精品解析：重庆市巴南区2020-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023—2024学年度下期阶段性检测 八年级数学试题卷 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4． 考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧的正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各点中，函数的图象一定经过的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ） A. 1，，3 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 4，5，6 4. 某中学校园文化艺术节歌唱比赛有13 名同学参赛，得分前7名的同学进入决赛，经过角逐，这13名同学的得分各不相同，小明知道自己的得分后，要判断自己能否进入决赛，还需要知道这13名同学得分的（ ） A. 平均数 B. 方差 C. 众数 D. 中位数 5. 下列各图中，表示 是 的函数的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知一次函数y＝kx－4（k≠0），y随x的增大而增大，则k的值可以是（ ） A. －2 B. 3 C. 0 D. －3 7. 若，则整数 的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 下列判断正确的是（ ） A. 将函数的图象向上平移3个单位后，对应函数的解析式为 B. 两条对角线相互垂直平分的四边形是正方形 C. 四个内角都相等的四边形是矩形 D. 函数，当时，则 9. 如图，在正方形中，取中点E，连接 ，在 上取一点F，连接，使得 ，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，矩形中，点，分别为，中点， 为 上一点，将 沿 翻折得到，点恰好落在上，延长交于点 ，过 作交 于点 ，分别与 ，交于 ， 两点，下列结论：①；②；③；④若点 是 中点，则梯形的面积是 面积的倍，其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：______． 12. 若是关于x的一次函数，则实数_____． 13. 如图，中，对角线于点O，，若，则的面积为_____． 14. 某单位招聘一名员工，从专业知识、工作业绩、面试成绩三个方面进行考核，每项考核的满分均为100分，最后将三项得分按4：4：2的比例确定考核的最终得分，小周经过考核后三项所得的分数依次为85，80，90分，则小周考核的最终得分是_______． 15. 若点是一次函数 和的图象的公共点，则关于x，y的二元一次方程组 的解是_______． 16. 如图，在 中，，分别以为直径向上方作半圆，则图中阴影部分面积为_______． 17. 若整数m使得关于x的一次函数图象不经过第三象限，且使得二次根式有意义，则满足条件的所有整数m的和是_______． 18. 一个各个数位上的数字互不相等且都不为0的四位正整数M，从四位数中取出千位、百位数字依次组成两位数x，从四位数中取出十位、个位数字依次组成两位数y，若，则称这个四位数为“圆满数”，把y放在前x放在后组成新的四位数N，并且规定：等于M的前两位数字之和．例如：一个四位数1783，因为，所以1783是“圆满数”，且，如果四位数（，且a，b，c，d为整数）是一个“圆满数”，则_______，如果为整数，且为奇数，则满足条件的S的最小值是______． 三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题都必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算： （1） （2） 20. 学习了三角形的中位线定理后，小辉进行了拓展性研究．他发现．连接梯形两腰中点的线段也具有类似的性质．探究过程如下： （1）用直尺和圆规，作线段的垂直平分线，垂足为点，连接，连接并延长交线段的延长线于点 （只保留作图痕迹） （2）已知：在四边形中， ，为 中点，为中点 猜想： ，且． 证明： 是中点， ①______ ， 在 和 中 ， ， 在 中，是 中点，是 中点 且③______． 请你根据该探究过程完成下面命题： 连接梯形两腰中点的线段平行于两底并且④______． 21. 