2.4 有理数的乘方（题型专练）数学北师大版2024七年级上册

2.4 有理数的乘方 题型一、乘方概念的理解 1．（24-25七年级上·广东·期中）在中，底数是（    ） A．10 B．8 C． D． 2．（2025·吉林长春·模拟预测）可表示（   ） A．五个2相加 B．两个5相加 C．五个2相乘 D．两个5相乘 3．（24-25七年级下·福建三明·期中）对于与，下列叙述中正确的是（   ） A．底数相同，运算结果相同 B．底数相同，运算结果不同 C．底数不同，运算结果相同 D．底数不同，运算结果不同 4．（2021·河北石家庄·一模）若为整数，则表示的是（   ） A．3个相乘 B．2个相加 C．3个相加 D．5个相乘 5．（24-25七年级上·云南临沧·期末）《孙子算经》中记载：“今有出门望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，……”其大意是：出门看见有9座堤坝，每座堤坝上有9棵树，每棵树有9根树枝，每根树枝上有9个鸟巢，……，文中的鸟巢共有（   ） A．36个 B．27个 C．个 D．个 6．（24-25六年级上·山东淄博·期末）甲、乙、丙、丁四位同学，学了有理数的乘方之后，发表了一下自己的见解： 甲：是2个5相加； 乙：与是不同的结果；丙：中底数是，指数是5； 丁：是个7相乘． 其中，观点正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 7．（24-25七年级上·广东梅州·期中）的底数是 ，指数是 ． 8．（24-25七年级上·湖北省直辖县级单位·期末）把“8”写成（a，n均为正整数）的形式是 ． 9．（24-25七年级上·四川成都·期末）杨老师在黑板上写下“”，读作： ，计算的结果是 ． 10．（24-25七年级下·全国·假期作业）相传，古印度有位国王很喜欢下国际象棋．有一天，他想要重赏国际象棋的发明者．发明者说∶“陛下，我不要您的重赏，只要您在我的棋盘上赏一些麦子就可以．在棋盘的第1个格子里放1粒，在第2个格子里放2粒，在第3个格子里放4粒，在第4个格子里放8粒，依此类推，以后每一个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的 2倍，直到放满第64个格子就行了．”国王觉得这个要求很容易满足，就欣然答应了．然而，当人们开始在棋盘上放麦粒时，国王才发现问题的严重性． 提问∶你知道是为什么吗？ 【思考1】 (1)边长为a的正方形的面积为___________ (2)棱长为a的正方体的体积为___________ (3)这两个过程有什么简单的写法吗？（类比单位的写法） (4)这种写法读作什么呢？ 题型二、乘方运算 11．（2025·河北邯郸·二模）计算：（    ） A． B． C．6 D．1 12．（24-25九年级下·湖南永州·期中）下列四个数中，结果是负数的是（    ） A． B． C． D． 13．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）在，，，0，，中，非负数的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 14．（24-25七年级下·全国·假期作业）在中，是正数的是（　　） A． B． C． D． 15．（24-25七年级上·广东湛江·期中）下列各组数中，运算结果相同的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 16．（2025·广西柳州·三模）“结绳计数”是远古时代人类智慧的结晶，即人们通过在绳子上打结来记录数量，类似我们现在熟悉的“进位制”，如图所示是一位古人记录的当天采摘果实的个数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满四进一，根据图示可知，这位古人当天采摘果实的个数是（   ） A．186 B．185 C．184 D．183 17．（2025·广东广州·二模）计算： ． 18．（2025·四川广安·模拟预测）一般地，n个相同的因数a相乘记作，如．此时，3叫做以2为底的8的“劳格数”，记为，则．一般地，若（且），则n叫做以a为底的b的“劳格数”，记为，如，则4叫做以3为底的81的“劳格数”，记为．则满足关系式 ． 19．（24-25七年级下·安徽·期中）数学兴趣小组在合作学习过程中，获得知识的同时，也提出新的问题．例如：根据，知道和的值，可以求的值，如果知道和的值，可以求的值吗？他们为此进行了研究，并规定：若，那么．例如：，则．根据他们的研究结果，完成下列各题： （1）填空： ； （2）若，，则 ． 20．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）已知有理数满足：，且，则请求的值． 21．（2024七年级上·全国·专题练习）计算 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 题型三、乘方运算的应用 22．（2025·山东烟台·二模）《庄子·天下篇》中有这样一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是一尺长的木棒，每日截取它的一半，永远截不完．那么第2025次截取后剩下的木棒有 尺 23．（2025·安徽蚌埠·三模）中国的5G技术领先世界，技术中的数学原理之一是香农公式：，其中表示最大信息传送速率，为信道带宽，为信道内所传信号的平均功率，为信道内部的高斯噪声功率，叫作信噪比．已知某次信息传送的信道带宽为200，信噪比为15，则这次信息传送的最大速率是 ． 24．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）在日常生活中，我们熟悉的十进制是用0～9这十个数字来表示数，满十进一，例如，．计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数字来表示数，满二进一，例如，将二进制数10110转化为十进制数，可以得到下面的式子：．将二进制数1100101转化为十进制数为 ． 25．（24-25七年级上·河南安阳·期末）（1）根据已知条件填空： ①已知，那么_______，______； ②已知，那么_______，_______． （2）观察上述计算结果，我们可以看出： ①当底数的小数点向左（右）每移动一位，它的平方的小数点向左（右）移动_______位； ②当底数的小数点向左（右）每移动一位，它的立方的小数点向左（右）移动______位． （3）已知，，．填空： ①________； ②_______． 26．（24-25六年级上·山东东营·期中）阅读材料： 求值：． 解：设① 将等式两边同时乘2，得② 得，， 即 请你仿照此法计算： (1)； (2)； (3)．（其中为正整数） 27．（24-25七年级下·河北廊坊·阶段练习）生活在数字时代的我们，很多场合使用二维码来表示不同的信息，类似的，可通过正方形网格中，对每个小正方格涂黑色或不涂色所得的图形来表示不同的信息．在代码编制上巧妙利用构成计算机内部逻辑基础的“0”，“1”，使用若干个与二进制相对应的几何图形来表示数值（黑色代表1，白色代表0）．如图1是某校一次考试中三位同学的准考证号对应的二维码的简易编码．如图2是王芳同学准考证号的二维码简易编码，其中第一行代表二进制的数字11000，转化成10进制为：．同理，第二行至第五行代表二进制的数字分别为1100，111，11100，1101，转化成10进制为：12，07，28，13，将五行编码有序组合在一起就是王芳的准考证号2412072813，其中第一行编码“24”表示区县，第二行编码“12”表示学校，第三行编码“07”表示班级，第四行编码“28”表示考场号，第五行编码“13”表示座位号． （1）如图3是本次考试张亮同学准考证号的二维码简易编码，其中第四行代表二进制的数字是10101，转化成10进制后可得他的考场号是______． （2）本次考试中，赵军的准考证号是2917021311，如图4是赵军为自己绘制的二维码简易编码，但少涂黑了3个小正方形，请你在图4中帮他补充完整，在补充的方格中画． 题型四、科学记数法 28．（2025·江西新余·三模）据商务部消息，年以来，电动自行车以旧换新取得积极成效．截至月日，今年全国 电动自行车售旧、换新各万辆，超过年总和．数据万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 29．（2025·吉林长春·二模）截至2025年3月9日，《哪吒之魔童闹海》（《哪吒2》）的全球票房（含预售及海外）已超过148亿元人民币，成功跻身全球影史票房榜第六位，148亿这个数用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 30．（2025·山西临汾·二模）2025年春晚红包互动活动中，融入了许多科技与文化元素．据统计，全球观众参与春晚红包互动总次数达120亿次，这些互动产生的数据量约为（字节），将产生的数据量用科学记数法表示为（    ）字节． A． B． C． D． 31．