精品解析：甘肃省平凉市庄浪县集团校 2024-2025学年九年级下学期4月期中联考数学试题

2024-2025学年第二学期期中考试题 九年级 数学 考试时间120分钟　试卷满分150分 一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，将正确答案的序号填在题后的括号内，每小题3分，共30分） 1. 2025的绝对值是（ ） A. 2025 B. ﹣2025 C. D. 2. 若，则（ ） A. 6 B. C. 1 D. 3. 计算 结果是（ ） A. 2 B. C. 1 D. 4. 2024年前半年，平凉市坚持稳中求进、综合施策，全市国民经济起步平稳，开局良好．一季度全市国民生产总值8779亿元．8779亿元用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，八人步．问：人与车各几何?”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有8人需要步行，问人与车各多少?设共有人，辆车，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，小张想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，他先在外取一点C，然后取的中点D，E，并测出的长约为27m，由此估测A，B之间的距离约为（ ） A. B. C. D. 7. 若，则直线一定经过点（　　） A. B. C. D. 8. 如图，将矩形对折，使边与，与分别重合，展开后得到四边形．若，则四边形的面积为（ ） A. 2 B. 12 C. 5 D. 6 9. 对于任意的有理数，如果满足，那么我们称这一对数为“相随数对”记为．若是“相随数对”则（ ） A. B. C. 2 D. 3 10. 如图，菱形的对角线与相交于点O，E为的中点，连接，，，则（ ） A. 4 B. C. 2 D. 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 因式分解：________． 12. 如图，内接于，是的的直径，点是上一点，，则________． 13. 已知二次函数，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是__________． 14. 若点在反比例函数的图象上，则____（填“>”或“<”或“=”） 15. 如图，直线与轴相交于点，与轴相交于点，将沿着翻折，得到，则点的坐标为_____． 16. 一组按规律排列的代数式：，…，则第个式子是___________． 三、本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 解不等式组，并把不等式的解集在数轴上表示出来． 19. 先化简，再求值，其中，． 20. 在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理．如图，已知弧，C是弦上一点，请你根据以下步骤完成这个引理的作图过程． （1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）： ①作线段的垂直平分线，分别交弧于点D，于点E，连接； ②以点D为圆心，长为半径作弧，交弧AB于点F（F，A两点不重合），连接． （2）直接写出引理的结论：判断与的关系． 21. 如图，在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6米的B处安置测角仪，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪高AB为1.5米，求拉线CE的长（结果保留根号）． 22. 甲、乙两超市(大型商场)同时开业，为了吸引顾客，都举行了有奖酬宾活动：凡购物满100元，均可得到一次摸奖的机会. 在一个纸盒里装有2个红求和2个白球，除颜色外其他都相同，摸奖者一次从中摸出两个球，根据球的颜色决定送礼金券(在他们超市使用时，与人民币等值)的多少（如下表） 甲 超 市 球 两红 一红一白 两白 礼金券 5 10 5 乙 超 市 球 两红 一红一白 两白 礼金券 10 5 10 （1）用树状图或列表法表示得到一次摸奖机会时中礼金券的所有情况； （2）如果只考虑中奖因素，你将会选择去哪个超市购物？请说明理由. 四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 积石山大地震发生后，某中学九年级(一)班共40名同学开展了“我为灾区献爱心”的活动，活动结束后，班长将捐款情况进行了统计 ，并绘制成下面的统计图． （1）求这40 名同学捐款的平均数； （2）这组数据的众数是　　　　，中位数是　　　　　． （3）该校共有学生1600名，请根据该班的捐款情况，估计这个中学的捐款总数大约是多少元？ 24. 如图，是矩形的对角线上的一点，点E在上，双曲线经过点A，交于点E，交于点F，若． （1）求双曲线的解析式； （2）求点F的坐标； （3）连接、，直线与直线是否一定平行？（只答“一定”或“不一定”） 25. 