五章分式与分式方程　复习练习题2024-2025学年北师大版数学八年级下册

五章 分式与分式方程　复习练习题 一、单选题 1．下列各式中，不论取何值分式都有意义的是（   ） A． B． C． D． 2．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 3．已知，则下列式子中不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 4．关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D． 5．对于分式下列说法正确的是 （    ） A．当时，分式无意义 B．当时，分式有意义 C．当时，分式的值为零 D．当时，分式的值为零 6．若关于的分式方程有增根，则关于的不等式的最小整数解为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 7．将分式中x，y的值都扩大为原来的3倍，则该分式的值（   ） A．不变 B．是原来的3倍 C．是原来的9倍 D．是原来的 8．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列分式方程正确的是（   ） A． B． C． D． 9．某社区植树60棵，实际种植人数是原计划人数的2倍，实际平均每人种植棵树比原计划少了3棵．若设原计划人数为人，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 10．给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第个数记为（为正整数）．已知，并规定：．以下结论： ①；②；③存在4个整数使得的值为整数． 正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、填空题 11．若分式的值为，则的值是 ． 12．如果关于的分式方程有增根，则的值是 ． 13．要使分式在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 14．若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程有整数解，则满足条件的整数a的值为 ． 15．某校组织七年级和八年级的学生到距离学校3千米的党史纪念馆参观学习，七年级学生步行从学校出发，10分钟后，八年级学生也步行从学校出发，八年级学生的步行速度是七年级学生的倍，两个年级学生恰好同时到达该纪念馆．设七年级学生步行的速度为x米/分，则可列方程为 ． 三、解答题 16．解分式方程： (1)； (2)． 17．伴随着“双碳”政策的实施，新能源汽车应运而生，新能源汽车主要有纯电动汽车和油电混合动力汽车两种．已知某型号油电混合动力汽车每次换电池的时间比加油的时间多分钟，且花5小时完成换电池服务的次数与花3小时完成加油服务的次数相等．求该车每次换电池服务和完成加油服务的时间分别是多少？ 18．观察与思考：①；②；③ (1)根据上述等式的规律，直接写出第④个等式； (2)试用含n（为自然数，且）的等式表示这一规律，并说明该等式的正确性． 19．为改善校园生态环境，某校计划对校园内面积为1000平方米的荒地进行绿化．经过招标，决定由甲、乙两个工程队共同完成．已知甲工程队每天完成绿化面积是乙工程队每天完成绿化面积的2倍，并且在独立完成面积为480平方米的绿化时，甲工程队比乙工程队少用6天． (1)求甲、乙两工程队每天完成绿化面积分别是多少平方米； (2)若甲工程队工作一天需付费万元，乙工程队工作一天需付费万元，要使这次绿化总费用不超过7万元，至少应安排甲工程队工作多少天？ 20．某汽车网站对两款价格相同，续航里程相同的汽车做了一次评测，一款为燃油车，另一款为纯电新能源车．得到相关数据如下：（续航里程是指在最大的能源储备下可连续行驶的总里程． 燃油车 新能源车 油箱容积：50升 电池电量：80千瓦时 油价：8元/升 电价：0.6元/千瓦时 (1)设两款车的续航里程均为a千米，则燃油车的每千米行驶费用是______元，纯电新能源车的每千米行驶费用是_______元；（请用含a的代数式表示） (2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.55元，则续航里程a的值为多少？ (3)在（2）的条件下，若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4000元和7300元，则每年行驶里程在什么范围时，新能源车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用+年其它费用） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《五章 分式与分式方程　复习练习题2024-2025学年北师大版数学八年级下册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C B C D D B C A B 1．