精品解析：重庆市巴南区2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题

2024-2025学年下期阶段性检测 八年级数学测试卷 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列式子是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 为了解美食节同学们最喜欢的菜肴，最应该关注的统计量是（ ） A. 众数 B. 中位数 C. 平均数 D. 方差 3. 某一次函数图像与x轴交于负半轴，则这个函数表达式可能是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在正方形的外侧，作等边三角形，连接，则的大小为（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法错误的是（ ） A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直平行四边形是矩形 C. 对角线互相垂直的矩形是正方形 D. 三个角是直角的四边形是矩形 6. 估计（+）的值应在（　　） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 7. 苯是一种有机化合物，可以合成一系列衍生物．如图是用小木棒摆放的苯及其衍生物的结构式，第①个图形需要9根小木棒，第②个图形需要16根，第③个图形需要23根，……，按此规律，第⑩个图形需要小木棒的根数是（ ） A 85 B. 81 C. 76 D. 72 8. 如图，中，，，，分别以，，为直径画半圆，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，四边形是正方形，点在边上，且，作分别交，于点，；，分别是，的中点，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 对实数，定义一种新运算△，规定：（其中，均为非零常数），例如：．若，．则下列结论： ①，； ②若，则； ③若，则，有且仅有5组整数解； ④如果，那么或； 其中正确的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是_____． 12. 我国古代数学著作《九章算术》有一个问题：如图，一根竖直的竹子高1丈（1丈10尺），折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，那么折断处离地面的高度是______． 13. 小张面试时的基本知识、表达能力、工作态度的得分分别是分，分，分，若依次按，，的比例确定成绩，则这个人的面试成绩是 _____________分． 14. 关于的分式方程有整数解，且关于的一次函数的图象不经过第三象限，则满足条件的整数的和为_____． 15. 如图，在菱形中，，，是线段上一点，连接，将沿翻折，点落在点处，，垂足为点，连接，．则的周长为_____，_____． 16. 规定：一个四位正整数的各个数位上的数字均不为0且互不相同，并满足百位数字比千位数字大3，十位数字是个位数字的2倍，则称这个四位数为“三心二意数”．若将的千位数字与百位数字组成的两位数记为，将的十位数字与个位数字组成的两位数记为，例如：当时，为69，为21．记，若一个“三心二意数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为．当为整数时，则_____；且为完全平方数，则满足条件的正整数为_____． 三、解答题：（本大题8个小题，第18题16分，其余每题各10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 如图，在中，是它的一条对角线，． （1）尺规作图：过点作的垂线，交于点，连接，；（不写作法，保留作图痕迹） （2）求证：． 证明：，， ． ①__________． 四边形为平行四边形， ②__________，． ③__________． ， ． 四边形是平行四边形． ④__________． 18 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 19. 2025年初，一款名为的软件爆火，出现了很多“王炸组合”，如：一键生成；+豆包一键生成文案等，为人们提供了很多便利，让工作和生活都变得更加轻松．某班同学调查了所在学校的学生对甲，乙两款软件的使用满意度，并分别随机抽取份评分数据，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级：不满意A：；良好B：；满意C：；非常满意D：），下面给出了部分信息． 甲款评分数据中C组包含的所有数据为：； 乙款评分数据中C组包含的所有数据为：． 甲、乙两款AI软件满意度评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 甲款 85 88 乙款 85 86 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中_____，_____，_____，并将条形统计图补充完整； （2）根据以上数据分析，你认为哪款AI软件更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）： （3）在此次调查中，该学校有800人对甲款软件进行评分、1200人对乙款软件进行评分．请通过计算，估计其中对所调查的软件“非常满意”的用户人数共有多少？ 