第07讲 平方根 （知识清单+9大题型+好题必刷） 核心知识点与常见题型通关讲解练【暑假预习】2025-2026学年七年级上册数学（浙教版2024）

第07讲 平方根 （知识清单+9大题型+好题必刷） 题型汇聚 题型一 求一个数的算术平方根 题型二 利用算术平方根的非负性解题 题型三 估计算术平方根的取值范围 题型四 算术平方根的实际应用 题型五 平方根概念理解 题型六 与算术平方根有关的规律探索题 题型七 求一个数的平方根 题型八 平方根的应用 题型九 已知一个数的平方根，求这个数 知识清单 知识点1．平方根 （1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根． 一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根． （2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方． 一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“﹣”． 正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零． 平方根和立方根的性质 1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 知识点2．算术平方根 （1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为． （2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数． （3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找． 知识点3．非负数的性质：算术平方根 （1）非负数的性质：算术平方根具有非负性． （2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题． 题型练习 【题型一】求一个数的算术平方根 【例1】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了算术平方根的定义，根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：， 故答案为：C． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）“9的算术平方根是3”，用数学式子表达为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根 【分析】此题考查了算术平方根和平方根，熟练掌握定义是解题的关键．根据算术平方根和平方根的定义进行解答即可． 【详解】A. ，故选项错误，不符合题意；     B. ，表示“9的算术平方根是3”，故选项正确，符合题意；     C. ，表示“9的平方根是”，故选项不符合题意；         D. ，表示“9的算术平方根的相反数是”，故选项不符合题意；     故选：B 2．（24-25七年级上·浙江台州·期末）已知，，则 ． 【答案】9.649 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题考查算术平方根，根据算术平方根的定义即可求得答案．熟练掌握其定义是解题的关键． 【详解】解：根据可得， 根号下的数扩大了100倍，则结果扩大10倍， 故， 故答案为：9.649． 3．（2024七年级上·浙江·专题练习）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)12 (2) (3)100 (4)0.07 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题主要考查了算术平方根，熟记定义是解答本题的关键． （1）根据算术平方根的定义计算即可； （2）根据算术平方根的定义计算即可； （3）根据算术平方根的定义计算即可； （4）根据算术平方根的定义计算即可； 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式； 【题型二】利用算术平方根的非负性解题 【例2】（23-24七年级上·浙江宁波·期中）已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用算术平方根的非负性解题 【分析】本题考查了算术平方根和平方的非负性，根据几个非负数和为0，则这几个非负数分别为0，求出m和n的值，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【举一反三】 1．（22-23七年级上·浙江·单元测试）已知x，y为实数，且，则（　　） A．﹣1 B．﹣7 C．﹣1或﹣7 D．1或﹣7 【答案】C 【知识点】利用算术平方根的非负性解题 【详解】直接利用二次根式的性质得出x，y的值，然后讨论进而得出答案． 【解答】解：∵， ∴ ∴ ∴y＝4， ∴， 当时，； 当时，； ∴或， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件．解答本题的关键由二次根式有意义的条件求出x、y的值． 2．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知则 【答案】2030 【知识点】利用算术平方根的非负性解题 【分析】本题主要考查了实数的运算，二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件得到，此时原式可变形为，可得到，进而可得． 【详解】解：由题意得， ， ， ， 整理得：， 两边同时平方得：， 那么， 原式 ， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知实数，，满足：，求： (1)，，的值． (2)的平方根． 