如图，AB是⊙O的直径，弧ED=弧BD，连接ED、BD，延长AE交BD的延长线于点M，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点C． （1）若OACD，求阴影部分的面积； （2）求证：DEDM． 26. 四边形中，点E在边上，连接、．设，，，，给出下列五个关系式，①；②；③；④；⑤；将其中的三个关系作为题设，另外两个作为结论，构成一个命题． （1）用序号写出一个真命题（书写形式如：如果xxx，那么xxx），并给出证明； （2）用序号写出三个真命题（不需要证明） （3）在本题可以书写的命题中，只有一个是假命题，是哪一个？说明理由． 27. 如图，在平面直角坐标系中，点是原点，点的坐标为，以为一边，在第一象限作等边． （1）求点的坐标； （2）求经过、、三点的抛物线的解析式； （3）直线与（2）中的抛物线在第一象限相交于点，求点的坐标； （4）在（3）中，直线上方的抛物线上，是否存在一点，使得的面积最大？如果存在，求出点的坐标和面积的最大值；如果不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期期中考试题 九年级 数学 考试时间120分钟　试卷满分150分 一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，将正确答案的序号填在题后的括号内，每小题3分，共30分） 1. 2025的绝对值是（ ） A. 2025 B. ﹣2025 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了绝对值的定义，理解绝对值的定义是解题的关键，根据绝对值的定义进行求解即可． 【详解】解：的绝对值是 故选： A． 2. 若，则（ ） A. 6 B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了比例的基本性质．根据比例的基本性质，比例式中两个外项的乘积等于两个内项的乘积即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即， 故选：A． 3. 计算 结果是（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值及零指数幂的运算，需逐一计算各部分后合并同类项即可． 【详解】解： ， 故选：C． 4. 2024年前半年，平凉市坚持稳中求进、综合施策，全市国民经济起步平稳，开局良好．一季度全市国民生产总值8779亿元．8779亿元用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数，据此解答即可． 【详解】解：8779亿． 故选：C． 5. 我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，八人步．问：人与车各几何?”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有8人需要步行，问人与车各多少?设共有人，辆车，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，设共有x人，y辆车，由“每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有8人需要步行”列方程可求解． 【详解】解：由题意得， 故选：C． 6. 如图，小张想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，他先在外取一点C，然后取的中点D，E，并测出的长约为27m，由此估测A，B之间的距离约为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形的中位线的实际应用，由题意，易得是的中位线，根据三角形的中位线定理，即可得出结果． 【详解】解：∵D，E是的中点， ∴是的中位线， ∴， 故选：D． 7. 若，则直线一定经过点（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，将选项中所给点的坐标代入验证，符合的特征即可，据此可解决问题． 【详解】解：将点代入得，，不符合的形式，所以A选项不符合题意． 将点代入得，，不符合的形式，所以B选项不符合题意． 将点代入得，，即，不符合的形式，所以C选项不符合题意． 将点代入得，，即，符合的形式， 所以D选项符合题意． 故选：D． 8. 如图，将矩形对折，使边与，与分别重合，展开后得到四边形．若，则四边形的面积为（ ） A. 2 B. 12 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了矩形的折叠、菱形的判定和性质等知识，熟练掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．先证四边形为菱形，由菱形的面积等于对角线乘积的一半即可得到答案． 【详解】解：由折叠知，，且与互相平分， 四边形为菱形， ， 四边形的面积为， 故选B． 9. 对于任意的有理数，如果满足，那么我们称这一对数为“相随数对”记为．