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）年月号，嫦娥六号在距离地球约千米外上演“太空牵手”，完成月球轨道的交会对接．数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 32．（2025·天津南开·三模）2021年我国发布的《中国应对气候变化的政策与行动》白皮书指出，2020年我国碳排放强度（单位国内生产总值二氧化碳排放）比2015年下降18.8%，比2005年下降48.4%，超额完成了我国向国际社会承诺的“到2020年下降40%~45%”的目标，累计少排放二氧化碳约58亿吨，基本扭转了二氧化碳排放快速增长的局面．其中数据58亿用科学计数法表示为，则数据所表示的原数应为（    ） A．58000000 B．580000000 C．5800000000 D．58000000000 33．（2025·河北邢台·三模）一个数用科学记数法表示为，则这个数的整数数位有（    ） A．7位 B．6位 C．3位 D．1位 34．（2025·河北邢台·二模）用科学记数法表示的数还原后0的个数为m，则m的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 35．（24-25七年级上·贵州·期末）下列四个数中，值最大的是（   ） A． B． C． D． 36．（2025·安徽蚌埠·三模）减少过度包装既节约资源又保护环境，据测算，如果全国每年减少的过度包装纸用量，那么可减排二氧化碳吨，把写成原数为 ． 题型一、乘方运算中的符号与规律问题 37．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）下列各数：，，，0，在数轴上所对应的点在原点右边的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 38．（24-25七年级上·湖南衡阳·期中）若，则的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 39．（23-24七年级上·河北唐山·期中）通过计算器计算发现：，，……，按照以上的规律计算的结果是（    ） A．123454321 B．1234564321 C．1234567654321 D．123456787654321 40．（24-25七年级上·全国·假期作业）若，为有理数，下列判断正确的个数是（　　） （1）的最小值是；（2）的最小值是；（3）的最大值为；（4）的最大值是． A． B． C． D． 41．（23-24七年级上·全国·课堂例题）当时，下列式子：①；②；③；④中，成立的有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 42．（24-25七年级上·山东济宁·期中）已知，则的值是 ． 43．（24-25七年级上·四川南充·期中）已知的最大值为 ． 44．（2024七年级上·全国·专题练习）观察下面一列数：，…，将这列数排成如图的图形．按照此规律排下去，那么第10行从左边数第1个数是 ，数2024是第 行从左边数第 个数． 45．（24-25七年级上·四川内江·阶段练习）若与互为相反数，则的值为 ； 46．（23-24七年级上·河南漯河·阶段练习）如果一个数的15次幂是负数，那么这个数的2021次幂是 ．（填“正数”或“负数”） 47．（23-24七年级上·全国·课后作业）【问题解决】 例如：观察下面式子，根据规律填空： （1），，，，…， ， ． （2），，，，…， ． 48．（2024七年级上·全国·专题练习）阅读材料，解决问题：由…不难发现3的正整数幂的个位数字以3，9，7，1为一个周期循环出现，由此可以得到：因为，所以的个位数字与的个位数字相同，应为1；因为，所以的个位数字与的个位数字相同，应为3． (1)请你仿照材料，分析求出的个位数字及的个位数字； (2)请探索出的个位数字． 49．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）观察下面三行数： 2、、8、、32、……① 1、、4、、16、……② 0、6、、18、、66……③ 取每一行的第n个数，依次记为a，b，c． 例如上图中，当时，，，， (1)当时，________，________，________； (2)写出第①行的第n个数________；第②行的第n个数________； (3)是否存在某一列的三个数a，b，c使得？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由． 题型二、乘方的逆运算 50．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）如果，则是（   ） A．8或 B． C．4 D．4或 51．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）已知，则x＝ ． 52．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）如图，在下列计算程序中填写适当的数 ． 53．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）立方等于64的数是 ． 54．（24-25七年级上·福建厦门·期中）若，则 ． 55．（24-25七年级上·广东汕头·期中）中学数学中，我们知道加减运算是互逆运算，乘除运算也是互逆运算；其实乘方运算也有逆运算，如式子可以变形为，也可以变形为，类似的，表示为 ． 56．（24-25七年级上·辽宁鞍山·阶段练习）善于反思的小聪在学习了有理数及其运算后，进行了如下总结与反思．请你仔细阅读并补全小聪的探究过程． [典例再现]，；，； [总结归纳] （1）观察上述例题，发现结论： ①互为相反数的两个数的绝对值______； ②互为相反数的两个数的______； [知识应用] （2）已知，，则______，______，若，则______，______． 57．（24-25七年级上·上海奉贤·阶段练习）已知，，，其中、、均为正整数， (1)根据题意，可求得 ， ， ； (2)计算的值； 58．（24-25七年级上·云南昭通·阶段练习）阅读下列各式：，，，… 解答下列问题： (1)写出 ，猜想： ． (2)计算：． 59．（24-25七年级下·河北唐山·期中）化简＝（　　） A． B． C． D． 60．（2025·河南焦作·二模）音乐中的八度是指相邻的音组中相同音名的两个音（包括变化音级），从某一音级到它上方或下方第一个同名音级之间的音高距离，就是八度．如到、到．以频率来表示，相邻一个八度的两个同名音高的声波振动频率高低之比为．观察下面的钢琴键盘示意图，可以得出的振动频率是的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 61．（24-25七年级上·河南许昌·期末）计算与的和的式子为（　　） A． B． C． D． 62．（2025·河北·模拟预测）“”可以写成（    ） A． B． C． D． 63．（2025·河南周口·一模）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 64．（23-24七年级下·四川攀枝花·阶段练习）已知，则关于x的方程的解是（　　） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 65．（2024七年级上·四川成都·专题练习）一个自然数与它自己相乘，积称为完全平方数．1，4，9，16…是连续的完全平方数，数1500介于两个连续自然数的完全平方数之间，这两个完全平方数中更接近1500的数是 ． 66．（24-25七年级上·贵州铜仁·期中）某学习小组学习了幂的有关知识发现：根据，知道，可以求的值．如果知道，可以求的值吗？他们为此进行了研究，规定：若，则．例如：，则． (1)填空：______； (2)计算：． 67．（23-24七年级上·福建泉州·阶段练习）观察下面有规律排列的三行数： (1)第一行数中，第7个数是 ，第8个数是 ． (2)观察第二行、第三行数与第一行数的关系，解决下列问题： ①第二行数中，第7个数是 ，第三行数中，第7个数是 ； ②取每行数的第2023个数，计算这三个数的和是 ； ③如图，在第二行、第三行数中，用两个长方形组成“阶梯形”方框，框住个数，左右移动“阶梯形”方框，是否存在框住的个数的和为，若存在，求这四个数中最左边的数，若不存在，请说明理由． ④取每行数的第n个数，这3个数中最大的数记为a，最小的数记为b，若，直接写出n值． 68．（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）【概念学习】 规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方． 例如，记作，读作“2的圈3次方”； 再例如，记作，读作“的圈4次方”；一般地，把为大于等于2的整数）记作，读作“的圈次方”． 【初步探究】 (1)直接写出计算结果：______；______； (2)关于除方，下列说法错误的是______． A．