【答案】(1) (2)的平方根为 【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、求代数式的平方根 【分析】本题主要考查偶次幂、绝对值及算术平方根的非负性、平方根，熟练掌握偶次幂、绝对值及算术平方根的非负性是解题的关键； （1）根据题意易得，然后进行求解即可； （2）根据（1）可得的值，然后根据平方根可进行求解． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， 解得：； （2）解：由（1）得：， ∴， ∴4的平方根为， 即的平方根为． 【题型三】估计算术平方根的取值范围 【例3】（22-23七年级上·浙江温州·阶段练习）估计的值应在（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】B 【知识点】估计算术平方根的取值范围 【分析】根据利用夹逼法得到取值范围，即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ， ∵， ∴， ∴， 故选B． 【点睛】本题考查根数的估算，解题的关键是将原来的根数变形． 【举一反三】 1．（22-23七年级上·浙江·期中）根据下列表格，估计的大小（    ） x 1.61 1.62 1.63 1.64 1.65 2.5921 2.6244 2.6569 2.6896 2.7225 A．在1.61~1.62之间 B．在1.62~1.63之间 C．在1.63~1.64之间 D．在1.64~1.65之间 【答案】B 【知识点】估计算术平方根的取值范围 【分析】确定的范围即可求解． 【详解】解：∵ ∴ 由表格数据可知：在之间 故选：B 【点睛】本题考查算术平方根的估值．确定被开方数的范围是解题关键． 2． ， ，则 ． 【答案】2.381 【知识点】估计算术平方根的取值范围 【分析】利用算术平方根的意义计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：2.381． 【点睛】此题考查了算术平方根，对所求式子进行恰当的变形是解题的关键． 3．根据下表回答下列问题： x 18.3 18.4 18.5 18.6 18.7 18.8 18.9 19 x² 334.89 338.56 342.25 345.96 349.69 353.44 357.21 361 (1)在 和 之间．（填表中相邻的两个数） (2) ， (3)338.56的平方根是 ． 【答案】(1)18.6,18.8 (2)18.6，1.89 (3) 【知识点】求一个数的平方根、估计算术平方根的取值范围、求一个数的算术平方根 【分析】（1）结合表格中数据可得，，即可求解； （2）先根据表中数据得出在18.6和18.7之间，再利用四舍五入求解即可，再根据算术平方根的定义求解即可； （3）根据平方根的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵ ，，， ∴在18.7和18.8之间， 故答案为：18.7,18.8； （2）解：∵，， ∴在18.6和18.7之间， ∴， ∵， ∴， 故答案为：18.6，1.89； （3）解：∵, ∴338.56的平方根是， 故答案为：． 【点睛】本题考查平方根和算术平方根的定义，正确利用平方根和算术平方根的定义是解题的关键． 【题型四】算术平方根的实际应用 【例4】（24-25七年级上·浙江嘉兴·期末）已知一个表面积为12平方分米的正方体，则这个正方体的棱长为（    ） A．分米 B．分米 C．分米 D．2分米 【答案】B 【知识点】算术平方根的实际应用 【分析】本题考查算术平方根的应用，求出一个正方形的面积，再根据算术平方根的定义，进行求解即可． 【详解】解：（平方分米）； ∴正方体的棱长为分米； 故选B． 【举一反三】 1．（23-24七年级上·浙江温州·期中）十六世纪，意大利数学家塔尔塔利亚把大正方形分割成个小正方形．若图中所给的三个小正方形的面积分别为，和，则这个大正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】算术平方根的实际应用 【分析】本题考查算术平方根的应用．利用算术平方根的定义分别求得最中间的小正方形的边长，面积为的正方形的左下角小正方形的边长，继而求得其左边两个小正方形的边长之和，大正方形中左下角和右下角两个正方形的边长，继而求得答案．结合已知条件求得最中间的小正方形的边长，面积为的正方形的左下角小正方形的边长是解题的关键． 【详解】解：∵图中所给的三个小正方形的面积分别为，和， ∴可得三个正方形的边长分别为，，， ∴最中间的小正方形的边长为， ∴面积为的正方形左下角小正方形的边长为， ∴面积为的正方形的左边两个小正方形的边长之和为， ∴大正方形中左下角的正方形的边长为， ∴大正方形中右下角的正方形的边长为， ∴大正方形的边长为， 故选：C． 2．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）如图，每个小正方形的边长为1，可通过“剪一剪”，“拼一拼”，将五个小正方形拼成一个面积一样大的正方形，则这个大正方形的面积是 ，边长是 ． 【答案】 5 【知识点】算术平方根的实际应用 【分析】本题考查图形的拼剪，解题的关键是理解题意，正确计算． 根据大正方形的面积为5，可得结论． 【详解】解：大正方形的面积为5， 大正方形的边长为． 故答案为：5，． 3．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）先阅读材料，再解决问题． 阅读材料：有一间活动室地面由A和B两种正方形地砖铺成，活动室地面也是正方形，已知：A地砖使用了36块，每块面积为，每平米单价为50元；B地砖使用了块，每块面积为，每平米单价为元； (1)用x，y表示铺设活动室地面的费用． (2)试说出代数式 所表示的的实际含义． 【答案】(1)元 (2)表示该正方形活动室地面的边长 【知识点】算术平方根的实际应用、列代数式 【分析】题目主要考查列代数式及算术平方根的应用，理解题意，列代数式是解题关键． （1）根据题意得出A地砖一共面积为，花费（元）；B地砖一共面积为，花费（元），然后求和即可； （2）根据题意得表示的是活动室的地面面积，再由活动室是正方形的，即可得出结果． 