今年4月15日是第九个全民国家安全教育日，4月9日，某区举行2024年“争当红岩先锋•维护国家安全”中小学国家安全素养大赛，为了解小学组、中学组学生的参赛情况，从小学组、中学组参赛同学中各抽取10名同学，记录下他们的得分(单位：分)，并进行整理和分析（得分用x表示，共分为三组：A．，B．，C．），下面给出了部分信息： 小学组10名同学的得分：70，75，80，80，80，83，85，85，90，95； 中学组10名同学的得分在B组中的分数为：80，80，85，85，85； 小学组、中学组的相关统计数据如下表所示 组别 平均数 中位数 众数 方差 小学组 82.3 81.5 b 45.6 中学组 82.3 a 85 35 中学组得分扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：； （2）根据以上数据，你认为中学组和小学组哪个组在此次国家安全素养大赛中表现更好，请说明理由（一条理由即可）； （3）已知小学组有200人参与比赛，中学组有300人参与比赛，若得分不低于90分评为优秀等级，请估计参赛同学中获优秀等级的一共有多少人？ 22. 如图，在四边形中，连接相交于点，点为中点，点E，F是上两点， ，且． （1）求证：； （2）如果，试判断四边形的形状并证明． 23. 如图，在 中， ，现有一动点P从A点以每秒2个单位长度的速度出发向C点运动，到达C点后以每秒1个单位长度的速度向B点运动，当点P到达B点时停止运动，若，设动点P点的运动时间为x秒，的面积为y． （1）请直接写出y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； （2）在直角坐标系中画出y与x的函数图象，并写出该函数的一条性质； （3）如图直线l为函数的图象，结合函数图象，请直接写出满足的x的取值范围．（保留一位小数，误差在0.2以内） 24. 某街道根据市民建议，决定对一公园内沿水域健身步道进行修缮，经勘测规划，修缮后的健身步道（局部）如图，从A地分别往北偏东方向和东南方向各修一步道，从A地的正东方向（水域对面）的C地分别往西北方向和西南方向各修建一步道，汇合于B、D两地，若测得米．（参考数据：） （1）求A、C两地之间距离．（结果精确到1米） （2）小华和小明周末到公园锻炼身体，准备从A地跑步到C地，小华决定选择路线，小明决定选择 路线，若两人速度相同，请计算说明谁先到达C地？ 25. 如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，C点在x轴上A点的右边，，经过点C的直线与正比例函数的图象平行，直线与直线相交于点D，点P为直线上一动点． （1）求点D坐标； （2）若，请求出P点的坐标； （3）若，请直接写出点P坐标． 26. 在中，点E是对角线上一点． （1）如图1， ，将沿 翻折，使得A点的对应点F落在上，若， ，求的长； （2）如图2， ， ，点G是 的中点，交于F点，I是上一点，连接 ，延长 交 的延长线于点J，若，求证：； （3）如图3， ， ，延长 至M点使，的角平分线交 于点N，交延长线于点G，取中点F，连接，，当E在直线上运动时，直接写出的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年度下期阶段性检测 八年级数学试题卷 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4． 考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧的正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式；根据这两点去判断即可． 【详解】解：、中含有开得尽方的因数4，故都不是最简二次根式，中含有开得尽方的因数9，故不是最简二次根式；而同时满足最简二次根式的两点，故是最简二次根式； 故选：C． 2. 下列各点中，函数的图象一定经过的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题是基础题，考查了一次函数图象上点的坐标特征；把每点的横坐标代入函数解析式中，计算出函数值，若等于该点的纵坐标，则点在函数图象上，否则不在，由此则可判断． 【详解】解：A、当 时，，函数图象不经过点； B、当 时，，函数图象不经过点； C、当 时，，函数图象不经过点； D、当 时，，函数图象经过点； 故选：D． 3. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ） A. 1，，3 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 4，5，6 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理的运用，正确计算是解题的关键．