20. 城有肥料200吨，城有肥料300吨，现要把这些肥料全部运往、两乡．从城运往、两乡运肥料的费用分别是每吨20元和25元，从城往、两乡运肥料的费用分别为每吨15元和24元，现在乡需要肥料240吨，乡需要肥料260吨． （1）若从城运往乡所需运费是从城运往乡所需运费的一半，求从A城运往D乡的肥料为多少吨？ （2）怎样调运化肥，可使总运费最少？最少运费是多少？ 21. 如图，在矩形中，，，点为线段的中点，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿着运动，连接，，设点的运动时间为，的面积为． （1）请直接写出关于函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质： （3）已知，请结合函数图象，直接写出时的取值范围（结果保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 22. 公园是周围市民健身散步的好去处，在某公园入口处有两条路线可以到达山顶．观景台在凉亭的正东方向，在入口的东北方向；凉亭在入口的西北方向，山顶在凉亭的北偏东方向，在观景台的北偏西方向，小明沿路线跑步到达山顶，与沿步行到山顶的爸爸汇合．已知米．（参考数据：，，） （1）求观景台到山顶的距离（结果保留根号）； （2）若小明跑步的速度为120米/分钟，爸爸步行的速度为80米/分钟，则爸爸和小明谁先到达山顶？请说明理由．（结果保留小数点后一位） 23. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点．点是轴上一点，过点作轴的垂线交于点，交于点． （1）求直线，的函数解析式； （2）如图2，点是线段上一动点，连接，，点，均为轴上的动点，且点在点的上方，．当时，求点的坐标及的最小值； （3）如图3，点是轴上一点，点是平面内一点，在（2）问的条件下，是否存在以点，，，为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 24. 如图，在矩形中，点为直线上一动点，连接，作等腰直角三角形，使，． （1）如图1，若，，，求四边形的面积； （2）如图2，若点为线段的中点，且，连接，试探究线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图3，连接，若，．请思考是否存在最小值，若存在，请直接写出的最小值，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年下期阶段性检测 八年级数学测试卷 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列式子是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式，（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，据此进行判断即可． 【详解】解：A．，则A不符合题意， B．符合最简二次根式的定义，则B符合题意， C．，则C不符合题意， D．，则D不符合题意， 故选：B． 2. 为了解美食节同学们最喜欢的菜肴，最应该关注的统计量是（ ） A. 众数 B. 中位数 C. 平均数 D. 方差 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中位数、众数以及平均数的意义分别根据平均数、中位数、众数、方差的意义判断即可． 【详解】解：要了解同学们最喜爱的菜肴， 就是了解哪个菜肴喜欢的人数最多，即为众数， 故选A． 3. 某一次函数的图像与x轴交于负半轴，则这个函数表达式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出每个函数与x轴的交点，即可得出结论． 【详解】解：A.与x轴的交点为（0，0），故本选项错误； B. y=x-1与x轴的交点为（1，0），故本选项错误； C.与x轴的交点为（1，0），故本选项错误； D. y=x+1与x轴的交点为（－1，0），故本选项正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴交点问题．掌握求一次函数与x轴的交点坐标的方法是解答本题的关键． 4. 如图，在正方形的外侧，作等边三角形，连接，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，由正方形性质得，，由是等边三角形性质得，，进而得，则，再根据三角形内角和定理求出，继而根据即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 5. 下列说法错误的是（ ） A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直的平行四边形是矩形 C. 对角线互相垂直的矩形是正方形 D. 三个角是直角的四边形是矩形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法，由对角线互相平分的四边形是平行四边形，可判断A不符合题意；由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，但不一定是矩形，可判断B符合题意；由对角线互相垂直的矩形同时又是菱形，可知对角线互相垂直的矩形是正方形，可判断C不符合题意；由矩形的判定定理可知，有三个角是直角的四边形是矩形，可判断D不符合题意，于是得到问题的答案． 【详解】解：A．