【详解】（1）解：A地砖一共面积为，花费（元）； B地砖一共面积为，花费（元）， 一共元． （2）解：表示的是活动室的地面面积， 因为活动室是正方形的， 所以将其开平方是表示这个活动室的边长． 答：表示该正方形活动室地面的边长． 【题型五】平方根概念理解 【例5】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）“的平方根是”，用数学式子表达为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平方根概念理解 【分析】本题主要考查的是平方根的定义，熟练掌握相关知识是解题的关键． 根据算术平方根和平方根的定义进行解题即可． 【详解】解：“的平方根是”，用式子表示为． 故选：C． 【举一反三】 1．（2024七年级上·浙江·专题练习）下列说法正确的是（   ） A．平方根是本身的数是0和1 B．1的平方根是1 C． 的平方根是 D．是的一个平方根 【答案】D 【知识点】求一个数的平方根、平方根概念理解 【分析】本题考查平方根，熟练掌握其定义是解题的关键；根据平方根的定义及性质逐项判断即可． 【详解】解：平方根是本身的数是0，则A不符合题意； 1的平方根是，则B不符合题意； 没有平方根，则C不符合题意； 是的一个平方根，则D符合题意； 故选：D． 2．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）若与是某一个正数的两个平方根，则的值是 ． 【答案】 【知识点】平方根概念理解 【分析】本题主要考查平方根，熟练掌握平方根的定义是解题的关键．根据平方根的定义解题即可． 【详解】解：， 解得， 故答案为：． 3． 已知的平方根是，的算术平方根是6，求的平方根． 【答案】的平方根是 【知识点】求一个数的平方根、平方根概念理解、求一个数的算术平方根 【分析】利用平方与开平方的关系可得，，再求出，，最后求出的值和平方根． 【详解】解：∵的平方根是，的算术平方根是6， ∴， 解得， ∴． ∴的平方根是． 【点睛】本题考查了平方根与算术平方根的概念，掌握平方与开平方的关系是解题的关键． 【题型六】与算术平方根有关的规律探索题 【例6】（23-24七年级上·浙江宁波·期末）若，则（　　） A．0.101 B．1.01 C．101 D．1010 【答案】B 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题 【分析】本题主要考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的性质是解题的关键．将1.0201变形为的形式，再利用算术平方根的意义解答即可． 【详解】解：. 故选：B． 【举一反三】 1．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）已知：，，则（    ） A．0.1536 B．15.36 C．0.04858 D．48.58 【答案】C 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题 【分析】本题考查积的算术平方根的性质，理解“被开方数向一个方向移动位，对应的算术平方根的小数点向相同的方向移动位”是解题的关键． 【详解】解：， 故选C． 2．（23-24七年级上·浙江绍兴·期中）已知，则 ． 【答案】0.15 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题 【分析】根据“被开方数的小数点向左移动两位，则算术平方根的小数点向左移动一位”即可解答．本题考查了算术平方根，仔细观察和分析是解答本题的关键． 【详解】解：被开方数的小数点向左移动两位，则算术平方根的小数点向左移动一位， 观察可知，被开方数22500的小数点向左移动6位变成0.0225，所以算术平方根的小数点向左移动三位， ， 故答案为：0.15 3．（23-24七年级上·浙江湖州·期末）（1）观察发现： … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 x 1 y 100 … 表格中 ， ． （2）归纳总结： 被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向 移动 位． （3）规律运用： ①已知，则 ； ②已知，，则 ． 【答案】（1）0.1，10；（2）右，1；（3）22.4，50 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题 【分析】本题考查算术平方根中的规律探索题： （1）直接计算即可； （2）观察（1）中表格数据，找出规律； （3）利用（2）中找出的规律求解． 【详解】解：（1），， 故答案为：，10； （2）被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向右移动1位． 故答案为：右，1； （3）①已知，则， ②已知，，则， 故答案为：22.4，50． 【题型七】求一个数的平方根 【例7】（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）3的平方根是（   ） A． B． C．9 D． 【答案】B 【知识点】求一个数的平方根 【分析】该题主要考查了平方根的性质，解题的关键是掌握一个正数的平方根有一正一负两个数． 根据平方根的性质求解即可． 【详解】解：3的平方根是， 故选：B． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·浙江温州·期中）下列选项中计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求一个数的平方根、求一个数的算术平方根、有理数的乘方运算 【分析】本题考查了算术平方根，平方根和有理数的乘方，熟练掌握它们的性质是解题的关键； 根据平方根，算术平方根和有理数的乘方法则逐项判断即可． 