勾股定理的逆定理：如果两条较短线段的平方和等于第三条线段的平方，则该三角形是直角三角形．根据勾股定理的逆定理，逐项分析判断即可． 【详解】解：A.因为，所以不可以构成直角三角形，不符合题意； B. 因为，所以不可以构成直角三角形，不符合题意； C. 因为，所以可以构成直角三角形，符合题意； D. 因为，所以不可以构成直角三角形，不符合题意． 故选：C． 4. 某中学校园文化艺术节歌唱比赛有13 名同学参赛，得分前7名的同学进入决赛，经过角逐，这13名同学的得分各不相同，小明知道自己的得分后，要判断自己能否进入决赛，还需要知道这13名同学得分的（ ） A. 平均数 B. 方差 C. 众数 D. 中位数 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中位数的知识，熟练掌握中位数的定义是解题关键．根据中位数的定义分析判断即可． 【详解】解：13个不同的成绩按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有7个数， 故只要知道自己的成绩和中位数，就可以知道是否进入决赛． 故选：D． 5. 下列各图中，表示 是 的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意 是 的函数依据函数的概念可知对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，以此进行分析判断即可． 【详解】解：如图所示， 在B、C、D三个选项中，在x允许的取值范围内，x任取一个数值，函数y都有2个值与之对应，不符合函数的概念． 故选：A． 【点睛】本题主要考查函数的概念，注意掌握函数的定义即设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量． 6. 已知一次函数y＝kx－4（k≠0），y随x的增大而增大，则k的值可以是（ ） A. －2 B. 3 C. 0 D. －3 【答案】B 【解析】 【分析】根据y随x的增大而增大，得k>0，即可判断； 【详解】解：∵y随x的增大而增大， ∴一次函数y＝kx－4（k≠0）中k>0， 故选：B． 【点睛】本题主要考查一次函数的图象及性质，掌握一次函数的相关知识是解题的关键． 7. 若，则整数的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式运用以及无理数的估算，正确的估算无理数的大小是解题的关键．首先运算，然后估算其大小，即可获得答案． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵为整数， ∴ ． 故选：A． 8. 下列判断正确的是（ ） A. 将函数的图象向上平移3个单位后，对应函数的解析式为 B. 两条对角线相互垂直平分的四边形是正方形 C. 四个内角都相等的四边形是矩形 D. 函数，当时，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形和矩形的判定，一次函数的平移问题，正比例函数的性质，根据一次函数的平移规律即可判断A；根据正方形的判定定理即可判断B；根据矩形的判定定理即可判断C；根据正比例函数的性质，不管其递增或递减，都可以满足当时，据此可判断D． 【详解】解：A、将函数的图象向上平移3个单位后，对应函数的解析式为，原说法错误，不符合题意； B、两条对角线相互垂直平分且相等的四边形是正方形，原说法错误，不符合题意； C、四个内角都相等的四边形是矩形，原说法正确，符合题意； D、函数，当时，则 ，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 9. 如图，在正方形中，取中点E，连接，在上取一点F，连接，使得 ，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，构造辅助线证明全等是关键；延长交 的延长线于点G，则可证明，得，，进而得 ，则，结论可得． 【详解】解：如图，延长交 的延长线于点G， 在正方形中，， ，； ， ； 中点为E， ， ， ， ，， ， ． 故选：B． 10. 如图，矩形中，点，分别为，中点， 为上一点，将 沿 翻折得到，点恰好落在上，延长交于点 ，过 作交于点 ，分别与 ，交于， 两点，下列结论：①；②；③；④若点 是 中点，则梯形的面积是 面积的倍，其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，中位线的定义，斜边上的中线定义，等边三角形的判定即性质等知识点，综合性比较强，熟悉掌握各性质是解题的关键． 