任何非零数的圈2次方都等于1             B．对于任何大于等于2的整数， C．         D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方乘方幂的形式． (3)仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式：______，______； (4)将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式为______． 【灵活应用】 (5)计算： 69．（2024七年级下·浙江·专题练习）阅读下列材料，并解决后面的问题． 材料：一般地，个相同的因数相乘：记为．如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即．一般地，若且，，则叫做以为底的对数，记为（即．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即． 问题： (1)计算以下各对数的值：　 　；　 　；　 　． (2)通过观察（1），请直接写出、、之间满足的等量关系是　 　． (3)请你求出的值： 70．（2024七年级上·安徽·专题练习）如图，，，三个点在数轴上表示的数分别为，，，且．动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向终点运动． (1)求，，的值； (2)点运动到点前，若点到点距离是到点距离的3倍，求点运动的时间； (3)若点运动的同时，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向点运动，点到达点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点，在点开始运动后，，两点之间的距离能否为2个单位长度？如果能，请求出此时点表示的数；如果不能，请说明理由． 71．（24-25七年级上·福建厦门·期末）某校的课后延时服务开设了“趣味数学”的课程．某次课以“翻牌游戏中的数学道理”为主题开展活动，如图，老师在桌面上摆放了张反面（没有花色的一面）向上的扑克牌，每次翻动其中的若干张牌（包括已翻过的牌），使它们从一面向上变为另一面向上．探究如何翻动扑克牌，使得所有扑克牌都正面向上．小颖和小楠分在同一组，她们决定按照以下思路展开研究．请根据她们的研究思路，回答相应问题． 活动一：动手操作 ①每次只翻动1张扑克牌，至少翻动几次可以使得所有扑克牌都正面向上？ ②每次同时翻动2张扑克牌，无论翻动多少次，都无法使得所有扑克牌都正面向上； ③每次同时翻动3张扑克牌，翻动3次就可以使得所有扑克牌都正面向上，请你写出她们的翻牌方式．（翻动的牌用序号表示） 活动二：解释原理 她们想到可以用有理数的运算来解释活动一的现象：扑克牌正面向上的牌面状态记作，反面向上的牌面状态记作，则7张牌反面都向上的牌面状态记作，7张牌正面都向上的牌面状态记作．按这个规定，翻动一张牌会改变其中一个因数的符号．根据她们的做法，请你解释为什么每次同时翻动2张扑克牌，无论翻动多少次，都无法使得7张扑克牌都正面向上． 活动三：拓展延伸 若桌面上有a张反面向上的扑克牌，每次同时翻动b张，其中，翻动n次后，所有扑克牌都正面向上，请探究a，b，n需满足的条件． 72．（24-25七年级上·山东济宁·期中）如何计算？小明和小亮给出了不同的做法： 一、小明的做法： 如图，画一个边长为1的正方形，并将它的面积不断做二等分． 第1次分割：把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为； 第2次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为； 第3次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为； … 第2024次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为． 根据图形可得，． 二、小亮的做法： 设， 则，因为，所以． (1)请仿照小明的做法求出的值（画出最后一次分割的图形，在图上标注阴影部分面积，并写出结果）； (2)请仿照小亮的做法验证（1）的结论； (3)在上面的两种做法中任选一种计算的值． 试卷第42页，共44页 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.4 有理数的乘方 题型一、乘方概念的理解 1．（24-25七年级上·广东·期中）在中，底数是（    ） A．10 B．8 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数幂的概念，根据有理数幂的概念解答即可，熟练掌握有理数幂的概念是解此题的关键． 【详解】解：在中，底数是10， 故选：A． 2．（2025·吉林长春·模拟预测）可表示（   ） A．五个2相加 B．两个5相加 C．五个2相乘 D．两个5相乘 【答案】C 【分析】本题主要考查有理数的乘方，牢记有理数乘方的定义是解题的关键．根据有理数乘方的定义（个相同的因数相乘，记作），即可求得答案． 【详解】解：表示个2相乘． 故选：C． 3．（24-25七年级下·福建三明·期中）对于与，下列叙述中正确的是（   ） A．底数相同，运算结果相同 B．底数相同，运算结果不同 C．底数不同，运算结果相同 D．底数不同，运算结果不同 【答案】C 【分析】本题主要考查了幂的认识和运算，准确分析判断是解题的关键． 根据幂的性质判断即可． 【详解】∵，， ∴与，底数不同，运算结果相同． 故选：C． 4．（2021·河北石家庄·一模）若为整数，则表示的是（   ） A．3个相乘 B．2个相加 C．3个相加 D．5个相乘 【答案】A 【分析】本题考查幂的乘方运算，熟练掌握并理解幂的乘方等于底数不变，指数相乘是解题的关键．根据幂的乘方法则：，即幂的乘方等于底数不变，指数相乘，进行分析即可． 【详解】解：表示3个相乘或者表示6个相乘． 故选：A． 5．（24-25七年级上·云南临沧·期末）《孙子算经》中记载：“今有出门望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，……”其大意是：出门看见有9座堤坝，每座堤坝上有9棵树，每棵树有9根树枝，每根树枝上有9个鸟巢，……，文中的鸟巢共有（   ） A．36个 B．27个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘方．根据乘方的意义得出算式，求解即可． 【详解】解：（个）； 答：文中的鸟巢共有个． 故选：C． 6．（24-25六年级上·山东淄博·期末）甲、乙、丙、丁四位同学，学了有理数的乘方之后，发表了一下自己的见解： 甲：是2个5相加； 乙：与是不同的结果；丙：中底数是，指数是5； 丁：是个7相乘． 其中，观点正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘方，有理数幂的概念理解,熟练掌握有理数的乘方的意义以及有理数乘方法则是解题的关键．根据有理数的乘方的意义以及有理数乘方法则以及有理数幂的概念理解逐个判断即可． 【详解】解：是5个2相乘；故甲观点错误， ，，与是相同的结果，故乙观点正确， 中底数是，指数是5，故丙观点正确， 是7个m相乘，故丁观点错误， 故观点正确的有1个， 故选：B 7．（24-25七年级上·广东梅州·期中）的底数是 ，指数是 ． 【答案】 3 【分析】本题考查了乘方的意义，一般地，n个相同的因数a相乘，即计作，这种求几个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂．在中，a叫做底数，n叫做指数．根据乘方的意义解答即可． 【详解】解：的底数是，指数是3． 故答案为：，3． 8．（24-25七年级上·湖北省直辖县级单位·期末）把“8”写成（a，n均为正整数）的形式是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了有理数的乘方幂的概念理解，根据乘方的定义，底数是相同的因数，指数是相同因数的个数，即可求解． 【详解】解：， 故答案为：或． 9．（24-25七年级上·四川成都·期末）杨老师在黑板上写下“”，读作： ，计算的结果是 ． 【答案】 3的平方的相反数 【分析】本题考查了有理数幂的概念理解,有理数的乘方运算，正确理解有理数的乘方运算法则是解题的关键．根据有理数幂的意义，即可正确解答，根据有理数的乘方运算法则即可计算结果． 【详解】解：“”，读作：3的平方的相反数； 故答案为：3的平方的相反数； ． 故答案为：． 10．（24-25七年级下·全国·假期作业）相传，古印度有位国王很喜欢下国际象棋．有一天，他想要重赏国际象棋的发明者．发明者说∶“陛下，我不要您的重赏，只要您在我的棋盘上赏一些麦子就可以．在棋盘的第1个格子里放1粒，在第2个格子里放2粒，在第3个格子里放4粒，在第4个格子里放8粒，依此类推，以后每一个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的 2倍，直到放满第64个格子就行了．”