： (1)（5x + 1）2 = 1； (2) x2 - 12x = 4. 分析：方程一边以平方形式出现，另一边是常数，可直接开平方法. 解：开平方，得 5x + 1 = ±1. 解得， x 1= 0 , x2= 分析：二次项的系数为1，可用配方法来解题较快. 解：配方,得 x2 - 12x + 62 = 4 + 62, 即 (x - 6)2 = 40. 开平方,得 解得 x1= , x2= 练一练 在解一元二次方程时，若没有具体的要求，应尽量选择最简便的方法去解．能用因式分解法或直接开平方法的，选用因式分解法或直接开平方法； 若不能用上述方法，可用公式法求解． 在用公式法时，要先计算b2－4ac的值，若b2－4ac＜0，则判断原方程没有实数根． 没有特殊要求时，一般不用配方法. 概念归纳 各种一元二次方程的解法及适用类型. 一元二次方程的解法 适用的方程类型 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解 x2 + px + q = 0 （p2 - 4q ≥0） (x+m)2＝n（n ≥ 0） ax2 + bx +c = 0(a≠0 , b2 - 4ac≥0) (x + m) （x + n）＝0 概念归纳 一元二次方程解法的比较 方法 理论依据 适用方程 关键步骤 主要特点 直接开平方法 平方根的定义 (ax+b)2=n(a≠0，n≥0) 型方程 开平方 求解迅速、准确，但只适用于一些特殊结构的方程 因式分解法 若ab=0，则 a=0或b=0 能化为一边为0，另一边为两个因式乘积的形式的方程 分解因式 求解迅速、准确，但适用范围小 配方法 完全平方公式 所有一元二次方程 配方 解法烦琐，当二次项系数为1时用此法比较简单 公式法 配方 所有一元二次方程 代入求根公式 计算量大，易出现符号错误 C A 随堂练 C 随堂练 因式分解 公式 配方 直接开平方 4 随堂练 随堂练 A 分层练习-基础 D D 分层练习-基础 C 公式法 因式分解法 x1＝－m，x2＝－n 分层练习-基础 分层练习-基础 分层练习-基础 D C 分层练习-基础 A 1或2 －1 5 分层练习-基础 分层练习-基础 分层练习-基础 分层练习-拓展 分层练习-拓展 一次式 0 一次式 0 提公因式 公式 课堂反馈 B 课堂反馈 配方法 公式法 因式分解法 一次方程 降次 一次多项式 因式分解 课堂反馈 D 2. 解一元二次方程2x2＋5x＋1＝0最合适的方法是( ) A．直接开平方法 B．因式分解法 C．配方法 D．公式法 易错点： 对方程左、右两边相同的因式直接约去而使一元二次方程少一根． 3. 方程x(x－2)＝2x的解为　 　. 课堂反馈 因式分解法 概念 步骤 简记歌诀： 右化零 左分解 两因式 各求解 如果 a · b =0，那么a=0或b=0. 原理 将方程左边因式分解，右边=0. 因式分解的方法有 ma + mb + mc = m(a+ b+ c); a2 ±2ab+b2=(a ± b)2； a2 -b2=(a + b)(a-b). 课堂小结 1．方程(x＋1)(x＋2)＝0的两根分别为( ) A．x1＝－1，x2＝2　　 B．x1＝1，x2＝2 C．x1＝－1，x2＝－2 D．x1＝1，x2＝－2 2．(东营中考)若|x2－4x＋4|与eq \r(2x－y－3)互为相反数，则x＋y的值为( ) A．3 B．4 C．6 D．9 3．解方程4(x＋3)2＝9(2x－1)2，下列变形正确的是( ) A．[4(x＋3)＋9(2x－1)][4(x＋3)－9(2x－1)]＝0 B．[(x＋3)＋(2x－1)][(x＋3)－(2x－1)]＝0 C．[2(x＋3)＋3(2x－1)][2(x＋3)－3(2x－1)]＝0 D．2(x＋3)＝3(2x－1) 4．请选择合适的方法填在横线上． (1)解方程x2＝5x，用　 　法较合理； (2)解方程2x2－2x－1＝0，用　 　法较合理； (3)解方程x2－2x－2018＝0，用　 　法较合理； (4)解方程81(x＋1)2＝25，用　 　法较合理． 5．若某两位数的个位数字和十位数字分别是方程x2－4x＝0的解，则其十位数字是　 　. 解：x1＝1，x2＝－3. 6．用适当的方法解下列方程： (1)x2＋4x－1＝0； (2)x(x＋2)＝224； (3)(2x－1)2－10(2x－1)＋25＝0； (4)(x＋1)(x－1)＋2(x＋3)＝8. 解：x2＋4x＝1，x2＋4x＋4＝4＋1，(x＋2)2＝5，x＝－2±eq \r(5)； 解：x1＝14，x2＝－16； 解：x1＝x2＝3； 7．用因式分解法解方程，下列方法中正确的是( ) A．(2x－2)(3x－4)＝0，所以2－2x＝0或3x－4＝0 B．(x＋3)(x－1)＝1，所以x＋3＝0或x－1＝1 C．(x－2)(x－3)＝1×3，所以x－2＝1或x－3＝3 D．x(x－6)＝0，所以x－6＝0 1．小华在解一元二次方程x2－x＝0时，只得出一个根x＝1，则被漏掉的一个根是(　　) A．x＝4　 B．x＝3　 C．x＝2　 D．x＝0 2．一元二次方程x(x－2)＝2－x的根是(　　) A．－1 B．2 C．1和2 D．－1和2 3．解方程2(5x－1)2＝3(5x－1)的最适当的方法是(　　) A．配方法 B．公式法 C．因式分解法 D．直接开平方法 4．