延长到 使得，连接 ，根据矩形的性质推出是 的中位线，利用斜边上的中线定义得到，从而求出，利用勾股定理建立式子得到，即可推出与 的数量关系，证出为等边三角形，得到，即可判断①；分别求出和 的度数后即可判断②；根据中位线的定义推导即可判断③；推出与的数量关系后，求出即可判断④； 【详解】解：延长到 使得，连接 ， ∵是中点， ∴， ∴在和中， ， ∴ ∴，， ∴， ∵是矩形， ∴， ∴四边形为平行四边形，， ∴， ∴，是 的中点， ∴是 的中位线， ∵ 沿 翻折得到，点恰好落在上， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，，即， 解得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴，故①错误； ∵， ∴， ∴，故②正确； 在和中， ， ∴， ∴， ∴为的中位线， ∴， ∵, ∴，故③正确； ∵为 的中点， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴是等边三角形，且， ∴， ∴， ∵ 为 中点， ∴， ∴， ∴，故④错误； 综上所述，正确的有②③； 故选：B． 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】先化成最简二次根式，再进行加减运算． 【详解】解：原式＝， 故填：． 【点睛】本题考查二次根式的加减运算，化成最简二次根式是关键． 12. 若是关于x的一次函数，则实数_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的概念，形如 ，其中k，b是常数的函数是一次函数的一般形式；由概念知，，且，求解即可． 【详解】解：由题意得：，且， 解得：； 故答案为：2． 13. 如图，中，对角线于点O，，若，则的面积为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理逆定理，由勾股定理逆定理得到是关键；由平行四边形的性质得；由勾股定理逆定理得，则可求得结果． 【详解】解：在中， ，， 则； ， 是直角三角形，且， ； 故答案为：6． 14. 某单位招聘一名员工，从专业知识、工作业绩、面试成绩三个方面进行考核，每项考核的满分均为100分，最后将三项得分按4：4：2的比例确定考核的最终得分，小周经过考核后三项所得的分数依次为85，80，90分，则小周考核的最终得分是_______． 【答案】84分 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数的应用；根据题意，利用加权平均数公式计算即可；掌握加权平均数公式是解题关键． 【详解】解：小周考核的最终得分是（分） 答：小周考核的最终得分是84分． 15. 若点是一次函数 和的图象的公共点，则关于x，y的二元一次方程组 的解是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数交点与二元一次方程组的关系，理解一次函数与二元一次方程组的关系是解题的关键．由点A在一次函数 图象上，可求得点A的坐标；由点A是一次函数 和的图象的公共点，则可求得方程组的解． 【详解】解：点A在一次函数 图象上， ， 即 ， 故； 点是一次函数 和的图象的公共点， 是二元一次方程组 的解； 故答案为：． 16. 如图，在中，，分别以为直径向上方作半圆，则图中阴影部分面积为_______． 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查了不规则图形面积，勾股定理等知识，把不规则图形面积转化为规则图形面积计算是解题的关键．由题意可求得；根据阴影部分面积为两个小半圆的面积和加上三角形面积，再减去大半圆面积，即可求解． 【详解】解：在中，， 由勾股定理得：； 则； 以为直径的半圆面积分别为：，，， ； 故答案为：24． 17. 若整数m使得关于x的一次函数图象不经过第三象限，且使得二次根式有意义，则满足条件的所有整数m的和是_______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，二次根式有意义的条件，解不等式组等知识，掌握一次函数图象经过的象限与系数的关系是关键；由整数m使得关于x的一次函数图象不经过第三象限，得，求得m的范围；由有意义，也可求得m的范围，最后可求得两个范围的公共部分，即可求得整数m的值，最后求出结果． 【详解】解：由于整数m使得关于x的一次函数图象不经过第三象限， 则有，解得：； 由于有意义，则，即； 所以同时满足上述条件的m范围为：； 则此范围内整数m为 ，，0，1，2，3，其和为：； 故答案为：3． 18. 