国王觉得这个要求很容易满足，就欣然答应了．然而，当人们开始在棋盘上放麦粒时，国王才发现问题的严重性． 提问∶你知道是为什么吗？ 【思考1】 (1)边长为a的正方形的面积为___________ (2)棱长为a的正方体的体积为___________ (3)这两个过程有什么简单的写法吗？（类比单位的写法） (4)这种写法读作什么呢？ 【答案】(1) (2) (3)； (4)读作a的二次方；读作a的三次方． 【分析】本题主要查了有理数的乘方： （1）根据正方形的面积公式解答即可； （2）根据正方形的体积公式解答即可； （3）利用乘方的形式书写即可； （4）根据乘方读法解答即可． 【详解】（1）解：边长为a的正方形的面积为； 故答案为： （2）解：棱长为a的正方体的体积为； 故答案为： （3）解：这两个过程的简单的写法分别为；； （4）解：读作a的二次方；读作a的三次方． 题型二、乘方运算 11．（2025·河北邯郸·二模）计算：（    ） A． B． C．6 D．1 【答案】B 【分析】本题考查乘方运算，根据乘方的意义计算即可. 【详解】解：， 选项中，B为，符合计算结果， 故选：B 12．（24-25九年级下·湖南永州·期中）下列四个数中，结果是负数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了对正数和负数定义的理解，先利用有理数的相应的法则进行化简运算，然后再根据正负数的定义即可判断． 【详解】解：A．，是负数，符合题意； B．，是正数，不符合题意； C．，是正数，不符合题意； D．，是正数，不符合题意； 故选：A． 13．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）在，，，0，，中，非负数的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查非负数的定义，掌握非负数包含正数和0是解题关键．逐一计算各数的值，判断是否为非负数，再统计个数即可． 【详解】解：，8是非负数； ，1是非负数； ，是负数； 0是非负数； ，是负数； 是负数． 综上可知非负数有3个． 故选B． 14．（24-25七年级下·全国·假期作业）在中，是正数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘方运算，绝对值，正负数的定义，根据乘方法则，绝对值的意义分别计算各选项的值，判断其正负性即可． 【详解】解：； 故是正数的是； 故选D． 15．（24-25七年级上·广东湛江·期中）下列各组数中，运算结果相同的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题主要考查有理数的乘方，分别计算各选项中两个表达式的值，比较是否相等． 【详解】解：A.，，结果不相等，故选项A不符合题意； B.，，结果相等，故选项B符合题意； C.，，结果不相等，故选项C不符合题意； D.，，结果不相等，故选项D不符合题意； 故选：B． 16．（2025·广西柳州·三模）“结绳计数”是远古时代人类智慧的结晶，即人们通过在绳子上打结来记录数量，类似我们现在熟悉的“进位制”，如图所示是一位古人记录的当天采摘果实的个数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满四进一，根据图示可知，这位古人当天采摘果实的个数是（   ） A．186 B．185 C．184 D．183 【答案】D 【分析】本题考查有理数的运算，读懂题意，理解古代记数规则，再转化为现代的十进制数是解决问题的关键． 【详解】解：根据题意，绳子上按照古代记数规则是，由于满四进一，将其转化为现在的十进制数为， 故选：D． 17．（2025·广东广州·二模）计算： ． 【答案】/0.125 【分析】本题考查有理数的乘方，根据乘方运算法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 18．（2025·四川广安·模拟预测）一般地，n个相同的因数a相乘记作，如．此时，3叫做以2为底的8的“劳格数”，记为，则．一般地，若（且），则n叫做以a为底的b的“劳格数”，记为，如，则4叫做以3为底的81的“劳格数”，记为．则满足关系式 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数乘方，计算出，，，即可解答，数熟练计算是解题的关键． 【详解】解：， ，，， ， 故答案为：． 19．（24-25七年级下·安徽·期中）数学兴趣小组在合作学习过程中，获得知识的同时，也提出新的问题．例如：根据，知道和的值，可以求的值，如果知道和的值，可以求的值吗？他们为此进行了研究，并规定：若，那么．例如：，则．根据他们的研究结果，完成下列各题： （1）填空： ； （2）若，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算，熟记有理数乘方运算法则是解题的关键． （）结合有理数的乘方，根据新定义运算即可； （）结合有理数的乘方，根据新定义运算先求出，的值然后解题即可． 【详解】解：（）∵， ∴， 故答案为： （）∵，， ∴（负值舍去），， ∴， 故答案为：． 20．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）已知有理数满足：，且，则请求的值． 【答案】4或8或 【分析】本题考查绝对值的意义，有理数的乘方，根据绝对值的意义，和乘方法则，求出的值，再进行减法运算即可． 【详解】解：∵，， ∴或，或， ∵， ∴， ∴，或，或 ∴或或． 21．（2024七年级上·全国·专题练习）计算 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)49 (2)－216 (3) (4)－9 (5) (6) 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的乘方运算法则求解即可； （2）根据有理数的乘方运算法则求解即可； （3）根据有理数的乘方运算法则求解即可； （4）根据有理数的乘方运算法则求解即可； （5）根据有理数的乘方运算法则求解即可； （6）根据有理数的乘方运算法则求解即可． 【详解】（1）解：； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； 题型三、乘方运算的应用 22．（2025·山东烟台·二模）《庄子·天下篇》中有这样一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是一尺长的木棒，每日截取它的一半，永远截不完．那么第2025次截取后剩下的木棒有 尺 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘方运用，根据题意，分别得出第1次截取后，剩余的木棒有尺；第2次截取后，剩余的木棒有，以此类推即可解答，熟知期中规律是解题的关键． 【详解】解：第1次截取后，剩余的木棒有尺； 第2次截取后，剩余的木棒有尺； 第3次截取后，剩余的木棒有尺， ， 第2025次截取后，剩余的木棒有尺， 故答案为：． 23．（2025·安徽蚌埠·三模）中国的5G技术领先世界，技术中的数学原理之一是香农公式：，其中表示最大信息传送速率，为信道带宽，为信道内所传信号的平均功率，为信道内部的高斯噪声功率，叫作信噪比．已知某次信息传送的信道带宽为200，信噪比为15，则这次信息传送的最大速率是 ． 【答案】800 【分析】本题主要考查乘方的应用，将相关数据代入，可得，再求解即可． 【详解】解：由题意，得 ∴ ∴ ， ． 故答案为：800． 24．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）在日常生活中，我们熟悉的十进制是用0～9这十个数字来表示数，满十进一，例如，．计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数字来表示数，满二进一，例如，将二进制数10110转化为十进制数，可以得到下面的式子：．将二进制数1100101转化为十进制数为 ． 【答案】101 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解二进制和十进制的互换规则是解题关键．根据二进制和十进制的互换规则即可解答． 【详解】解：二进制数1100101转化为十进制数是， 故答案为：101． 25．（24-25七年级上·河南安阳·期末）（1）根据已知条件填空： ①已知，那么_______，______； ②已知，那么_______，_______． （2）观察上述计算结果，我们可以看出： ①当底数的小数点向左（右）每移动一位，它的平方的小数点向左（右）移动_______位； ②当底数的小数点向左（右）每移动一位，它的立方的小数点向左（右）移动______位． （3）已知，，．填空： ①________； ②_______． 