由平行四边形的判定定理可知，对角线互相平分的四边形是平行四边形，故A不符合题意； B．由菱形的判定定理可知，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，但不一定是矩形，故B符合题意； C．∵对角线互相垂直的矩形同时又是菱形，∴对角线互相垂直的矩形是正方形，故C不符合题意； D．由矩形的判定定理可知，有三个角是直角的四边形是矩形，故D不符合题意， 故选：B． 6. 估计（+）的值应在（　　） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用二次根式乘法运算法则化简，进而估算无理数的大小即可． 【详解】解：（）＝4+， ∵2＜＜3， ∴6＜＜7， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，正确进行二次根式的运算是解题的关键． 7. 苯是一种有机化合物，可以合成一系列衍生物．如图是用小木棒摆放的苯及其衍生物的结构式，第①个图形需要9根小木棒，第②个图形需要16根，第③个图形需要23根，……，按此规律，第⑩个图形需要小木棒的根数是（ ） A. 85 B. 81 C. 76 D. 72 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了图形规律，理解数量关系，找出规律是关键． 根据题意得到第n个图形需要（根），由此即可求解． 【详解】解：第①个图形需要9根小木棒， 第②个图形需要16根，即， 第③个图形需要23根，即， ∴第n个图形需要（根）， 第⑩个图形需要（根）， 故选：D． 8. 如图，中，，，，分别以，，为直径画半圆，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理，含30度角直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 根据含30度角直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，然后根据阴影部分的面积之和等于以为直径的半圆面积加上以为直径的半圆的半径加上的面积，然后再减去以为直径的半圆面积求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 由勾股定理得，， ∴以为直径的半圆的半径为，以为直径的半圆的半径为1，以为直径的半圆的半径为2， ∴阴影部分的面积之和． 故选：A． 9. 如图，四边形是正方形，点在边上，且，作分别交，于点，；，分别是，的中点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，则，，连接．证明，则是直角三角形，利用是斜边上的中线，可得，利用勾股定理求出的长即可得，再由勾股定理求出即可得出结论． 【详解】解：设，则，， 连接．如图所示， ∵四边形是边长为的正方形． ∴，且平分． ∴． ∵． ∴． ∴是等腰直角三角形． 四边形，是矩形， ∴，，， ∴， ∴； 在中， ∵P为中点． ∴． ∴是直角三角形． ∵点H为的中点， 四边形是矩形， ∴过点H．且点H为的中点． 在中，． ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，勾股定理，直角三角形的性质等，添加辅助线构造直角三角形，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一性质是解题的关键． 10. 对实数，定义一种新运算△，规定：（其中，均为非零常数），例如：．若，．则下列结论： ①，； ②若，则； ③若，则，有且仅有5组整数解； ④如果，那么或； 其中正确的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】此本题考查了实数的运算，①由新运算法则得到关于a，b的方程组，解之即可求出a，b的值，判断即可；②已知等式利用题中新定义化简，求出d的值，求出的值，判断即可；③已知等式利用题中新定义化简，把a与b的值代入，根据p、q为正整数，判断即可；④已知等式利用题中新定义化简，整理得到关系式，判断即可． 【详解】解：根据题意可得：， 整理得：， 得：， 解得：， 把代入②得：，故选项①正确； ②根据题意得：，，∴，解得，∴，故②错误； ③，∴，整理得：，当时，，∴p、q有且仅有3组正整数解，选项③错误； ④如果，则， ∴，即， ∴或，即或，选项④正确， 综上所述，结论正确的个数有2个． 故选：B． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式有意义的条件—被开方数大于等于零．根据二次根式有意义的条件—被开方数大于等于零，列出不等式即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 12. 我国古代数学著作《九章算术》有一个问题：如图，一根竖直的竹子高1丈（1丈10尺），折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，那么折断处离地面的高度是______． 【答案】尺 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面的高度是x尺，则斜边为尺，利用勾股定理解题即可． 【详解】解：1丈10尺， 设折断处离地面的高度为x尺，则斜边为尺， 根据勾股定理得： 解得：． 答：折断处离地面的高度为尺． 故答案为：尺． 13. 