一个各个数位上的数字互不相等且都不为0的四位正整数M，从四位数中取出千位、百位数字依次组成两位数x，从四位数中取出十位、个位数字依次组成两位数y，若，则称这个四位数为“圆满数”，把y放在前x放在后组成新的四位数N，并且规定：等于M的前两位数字之和．例如：一个四位数1783，因为，所以1783是“圆满数”，且，如果四位数（，且a，b，c，d为整数）是一个“圆满数”，则_______，如果为整数，且为奇数，则满足条件的S的最小值是______． 【答案】 ①. 9 ②. 【解析】 【分析】本题是新概念问题，考查了对新概念的理解，整式的加减运算，不等式的性质，算术平方根等知识，理解新概念是关键． 由题意得：，得，由此得，进而得的值；分别计算出，则可得，由题意为的形式，才能保证被开方数为整数；根据a、b的范围确定只能为或或，分别就这三种情况考虑即可． 【详解】解：因为四位数（，且a，b，c，d为整数）是一个“圆满数”， 则， 即， ， 则为10的倍数； ， ， ， ； 故答案为：9； 根据“圆满数”的定义，，则是10的倍数； 因为 ， 所以，则， 根据题意意， 将整理化简得,， 则， 因为 为整数， 所以是完全平方数， 因为，所以的值可能是； 因为为奇数，所以a、b的奇偶性相反， 如果，令 ，则，满足条件的S的最小值是2971； 如果最小为3，舍去； 如果最小为5，舍去； 因此，满足条件的S的最小值是2971 三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题都必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1）15 （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次根式乘除运算法则进行计算即可； （2）先根据二次根式性质进行化简，然后再按照二次根式加减运算法则进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，准确计算． 20. 学习了三角形的中位线定理后，小辉进行了拓展性研究．他发现．连接梯形两腰中点的线段也具有类似的性质．探究过程如下： （1）用直尺和圆规，作线段的垂直平分线，垂足为点，连接，连接并延长交线段的延长线于点（只保留作图痕迹） （2）已知：在四边形中， ，为中点，为中点 猜想： ，且． 证明： 是中点，①______ ， 在 和 中 ， ， 在 中，是中点，是 中点 且③______． 请你根据该探究过程完成下面命题： 连接梯形两腰中点的线段平行于两底并且④______． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2）① ； ② ； ③ ；④等于两底和的一半 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，梯形中位线定理，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的尺规作图： （1）根据线段垂直平分线的尺规作图作图方法以及题意作图即可； （2）根据已给推理过程结合全等三角形的性质与判定定理和三角形中位线定理证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 今年4月15日是第九个全民国家安全教育日，4月9日，某区举行2024年“争当红岩先锋•维护国家安全”中小学国家安全素养大赛，为了解小学组、中学组学生的参赛情况，从小学组、中学组参赛同学中各抽取10名同学，记录下他们的得分(单位：分)，并进行整理和分析（得分用x表示，共分为三组：A．，B．，C．），下面给出了部分信息： 小学组10名同学的得分：70，75，80，80，80，83，85，85，90，95； 中学组10名同学的得分在B组中的分数为：80，80，85，85，85； 小学组、中学组的相关统计数据如下表所示 组别 平均数 中位数 众数 方差 小学组 82.3 81.5 b 45.6 中学组 82.3 a 85 35 中学组得分扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：； （2）根据以上数据，你认为中学组和小学组哪个组在此次国家安全素养大赛中表现更好，请说明理由（一条理由即可）； （3）已知小学组有200人参与比赛，中学组有300人参与比赛，若得分不低于90分评为优秀等级，请估计参赛同学中获优秀等级的一共有多少人？ 【答案】（1）85，80，30 （2）见解析 （3）130人 【解析】 【分析】（1）由中学组的扇形统计图知，A组人数可求得，则可求得中位数a的值，进而可求得C组人数，则可求得m；由小学组的分数可得众数b的值； （2）在平均数相同时，由方差的大小可判断出两个组的表现； （3）估算出两个组优秀等级的人数，其和便是参赛同学中获优秀等级的人数． 