【答案】（1）①121，；②，；（2）①两；②三；（3）； 【分析】本题考查的是有理数的乘方，根据题意找出规律是解答此题的关键． （1）根据有理数的乘方运算得出结论即可； （2）通过观察底数的小数点移动的位数与结果的小数点移动的位数得出规律即可求出结果； （3）根据上面总结的规律求解即可． 【详解】解：（1）①已知，那么，； ②已知，那么，． （2）①当底数的小数点向左（右）每移动一位，它的平方的小数点向左（右）移动两位； ②当底数的小数点向左（右）每移动一位，它的立方的小数点向左（右）移动三位． （3）①； ②． 26．（24-25六年级上·山东东营·期中）阅读材料： 求值：． 解：设① 将等式两边同时乘2，得② 得，， 即 请你仿照此法计算： (1)； (2)； (3)．（其中为正整数） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数乘方的应用，掌握乘方的运算法则是解题关键． （1）仿照例题，设，将等式两边同时乘2得到，作差求解即可； （2）仿照例题，设，将等式两边同时乘3，得，作差求解即可； （3）仿照例题，设，将等式两边同时乘3，得，作差求解即可； 【详解】（1）解：设①， 将等式两边同时乘2，得②， 得，， 即； （2）解：设①， 将等式两边同时乘3，得②， 得，，则， 即； （3）解：设①， 将等式两边同时乘3，得②， 得，，则， 即． 27．（24-25七年级下·河北廊坊·阶段练习）生活在数字时代的我们，很多场合使用二维码来表示不同的信息，类似的，可通过正方形网格中，对每个小正方格涂黑色或不涂色所得的图形来表示不同的信息．在代码编制上巧妙利用构成计算机内部逻辑基础的“0”，“1”，使用若干个与二进制相对应的几何图形来表示数值（黑色代表1，白色代表0）．如图1是某校一次考试中三位同学的准考证号对应的二维码的简易编码．如图2是王芳同学准考证号的二维码简易编码，其中第一行代表二进制的数字11000，转化成10进制为：．同理，第二行至第五行代表二进制的数字分别为1100，111，11100，1101，转化成10进制为：12，07，28，13，将五行编码有序组合在一起就是王芳的准考证号2412072813，其中第一行编码“24”表示区县，第二行编码“12”表示学校，第三行编码“07”表示班级，第四行编码“28”表示考场号，第五行编码“13”表示座位号． （1）如图3是本次考试张亮同学准考证号的二维码简易编码，其中第四行代表二进制的数字是10101，转化成10进制后可得他的考场号是______． （2）本次考试中，赵军的准考证号是2917021311，如图4是赵军为自己绘制的二维码简易编码，但少涂黑了3个小正方形，请你在图4中帮他补充完整，在补充的方格中画． 【答案】（1）  （2）见解析 【分析】本题主要考查了二进制与十进制数字转化、有理数运算等知识，熟练掌握二进制与十进制转化规则是解题关键. （1）根据二维码编码规则即可确定第四行代表二进制的数字，再将其转化为进制数字即可； （2）根据题意可知赵军的准考证号是，由二进制和十进制数字转化规则确定各行编码二进制数字，即可获得答案． 【详解】解：（1）根据题意得，第四行代表二进制的数字是， 二进制的数字，转化成进制为： ， ∴转化成进制后可得他的考场号是， 故答案为：； （2）准考证号， 分别将， ， ， ， 转化为二进制， ， 转化为二进制为： ， ， 转化为二进制为： ， ， 转化为二进制为：， ， 转化为二进制为： ， ， 转化为二进制为： ， 如图所示： 题型四、科学记数法 28．（2025·江西新余·三模）据商务部消息，年以来，电动自行车以旧换新取得积极成效．截至月日，今年全国 电动自行车售旧、换新各万辆，超过年总和．数据万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：万， 故选：． 29．（2025·吉林长春·二模）截至2025年3月9日，《哪吒之魔童闹海》（《哪吒2》）的全球票房（含预售及海外）已超过148亿元人民币，成功跻身全球影史票房榜第六位，148亿这个数用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 利用科学记数法的表示形式进行表示即可． 【详解】解：148亿． 故选：B． 30．（2025·山西临汾·二模）2025年春晚红包互动活动中，融入了许多科技与文化元素．据统计，全球观众参与春晚红包互动总次数达120亿次，这些互动产生的数据量约为（字节），将产生的数据量用科学记数法表示为（    ）字节． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是正数；当原数绝对值小于1时，是负数．由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：因为， 所以用科学记数法表示为． 故选D． 31．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）年月号，嫦娥六号在距离地球约千米外上演“太空牵手”，完成月球轨道的交会对接．数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查科学记数法，解题的关键是掌握科学记数法的定义：将一个数表示成的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数．据此解答即可． 【详解】解：数据用科学记数法表示为． 故选：D． 32．（2025·天津南开·三模）2021年我国发布的《中国应对气候变化的政策与行动》白皮书指出，2020年我国碳排放强度（单位国内生产总值二氧化碳排放）比2015年下降18.8%，比2005年下降48.4%，超额完成了我国向国际社会承诺的“到2020年下降40%~45%”的目标，累计少排放二氧化碳约58亿吨，基本扭转了二氧化碳排放快速增长的局面．其中数据58亿用科学计数法表示为，则数据所表示的原数应为（    ） A．58000000 B．580000000 C．5800000000 D．58000000000 【答案】C 【分析】本题考查了将科学记数法表示的数还原；指数为正整数，只要把用科学记数法表示的数中的小数点向右移9位即可得到原数． 【详解】解：； 故选：C． 33．（2025·河北邢台·三模）一个数用科学记数法表示为，则这个数的整数数位有（    ） A．7位 B．6位 C．3位 D．1位 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法，用科学记数法表示的数还原成原数时，时，是几，小数点就向后移几位． 【详解】解：， 用科学记数法表示为，则这个数有个整数位． 故选：B． 34．（2025·河北邢台·二模）用科学记数法表示的数还原后0的个数为m，则m的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：由可知：还原后0的个数为6个； 故选C． 35．（24-25七年级上·贵州·期末）下列四个数中，值最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了科学记数法和有理数大小比较，首先将用科学记数法表示的四个数还原成原数，再比较大小． 【详解】解：∵，，，，， ∴值最大的是， 故选：A． 36．（2025·安徽蚌埠·三模）减少过度包装既节约资源又保护环境，据测算，如果全国每年减少的过度包装纸用量，那么可减排二氧化碳吨，把写成原数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：把写成原数为， 故答案为：． 题型一、乘方运算中的符号与规律问题 37．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）下列各数：，，，0，在数轴上所对应的点在原点右边的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查数轴上点的分布与数的正负性，幂的符号法则．在数轴上，原点右边的点表示的数是正数，原点左边的点表示的数是负数，原点为0．正数的任何次幂都是正数，负数的偶次幂为正数，负数的奇次幂是负数．熟练掌握幂的符号法则是解决本题的关键．确定题目中给出每个数的正负性即可回答此题． 【详解】解：，，， ∴在数轴上所对应的点一定在原点右边的数是，共1个， 故选：A． 38．（24-25七年级上·湖南衡阳·期中）若，则的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的非负性、平方的非负性，由，得出，，求出、的值，再得出的值即可． 【详解】解：，， 又∵， ∴，， 解得：，， ∴， 故选：B． 39．（23-24七年级上·河北唐山·期中）通过计算器计算发现：，，……，按照以上的规律计算的结果是（    ） A．123454321 B．1234564321 C．1234567654321 D．123456787654321 【答案】C 【分析】根据已知条件可以得到这样的规律：对于由1组成的数字，当平方后最中间的数字是几，这个数字就是由几个1组成． 