【详解】A． ，原式错误，故选项不符合题意； B． ，计算正确，故选项符合题意； C． ，原式错误，故选项不符合题意； D． ，原式错误，故选项不符合题意； 故选：B． 2．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）的算术平方根是 ；的平方根是 ． 【答案】 【知识点】求一个数的平方根、求一个数的算术平方根 【分析】此题主要考查了算术平方根，平方根，正确掌握相关定义是解题关键．直接利用算术平方根和平方根的定义得出答案． 【详解】解：的算术平方根是， 的平方根是， 故答案为：；． 3．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）已知关于x的一元一次方程 (1)求m的值； (2)若是这个方程的解， ①求的值； ②若，求k的平方根． 【答案】(1) (2)①，② 【知识点】求一个数的平方根、已知式子的值，求代数式的值、已知方程的解，求参数、判断是否是一元一次方程 【分析】（1）根据一元一次方程的定义得出的值， （2）将的值代入方程，得，结合是这个方程的解，得，再分别代入①中的和②中的进行求解，即可作答． 本题考查了求一个数的平方根，已知式子的值 求代数式的值，一元一次方程的定义，只含有一个未知数且未知数的最高次是次的整式方程即为一元一次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：∵关于x的一元一次方程， ∴， 解得， （2）解：由（1）得， ∴ ∵是这个方程的解， ∴， ∴， ①； ②． ∴k的平方根是． 【题型八】平方根的应用 【例8】（24-25七年级上·浙江温州·期中）已知一个正数的两个平方根分别是和3，则的值是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平方根的应用 【分析】本题考查了平方根的定义，利用正数的平方根有两个，且互为相反数列出方程，求出方程的解即可得到的值． 【详解】解：一个正数的两个平方根是和3， ， ， ∴ 故选：D． 【举一反三】 1．（23-24七年级上·浙江温州·期中）若一个正数的两个平方根为和，则 ． 【答案】 【知识点】平方根的应用 【分析】本题考查平方根的相关知识，正数有两个平方根，它们互为相反数，据此即可求解． 【详解】∵一个正数的两个平方根为和， ∴， 解得：， 故答案为：． 2．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是 【答案】25 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数、平方根的应用 【分析】本题考查了已知一个数的平方根求这个数、平方根的性质，根据一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，据此进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴ 解得 ∴ ∴ ∴这一个正数为25． 3．（23-24七年级上·浙江·周测）全球气候变暖导致一些冰川融化并消失．在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长．每一个苔藓都会长成近似的圆形，苔藓的直径和其生长年限近似地满足如下的关系式：，其中d表示苔藓的直径，单位是厘米，t代表冰川消失的时间（单位：年） (1)计算冰川消失21年后苔藓的直径为多少厘米？ (2)如果测得一些苔藓的直径是35厘米，问冰川约是在多少年前消失的？ 【答案】(1)21 (2)37 【知识点】平方根的应用 【分析】本题考查了平方根的应用： （1）将代入关系式计算即可； （2）将代入关系式求解即可． 【详解】（1）解：当时， （厘米）， 答：冰川消失21年后苔藓的直径为21厘米． （2）解：当时， 即， ， 答：冰川约是在37年前消失的． 【题型九】已知一个数的平方根，求这个数 【例9】（22-23七年级上·浙江宁波·期中）平方根是的数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数 【分析】根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴平方根是的数是． 故选C． 【点睛】本题考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解答本题的关键，如果一个数的平方等于a，则这个数叫做a的平方根． 【举一反三】 1．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）一个正数的两个不同的平方根分别是和，则a为（　　） A．0 B． C．9 D．1 【答案】B 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数 【分析】本题考查平方根，熟练掌握其性质是解题的关键．根据平方根的性质可得，解得a的值即可． 【详解】解：∵一个正数的两个不同的平方根分别是是和， ∴， 解得：， 故选：B． 2．（23-24七年级上·浙江温州·期中）已知某数的一个平方根是，则这个数是 【答案】31 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数 【分析】本题考查了平方根．根据平方根的定义回答即可． 【详解】解：∵， ∴这个数是31． 故答案为：31． 3．（22-23七年级上·浙江·期中）（1）已知是某数的一个平方根，求这个数和它的算术平方根； （2）已知一个正数的平方根是与，求这个正数． 【答案】（1）这个数是；它的算术平方根是；（2）这个正数为 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数 【分析】根据平方根的定义即可求解． 【详解】解：（1）∵是某数的一个平方根 ∴这个数为： ∵ ∴这个数的算术平方根是 （2）由题意得： 解得： ∴ 这个正数为： 【点睛】本题考查根据一个数的平方根求这个数．