若是“相随数对”则（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查整式的加减—化简求值，由题意得，整理得，即，然后将原式去括号，合并同类项后代入数值计算即可． 【详解】解：由题意得， 整理得， 则， ， 故选：A． 10. 如图，菱形的对角线与相交于点O，E为的中点，连接，，，则（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，解直角三角形，由菱形的性质可得，由直角三角形的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵E为的中点，， ∴， 故选：C． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 因式分解：________． 【答案】x（y-1）2 【解析】 【分析】先提公因式，然后再利用完全平方公式继续分解即可． 【详解】解：xy2-2xy+x =x（y2-2y+1） =x（y-1）2， 故答案为：x（y-1）2． 【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式． 12. 如图，内接于，是的的直径，点是上一点，，则________． 【答案】40 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，以及直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键． 根据直径所对的圆周角为直角，得，由同弧所对的圆周角相等，得，然后由直角三角形的性质即可得出结果． 【详解】解：∵是直径， ∴， ∵， ∴ 故答案为：40． 13. 已知二次函数，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．根据二次函数的性质求出抛物线的对称轴为直线，根据二次函数性质求出结果即可． 【详解】解：∵ ∵开口向上，对称轴为直线， ∴时，函数值y随x的增大而增大． 故答案为：． 14. 若点在反比例函数的图象上，则____（填“>”或“<”或“=”） 【答案】 【解析】 【分析】先确定的图像在一，三象限，且在每一象限内，随的增大而减小，再利用反比例函数的性质可得答案． 【详解】解：＞ 的图像在一，三象限，且在每一象限内，随的增大而减小， ＞ ＜ 故答案为： 【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，掌握利用反比例函数的图像与性质比较函数值的大小是解题的关键． 15. 如图，直线与轴相交于点，与轴相交于点，将沿着翻折，得到，则点的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了翻折的性质，利用锐角三角函数解直角三角形，一次函数的图象和性质等知识点，解题的关键是熟练掌握翻折的性质和锐角三角函数． 过点作轴，交轴于点，利用一次函数的性质求出与坐标轴的交点坐标，利用锐角三角函数解直角三角形，求出相关的边长即可． 【详解】解：如图，过点作轴，交轴于点， 由得， 当时，， ∴， 当时，， ∴， ， ， ∴， 由翻折的性质可得，， ， ，， ， ， ∴， 故答案为：． 16. 一组按规律排列的代数式：，…，则第个式子是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查多项式中的规律探究，根据已有多项式可知，多项式为二项式，第一项的字母为，指数为从1开始连续的正整数，第二项的系数为2，字母为，指数是从1开始的连续的奇数，即可得出结果． 【详解】解：∵， ， ，，… 以此类推可得，第个式子为：， 故答案为：． 三、本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】利用二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则是解答本题的关键． 18. 解不等式组，并把不等式的解集在数轴上表示出来． 【答案】 ， 在数轴上表示不等式的解集如下： 【解析】 【分析】本题应该先对不等式组进行化简，分别求出一元一次不等式的解集，然后在数轴上分别画出的取值，它们的公共部分就是不等式组的解集． 【详解】解：由得： ， ， ， 由得： ， ， ， ． 【点睛】此题主要考查了一元一次不等式组的解法，解此类题是要先分别解出不等式的解集，然后再在数轴上找出它们的公共部分，注意解集的找法大大取大，小小取小． 19. 先化简，再求值，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查多项式乘以多项式和分式的化简求值，掌握多项式乘以多项式和分式的混合运算法则是解题关键．根据多项式乘以多项式和分式的混合运算法则计算即可化简，再将代入化简后的式子求值即可． 【详解】解： ， ∵ ∴原式． 20. 在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理．