【详解】解：根据已知条件可以得到这样的规律： 11的平方是121，中间的数字是2，111的平方是12321，中间的数字是3，…… 由此可以推断出：对于由1组成的数字，当平方后最中间的数字是几，这个数字就是由几个1组成；所以的结果是1234567654321， 故选C． 【点睛】本题主要考查了观察式子找规律，找到对于由1组成的数字，当平方后最中间的数字是几，这个数字就是由几个1组成的规律是解题的关键． 40．（24-25七年级上·全国·假期作业）若，为有理数，下列判断正确的个数是（　　） （1）的最小值是；（2）的最小值是；（3）的最大值为；（4）的最大值是． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查绝对值的性质，偶次方的性质，最大值及最小值的确定．根据绝对值，偶次方的非负性进行判断即可． 【详解】解：， ，即的最小值是，故（1）正确； ，， 当，即时，，故的最小值不是； 当时，则，即，即，故最小值不是；故（2）不正确； 的最小值为，故（3）错误； 的最大值是，故（4）正确；． 故选：B． 41．（23-24七年级上·全国·课堂例题）当时，下列式子：①；②；③；④中，成立的有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】A 【分析】根据负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数即可解答． 【详解】解：当时， 是负数，故①正确； ，故②正确，④错误； ，故③正确； 综上所述，①②③正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了有理数乘方的符号规律，掌握有理数乘方的符号规律：一个负数的奇次幂是负数，一个负数的偶次幂是正数． 42．（24-25七年级上·山东济宁·期中）已知，则的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：， ，， ，， ． 故答案为：1． 43．（24-25七年级上·四川南充·期中）已知的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查乘方的非负性．熟练乘方的非负性是解题的关键． 根据乘方的非负性，确定最大值即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∴的最大值为：； 故答案为：． 44．（2024七年级上·全国·专题练习）观察下面一列数：，…，将这列数排成如图的图形．按照此规律排下去，那么第10行从左边数第1个数是 ，数2024是第 行从左边数第 个数． 【答案】 82 45 88 【分析】本题考查了数的规律的探索，乘方运算的符号规律，找到规律是解题的关键；观察知，从左边数，每行最后一个数是行数的平方，且奇数行符号为负，偶数行符号为正，据此可完成解答． 【详解】解：根据规律知，第9行最后一个数为，则第10行左边数第一个数为； ∵， ∴数2024是第45行左边数的倒数第二个数， ∵第45行共有：个数， ∴第45行倒数第二个数是从左边数第88个数； 故答案为：82；45；88． 45．（24-25七年级上·四川内江·阶段练习）若与互为相反数，则的值为 ； 【答案】 【分析】本题主要考查的是相反数的定义和非负数性质，根据互为相反数的两个数和为0列式求解即可． 【详解】解：与互为相反数， ， ， ， ． 故答案为：． 46．（23-24七年级上·河南漯河·阶段练习）如果一个数的15次幂是负数，那么这个数的2021次幂是 ．（填“正数”或“负数”） 【答案】负数 【分析】根据一个数的15次幂是负数，得到这个数为负数，进而得到这个数的2021次幂也是负数． 【详解】解：因为正数的奇次幂是正数，负数的奇次幂是负数， 故一个数的15次幂是负数，可知这个数为负数， 所以这个数的2021次幂还是负数； 故答案为：负数． 【点睛】本题考查有理数的乘方运算．熟练掌握正数的奇次幂是正数，负数的奇次幂是负数，是解题的关键． 47．（23-24七年级上·全国·课后作业）【问题解决】 例如：观察下面式子，根据规律填空： （1），，，，…， ， ． （2），，，，…， ． 【答案】 444444888889 【分析】（1）计算末位是5的两位整数的平方，将十位上的数乘比它大1的数，所得结果后面添上25即可； （2）结果中4的个数比底数中6的个数多1，8的个数等于底数中的6的个数﹐最末位数字都是9． 【详解】（1）计算末位是5的两位整数的平方，将十位上的数乘比它大1的数，所得结果后面添上25， 如：，即； ：，即； ：，即； （2）结果中4的个数比底数中6的个数多1，8的个数等于底数中的6的个数﹐最末位数字都是9． ∴． 故答案为：；；． 【点睛】本题主要考查有理数乘方规律应用，找到题中数字规律是解题的关键． 48．（2024七年级上·全国·专题练习）阅读材料，解决问题：由…不难发现3的正整数幂的个位数字以3，9，7，1为一个周期循环出现，由此可以得到：因为，所以的个位数字与的个位数字相同，应为1；因为，所以的个位数字与的个位数字相同，应为3． (1)请你仿照材料，分析求出的个位数字及的个位数字； (2)请探索出的个位数字． 【答案】(1)3，2 (2)7 【分析】此题主要是考查乘方的尾数特征，解题关键是发现个位数字的循环规律，根据规律进行计算． （1）此题不难发现：的个位数字是7，9，3，1四个一循环，所以，则的个位数字是3；的个位数字是8，4，2，6四个一循环，所以，则的个位数字是2； （2）分别找出，，的个位数字，然后个位数字相加所得个位数字就是的个位数字． 【详解】（1）解：∵， ∴7的正整数幂的个位数字以7，9，3，1为一个周期循环出现， ∵， ∴的个位数字与的个位数字相同，应为3； ∵， ∴8的正整数幂的个位数字以8，4，2，6为一个周期循环出现．因为， ∴的个位数字与的个位数字相同，应为2； （2）解：∵， ∴2的正整数幂的个位数字以2，4，8，6为一个周期循环出现， ∴的个位数字与相同，是2， 根据（1）可知，的个位数字是7，的个位数字是8，， ∴的个位数字是7． 49．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）观察下面三行数： 2、、8、、32、……① 1、、4、、16、……② 0、6、、18、、66……③ 取每一行的第n个数，依次记为a，b，c． 例如上图中，当时，，，， (1)当时，________，________，________； (2)写出第①行的第n个数________；第②行的第n个数________； (3)是否存在某一列的三个数a，b，c使得？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)128，64， (2)， (3)存在， 【分析】此题考查数字的变化规律，有理数的乘方运算，找出数字的变化规律，得出行之间的运算方法解决问题． （1）根据题干中的数字规律求解即可； （2）利用（1）中的数据找到规律即可； （3）首先得到第③行的第n个数为，然后根据得到，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵2、、8、、32、……① ∴，，，，… ∴当时，； ∵1、、4、、16、……② ∴，，，，， ∴当时，； ∵0、6、、18、、66……③ ∴，，，，， ∴； （2）解：由（1）可得，第①行的第n个数为； 第②行的第n个数； （3）解：由（1）可得，第③行的第n个数为， ∵ ∴ ∴． 题型二、乘方的逆运算 50．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）如果，则是（   ） A．8或 B． C．4 D．4或 【答案】D 【分析】此题考查有理数的乘方．直接利用有理数的乘方运算法则计算得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴a是：4或−4． 故选：D． 51．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）已知，则x＝ ． 【答案】3 【分析】本题考查有理数乘方运算，根据有理数乘方运算计算即可． 【详解】∵， ∴ 故答案为：3． 52．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）如图，在下列计算程序中填写适当的数 ． 【答案】4或 【分析】本题主要考查了有理数乘方的逆运算，根据得到要填写的数与1的和为，据此可得答案． 【详解】解：∵，且， ∴填写的数为4或， 故答案为；4或． 53．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）立方等于64的数是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了有理数乘方的逆运算，根据即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴立方等于64的数是4， 故答案为：4． 54．（24-25七年级上·福建厦门·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数乘方的逆运算，根据即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 55．