C 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据题意逐一分析各选项分母是否可能为零，若无论取何值分母均不为零，则符合题意，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：、分母为，当时，分母为零，分式无意义，不符合题意； 、分母为，当时，分母为零，分式无意义，不符合题意； 、分母为，由于，则，无论取何实数，分母始终大于零，分式恒有意义，符合题意； 、分母为，当或时，分母为零，不符合题意； 故选：． 2．C 【分析】本题考查了幂的乘方，分式的乘法，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先运算幂的乘方，再运算分式的乘法，即可作答． 【详解】解：依题意，， 故选：C． 3．B 【分析】本题考查了比例的基本性质，分式的性质，解题的关键是熟练掌握比例的基本性质． 根据题意可设，（），代入各选项逐一验证是否恒成立即可． 【详解】解：∵， ∴可设，（）， A、，恒成立，故本选项不符合题意； B、．当时，分子，分母，此时分式无意义，等式不成立，故不一定成立，故本选项不符合题意； C、，恒成立，故本选项不符合题意； D、，，两边恒相等，恒成立，故本选项不符合题意． 故选：B． 4．C 【分析】本题考查了分式方程的解，分式方程的解为负数的条件是有解且解为负数，解题的关键是能正确解分式方程并理解分式方程的解为负数的条件为有解且解为负数． 【详解】解： 方程两边同乘以得： 解得： ∵关于x的分式方程的解为负数， 且 即且 解得：且 故选：C． 5．D 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式值为零的条件，根据分式有意义要求分母不为零，分式的值为零要求分子为零且分母不为零，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：选项A：当时，分母，分式有意义，故A错误． 选项B：当时，分母，分式无意义，故B错误． 选项C：分式值为零需满足分子且分母． 由得或． 当时，分母，满足条件； 当时，分母，分式无意义，故C错误． 选项D：当时，分子，分母，分式值为零，故D正确． 故选：D． 6．D 【分析】本题考查解分式方程，求不等式的整数解．首先由分式方程有增根确定m的值，再代入不等式求解其最小整数解． 【详解】解：分式方程两边同乘， 得： 化简得：， 解得， 当方程有增根时，增根为，代入得：， 解得． 将代入不等式， 得：， 解得， 故不等式的最小整数解为． 故选D． 7．B 【分析】此题考查了分式的基本性质，将原分式中的x和y分别替换为和，计算新分式并与原分式比较，得出变化倍数． 【详解】解：将原分式中的x和y均扩大为原来的3倍． 则 新分式是原分式的3倍，因此分式的值变为原来的3倍． 故选：B 8．C 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．根据题意可知慢马的速度为，快马的速度为，再根据快马的速度是慢马的倍，即可列出相应的方程，本题得以解决． 【详解】解：由题意可得， ， 故选：C． 9．A 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，设原计划人数为人，则实际人数为人，原计划平均每人种树棵，实际平均每人种树棵，根据题意，实际平均每人种树比原计划少3棵，由此建立方程． 【详解】解：由题意可得， ， 故选：A． 10．B 【分析】本题主要考查了分式的混合运算、代数式化简、整数解的存在性问题等知识点，掌握分式的混合运算法则成为解题的关键． ①先根据题意求得即可判定①；②设，进而得到、，然后求和即可判断②；需逐一验证三个结论的正确性；③先求出，进而得到，即为整数，据此确定x的可能取值即可判定③． 【详解】解：①由递推式，代入得：，故结论①正确． ②设，由递推式得．初始值．依次计算： ，求和得： ，故结论②错误． ③：由，故．比值需为整数．变形为：，要求为整数，即为的约数（）．解得为整数且分母非零的情况有： ，解得：； ，解得：； ，解得：； 共3个整数解，但题目中结论为“存在4个整数”，故结论③错误． 综上，仅结论①正确． 答案选B． 11． 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，直接利用分式的值为零则分子为零，分母不为零，进而得出答案，熟知分式的值为时要满足的条件是解题的关键． 【详解】解：∵分式的值为， ∴，， 解得， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了根据分式的方程解的情况求参数的值，先解分式方程，再根据分式方程解的情况列出关于的一元一次方程，解方程即可求解，理解分式方程增根的意义是解题的关键． 【详解】解：方程两边乘以，得， 解得， ∵分式方程有增根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了分式有意义，根据分母不为0进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵分式在实数范围内有意义， ∴， ∴， 故答案为： 14．2或3或7 【分析】本题考查了不等式组的无解、分式方程的整数解，解决本题的关键是根据不等式组的无解及分式方程的整数解确定a的取值范围．