熟记相关结论即可． 好题必刷 一、单选题 1．4的平方根是（　　） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【分析】由平方根的概念即可选择． 【详解】∵， ∴4的平方根是， 故选：C． 【点睛】本题考查平方根的概念，如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根，一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数． 2．的平方根是（　　） A．81 B．±3 C．－3 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了求算术平方根，求平方根，先化简，再求其平方根即可，理解算术平方根和平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：由， 9的平方根是， 故选：B 3．面积为9的正方形，其边长等于（    ） A．9的平方根 B．9的算术平方根 C．9的立方根 D．的算术平方根 【答案】B 【解析】略 4．已知，，则的值约为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据根号内的小数点的移动规律即可求解，算术平方根的移动规律为：根号内的小数点移动两位，对应的结果小数点移动一位，小数点移动方向保持一致． 【详解】解：∵， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了算术平方根的应用，熟练掌握小数点的移动规律是解本题的关键． 5．若a，b互为相反数，c，d互为倒数，e是9的平方根，则的值为（ ） A． B． C．5或 D．4或 【答案】C 【分析】本题考查了相反数和倒数的性质，以及求一个数的平方根，互为相反数的两数和为零，互为倒数的两数积为，9的平方根是，据此即可求解. 【详解】解：由题意得； 当时，； 当时，； 故选：C 6．已知x，y为实数，且，则（　　） A．﹣1 B．﹣7 C．﹣1或﹣7 D．1或﹣7 【答案】C 【详解】直接利用二次根式的性质得出x，y的值，然后讨论进而得出答案． 【解答】解：∵， ∴ ∴ ∴y＝4， ∴， 当时，； 当时，； ∴或， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件．解答本题的关键由二次根式有意义的条件求出x、y的值． 7．下列各数没有平方根的是（    ） A．34 B．（－4）2 C．5－2 D．－9 【答案】D 【解析】略 8．估计的值在（　　） A．7到8之间 B．6到7之间 C．5到6之间 D．4到5之间 【答案】B 【分析】估算的大小即可． 【详解】解：由于，而，即67， 所以的值在6和7之间， 故选：B． 【点睛】本题考查估算无理数的大小，二次根式的乘除法，掌握算术平方根的定义，二次根式乘除法的计算方法是正确解答的前提． 9．下列说法：①36的平方根是6；②的平方根是；③0.01是0.1的平方根；④的平方根是4；⑤81的算术平方根是．其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．3个 D．5个 【答案】A 【分析】本题运用了平方根和算术平方根的性质，利用平方根和算术平方根的性质可求解． 【详解】解：①36的平方根是，故①错误； ②9的平方根是，没有平方根，故②错误； ③0.1是0.01的算术平方根，故③错误； ④的平方根是，故④错误； ⑤81的算术平方根是9，故⑤错误． 故选：A． 10．在一个正方形的内部按照如图方式放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形面积为12，重叠部分的面积为3，空白部分的面积为2﹣6，则较小的正方形面积为（　　） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】B 【分析】根据面积可求得大正方形和阴影部分的边长，从而求得空白部分的长；观察可知两块空白部分全等，则可得到一块空白的面积；通过长方形面积公式渴求空白部分的宽，最后求出小正方形的边长即可求出面积． 【详解】∵观察可知，两个空白部分的长相等，宽也相等， ∴重叠部分也为正方形， ∵空白部分的面积为2﹣6， ∴一个空白长方形面积=， ∵大正方形面积为12，重叠部分面积为3， ∴大正方形边长=，重叠部分边长=， ∴空白部分的长=， 设空白部分宽为x，可得：，解得：x=， ∴小正方形的边长=空白部分的宽+阴影部分边长=， ∴小正方形面积==10， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，观察图形得到各个正方形边长之间的关系是解题的关键． 二、填空题 11．如果＝3，那么m的值是 ． 【答案】9 【分析】根据算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根解答即可． 【详解】解：∵32=9， ∴=3， 故答案为：9． 【点睛】本题考查了算术平方根的定义，解题的关键是知道算术平方根和平方互为逆运算． 12．若，则 ． 【答案】16 【分析】等式两边同时平方求出x的值，再求出的值即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴． 故答案为：16． 【点睛】此题主要考查了算术平方根的性质，解题的关键是熟练掌握． 13．若的整数部分为，小数部分为，则 ， ． 【答案】 【分析】根据首先确定的值，则小数部分即可确定． 【详解】解：， ， 则． 故答案是：3，． 【点睛】本题主要考查了无理数的估算，解题的关键是确定无理数的整数部分即可解决问题． 14．若，则的算术平方根为 ． 【答案】5 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，算术平方根的定义，根据二次根式有意义的条件列不等式组求解，确定x和y的值，然后代入求值，再根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：由题意可得， 解得：， ∴， ∴， ∴的算术平方根是5． 