（24-25七年级上·广东汕头·期中）中学数学中，我们知道加减运算是互逆运算，乘除运算也是互逆运算；其实乘方运算也有逆运算，如式子可以变形为，也可以变形为，类似的，表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算的含义，乘方的逆运算，理解乘方的逆运算是解题关键．根据题干乘方的逆运算法则列式解即可． 【详解】解：∵式子可以变形为，也可以变形为， ∴表示为， 故答案为：． 56．（24-25七年级上·辽宁鞍山·阶段练习）善于反思的小聪在学习了有理数及其运算后，进行了如下总结与反思．请你仔细阅读并补全小聪的探究过程． [典例再现]，；，； [总结归纳] （1）观察上述例题，发现结论： ①互为相反数的两个数的绝对值______； ②互为相反数的两个数的______； [知识应用] （2）已知，，则______，______，若，则______，______． 【答案】（1）①相等；②平方相等；（2）；；；； 【分析】本题考查了绝对值、平方、相反数，解题的关键是读懂材料信息，利用分类讨论的思想进行求解． （1）①根据绝对值的运算性质即可判断；②根据平方运算的规律，观察得出相应结论； （2）根据（1）中的总结归纳及分类讨论的思想即可求解． 【详解】解：（1）∵，；，； ①互为相反数的两个数的绝对值相等； ②互为相反数的两个数的平方相等； （2），， ∴，， ∵， ∴，． 57．（24-25七年级上·上海奉贤·阶段练习）已知，，，其中、、均为正整数， (1)根据题意，可求得 ， ， ； (2)计算的值； 【答案】(1)3，2，1 (2)216 【分析】本题主要考查了有理数乘方的运算，熟知乘方运算法则是正确解决本题的关键． （1）先根据，可得，即可求出n，a； （2）将数值代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵，即， ∴． ∵，即，且a为正整数， ∴． 故答案为：3，2，1； （2）解：原式． 58．（24-25七年级上·云南昭通·阶段练习）阅读下列各式：，，，… 解答下列问题： (1)写出 ，猜想： ． (2)计算：． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，乘方的运算，理解题意，总结规律再运用规律解题是关键． （1）由题干阅读部分信息，再总结可得答案； （2）利用（1）中规律结合乘方的含义把原式化为，再计算即可． 【详解】（1）解：，； （2）解： ． 59．（24-25七年级下·河北唐山·期中）化简＝（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了乘方的意义，根据乘方的意义分别表示出分子分母即可． 【详解】解：由乘方的意义可得分子表示个相乘，表示为；由乘法的意义可得分母表示个相加，表示为， ∴． 故选：B． 60．（2025·河南焦作·二模）音乐中的八度是指相邻的音组中相同音名的两个音（包括变化音级），从某一音级到它上方或下方第一个同名音级之间的音高距离，就是八度．如到、到．以频率来表示，相邻一个八度的两个同名音高的声波振动频率高低之比为．观察下面的钢琴键盘示意图，可以得出的振动频率是的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】B 【分析】本题考查了音乐中的八度的理解，有理数的乘方，根据所给定义即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：根据钢琴键盘示意图可知，从到音高依次经过， ∴跨越了个八度， ∵相邻一个八度的两个同名音高的声波振动频率高低之比为 ∴的振动频率是的， 故选：． 61．（24-25七年级上·河南许昌·期末）计算与的和的式子为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了乘方的意义和乘法的意义，解题关键是根据乘方的意义和乘法的意义写出算式． 【详解】解：，， 它们的和为：， 故选：A． 62．（2025·河北·模拟预测）“”可以写成（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了乘方的定义，利用乘方的定义解答即可． 【详解】解：， 故选：C． 63．（2025·河南周口·一模）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了幂的定义，幂的乘方的运算，根据幂的定义化简即可，熟练计算是解题的关键． 【详解】解：根据可得个相加，为， 可得个相乘，为， 计算的结果为， 故选：A． 64．（23-24七年级下·四川攀枝花·阶段练习）已知，则关于x的方程的解是（　　） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】C 【分析】本题主要考查绝对值和平方式的非负性，解题的关键是根据绝对值和平方式的非负性得出和的值，然后计算即可． 【详解】解：， ，， 解得，， ，， ， 即， ， ， 解得， 故选：C． 65．（2024七年级上·四川成都·专题练习）一个自然数与它自己相乘，积称为完全平方数．1，4，9，16…是连续的完全平方数，数1500介于两个连续自然数的完全平方数之间，这两个完全平方数中更接近1500的数是 ． 【答案】1521 【分析】本题主要考查完全平方数；举出与1500相近的平方数，再与1500相减求出与1500最相近的平方数即可． 【详解】解：∵， ， ∵，即39的平方更接近1500． 故答案为：1521． 66．（24-25七年级上·贵州铜仁·期中）某学习小组学习了幂的有关知识发现：根据，知道，可以求的值．如果知道，可以求的值吗？他们为此进行了研究，规定：若，则．例如：，则． (1)填空：______； (2)计算：． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，读懂题意掌握运算法则是解题关键． （1）根据规定，进行求解即可； （2）先根据规定，求出，再进行加法运算即可； 【详解】（1）解：因为，所以． 故答案为： （2）因为，所以． 又因为， 所以． 所以． 67．（23-24七年级上·福建泉州·阶段练习）观察下面有规律排列的三行数： (1)第一行数中，第7个数是 ，第8个数是 ． (2)观察第二行、第三行数与第一行数的关系，解决下列问题： ①第二行数中，第7个数是 ，第三行数中，第7个数是 ； ②取每行数的第2023个数，计算这三个数的和是 ； ③如图，在第二行、第三行数中，用两个长方形组成“阶梯形”方框，框住个数，左右移动“阶梯形”方框，是否存在框住的个数的和为，若存在，求这四个数中最左边的数，若不存在，请说明理由． ④取每行数的第n个数，这3个数中最大的数记为a，最小的数记为b，若，直接写出n值． 【答案】(1)；256 (2)①；258②1③存在，理由见解析④ 【分析】本题考查了数字类规律探索、一元一次方程、有理数乘方的逆运算： （1）观察数列得第个数可表示为：，进而可求解； （2）①观察数列得第二行第个数可表示为，即第三行第个数可表示为，进而可求解； ②根据规律分别表示出第2023个数，再相加即可求解； ③设第二行最左边的数为，则其第二个数为，第三行第一个数为，第二个数为，根据数量关系列出方程即可求解； ④分别设这三个数为：，，，分类讨论：当时，则，，当时，则，，利用有理数乘方的逆运算法则即可求解； 观察数列得出规律，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 【详解】（1）解：观察第一行数列得规律为： 第个数可表示为：， 则第7个数是：， 第8个数是：， 故答案为：；256． （2）①观察发现：第二行数比第一行对应的数小1， 即第二行第个数可表示为：， 则第二行数中，第7个数是：， 第三行数比第一行对应的数的倍多2， 即第三行第个数可表示为：， 则第三行数中，第7个数是：， 故答案为：；258； ②第一行第2023个数为：， 第二行第2023个数为：， 第三行第2023个数为：， 则 ， 故答案为：1； ③存在。理由如下： 设第二行最左边的数为，则其第二个数为：，第三行第一个数为：，第二个数为：， 则， 解得：， ， 这四个数中最左边的数为1023； ④分别设这三个数为：，，， 当时，则，， 则， 解得：（舍去）， 当时，则，， 则， 解得：， ， ， 综上所述，． 68．（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）【概念学习】 规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方． 例如，记作，读作“2的圈3次方”； 再例如，记作，读作“的圈4次方”；一般地，把为大于等于2的整数）记作，读作“的圈次方”． 【初步探究】 (1)直接写出计算结果：______；______； (2)关于除方，下列说法错误的是______． A．任何非零数的圈2次方都等于1             B．