根据不等式组无解确定a的取值范围，再根据分式方程的整数解确定a的取值范围，从而求出符合条件的所有整数即可得结论． 【详解】解：∵ ， 解不等式①得：； 解不等式②得：， ∵不等式组无解， ∴， 解得； ∵ 去分母得：， 整理，得， ∵方程有整数解， ∴，，， 解得，，， ∵， ∴符合题意的整数a的值为， ∵是增根， 此时， 解得， ∴符合条件的所有整数a为． 故答案为：2或3或7． 15．（或） 【分析】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程． 表示出八年级学生步行的速度，然后根据两个年级学生恰好同时到达该纪念馆列方程即可． 【详解】解： 七年级学生步行的速度为x米/分，则八年级学生步行的速度为米/分， 根据题意列方程为． 故答案为：． 16．(1) (2)原方程无解 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解题步骤是解题的关键，需要注意的是，最后需要检验是否为增根． （1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】（1）解：， 去分母得：， 解得：， 经检验是分式方程的解； ∴原方程的解为：； （2）解：， 去分母得：， 解得：， 经检验是分式方程的增根． ∴原方程无解． 17．该车每次换电池服务和完成加油服务的时间分别是分钟和分钟． 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意正确列方程是解题关键．设该车每次换电池服务的时间是分钟，根据“花5小时完成换电池服务的次数与花3小时完成加油服务的次数相等”列分式方程求解即可． 【详解】解：设该车每次换电池服务的时间是分钟，则完成加油服务的时间是分钟， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合题意， （分钟）， 答：该车每次换电池服务和完成加油服务的时间分别是分钟和分钟． 18．(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查了数字类规律探究和分式的运算，正确得到规律是解题的关键； （1）根据前几个等式找到规律求解即可； （2）先根据（1）题的规律得出一般的等式形式，再根据分式的运算法则验证即可． 【详解】（1）解：因为①； ②； ③ 所以第④个等式是； （2）解：由（1）题可得：第n个等式为：； 证明：右边 左边； 所以原等式是正确的． 19．(1)甲工程队每天完成绿化面积是80平方米，乙工程队每天完成绿化面积是40平方米 (2)至少应安排甲工程队工作10天 【分析】本题考查分式方程和一元一次不等式的应用，根据题意找准数量关系是解题的关键． （1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是平方米，则甲工程队每天能完成绿化的面积是平方米，根据工作时间总工作量工作效率，结合在独立完成面积为480平方米区域的绿化时甲队比乙队少用6天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设应安排甲队工作天，则需安排乙队工作天，根据总费用每天费用工作时间结合这次的绿化总费用不超过7万元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论． 【详解】（1）解：设乙工程队每天完成绿化面积为平方米，则甲工程队每天完成绿化面积为平方米，根据题意： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 所以 答：甲工程队每天完成绿化面积是80平方米，乙工程队每天完成绿化面积是40平方米． （2）解：设安排甲工程队工作天，则安排乙工程队工作天，根据题意： ， ， 解得：， 答：至少应安排甲工程队工作10天． 20．(1)，； (2)续航里程a的值为640千米； (3)每年行驶里程大于6000时，新能源车的年费用更低． 【分析】本题考查分式方程的应用、不等式的应用． （1）根据表中的信息，可以表示出燃油车和纯电新能源车的每千米行驶费用； （2）根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.55元和表中的信息，列出分式方程，解方程，即可解决问题； （3）根据燃油车年行驶费用+年其它费用大于新能源车年行驶费用+年其它费用列出不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：燃油车每千米行驶费用为（元）， 纯电新能源车每千米行驶费用为（元）， 故答案为：，； （2）解：， 解得：， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， 答：续航里程a的值为640千米； （3）解：由（2）知，燃油车的每千米行驶费用是（元）， 纯电新能源车的每千米行驶费用是（元）， 设每年形势里程为x千米时，新能源车的年费用更低， 由题意得：， 解得：， ∴每年行驶里程大于6000时，新能源车的年费用更低． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$