如图，已知弧，C是弦上一点，请你根据以下步骤完成这个引理的作图过程． （1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）： ①作线段的垂直平分线，分别交弧于点D，于点E，连接； ②以点D为圆心，长为半径作弧，交弧AB于点F（F，A两点不重合），连接． （2）直接写出引理的结论：判断与的关系． 【答案】（1） 如图所示， （2） ，理由如下： 由作图可得：是的垂直平分线， ∴． 【解析】 【分析】本题考查作图—应用与设计作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，（1）先根据线段垂直平分线的作法进行作图，再以点D为圆心，长为半径作弧即可； （2）由线段垂直平分线的性质得 再根据等边对等角即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 如图，在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6米的B处安置测角仪，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪高AB为1.5米，求拉线CE的长（结果保留根号）． 【答案】CE的长为（4+）米 【解析】 【分析】由题意可先过点A作AH⊥CD于H．在Rt△ACH中，可求出CH，进而CD=CH+HD=CH+AB，再在Rt△CED中，求出CE的长． 【详解】解：过点A作AH⊥CD，垂足为H， 由题意可知四边形ABDH为矩形，∠CAH=30°， ∴AB=DH=1.5，BD=AH=6， 在Rt△ACH中，tan∠CAH=， ∴CH=AH•tan∠CAH， ∴CH=AH•tan∠CAH=6tan30°=6×=2（米）， ∵DH=1.5， ∴CD=2+1.5， 在Rt△CDE中， ∵∠CED=60°，sin∠CED=， ∴CE==（4+）（米）， 答：拉线CE的长为（4+）米． 【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形． 22. 甲、乙两超市(大型商场)同时开业，为了吸引顾客，都举行了有奖酬宾活动：凡购物满100元，均可得到一次摸奖的机会. 在一个纸盒里装有2个红求和2个白球，除颜色外其他都相同，摸奖者一次从中摸出两个球，根据球的颜色决定送礼金券(在他们超市使用时，与人民币等值)的多少（如下表） 甲 超 市 球 两红 一红一白 两白 礼金券 5 10 5 乙 超 市 球 两红 一红一白 两白 礼金券 10 5 10 （1）用树状图或列表法表示得到一次摸奖机会时中礼金券的所有情况； （2）如果只考虑中奖因素，你将会选择去哪个超市购物？请说明理由. 【答案】（1） 画树状图如下： （2）我选择去甲超市购物， ∵去甲超市购物摸一次奖获10元礼金券的概率P(甲)== , 去乙超市购物摸一次奖获10元礼金券的概率P(乙)= =, ∴P(甲)> P(乙)      ∴我选择去甲超市购物． 【解析】 【分析】（1）用画树状图法求解即可； （2）计算两超市中奖概率，比较即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查用画树状图法求概率，概率的应用，熟练掌握用列表法或画树状法求事件概率是解题的关键． 四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 积石山大地震发生后，某中学九年级(一)班共40名同学开展了“我为灾区献爱心”的活动，活动结束后，班长将捐款情况进行了统计 ，并绘制成下面的统计图． （1）求这40 名同学捐款的平均数； （2）这组数据的众数是　　　　，中位数是　　　　　． （3）该校共有学生1600名，请根据该班的捐款情况，估计这个中学的捐款总数大约是多少元？ 【答案】（1）这40 名同学捐款的平均数是57.75元 （2）40元，30元 （3）估计这个中学的捐款总数大约是92400元 【解析】 【分析】此题考查了条形统计图，加权平均数，众数和中位数的定义，样本估计总体，理解概念是解题的关键． （1）根据加权平均数计算方法即可计算40名同学捐款的平均数； （2）根据众数和中位数的定义求解即可； （3）用样本平均数估计可以看做总体的平均数，用40名同学捐款的平均数乘以学生的总人数，即可得这个中学的捐款总钱数． 【小问1详解】 这40 名同学捐款的平均数是57.75元； 【小问2详解】 ∵捐款40元的人数最多， ∴这组数据的众数是40元； ∵共有40名同学 ∴中位数为第20位和第21为捐款的平均数 ∴中位数是； 【小问3详解】 （元） 答：估计这个中学的捐款总数大约是92400元． 24. 如图，是矩形的对角线上的一点，点E在上，双曲线经过点A，交于点E，交于点F，若． （1）求双曲线的解析式； （2）求点F的坐标； （3）连接、，直线与直线是否一定平行？（只答“一定”或“不一定”） 【答案】（1） （2） （3）一定 【解析】 【分析】（1）将代入，求出，即可求得双曲线的解析式； （2）设直线的解析式为，由直线经过点，可求得a的值，，把代入得到点Ｅ的坐标，进而求得点B的坐标，点F的纵坐标与点B的坐标相同，代入即可得到点F的坐标； （3）连接、，由B、E、F的坐标可求出C、D两点的坐标，利用两点间的距离公式可求出BF、、、的长度，根据证明三角形相似，即可得出． 