【小问1详解】 解：由中学组的扇形统计图知，A组人数为（人）， 10个分数按从小到大排列，中位数为第5、6两个数的平均数，这两个数均为85，故 ， C组人数为， ， 故 ； 由小学组的分数知，80出现的次数最多，则众数； 故答案为：85，80，30； 【小问2详解】 解：两组的平均数相同，但中学组的方差低于小学组的方差，故中学组的成绩更稳定，表现更好； 【小问3详解】 解：（人）； 答：估计参赛同学中获优秀等级的一共有130人． 【点睛】本题考查了扇形统计图、统计表，求众数，中位数，用样本估计总体的数量，利用方差判断数据的稳定性等知识，掌握这些知识是解题的关键． 22. 如图，在四边形中，连接相交于点，点为中点，点E，F是上两点， ，且． （1）求证：； （2）如果，试判断四边形的形状并证明． 【答案】（1）见解析 （2）四边形是矩形；证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，矩形的判定，证明两个三角形全等是解题的关键． （1）由为中点， ，则得 ；由得 ，再由对顶角相等，即可证明． （2）由（1）全等得 ，得四边形是平行四边形；由得 ，得四边形是矩形． 【小问1详解】 证明：点为中点， ； ， ， 即 ； ， ， ， ． 【小问2详解】 解：． ， 又∵, 四边形是平行四边形； ， ， ， 四边形是矩形． 23. 如图，在中， ，现有一动点P从A点以每秒2个单位长度的速度出发向C点运动，到达C点后以每秒1个单位长度的速度向B点运动，当点P到达B点时停止运动，若，设动点P点的运动时间为x秒，的面积为y． （1）请直接写出y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； （2）在直角坐标系中画出y与x的函数图象，并写出该函数的一条性质； （3）如图直线l为函数的图象，结合函数图象，请直接写出满足的x的取值范围．（保留一位小数，误差在0.2以内） 【答案】（1）点P在线段上时，，自变量x的取值范围为；点P在线段上时，，自变量x的取值范围为； （2）见解析；见解析 （3） 【解析】 【分析】本题是一次函数应用问题，考查了求一次函数解析式、画函数图象、函数性质等知识，注意数形结合； （1）分点P在线段上；点P在线段上两种情况计算即可； （2）描点画出图象，根据图象升降、对称性与坐标轴的交点等写出一条性质即可； （3）结合图象写出x的取值范围即可． 【小问1详解】 解：点P在线段上时，如图； 由于，即； 则， ，其中； 点P在线段上时，如图，， 此时； 则，， ，此时； 综上，点P在线段上时，，自变量x的取值范围为；点P在线段上时，，自变量x的取值范围为； 【小问2详解】 解：函数图象如下： 当时，函数值y随自变量的增大而增大； 【小问3详解】 解：当时，表明函数y的图象不会在的图象的下方，观察图象知，． 24. 某街道根据市民建议，决定对一公园内沿水域健身步道进行修缮，经勘测规划，修缮后的健身步道（局部）如图，从A地分别往北偏东方向和东南方向各修一步道，从A地的正东方向（水域对面）的C地分别往西北方向和西南方向各修建一步道，汇合于B、D两地，若测得米．（参考数据：） （1）求A、C两地之间距离．（结果精确到1米） （2）小华和小明周末到公园锻炼身体，准备从A地跑步到C地，小华决定选择路线，小明决定选择 路线，若两人速度相同，请计算说明谁先到达C地？ 【答案】（1）A、C两地之间距离为1930米 （2）小华先到达C地 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，含30度直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定，方位角等知识，构造直角三角形是解题的关键． （1）连接，过D作 于E；分别在 ，中利用勾股定理求出，即可求得结果； （2）设两人速度为1，由（1）的计算可得的长；由题意得是等腰直角三角形，由（1）的结论及勾股定理求得 ，即可求得；比较即可谁先到达C地． 【小问1详解】 解：如图，连接，过D作 于E； 由题意得：； 在 中，则， ， 由勾股定理得：， 米； 则米； 在中， ， 则米，由勾股定理得：米， (米)； 【小问2详解】 解：由（1）的计算知，米， 米； 由题意得分别在东南方向、西南方向，则， ， 即是等腰直角三角形， 由勾股定理得：， 米， 米； ， ，即小华的路程更小， 又∵两人速度相同， 所以小华先到达C地． 25. 