对于任何大于等于2的整数， C．         D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方乘方幂的形式． (3)仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式：______，______； (4)将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式为______． 【灵活应用】 (5)计算： 【答案】(1)， (2)C (3)， (4) (5) 【分析】本题主要考查了数字的变化规律，有理数的混合运算，本题是阅读型题目，理解并熟练应用新定义是解题的关键． （1）利用除方的定义解答即可； （2）利用除方的定义对每个选项进行逐一判断即可； （3）利用除方的意义将除方的式子写成除法的形式，利用除以一个数等于乘以这个数的倒数变成乘法，再利用乘方的意义写成乘方的形式即可； （4）根据（3）中的计算方法求解即可； （5）利用除方的定义解答即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）解：A，，即任何非零数的圈2次方都等于1，故该选项说法正确； B，，故该选项说法正确； C，，， 可得，故该选项说法错误； D，负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数，故该选项说法正确， 故选C． （3）解：， ， 故答案为：，； （4）解：将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式为： ， 故答案为：； （5）解： ． 69．（2024七年级下·浙江·专题练习）阅读下列材料，并解决后面的问题． 材料：一般地，个相同的因数相乘：记为．如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即．一般地，若且，，则叫做以为底的对数，记为（即．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即． 问题： (1)计算以下各对数的值：　 　；　 　；　 　． (2)通过观察（1），请直接写出、、之间满足的等量关系是　 　． (3)请你求出的值： 【答案】(1)2，4，6 (2) (3)5 【分析】此题考查定义新运算，掌握运算的方法，找出计算的规律解决问题． （1）根据对数的定义求解； （2）认真观察，不难找到规律：，； （3）利用（2）得出结论：，进一步计算得出答案即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ； （2）解：∵，，，； ∴； （3）解：； ， ． ∴． 70．（2024七年级上·安徽·专题练习）如图，，，三个点在数轴上表示的数分别为，，，且．动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向终点运动． (1)求，，的值； (2)点运动到点前，若点到点距离是到点距离的3倍，求点运动的时间； (3)若点运动的同时，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向点运动，点到达点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点，在点开始运动后，，两点之间的距离能否为2个单位长度？如果能，请求出此时点表示的数；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)当点的运动时间为：（秒时，点到点距离是到点距离的3倍 (3)点表示的数为或0或3或4 【分析】（1）利用绝对值的非负性及乘方运算的符号规律即可求解； （2）利用数轴上两点之间的距离公式及数量关系列出算式即可求得点表示的数为2，进而可求得，再根据速度、时间及路程之间的关系即可求解； （3）分类讨论：①点在点右侧，两点同向而行，②当点在点左侧，两点同向而行，③当点在点左侧，两点背向而行，④当点在点右侧，两点背向而行，进而可求解． 【详解】（1）解：， ，，， ，，． （2）由（1）可知，， 因为点在之间，且点到点的距离是到点距离的3倍， 所以， 因为点表示的数为8，点在点的左边， 所以点表示的数为：， 所以， 因为点以每秒1个单位长度的速度运动， 所以当点的运动时间为：（秒时，点到点距离是到点距离的3倍． （3）能，理由如下： 点从点运动到点需要秒，而点从点运动到点需要秒，点到达点时，此时点表示的数为2， 所以当点从点运动到点的过程中，点从点运动到点，又从点返回，因此可分为四种情况讨论： 点到达点之前： ①点在点右侧，两点同向而行， 运动时间为秒，所以此时点表示的数为； ②当点在点左侧，两点同向而行， 运动时间为秒，所以此时点表示的数为； 点从点返回后： ③当点在点左侧，两点背向而行， 运动时间为秒，所以此时点表示的数为； ④当点在点右侧，两点背向而行， 运动时间为秒，所以此时点表示的数为． 综上所述，点表示的数为或0或3或4． 【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离、数轴上动点问题、绝对值的非负性、乘方运算的符号规律，熟练掌握数轴上两点之间的距离公式及分类讨论思想解决问题是解题的关键． 71．（24-25七年级上·福建厦门·期末）某校的课后延时服务开设了“趣味数学”的课程．某次课以“翻牌游戏中的数学道理”为主题开展活动，如图，老师在桌面上摆放了张反面（没有花色的一面）向上的扑克牌，每次翻动其中的若干张牌（包括已翻过的牌），使它们从一面向上变为另一面向上．探究如何翻动扑克牌，使得所有扑克牌都正面向上．小颖和小楠分在同一组，她们决定按照以下思路展开研究．请根据她们的研究思路，回答相应问题． 活动一：动手操作 ①每次只翻动1张扑克牌，至少翻动几次可以使得所有扑克牌都正面向上？ ②每次同时翻动2张扑克牌，无论翻动多少次，都无法使得所有扑克牌都正面向上； ③每次同时翻动3张扑克牌，翻动3次就可以使得所有扑克牌都正面向上，请你写出她们的翻牌方式．（翻动的牌用序号表示） 活动二：解释原理 她们想到可以用有理数的运算来解释活动一的现象：扑克牌正面向上的牌面状态记作，反面向上的牌面状态记作，则7张牌反面都向上的牌面状态记作，7张牌正面都向上的牌面状态记作．按这个规定，翻动一张牌会改变其中一个因数的符号．根据她们的做法，请你解释为什么每次同时翻动2张扑克牌，无论翻动多少次，都无法使得7张扑克牌都正面向上． 活动三：拓展延伸 若桌面上有a张反面向上的扑克牌，每次同时翻动b张，其中，翻动n次后，所有扑克牌都正面向上，请探究a，b，n需满足的条件． 【答案】活动一：第一次翻动①②③，第二次翻动③④⑤，第三次翻动③⑥⑦ 活动二：理由见解析 活动三：与奇偶性相同，且． 【分析】本题考查有理数乘法及乘方运算的实际应用； （1）每次同时翻动3张扑克牌，翻动3次共翻动次，说明有一张牌翻了三次，据此写出翻牌方式即可； （2）向下翻一次相当于乘以，利用有理数的乘法说明即可； （3）根据前面的数据找到规律，再探究a，b，n需满足的条件即可． 【详解】解：活动一：第一次翻动①②③，此时①②③正面朝上； 第二次翻动③④⑤，此时①②④⑤正面朝上； 第三次翻动③⑥⑦，此时全部张都正面朝上； 活动二：翻一次相当于乘以，则每次同时翻动2张扑克牌，翻动次，共翻动次，相当于乘以， 而，， ∴， 即每次同时翻动2张扑克牌，无论翻动多少次，都无法使得7张扑克牌都正面向上． 活动三：根据前面的活动规律，当为奇数时，必须也是奇数，且； 当为偶数时，必须也是偶数，且； 综上所述，与奇偶性相同，且． 72．（24-25七年级上·山东济宁·期中）如何计算？小明和小亮给出了不同的做法： 一、小明的做法： 如图，画一个边长为1的正方形，并将它的面积不断做二等分． 第1次分割：把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为； 第2次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为； 第3次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为； … 第2024次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为． 根据图形可得，． 二、小亮的做法： 设， 则，因为，所以． (1)请仿照小明的做法求出的值（画出最后一次分割的图形，在图上标注阴影部分面积，并写出结果）； (2)请仿照小亮的做法验证（1）的结论； (3)在上面的两种做法中任选一种计算的值． 【答案】(1)，见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了有理数乘方的应用，理解乘方的意义是解题关键． （1）仿照小明的做法画出图形求解即可； （2）仿照小亮的做法验证即可； （3）仿照小亮的做法求解即可； 【详解】（1）解：， （2）解：设， 则， 因为，所以． （3）解：设， 则， 因为， 所以． 试卷第42页，共44页 1 / 42 学科网（北京）股份有限公司 $$