故答案为：5． 15．计算：（1） ；（2） ；（3） ． 【答案】 －3 5 【解析】略 16．把如图①中的长方形分割成A，B两个小长方形，现将小长方形B的一边与A重合，另一边对齐恰好组成如图②的大正方形，（空余部分C是正方形）．若拼接后的大正方形的面积为5，则图①中原长方形的周长为 ． 【答案】 【分析】设矩形B的长为a，宽为b，表示大正方形边长：a+b，进而求出a+b=，也就得出图①中原长方形的周长． 【详解】解：设矩形B的长为a，宽为b， ∵C是正方形， ∴C的边长为b， ∴大正方形边长：a+b， ∵大正方形的面积为5， ∴a+b=， ∵图①中的长方形的周长为：（a+b+b+a）×2=4（a+b）， ∴图①中原长方形的周长为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了算术平方根，掌握算术平方根的定义，根据题意列式计算是解题关键． 三、解答题 17．求下列各数的算术平方根： (1)2.25； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了算术平方根．一个正数有一个算术平方根，0的算术平方根是0，负数没有算术平方根． （1）根据算术平方根的意义，即可解答； （2）根据算术平方根的意义，即可解答． 【详解】（1）解：因为， 所以2.25的算术平方根是1.5，即； （2）解：， 所以289的算术平方根是17，即． 18．求下列各数的平方根和算术平方根． （1）2.89；     （2）；     （3）． 【答案】（1），1.7；（2），5；（3），15． 【分析】根据平方根和算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：（1）∵，∴2.89的平方根为，算术平方根为1.7； （2）∵，∴的平方根为，算术平方根为5； （3）∵，∴225的平方根为，算术平方根为15． 【点睛】本题考查了平方根和算术平方根的计算，掌握平方根和算术平方根的定义是解题的关键. 19．求下列各式的值： （1）；（2）；（3）． 【答案】（1）1；（2）；（3）2 【分析】利用算术平方根定义化简即可得到结果． 【详解】解：（1）∵1²＝1，∴＝1； （2）∵，∴＝； （3）∵2²＝4，∴＝＝2． 【点睛】此题考查了算术平方根定义，熟练掌握算术平方根定义是解本题的关键． 20．已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根非负数的性质，代数式求值， 依据算术平方根的非负性可得到a、b的值，然后代入计算即可． 【详解】解：由题意，得， 解得， ． 21．若m是169的正的平方根，n是121的负的平方根，求： (1)m＋n的值； (2)的平方根． 【答案】(1)2 (2)±2 【分析】（1）根据平方根的定义求出m、n的值，然后代入计算即可求解； （2）先求出的值，然后再根据平方根的定义进行求解． 【详解】（1）∵，m是169的正的平方根， ∴m＝13， ∵，n是121的负的平方根， ∴n＝﹣11， ∴m+n＝13+（﹣11）＝2； （2）∵m+n＝2 ∴， ∴的平方根是±2． 【点睛】本题考查了平方根的定义，一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根，熟记一些常用的平方数是解题的关键． 22．已知正数m有两个平方根，分别是与． (1)求a的值 (2)求这个正数m． 【答案】(1)4 (2)49 【分析】（1）正数有两个平方根，分别是与，所以，与互为相反数；即，解答可求出； （2）根据，代入值可求出的值． 【详解】（1） 解：正数有两个平方根，分别是与， ， 得，； （2）解：∵ ∴． 【点睛】本题主要考查了平方根的定义和性质，以及根据平方根求被开方数；注意：一个正数有两个平方根，它们互为相反数． 23．已知＝3，3a﹣b+1的平方根是±4，c是的整数部分，求a+b+2c的平方根． 【答案】±5 【分析】分别根据算术平方根、平方根的意义，无理数的估算求出a、b、c的值，即可求出a+b+2c的值，根据平方根的意义即可求解． 【详解】解：∵＝3， ∴2a﹣1＝9， 解得：a＝5， ∵3a﹣b+1的平方根是±4， ∴15﹣b+1＝16， 解得：b＝0， ∵， ∴10＜＜11， ∴c＝10， ∴a+b+2c＝5+0+2×10＝25， ∴a+b+2c的平方根为＝±5． 【点睛】本题考查了算术平方根、平方根的意义，无理数的估算，熟知算术平方根、平方根的意义是解题关键． 24．根据下表回答下列问题： x 18.3 18.4 18.5 18.6 18.7 18.8 18.9 19 x² 334.89 338.56 342.25 345.96 349.69 353.44 357.21 361 (1)在 和 之间．（填表中相邻的两个数） (2) ， (3)338.56的平方根是 ． 【答案】(1)18.6,18.8 (2)18.6，1.89 (3) 【分析】（1）结合表格中数据可得，，即可求解； （2）先根据表中数据得出在18.6和18.7之间，再利用四舍五入求解即可，再根据算术平方根的定义求解即可； （3）根据平方根的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵ ，，， ∴在18.7和18.8之间， 故答案为：18.7,18.8； （2）解：∵，， ∴在18.6和18.7之间， ∴， ∵， ∴， 故答案为：18.6，1.89； （3）解：∵, ∴338.56的平方根是， 故答案为：． 【点睛】本题考查平方根和算术平方根的定义，正确利用平方根和算术平方根的定义是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 平方根 （知识清单+9大题型+好题必刷） 题型汇聚 题型一 求一个数的算术平方根 题型二 利用算术平方根的非负性解题 题型三 估计算术平方根的取值范围 题型四 算术平方根的实际应用 题型五 平方根概念理解 题型六 与算术平方根有关的规律探索题 题型七 求一个数的平方根 题型八 平方根的应用 题型九 已知一个数的平方根，求这个数 知识清单 知识点1．