解下列方程时，请你从公式法、因式分解法中选出最佳方法． (1)x2－6x－10＝0选用 ； (2)3x2－3x＝0选用 ． 5．若多项式x2＋px＋q分解因式的结果是(x＋m)(x＋n)，则方程x2＋px＋q＝0的两根为 . 6．若(5x－6y)(x＋y)＝0(x≠0)，则eq \f(y,x)＝　 　. eq \f(5,6)或－1 7．用因式分解法解方程： (1)(3x－4)2＝(4x－3)2； 解：x1＝1，x2＝－1； (2)(x－3)2＋2x(x－3)＝0. 解：x1＝3，x2＝1. 8．用适当的方法解下列方程： (1)3(x－5)2＝x2－25； 解：3(x－5)2＝(x＋5)(x－5)， 3(x－5)2－(x＋5)(x－5)＝0， (x－5)[3(x－5)－x－5]＝0，∴x1＝5，x2＝10； (2)2x2＝3x＋1. 解：2x2－3x－1＝0，Δ＝(－3)2－4×2×(－1)＝17＞0，∴x＝eq \f(－－3±\r(17),2×2)＝eq \f(3±\r(17),4)， ∴x1＝eq \f(3＋\r(17),4)，x2＝eq \f(3－\r(17),4). 9．下列方程适合用因式分解法求解的是(　　) A．x2－x－1＝0 B．2x2－3x＋5＝0 C．x2＋eq \r(5)x－eq \r(3)＝0 D．(x－1)2＝1－x 10．用因式分解法解方程x2－px－6＝0，将左边分解因式后有一个因式是x＋3，则p的值是(　　) A．5 B．－5 C．－1 D．1 11．三角形两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2－13x＋36＝0的两根，则该三角形的周长为(　　) A．13 B．15 C．18 D．13或18 12．已知y＝x2－3x＋2，当x＝ 时，y值为零． 13．已知最简二次根式3eq \r(x2－2x)与－5eq \r(x＋4)可以合并，则x＝ . 14．若正数a是一元二次方程x2－5x＋m＝0的一个根，－a是一元二次方程x2＋5x－m＝0的一个根，则a的值是 . (3)x(x＋4)＝8x＋12. 解：x1＝－2，x2＝6. 15．用最合适的方法解下列一元二次方程． (1)(2x＋1)2－x2＝0； 解：x1＝－eq \f(1,3)，x2＝－1； (2)2x2－4x＝－1； 解：x＝1±eq \f(\r(2),2)； 16．已知实数x满足(x2－x)2－4x2＋4x－12＝0，求代数式x2－x＋2015的值． 解：由(x2－x)2－4x2＋4x－12＝0得(x2－x)2－4(x2－x)－12＝0，∴(x2－x＋2)(x2－x－6)＝0，∴x2－x＋2＝0或x2－x－6＝0，当x2－x＋2＝0时，Δ＝－7＜0，此方程无解，当x2－x－6＝0时，Δ＝25＞0，∴x2－x＝6，∴x2－x＋2015＝6＋2015＝2021. 17．已知直角三角形两边x、y的长满足eq \r(x2－4)＋|y2－5y＋6|＝0，求第三边长(注意：分类讨论)． 解：由eq \r(x2－4)＋|y2－5y＋6|＝0，有x2－4＝0且y2－5y＋6＝0，∴x＝±2(舍负)且(y－2)(y－3)＝0，∴y＝2或3.①当x＝2，y＝2均为直角边，则第三边长为2eq \r(2)；②当x＝2，y＝3均为直角边，则第三边长为eq \r(13)；③当x＝2为直角边，y＝3为斜边，则另一直角边为eq \r(5).∴第三边长为2eq \r(2)或eq \r(13)或eq \r(5). 18．某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2∶1.在温室内，沿前侧内墙保留3 m宽的空地，其他三侧内墙各保留1 m宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是288 m2? 解：设矩形温室的宽为x m，则长为2x m，根据题意得(x－2)(2x－4)＝288，解这个方程得x1＝－10(不合题意，舍去)，x2＝14，所以x＝14,2x＝2×14＝28.答：当矩形温室的长为28 m，宽为14 m时，蔬菜种植区域的面积是288 m2. 用因式分解法解一元二次方程 1．利用因式分解使一元二次方程化为两个　 　的乘积等于　 　的形式，再使这两个　 　分别等于　 　，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法． 2．因式分解的常用方法有　 　法和　 　法． 1.解方程：(3x－5)2＝(5－3x)，下列变形正确的是( ) ①(3x－5)[(3x－5)－1]＝0；②(3x－5)[(3x－5)＋1]＝0；③(5－3x)[(5－3x)－1]＝0；④(3x－5)＝－1. A．①②　　　　　　　　 B．②③　　　　　　　　　 C．②④　　　　　　　　 D．②③④ 用适当的方法解一元二次方程 1．解一元二次方程的方法有　 　、　 　、　 　，在具体的问题中，要根据方程的特点，选择合适的方法来解． 2．解一元二次方程的基本思路是：将一元二次方程转化为　 　， 即　 　，其本质是把ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的左端的二次多项式分解成两个　 　的乘积，即对ax2＋bx＋c进行　 　. x1＝0，x2＝4 $$