小张面试时的基本知识、表达能力、工作态度的得分分别是分，分，分，若依次按，，的比例确定成绩，则这个人的面试成绩是 _____________分． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查加权平均数，掌握加权平均数的定义是解题的关键． 根据加权平均数的定义列式计算即可． 【详解】这个人的面试成绩是：（分）， 故答案为：． 14. 关于的分式方程有整数解，且关于的一次函数的图象不经过第三象限，则满足条件的整数的和为_____． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查一次函数的性质、分式方程的解，解题的关键是求出的整数值．先解关于的分式方程求出a为偶数且，再根据关于的一次函数图象所经过的象限得到关于a的不等式组，求出解集，进而得出满足条件的整数的值，求和即可． 【详解】解：∵ ∴， 得， 关于的分式方程有整数解， a为偶数，且， a偶数且， 关于的一次函数的图象不经过第三象限， ， 解得， 满足条件的整数的值为2或6或8， 满足条件的整数的和为， 故答案为：16． 15. 如图，在菱形中，，，是线段上一点，连接，将沿翻折，点落在点处，，垂足为点，连接，．则的周长为_____，_____． 【答案】 ①. ； ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，图形的折叠问题，作出正确的辅助线是解题的关键． 连接， 易求，则，根据勾股定理可得， 继而求出，，，，可推导出，，根据，即可解答． 【详解】解：连接，如图 在菱形中，，，， ∴，， ∴， ∴，则， 是等边三角形， ∴，，， 由翻折，可得， ∴，，， ∴，， ∴． ． 故答案为：；． 16. 规定：一个四位正整数的各个数位上的数字均不为0且互不相同，并满足百位数字比千位数字大3，十位数字是个位数字的2倍，则称这个四位数为“三心二意数”．若将的千位数字与百位数字组成的两位数记为，将的十位数字与个位数字组成的两位数记为，例如：当时，为69，为21．记，若一个“三心二意数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为．当为整数时，则_____；且为完全平方数，则满足条件的正整数为_____． 【答案】 ①. 7 ②. 5842 【解析】 【分析】根据百位数字比千位数字大3，十位数字是个位数字的2倍，可得，，所以有，，且、均为整数，所以可得：，根据能被整除的数的个位是或，可知的个位数为或，又因为四位正整数的各个数位上的数字均不为且互不相同，所以可知的个位数为； 把整理可得：，根据能被整除的数的个位数是或，可知的个位数是，又因为的值为、、、，的值为、、、、、，又因为为完全平方数，所以只有当、时满足条件，求出此时的即可． 【详解】解：的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为， ，， 则有，，且、均整数， ，， ， 为整数， 的个位数为或， 的个位数为或， 或， 四位正整数的各个数位上的数字均不为且互不相同， 的个位数为， ； 解：为完全平方数， 整理得：， 的个位数是或， 的个位数是， 的值为、、、，的值为、、、、、，且a与d不相同 当，时，， 是完全平方数， 符合题意； 此时，， ； 符合条件的有， 故答案为： ；． 【点睛】本题考查了新定义计算、有理数的运算、列代数式、整式的加减运算、完全平方数，解决本题的关键是百位数字比千位数字大3，十位数字是个位数字的2倍，可得，，列出关于、的代数式． 三、解答题：（本大题8个小题，第18题16分，其余每题各10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 如图，在中，是它的一条对角线，． （1）尺规作图：过点作的垂线，交于点，连接，；（不写作法，保留作图痕迹） （2）求证：． 证明：，， ． ①__________． 四边形平行四边形， ②__________，． ③__________． ， ． 四边形是平行四边形． ④__________． 【答案】（1）见解析 （2）①；②；③；④ 【解析】 【分析】本题主要考查尺规作垂线，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据尺规作垂线的方法作图即可； （2）根据平行四边形的性质可得，，由平行线的性质得到，可证明，得到是平行四边形，由此即可求解． 【小问1详解】 解：如图，即为所作； 【小问2详解】 证明：，， ． ． 四边形为平行四边形， ，． ． ， ． 四边形是平行四边形． ． 故答案为：①；②；③；④． 18. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算． （1）先计算零指数幂，求立方根，利用二次根式的性质化简，然后再进行加减运算即可． （2）按照二次根式的乘法展开，再进行二次根式的加减运算即可． （3）先计算二次根式的除法，再进行二次根式的加减运算即可． （4）运用完全平方公式以及平方差公式计算，最后再进行二次根式的加减运算即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解： 【小问4详解】 解： 19. 2025年初，一款名为的软件爆火，出现了很多“王炸组合”，如：一键生成；+豆包一键生成文案等，为人们提供了很多便利，让工作和生活都变得更加轻松．某班同学调查了所在学校的学生对甲，乙两款软件的使用满意度，并分别随机抽取份评分数据，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级：不满意A：；良好B：；满意C：；非常满意D：），下面给出了部分信息． 甲款评分数据中C组包含的所有数据为：； 乙款评分数据中C组包含的所有数据为：． 甲、乙两款AI软件满意度评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 甲款 85 88 乙款 85 86 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中_____，_____，_____，并将条形统计图补充完整； （2）根据以上数据分析，你认为哪款AI软件更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）： （3）在此次调查中，该学校有800人对甲款软件进行评分、1200人对乙款软件进行评分．请通过计算，估计其中对所调查的软件“非常满意”的用户人数共有多少？ 【答案】（1），见解析 （2）见解析 （3）440 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图，中位数，众数，用样本估计总体，灵活掌握数据分析是关键． （1）根据中位数的定义可 求出a，根据众数的定义可求出b，用C组人数除以样本容量可求出m，求出D的人数补全条形统计图； （2）从中位数、众数任选一个特征量分析即可； （3）根据用样本估计总体的思想求解即可． 【小问1详解】 ∵甲款评分数据排在第10和第11位的数分别是87和88， ∴分． ∵乙款A和|D组人数均为：，C组人数为：10，B组人数为：， ∴乙款评分数据出现次数最多的是87，出现了6次， ∴． ∵， ∴． 甲款D组人数：， 如图， 故答案为：，87，10； 【小问2详解】 我认为甲款AI软件更受用户喜欢，因为甲款AI软件评分的众数88大于乙款，AI软件评分的众数87，所以甲款AI软件更受用户喜欢； 【小问3详解】 估计对所调查的软件非常满意的用户人数共有440． 20. 城有肥料200吨，城有肥料300吨，现要把这些肥料全部运往、两乡．从城运往、两乡运肥料的费用分别是每吨20元和25元，从城往、两乡运肥料的费用分别为每吨15元和24元，现在乡需要肥料240吨，乡需要肥料260吨． （1）若从城运往乡所需运费是从城运往乡所需运费的一半，求从A城运往D乡的肥料为多少吨？ （2）怎样调运化肥，可使总运费最少？最少运费是多少？ 【答案】（1）从城运往乡的化肥为110吨 （2）从城运往乡化肥0吨，从A城运往乡化肥200吨，从城运往乡化肥240吨，从城运往乡化肥60吨时，总运费最少，为10040元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，难点在于表示出运往各地的化肥吨数． （1）设从城运往乡化肥吨，从城运往乡化肥吨，从城运往乡化肥吨，从城运往乡化肥吨，根据题意得：，求解即可． （2）设从城运往乡化肥吨，从城运往乡化肥吨，从城运往乡化肥吨，从城运往乡化肥吨，总运费为y，然后根据总运费的表达式列式整理，再根据运往各地的肥料数不小于0列式求出x的取值范围，根据一次函数的增减性解答即可.. 【小问1详解】 解：设从城运往乡化肥吨，从城运往乡化肥吨，从城运往乡化肥吨，从城运往乡化肥吨； 由题意得：，解得：， （吨） 答：从A城运往D乡的化肥为110吨： 【小问2详解】 解：设从城运往乡化肥吨，从城运往乡化肥吨，从城运往乡化肥吨，从城运往乡化肥吨； 由题意得：利润， ，随增大而增大． 又 当时，总运费最少，最少为（元） 答：从A城运往C乡化肥0吨，从A城运往D乡化肥200吨，从B城运往C乡化肥240吨，从B城运往D乡化肥60吨时，总运费最少，为10040元． 21. 如图，在矩形中，，，点为线段的中点，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿着运动，连接，，设点的运动时间为，的面积为． （1）请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质： （3）已知，请结合函数图象，直接写出时的取值范围（结果保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】（1） （2）性质：当时，随增大而减小；当时，随增大而增大 （3）或 【解析】 【分析】本题为一次函数综合题目，考查了矩形性质，三角形的面积，一次函数的图象和性质，动点问题，解决本题的关键是掌握一次函数的性质． （1）分两种情况：当点P在边上运动时，当点P在边上运动时，分别表示的面积即可； （2）结合（1）画出函数的图象，进而写出该函数的性质即可； （3）分别联立，和，，求出交点坐标，结合（2）的函数图象，即可写出满足的x的取值范围． 【小问1详解】 解：在矩形中，，，点为线段的中点，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发， (秒)，． 时，点B和点P重合，不能构成三角形． ∴当点P在边上运动时，． ，． ∴的面积为； 当点P在边上运动时， (秒)， 点为线段的中点， ． 由题意可知， ∴的面积为； 综上所述，y关于x的函数表达式为 【小问2详解】 解：画出函数的图象，如图 由图可知，性质：当时，随增大而减小；当时，随增大而增大； 【小问3详解】 解：画出函数、的图象，如图 当点P在边上运动时， 解得 当点P在边上运动时， 解得 由图象可知时x的取值范围是或 22. 公园是周围市民健身散步的好去处，在某公园入口处有两条路线可以到达山顶．观景台在凉亭的正东方向，在入口的东北方向；凉亭在入口的西北方向，山顶在凉亭的北偏东方向，在观景台的北偏西方向，小明沿路线跑步到达山顶，与沿步行到山顶的爸爸汇合．