如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，C点在x轴上A点的右边，，经过点C的直线与正比例函数的图象平行，直线与直线相交于点D，点P为直线上一动点． （1）求点D坐标； （2）若，请求出P点的坐标； （3）若，请直接写出点P坐标． 【答案】（1）点D的坐标为 （2）点P的坐标为或 （3）点P的坐标为或 【解析】 【分析】（1）由点A的坐标及，可求得点C的坐标；直线与正比例函数的图象平行，设直线解析式为 ，把点C坐标代入可求得直线解析式；把点A代入中，可求得其解析式；再解二元一次方程组即可求得点D的坐标； （2）由点D的坐标可求得，由已知则得；点P在点D的下方与上方两种情况计算即可； （3）当点P在点D上方时，过D作于F，过C作轴交于点H，过F作于E，过D作于G，设；易证明，则，，而，即可求得m、n的值，求得点F的坐标，进而求得 的解析式，最后解方程组求出点P的坐标；当点P在点D下方时，同理可求得． 【小问1详解】 解：点及， ， ， 故点C的坐标为； 直线与正比例函数的图象平行， 故设直线解析式为 ， 把点C坐标代入可求得直线解析式，得：， 解得：， 即直线解析式为； 过点A， 把点A代入中，得， 即 ， ； 解二元一次方程组，得， 即点D的坐标为； 【小问2详解】 解：点D的坐标为， ， ， ； 当点P在点D的下方时，如图； ， 点在线段上； ； ， ； 则，即， 此时； 当点P在点D的上方时， ； ， ； 则，即， 此时； 综上，点P的坐标为或； 【小问3详解】 解：如图，当点P在点D上方时，过D作于F，过C作轴交于点H，过F作于E，过D作于G； 设，则； ，， ，； ， ， ， ， ，， 而， ， 即，解得：， 点F的坐标为； 设 的解析式为 ， 把C、F的坐标代入得，解得：， 即 的解析式为 ； 解方程组得， 点P的坐标为； 当点P在点D下方时，同理可求得点P的坐标为； 综上，点P的坐标为或． 【点睛】本题是一次函数与几何的综合，考查了待定系数法求一次函数解析式，两直线的交点坐标，两直线与坐标轴围成的图形面积，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识，有一定的综合性，注意分类讨论． 26. 在中，点E是对角线上一点． （1）如图1， ，将沿 翻折，使得A点的对应点F落在上，若， ，求的长； （2）如图2， ， ，点G是 的中点，交于F点，I是上一点，连接 ，延长 交 的延长线于点J，若，求证：； （3）如图3， ， ，延长 至M点使，的角平分线交 于点N，交延长线于点G，取中点F，连接，，当E在直线上运动时，直接写出的最大值． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先由勾股定理求得，再由折叠性质得，，设，在 中，利用勾股定理列方程求得x值即可； （2）先根据等腰三角形的性质得到， ，再根据直角三角形斜边中线性质得到，进而得到，设，利用三角形的外角性质结合已知得到 ，，证明，得到，在 截取，连接 ，证明得到，，再证明得到，进而可得结论； （3）连接， ，根据等腰三角形的性质得到 垂直平分 ，则， ，设，再根据等腰三角形的等边对等角进行角度运算得，进而推导出 ，设，则，利用直角三角形斜边中线性质得到，利用三角形的三边关系得到，当点F、A、M共线时取等号，进而求得的最大值即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ， ， ∴， 由折叠性质得，， 设， 在 中，，， 由勾股定理得，解得， ∴； 【小问2详解】 证明：∵ ， ， ∴，则， ∵点G是 的中点， ∴， ∴，设， ∴，又 ∴，，又， ∴，， ∴，则， ∵， ， ∴， ∴， 在 截取，连接 ， 在和 中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：如图，连接， ， ∵，的角平分线交 于点N，交延长线于点G， ∴ ，， ∴ 垂直平分 ，则， ∵ ， ， ∴，则， 设， ∵， ∴， ， ∴， 又∵， ∴，则， 设，则， ∵F为的中点， ， ， ∴， ∵E在直线上运动时， ∴，当点F、A、M共线时取等号， 即点M在点处时，有最大值为， ∴的最大值为． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质、折叠性质、直角三角形的性质、三角形的外角性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、线段垂直平分线的性质、最短路径问题等知识，综合性极强的压轴题，需要学生有一定的综合能力和分析问题、解决问题的能力，利用数形结合思想进行灵活运用所学相关知识进行解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $