第五讲 绝对值（3个知识点4大典例）暑假预习讲义2025-2026学年七年级上册数学人教版

2025年新七年级数学人教版暑假预习讲义（3个知识点4大典例） 第五讲 绝对值 知识点梳理 知识点1 绝对值的定义 一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作 读作“a的绝对值”. 要点诠释： a可以是正数、负数和0，由于数的绝对值是两点之间的距离，所以绝对值不可能是负数。 知识点2 绝对值的性质 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0 任何有理数的绝对值都不小于它本身，即≥. 要点诠释： 绝对值可理解为数轴上点与原点的距离，例如 |a - b|表示数轴上 a 与 b 两点间的距离. 知识点3 绝对值的和的非负性 根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”， 即若，则=0且=0． 典例精讲 题型1 求一个数的绝对值 例1．的绝对值是（   ） A．5 B． C． D． 名师支招 绝对值可理解为数轴上点与原点的距离. 变式训练1 1．-2025的绝对值为（   ） A．2025 B．-2025 C． D． 2．的值为（    ） A． B． C． D． 3．的值是（   ） A．2 B． C． D． 4．如图，数轴上点A表示的数的绝对值是（   ） A． B． C．3 D． 题型2 绝对值的几何意义 例2．下列说法：①一定是非负数；②一定是负数；③相反数等于它本身的数是0；④绝对值大于它本身的数是负数．其中正确的序号为（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．③④ 名师支招 绝对值可理解为数轴上点与原点的距离，例如 |a - b|表示数轴上 a 与 b 两点间的距离. 变式训练2 1．若，则数轴上到有理数对应的点与到对应的点的距离相等的点是（　　） A．3 B． C．3或6 D．3或 2．下列关于表述正确的是（    ） A． B． C． D． 3．如果，则m，n的关系是（    ） A．互为相反数 B．，且 C．相等且都不小于0 D．m是n的绝对值 4．的最小值是(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 题型3 绝对值的非负性 例3．已知，则 ． 名师支招 绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”， 即若，则=0且=0 变式训练3 1．式子取最小值时，x等于（    ） A．0 B．1 C．2 D． 2．若，则a的值是（   ） A．任意有理数 B．任意一个非负数 C．任意一个非正数 D．任意一个负数 3．如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（   ） A． B． C． D． 4．若，则一定是（   ）． A．正数 B．负数 C．正数或零 D．负数或零 5．一批食品，标准质量为每袋．现随机抽取4个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示．那么，最接近标准质量的是（    ） A． B． C． D． 题型4 绝对值的应用 例4．某工厂的质检员抽查一批零件的质量，从中抽取了5件，根据检查结果 记录如下（已知零件的标准直径为，超过标准直径长度的数量记为正数，不足标准直径长度的数量记为负数．）： 1号零件： ；2号零件：；3号零件：；4号零件：；5号零件： 根据信息回答问题： (1)你认为几号零件的大小最符合标准？ (2)如果规定：误差在之内为正品，误差在之间为次品，误差超过为废品，那么这5个零件，哪件是正品，哪件是次品，哪件是废品？请直接写出你的结论． 名师支招 绝对值越小越接近标准，绝对值越大，越偏离标准。 变式训练 1．一批零食，标准质量为每袋．现随机抽取4个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示．那么最接近标准质量的是（    ） A． B． C． D．5 2．如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准质量的是（   ） A． B． C． D． 3．有一台功能特殊的计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数，只显示不运算，接着再输入整数后则显示的结果．比如依次输入1，2，则输出的结果是；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．有下列说法： ①依次输入1，2，3，4，则最后输出的结果是2； ②若将2，3，6，9这4个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是8； ③若将1，2，3，…，2025这2025个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是2025．以上说法正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 4．水文站以警戒线为标准测量水库的水位，超过警戒线记为正，低于警戒线记为负，下表是一天五次的测量数据，其中第 次测量时水位离警戒线最近． 次序 1 2 3 4 5 水位（厘米） 16 8 5．检查5个篮球的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，检查的结果如下表： 篮球编号 1 2 3 4 5 与标准质量的差/g (1)最接近标准质量的是几号篮球； (2)如果对两个篮球作上述检查，检查的结果分别为和，请利用学过的绝对值的知识指出哪个篮球的质量好一些？ 易错易混诠释 绝对值易错易混问题主要涉及概念理解、计算规则及应用场景，有以下几种情形： 一、概念混淆 1.绝对值等于本身的数  错误：仅认为正数绝对值等于本身，忽视0的情况。 正确：非负数（正数或0）的绝对值等于本身。 2.绝对值等于相反数的数 错误：仅认为负数绝对值等于相反数，忽视0的情况。 正确：非正数（负数或0）的绝对值等于相反数。 针对训练1 1．有理数的绝对值一定是非负数．( ) 2．一个数的绝对值等于本身，则这个数一定是正数；( ) 二、计算规则错误 1.绝对值相等的数 错误：认为绝对值相等的两个数一定相等。 例如|3| = |-3|，但3≠-3。正确结论是：绝对值相等的数可能相等或互为相反数。 2.绝对值非负性 错误：认为绝对值一定是正数。 正确：绝对值是非负数（包括0），0的绝对值是0。 针对训练2 1．若，且，则 ；若，则 ． 2．若与b互为相反数，则a b（用“”“”“”“”填空）． 3．下列说法：①若，则x为负数；②若不是负数，则a为非正数；③；④若，，则．其中正确的结论有 ．（填序号） 三、应用场景易错 1.数轴与绝对值 若数轴上两点距离相等，则这两点表示的数互为相反数。 绝对值不等式应用：如|a| < b时，需分情况讨论a的正负。 2.代数式化简  错误：忽视绝对值内的符号变化。例如|a-5| = 6时，需解a-5=6或a-5= -6。 针对训练3 1．若，，则 （填“”“”或“”）；并写出一组满足该条件的数： ， ． 2．数轴上表示数和的点到原点的距离相等，则为 创新拓展能力提升 1．当的值最小时， ． 2．【知识准备】 若数轴上点对应数，点对应数，为中点，则我们有中点公式：对应的数为． （）在一条数轴上，为原点，点对应数，点对应数，，且有．则的中点所对应的数为______． 【问题探究】 （）在（）的条件下，若点从点出发，以每秒个单位的速度向左运动，同时点从点出发，以每秒个单位的速度向右运动．设运动时间为秒，求当为何值时，的中点所对应的数为． 【拓展延伸】 （）若数轴上点对应数，点对应数，为最靠近的三等分点，则我们有三等分点公式：对应的数为．若数轴上点对应数，点对应数，为最靠近的四等分点，则我们有四等分点公式：对应的数为． ①填空：若数轴上点对应数，点对应数，为最靠近的等分点，则我们有等分点公式：对应的数为_______． ②在（）的条件下，若是最靠近的五等分点，为中点，则是否存在，使得为定值？若存在，请求出的范围． 3．阅读：已知点在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为． 理解： （）数轴上表示数和的两点之间的距离是_______；（用含的式子表示） （）当时，则的值为_____； （）当时，则的值为______； （）当代数式取最小值时，相应的的取值范围是______；最小值是_____． 应用： 某环形道路上顺次排列有四家快递公司：，它们顺次有快递车辆，辆，辆，辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有多少种调配方案，使调动的车辆数最少？并求出调出的最少车辆数． 4．点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： (1)和2之间的距离为__________； (2)若x与2的距离为3，则x的值为__________； (3)若成立，则满足条件的所有整数x为__________； (4)由以上探索猜想，对于任何有理数x，的最小值为__________． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年新七年级数学人教版暑假预习讲义（3个知识点4大典例） 第五讲 绝对值（解析版） 知识点梳理 知识点1 绝对值的定义 一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作 读作“a的绝对值”. 要点诠释： a可以是正数、负数和0，由于数的绝对值是两点之间的距离，所以绝对值不可能是负数。 知识点2 绝对值的性质 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0 任何有理数的绝对值都不小于它本身，即≥. 要点诠释： 绝对值可理解为数轴上点与原点的距离，例如 |a - b|表示数轴上 a 与 b 两点间的距离. 知识点3 绝对值的和的非负性 根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”， 即若，则=0且=0． 典例精讲 题型1 求一个数的绝对值 例1．的绝对值是（   ） A．5 B． C． D． 名师支招 绝对值可理解为数轴上点与原点的距离. 【答案】C 【分析】本题考查了求一个数的绝对值，根据负数的绝对值的它的相反数，进行作答即可． 【详解】解：， 则的绝对值是， 故选：C． 变式训练 1．-2025的绝对值为（   ） A．2025 B．-2025 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值，掌握绝对值的意义是关键．因此此题根据绝对值的意义进行求解即可． 【详解】解：， 故选：A． 2．的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求一个数的绝对值，根据，即可作答． 【详解】解：， 故选：A 3．的值是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值，根据负数的绝对值是它的相反数可得：，所以． 【详解】解：． 故选：B． 4．如图，数轴上点A表示的数的绝对值是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，求一个数的绝对值，根据点A在数轴上的位置确定点A表示的数，再根据负数的绝对值时它的相反数，正数和0的绝对值是它本身可得答案． 【详解】解：由题意得，点A表示的数为，则数轴上点A表示的数的绝对值是， 故选：C． 题型2 绝对值的几何意义 例2．下列说法：①一定是非负数；②一定是负数；③相反数等于它本身的数是0；④绝对值大于它本身的数是负数．其中正确的序号为（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．③④ 名师支招 绝对值可理解为数轴上点与原点的距离，例如 |a - b|表示数轴上 a 与 b 两点间的距离. 【答案】D 【分析】本题考查了正负数，相反数，绝对值等概念，根据正负数，相反数，绝对值等概念的意义和性质求解即可． 【详解】解：①不一定是非负数，例如时，a是负数，故说法错误； ②不一定是负数，例如时，是0，故说法错误； ③相反数等于它本身的数是0，正确 ； ④绝对值大于它本身的数是负数，正确． 故选：D． 变式训练 1．若，则数轴上到有理数对应的点与到对应的点的距离相等的点是（　　） A．3 B． C．3或6 D．3或 【答案】D 【分析】本题考查了化简绝对值，在数轴上表示有理数，由绝对值的意义确定m的值，再根据数轴上两点间距离相等的条件建立方程进行求解，即可作答． 【详解】解：∵， ∴得或， 根据题意，这个点表示的数为x， x到m的距离等于x到的距离， 即， 当时，则， 即或， ∴无解或， 当时，则， 即或， ∴无解或， 故选：D 2．下列关于表述正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的意义，根据绝对值的几何意义即可得解，熟练掌握绝对值的意义是解此题的关键． 【详解】解：根据绝对值的意义可得， 故选：B． 3．如果，则m，n的关系是（    ） A．互为相反数 B．，且 C．相等且都不小于0 D．m是n的绝对值 【答案】B 【分析】本题主要考查绝对值，根据绝对值的非负性，结合等式，分析m与n的关系． 【详解】解：∵， ∴，且， 故选：B． 4．的最小值是(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值，解题的关键是掌握绝对值的定义．利用绝对值的定义解答． 【详解】解：根据绝对值的意义可知，只有当时，有最小值， 最小值为． 故选：B． 题型3 绝对值的非负性 例3．已知，则 ． 名师支招 绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”， 即若，则=0且=0 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，解题的关键是掌握绝对值和平方数的非负性，即绝对值一定大于等于0，一个数的平方也一定大于等于0． 因为两个非负数的和为0，则这两个非负数分别为0，据此列出方程求解的值． 【详解】解：已知 根据非负数的性质：绝对值，一个数的平方， 当两个非负数的和为0时，只能是且， 对于，解方程可得：，移项得， ∴， 故答案为：． 变式训练 1．式子取最小值时，x等于（    ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的性质：绝对值非负，即绝对值的最小值为0；根据绝对值的最小值性质，当绝对值的表达式为零时，绝对值取得最小值；将原式拆解为绝对值部分和常数部分，确定最小值对应的x值即可． 【详解】解：式子中，的最小值为0， 当且仅当，即时取得； 此时整个式子的值为，为最小值． 故选：D． 2．若，则a的值是（   ） A．任意有理数 B．任意一个非负数 C．任意一个非正数 D．任意一个负数 【答案】C 【分析】本题考查绝对值性质．根据题意分三种情况，当时，当时，当时，结合绝对值性质讨论求解，即可解题． 【详解】解：当时，，，此时； 当时，，，此时； 当时，，，此时； 所以当，则a的值是任意一个非正数； 故选：C． 3．如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是绝对值的非负性的含义，理解是解本题的关键． 根据的最小值是即可求解． 【详解】解： x为有理数，式子存在最大值， 当时，式子最大值为， 故选：A． 4．若，则一定是（   ）． A．正数 B．负数 C．正数或零 D．负数或零 【答案】D 【分析】本题考查绝对值的知识，根据一个数的绝对值是非负数，即可求解． 【详解】解：∵ ∴, ∴，即一定是负数或零 故选：D． 5．一批食品，标准质量为每袋．现随机抽取4个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示．那么，最接近标准质量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正负数的意义，绝对值的意义，根据绝对值越小的数是最接近标准质量的，故先化简各个数值的绝对值，再比较大小，即可作答． 【详解】解：依题意， ∵， ∴最接近标准质量的是， 故选：C 题型4 绝对值的应用 例4．某工厂的质检员抽查一批零件的质量，从中抽取了5件，根据检查结果 记录如下（已知零件的标准直径为，超过标准直径长度的数量记为正数，不足标准直径长度的数量记为负数．）： 1号零件： ；2号零件：；3号零件：；4号零件：；5号零件： 根据信息回答问题： (1)你认为几号零件的大小最符合标准？ (2)如果规定：误差在之内为正品，误差在之间为次品，误差超过为废品，那么这5个零件，哪件是正品，哪件是次品，哪件是废品？请直接写出你的结论． 名师支招 绝对值越小越接近标准，绝对值越大，越偏离标准。 【答案】(1)5号零件的大小最符合标准 (2)1、2、5号是正品，3号是次品，4号是废品 【分析】本题主要考查了绝对值意义，绝对值越小表示数据越接近标准数据，绝对值越大表示数据越偏离标准数据． （1）表中的数据是零件误差数，所以这些数据中绝对值小的零件较好； （2）因为绝对值越小，与规定直径的偏差越小，每件样品所对应的结果的绝对值，即为零件的误差的绝对值，看绝对值的结果在哪个范围内，就可确定是正品、次品还是废品． 【详解】（1）解：∵， ∴5号零件的大小最符合标准． （2）解：∵，， ∴第1、2、5号是正品； ∵， ∴3号是次品， ∵， ∴4号为废品． 变式训练 1．一批零食，标准质量为每袋．现随机抽取4个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示．那么最接近标准质量的是（    ） A． B． C． D．5 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的意义，正负数的意义，直接利用正负数的意义以及绝对值的意义可得最接近标准是哪一袋． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴最接近标准质量的是． 故选：C 2．如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准质量的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正负数的实际应用以及绝对值的意义．用上面各个选项显示的数值求出其绝对值，然后比较绝对值，绝对值最小就是最接近标准质量，即可作答． 【详解】解：依题意，得，，，， ∵ ∴最接近标准质量的是“”， 故选：B． 3．有一台功能特殊的计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数，只显示不运算，接着再输入整数后则显示的结果．比如依次输入1，2，则输出的结果是；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．有下列说法： ①依次输入1，2，3，4，则最后输出的结果是2； ②若将2，3，6，9这4个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是8； ③若将1，2，3，…，2025这2025个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是2025．以上说法正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查绝对值运算，①根据题意每次输入都是与前一次运算结果求差后取绝对值，将已知数据输入求出即可；②根据运算规则，可以一次输入3，6，2，9，可得最大值是8；③根据运算规则，可每四个数输出结果为0，可得最大值为2025． 【详解】解：①根据题意可以得出：， 最后输出的结果是2，故①正确； ②对于2，3，6，9，可得：， 全部输入完毕后显示的结果的最大值是8，故②正确； ③依题意，分析可得先每四个数一组，使得输出结果为0， 可以依次输入1，3，4，2；5，7，8，6；9，11，12，10；⋯⋯2021，2023，2024，2022；2025， 根据运算规律可得结果的最大值是2025，故③正确； 所以说法正确的个数是3， 故选：D． 4．水文站以警戒线为标准测量水库的水位，超过警戒线记为正，低于警戒线记为负，下表是一天五次的测量数据，其中第 次测量时水位离警戒线最近． 次序 1 2 3 4 5 水位（厘米） 16 8 【答案】3 【分析】本题考查了正数和负数，利用了绝对值的意义，绝对值越小越接近标准．根据绝对值的意义，可得答案． 【详解】解：， 绝对值越小越接近警戒水位，即其中第3次测量时水位离警戒线最近． 故答案为：3． 5．检查5个篮球的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，检查的结果如下表： 篮球编号 1 2 3 4 5 与标准质量的差/g (1)最接近标准质量的是几号篮球； (2)如果对两个篮球作上述检查，检查的结果分别为和，请利用学过的绝对值的知识指出哪个篮球的质量好一些？ 【答案】(1)3号篮球 (2)见解析 【分析】本题考查了绝对值的应用，理解绝对值的意义，能用绝对值解决实际问题是解题的关键． （1）比较，即可求解； （2）根据绝对值的大小，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得： ∵， ∴3号篮球最接近标准质量； （2）解：由题意得： 如果，那么结果为的质量好一些； 如果，那么结果为的质量好一些； 如果，那么两个篮球的质量一样好． 易错易混诠释 绝对值易错易混问题主要涉及概念理解、计算规则及应用场景，有以下几种情形： 一、概念混淆 1.绝对值等于本身的数  错误：仅认为正数绝对值等于本身，忽视0的情况。 正确：非负数（正数或0）的绝对值等于本身。 2.绝对值等于相反数的数 错误：仅认为负数绝对值等于相反数，忽视0的情况。 正确：非正数（负数或0）的绝对值等于相反数。 针对训练1 1．有理数的绝对值一定是非负数．( ) 【答案】正确 【分析】根据绝对值的意义是非负数判断即可． 【详解】因为有理数的绝对值一定是非负数． 正确． 故答案为：正确． 【点睛】本题考查了有理数的绝对值，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键． 2．一个数的绝对值等于本身，则这个数一定是正数；( ) 【答案】错误 【分析】由绝对值的含义直接判断即可. 【详解】解：正数与零的绝对值是它的本身， 所以一个数的绝对值等于本身，则这个数一定是正数，这个表述错误， 故答案为：错误. 【点睛】本题考查的是绝对值的含义,掌握“正数与零的绝对值是它的本身”是解本题的关键. 二、计算规则错误 1.绝对值相等的数 错误：认为绝对值相等的两个数一定相等。 例如|3| = |-3|，但3≠-3。正确结论是：绝对值相等的数可能相等或互为相反数。 2.绝对值非负性 错误：认为绝对值一定是正数。 正确：绝对值是非负数（包括0），0的绝对值是0。 针对训练2 1．若，且，则 ；若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的意义，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键； 根据绝对值的意义进行化简计算即可求解； 【详解】解：， 或， ， ； ， ， ； 故答案为：； 2．若与b互为相反数，则a b（用“”“”“”“”填空）． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的意义，根据绝对值的非负性，得到，即可得出结果． 【详解】解：∵与b互为相反数， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 3．下列说法：①若，则x为负数；②若不是负数，则a为非正数；③；④若，，则．其中正确的结论有 ．（填序号） 【答案】②③④ 【分析】本题考查绝对值的性质；理解绝对值的性质是解题的关键． 依据题意，根据绝对值的性质逐个分析判断可以得解． 【详解】解：若， ∴， ∴， ∴①的说法错误； 若不是负数， ∴． ∴，即a为非正数； ∴②的说法正确； ∵，， ∴， ∴③的说法正确； 若，， ∴． ∴． ∴④的说法正确． 综上所述：正确的结论有②③④． 三、应用场景易错 1.数轴与绝对值 若数轴上两点距离相等，则这两点表示的数互为相反数。 绝对值不等式应用：如|a| < b时，需分情况讨论a的正负。 2.代数式化简  错误：忽视绝对值内的符号变化。例如|a-5| = 6时，需解a-5=6或a-5= -6。 针对训练3 1．若，，则 （填“”“”或“”）；并写出一组满足该条件的数： ， ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意可得，即可得出，故写出一组即可满足该条件的数即可，答案不唯一． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴满足该条件的数有，（答案不唯一）， 故答案为：；；． 2．数轴上表示数和的点到原点的距离相等，则为 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值的应用、数轴上的点等知识，熟练掌握绝对值的性质是解题关键．根据数轴上的点到原点的距离公式可得，然后分类讨论，求解即可获得答案． 【详解】解：由题意得， ∴或， 解得． 故答案为：． 创新拓展能力提升 1．当的值最小时， ． 【答案】 【分析】此题主要考查了绝对值的非负性．根据绝对值的非负性可知即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 此时时，的值最小，则； 故答案为：． 2．【知识准备】 若数轴上点对应数，点对应数，为中点，则我们有中点公式：对应的数为． （）在一条数轴上，为原点，点对应数，点对应数，，且有．则的中点所对应的数为______． 【问题探究】 （）在（）的条件下，若点从点出发，以每秒个单位的速度向左运动，同时点从点出发，以每秒个单位的速度向右运动．设运动时间为秒，求当为何值时，的中点所对应的数为． 【拓展延伸】 （）若数轴上点对应数，点对应数，为最靠近的三等分点，则我们有三等分点公式：对应的数为．若数轴上点对应数，点对应数，为最靠近的四等分点，则我们有四等分点公式：对应的数为． ①填空：若数轴上点对应数，点对应数，为最靠近的等分点，则我们有等分点公式：对应的数为_______． ②在（）的条件下，若是最靠近的五等分点，为中点，则是否存在，使得为定值？若存在，请求出的范围． 【答案】（）；（）；（）①；② 【分析】（）根据非负数的性质解答即可求解； （）由题意得，点对应的数为，点对应的数为，进而由中点公式列出方程即可求解； （）①根据题意即可求解；②由题意可得点对应的数为，点对应的数为，即得，得到式子等于有理数到有理数和的距离之和，可知当时，可知为定值，据此即可求解． 【详解】解：（）由题意得，，， ∴，， ∴， 即的中点所对应的数为， 故答案为：； （）由题意得，点对应的数为，点对应的数为， 当的中点所对应的数为时，则， 解得， ∴当时，的中点所对应的数为， （）①由题意得，对应的数为， 故答案为：； ②∵点对应的数为，点对应的数为， ∴点对应的数为，点对应的数为， ∴， ∴式子等于有理数到有理数和的距离之和， 当时，可知为定值，定值为， ∴存在，使得为定值． 【点睛】本题考查了中点坐标公式，数轴上的动点问题，非负数的性质，绝对值的意义，掌握以上知识点是解题的关键． 3．阅读：已知点在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为． 理解： （）数轴上表示数和的两点之间的距离是_______；（用含的式子表示） （）当时，则的值为_____； （）当时，则的值为______； （）当代数式取最小值时，相应的的取值范围是______；最小值是_____． 应用： 某环形道路上顺次排列有四家快递公司：，它们顺次有快递车辆，辆，辆，辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有多少种调配方案，使调动的车辆数最少？并求出调出的最少车辆数． 【答案】理解：（）；（）或；（）或；（），；应用：种调配方案，调出的最少车辆数为辆． 【分析】理解：（）根据题意即可求解； （）根据绝对值的意义即可求解； （）分、和三种情况，根据绝对值的性质解答即可求解； （）由可得代数式表示到和的距离之和，据此即可求解； 应用：根据题意画出图形，再根据图形即可求解； 本题考查了数轴与绝对值，掌握绝对值的意义和性质是解题的关键． 【详解】解：理解：（）由题意得，数轴上表示数和的两点之间的距离是， 故答案为：； （）∵， ∴或， ∴或， 故答案为：或； （）当时，， 解得； 当时，， 此时方程无解； 当时，， 解得； 综上，的值为或， 故答案为：或； （）∵， ∴代数式表示到和的距离之和，当在和之间，即时，和最小，最小值为， 故答案为：，； 应用：根据题意，画图如下，共有种调配方案： 由图可得，调出的最少车辆数为辆． 4．点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： (1)和2之间的距离为__________； (2)若x与2的距离为3，则x的值为__________； (3)若成立，则满足条件的所有整数x为__________； (4)由以上探索猜想，对于任何有理数x，的最小值为__________． 【答案】(1)3 (2)或5 (3)，或0，或1，或2 (4)6 【分析】本题考查了数轴，绝对值的性质，理解数轴上两点间的距离意义的表示，是解题的关键． （1）根据数轴上两点间的距离等于两个数的差的绝对值即可求解； （2）根据数轴上两点间的距离等于两个数的差的绝对值即可求解； （3）分三种情况：，，时分别计算，进而求解； （4）表示数轴上某点到表示2、4、三点的距离之和，即可求解． 【详解】（1）； 故答案为：3； （2）解：∵， ∴， ∴，或； 故答案为：或5； （3）解：∵， 即， 当 时， ， ∴； 当时， ， 此时，，或； 当时， ， ∴， ∴x的整数值为：，或0，或1，或2： 故答案为：，或0，或1，或2： （4）解：∵可看作是数轴上表示x的点到、2、4三点的距离之和， ∴当时，有最小值． 的最小值为 ． 故答案为：6． 学科网（北京）股份有限公司 $$