平方根 （1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根． 一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根． （2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方． 一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“﹣”． 正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零． 平方根和立方根的性质 1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 知识点2．算术平方根 （1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为． （2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数． （3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找． 知识点3．非负数的性质：算术平方根 （1）非负数的性质：算术平方根具有非负性． （2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题． 题型练习 【题型一】求一个数的算术平方根 【例1】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）（   ） A． B． C．2 D．4 【举一反三】 1．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）“9的算术平方根是3”，用数学式子表达为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·浙江台州·期末）已知，，则 ． 3．（2024七年级上·浙江·专题练习）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型二】利用算术平方根的非负性解题 【例2】（23-24七年级上·浙江宁波·期中）已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（22-23七年级上·浙江·单元测试）已知x，y为实数，且，则（　　） A．﹣1 B．﹣7 C．﹣1或﹣7 D．1或﹣7 2．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知则 3．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知实数，，满足：，求： (1)，，的值． (2)的平方根． 【题型三】估计算术平方根的取值范围 【例3】（22-23七年级上·浙江温州·阶段练习）估计的值应在（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【举一反三】 1．（22-23七年级上·浙江·期中）根据下列表格，估计的大小（    ） x 1.61 1.62 1.63 1.64 1.65 2.5921 2.6244 2.6569 2.6896 2.7225 A．在1.61~1.62之间 B．在1.62~1.63之间 C．在1.63~1.64之间 D．在1.64~1.65之间 2． ， ，则 ． 3．根据下表回答下列问题： x 18.3 18.4 18.5 18.6 18.7 18.8 18.9 19 x² 334.89 338.56 342.25 345.96 349.69 353.44 357.21 361 (1)在 和 之间．（填表中相邻的两个数） (2) ， (3)338.56的平方根是 ． 【题型四】算术平方根的实际应用 【例4】（24-25七年级上·浙江嘉兴·期末）已知一个表面积为12平方分米的正方体，则这个正方体的棱长为（    ） A．分米 B．分米 C．分米 D．2分米 【举一反三】 1．（23-24七年级上·浙江温州·期中）十六世纪，意大利数学家塔尔塔利亚把大正方形分割成个小正方形．若图中所给的三个小正方形的面积分别为，和，则这个大正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）如图，每个小正方形的边长为1，可通过“剪一剪”，“拼一拼”，将五个小正方形拼成一个面积一样大的正方形，则这个大正方形的面积是 ，边长是 ． 3．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）先阅读材料，再解决问题． 阅读材料：有一间活动室地面由A和B两种正方形地砖铺成，活动室地面也是正方形，已知：A地砖使用了36块，每块面积为，每平米单价为50元；B地砖使用了块，每块面积为，每平米单价为元； (1)用x，y表示铺设活动室地面的费用． (2)试说出代数式 所表示的的实际含义． 【题型五】平方根概念理解 【例5】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）“的平方根是”，用数学式子表达为（　　） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（2024七年级上·浙江·专题练习）下列说法正确的是（   ） A．平方根是本身的数是0和1 B．1的平方根是1 C． 的平方根是 D．是的一个平方根 2．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）若与是某一个正数的两个平方根，则的值是 ． 3． 已知的平方根是，的算术平方根是6，求的平方根． 【题型六】与算术平方根有关的规律探索题 【例6】（23-24七年级上·浙江宁波·期末）若，则（　　） A．0.101 B．1.01 C．101 D．1010 【举一反三】 1．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）已知：，，则（    ） A．0.1536 B．15.36 C．0.04858 D．48.58 2．（23-24七年级上·浙江绍兴·期中）已知，则 ． 3．（23-24七年级上·浙江湖州·期末）（1）观察发现： … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 x 1 y 100 … 表格中 ， ． （2）归纳总结： 被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向 移动 位． （3）规律运用： ①已知，则 ； ②已知，，则 ． 【题型七】求一个数的平方根 【例7】（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）3的平方根是（   ） A． B． C．9 D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·浙江温州·期中）下列选项中计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）的算术平方根是 ；的平方根是 ． 3．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）已知关于x的一元一次方程 (1)求m的值； (2)若是这个方程的解， ①求的值； ②若，求k的平方根． 【题型八】平方根的应用 【例8】（24-25七年级上·浙江温州·期中）已知一个正数的两个平方根分别是和3，则的值是(    ) A． B． C． D． 【举一反三】 1．（23-24七年级上·浙江温州·期中）若一个正数的两个平方根为和，则 ． 2．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是 3．（23-24七年级上·浙江·周测）全球气候变暖导致一些冰川融化并消失．在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长．每一个苔藓都会长成近似的圆形，苔藓的直径和其生长年限近似地满足如下的关系式：，其中d表示苔藓的直径，单位是厘米，t代表冰川消失的时间（单位：年） (1)计算冰川消失21年后苔藓的直径为多少厘米？ (2)如果测得一些苔藓的直径是35厘米，问冰川约是在多少年前消失的？ 【题型九】已知一个数的平方根，求这个数 【例9】（22-23七年级上·浙江宁波·期中）平方根是的数是（　　） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）一个正数的两个不同的平方根分别是和，则a为（　　） A．0 B． C．9 D．1 2．（23-24七年级上·浙江温州·期中）已知某数的一个平方根是，则这个数是 3．（22-23七年级上·浙江·期中）（1）已知是某数的一个平方根，求这个数和它的算术平方根； （2）已知一个正数的平方根是与，求这个正数． 好题必刷 一、单选题 1．4的平方根是（　　） A．2 B． C． D．4 2．的平方根是（　　） A．81 B．±3 C．－3 D．3 3．面积为9的正方形，其边长等于（    ） A．9的平方根 B．9的算术平方根 C．9的立方根 D．的算术平方根 4．已知，，则的值约为（     ） A． B． C． D． 5．若a，b互为相反数，c，d互为倒数，e是9的平方根，则的值为（ ） A． B． C．5或 D．4或 6．已知x，y为实数，且，则（　　） A．﹣1 B．﹣7 C．﹣1或﹣7 D．1或﹣7 7．下列各数没有平方根的是（    ） A．34 B．（－4）2 C．5－2 D．－9 8．估计的值在（　　） A．7到8之间 B．6到7之间 C．5到6之间 D．4到5之间 9．下列说法：①36的平方根是6；②的平方根是；③0.01是0.1的平方根；④的平方根是4；⑤81的算术平方根是．其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．3个 D．5个 10．在一个正方形的内部按照如图方式放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形面积为12，重叠部分的面积为3，空白部分的面积为2﹣6，则较小的正方形面积为（　　） A．11 B．10 C．9 D．8 二、填空题 11．如果＝3，那么m的值是 ． 12．若，则 ． 13．若的整数部分为，小数部分为，则 ， ． 14．若，则的算术平方根为 ． 15．计算：（1） ；（2） ；（3） ． 16．把如图①中的长方形分割成A，B两个小长方形，现将小长方形B的一边与A重合，另一边对齐恰好组成如图②的大正方形，（空余部分C是正方形）．若拼接后的大正方形的面积为5，则图①中原长方形的周长为 ． 三、解答题 17．求下列各数的算术平方根： (1)2.25； (2)． 18．求下列各数的平方根和算术平方根． （1）2.89；     （2）；     （3）． 19．求下列各式的值： （1）；（2）；（3）． 20．已知，求的值． 21．若m是169的正的平方根，n是121的负的平方根，求： (1)m＋n的值； (2)的平方根． 22．已知正数m有两个平方根，分别是与． (1)求a的值 (2)求这个正数m． 23．已知＝3，3a﹣b+1的平方根是±4，c是的整数部分，求a+b+2c的平方根． 24．根据下表回答下列问题： x 18.3 18.4 18.5 18.6 18.7 18.8 18.9 19 x² 334.89 338.56 342.25 345.96 349.69 353.44 357.21 361 (1)在 和 之间．（填表中相邻的两个数） (2) ， (3)338.56的平方根是 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$