【小问1详解】 ∵双曲线经过点， ∴， ∴ ∴双曲线的解析式为； 【小问2详解】 设直线的解析式为， ∵直线经过点， ∴， ∴ ∴直线的解析式为 ∵，代入得 ∴ ∴ ∴将代入 ∴ 将代入得， ∴ ∴； 【小问3详解】 连接、， ∵，， ∴， ∴，，，， ∴，， ∴， 又， ， ， ∴． 【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的交点问题，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，先用待定系数法求出反比例函数及一次函数的解析式是解答此题的关键． 25. 如图，AB是⊙O的直径，弧ED=弧BD，连接ED、BD，延长AE交BD的延长线于点M，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点C． （1）若OACD，求阴影部分的面积； （2）求证：DEDM． 【答案】（1）4-π； （2）连接AD．∵AB是⊙O直径∴∠ADB=∠ADM= 90°又∵弧ED=弧BD∴ED="BD" ∠MAD=∠BAD∴△AMD≌△ABD∴DM="BD" ∴DE=DM．如图所示： 【解析】 【详解】试题分析：（1）连接OD，由已知条件可证出三角形ODC是等腰直角三角形，OD的长度知道，∠DOB的度数是45度，这样，阴影的面积就等于等腰直角三角形ODC的面积减去扇形ODB的面积．（2）连接AD，由已知条件可证出AD垂直平分BM，从而得到DM=DB，又因为弧DE=弧DB，DE=DB，所以DE就等于DM了． 试题解析：（1）连接OD，∵CD是⊙O切线，∴OD⊥CD∵OA="CD" =， OA=OD∴OD=CD=∴△OCD 为等腰直角三角形∠DOC=∠C=45°S阴影=S△OCD-S扇OBD=××－． （2）略 考点：圆的性质与三角形综合知识． 26. 四边形中，点E在边上，连接、．设，，，，给出下列五个关系式，①；②；③；④；⑤；将其中的三个关系作为题设，另外两个作为结论，构成一个命题． （1）用序号写出一个真命题（书写形式如：如果xxx，那么xxx），并给出证明； （2）用序号写出三个真命题（不需要证明） （3）在本题可以书写的命题中，只有一个是假命题，是哪一个？说明理由． 【答案】（1）如果①②③，那么④⑤， 理由如下： ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴； （2）如果①②④，那么③⑤；如果①②⑤，那么③④；如果①③④，那么②⑤ （3）如果②③④，那么①⑤， 如图，和和是全等的等边三角形，此时C、D、E在同一直线上， ，，但与不平行． 【解析】 【分析】（1）如果，那么④⑤；先根据，，利用证出，得出，再根据，得出，即可证出； （2）根据命题的结构和有关性质、判定以及真命题的定义，写出命题即可； （3）根据题意得到和和是全等的等边三角形，此时C、D、E在同一直线上，进而判断即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如果①②④，那么③⑤；如果①②⑤，那么③④；如果①③④，那么②⑤ 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本的性质和判定，灵活应用． 27. 如图，在平面直角坐标系中，点是原点，点的坐标为，以为一边，在第一象限作等边． （1）求点的坐标； （2）求经过、、三点的抛物线的解析式； （3）直线与（2）中的抛物线在第一象限相交于点，求点的坐标； （4）在（3）中，直线上方的抛物线上，是否存在一点，使得的面积最大？如果存在，求出点的坐标和面积的最大值；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3） （4）的最大面积为，此时点的坐标为 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数解析式的求法，以及一次函数与二次函数综合应用，还有二次函数最值问题，综合性比较强，题目很典型． （1）利用点的坐标为是等边三角形，作高后利用勾股定理可以求出； （2）利用顶点式可以求出解析式； （3）由直线与抛物线相交，用表示出点的坐标，即可求出； （4）假设存在这样一个点，用表示出点的坐标，即可求出． 【小问1详解】 解：如图1，过点作轴于点， ∵是等边三角形， ∴， ∴点的坐标为； 【小问2详解】 解：根据抛物线的对称性可知，点是抛物线的顶点， 设抛物线的解析式为， 当时，， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， 即：； 【小问3详解】 解：设点的横坐标为，则纵坐标为， 即点的坐标为代入抛物线的解析式得：， 解得：或， ∵点在第一象限， ∴， ∴点的坐标为； 【小问4详解】 解：存在． 设点的坐标为的面积为， 如图2，过点作轴于点，交于点， 则点的坐标为， 作于点， 则， ， ， ∴的最大面积为，此时点的坐标为． 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