已知米．（参考数据：，，） （1）求观景台到山顶的距离（结果保留根号）； （2）若小明跑步的速度为120米/分钟，爸爸步行的速度为80米/分钟，则爸爸和小明谁先到达山顶？请说明理由．（结果保留小数点后一位） 【答案】（1） （2）小明先到达山顶 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）先根据等腰三角形的性质得到，进而由勾股定理得到，即可； （2）由题意得：，，根据时间计算比较即可． 【小问1详解】 解：由题意得：，，，． ，，． ，，． ． 在中，，，根据勾股定理得， ． 又，， ． 在中，，，， 根据勾股定理得， ． 观景台到山顶的距离为． 【小问2详解】 解：由题意得：，， 小明所用时间为：． 爸爸所用时间为：． ， 小明先到达山顶． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点．点是轴上一点，过点作轴的垂线交于点，交于点． （1）求直线，的函数解析式； （2）如图2，点是线段上一动点，连接，，点，均为轴上的动点，且点在点的上方，．当时，求点的坐标及的最小值； （3）如图3，点是轴上一点，点是平面内一点，在（2）问的条件下，是否存在以点，，，为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）直线：，直线： （2），的最小值为 （3），，， 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）先通过，求出，确定点，将点向下平移一个单位长度得到，作点关于轴的对称点，得出，从而确定当，，共线时，的值最小，最小值为，即可求解； （3）分四种情况进行讨论，第一种情况：当为边，点在点的下方时；第二种情况：当为对角线时；第三种情况：当为边，点在点的右方时；第四种情况：当为边，点在点的左方时，分别画出图形并求解即可． 【小问1详解】 解：直线与直线交于点， ， ， 直线：，直线：； 【小问2详解】 由（1）得：，，，． ， ． ． 如图所示，将点向下平移一个单位长度得到，作点关于轴的对称点． ，， 四边形是平行四边形， ， ， 当，，共线时，的值最小，最小值为， 点的坐标，的最小值为； 【小问3详解】 ， ，， 第一种情况：如图所示，当为边时，点在点的下方时， 四边形是菱形， 与互相垂直平分， 点在直线上，且， 此时； 第二种情况：如图所示，当为对角线时，取线段的中点，过点作交轴于点，连接，过点作交于点，连接， 四边形是菱形， ， 设， ， ， ， 解得：， ， ， 此时； 第三种情况：如图所示，当为边，点在点的右方时，在轴正半轴上取，过点作，且， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， 此时； 第四种情况：如图所示，当为边，点在点的左方时，在轴负半轴上取，过点作，且， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， 此时； 综上所述，，，，． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式、坐标与图形的性质、平行四边形的判定及性质、求线段和的最值、菱形的判定及性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点、灵活运用分类讨论思想是解题的关键． 24. 如图，在矩形中，点为直线上一动点，连接，作等腰直角三角形，使，． （1）如图1，若，，，求四边形的面积； （2）如图2，若点为线段的中点，且，连接，试探究线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图3，连接，若，．请思考是否存在最小值，若存在，请直接写出的最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2），证明见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、矩形的判定及性质、等腰直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点，会作出适当的辅助线灵活构造全等三角形是解题的关键． （1）通过已知条件，易求，，根据勾股定理得，，利用梯形面积公式即可求解； （2）过点作于点，作于点，易证：，得，，再证明四边形是矩形，进而证明为等腰直角三角形，即可证得； （3）在的延长线上截取，连接，在上截取，连接，设，，，先证，得，得出点轨迹为过中点，与夹角为的直线上，作点关于的对称点，当取最小值时，，，三点共线，由勾股定理可得，最小值为． 【小问1详解】 解：，， ， 四边形为矩形， ， ， 又， ． 在中，，，， 根据勾股定理得，， ， ； 【小问2详解】 ，理由如下： 如图所示，过点作于点，作于点． ，， ， ，， ，， ， ， ，． 点为线段中点， ． ， 四边形是矩形， ，， ， ， 为等腰直角三角形， ； 【小问3详解】 如图所示，在的延长线上截取，连接，在上截取，连接，设，，， ，，， ，，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 点轨迹为如图过中点，与夹角为的直线上， 如图所示，作点关于的对称点， ， 当取最小值时，，，三点共线，最小值为， 延长交直线于点，连接， ， ， ， ， ，， 由勾股定理可得，最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $