21.1二次函数课时练2024-2025学年沪科版九年级数学 上册

21.1二次函数 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1.下列函数中，y一定是x的二次函数的是（　　） A．y＝ax2+bx+c B．y＝50+x2 C．y＝x+2 D．y＝（x+1）2﹣x2 【解答】解：A中y＝ax2+bx+c，当a＝0时，不是二次函数，不符合题意； B中y＝50+x2，是二次函数，符合题意； C中y＝x+2，是一次函数，不符合题意； D中y＝（x+1）2﹣x2，整理得，y＝2x+1，是一次函数，故不符合题意， 故选：B． 2.若方程y＝mx2﹣4x﹣5是关于x的二次函数，则m的取值范围是（　　） A．m＞0 B．m≠0 C．m≠2 D．m≠﹣2 【解答】解：∵y＝mx2﹣4x﹣5是关于x的二次函数， ∴m≠0， 故选：B． 3.下列函数中是二次函数的有（　　） ①；②；③y＝x（3﹣5x）；④y＝（1+2x）（1﹣2x）+4x2． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：①y＝3；③y＝x（3﹣5x）；是二次函数，共2个， 故选：B． 4.二次函数y＝2x2﹣3的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（　　） A．2、0、﹣3 B．2、﹣3、0 C．2、3、0 D．2、0、3 【解答】解：二次函数y＝2x2﹣3的二次项系数是2，一次项系数是0，常数项是﹣3， 故选：A． 5.若y＝mx2+nx﹣p（其中m，n，p是常数）为二次函数，则（　　） A．m，n，p均不为0 B．m≠0，且n≠0 C．m≠0 D．m≠0，或p≠0 【解答】解：根据题意得当m≠0时，y＝mx2+nx﹣p（其中m，n，p是常数）为二次函数． 故选：C． 6.若y＝（a2+a）是二次函数，那么（　　） A．a＝﹣1或a＝3 B．a≠﹣1且a≠0 C．a＝﹣1 D．a＝3 【解答】解：根据题意，得：a2﹣2a﹣1＝2 解得a＝3或﹣1 又因为a2+a≠0即a≠0或a≠﹣1 所以a＝3． 故选：D． 7.深高小学部饲养了两只萌萌的羊驼，建筑队在学校一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库，仓库总面积为y平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设AB＝x米，则y关于x的函数关系式为（　　） A．y＝x（18﹣4x） B．y＝x（18﹣2x） C．y＝x（12﹣4x） D．y＝x12﹣2x 【解答】解：平行于墙的一边长为15+3﹣4x＝（18﹣4x）米． 根据题意得：y＝x（18﹣4x）． 故选：A． 8.2022年北京某零售店“冰墩墩”的销售日益火爆，每个纪念品进价40元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每降价1元，每天销量增加20个．现商家决定降价销售，每个降价x元（0＜x＜4）．设每天销售量为y个，每天销售纪念品获得的利润w元，则下列等式正确的是（　　） A．y＝20x﹣300 B．y＝﹣20x+300 C．w＝（20x+300）（4﹣x） D．w＝（﹣20x+1180）（40﹣x） 【解答】解：设每天销售量为y个，每个降价x元（0＜x＜4），商家每天销售纪念品获得的利润w元， 根据题意得y＝300+20x， 则w＝（44﹣40﹣x）（20x+300）＝（4﹣x）（20x+300）， 故选：C． 9.某农机厂四月份生产零件60万个，设该厂第二季度平均每月的增长率为x，如果第二季度共生产零件y万个，那么y与x满足的函数关系式是（　　） A．y＝60（1+x）2 B．y＝60+60（1+x）+60（1+x）2 C．y＝60（1+x）+60（1+x）2 D．y＝60+60（1+x） 【解答】解：设该厂第二季度平均每月的增长率为x，则五月份生产零件60（1+x）万个，六月份生产零件60（1+x）2万个， 依题意得：y＝60+60（1+x）+60（1+x）2． 故选：B． 10.下面问题中，y与x满足的函数关系是二次函数的是（　　） ①面积为10cm2的矩形中，矩形的长y（cm）与宽x（cm）的关系； ②底面圆的半径为5cm的圆柱中，侧面积y（cm2）与圆柱的高x（cm）的关系； ③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件x元出售，可卖出（100﹣2x）件．利润y（元）与每件进价x（元）的关系． A．① B．② C．③ D．①③ 【解答】解：①，y是x的反比例函数，故此选项不符合题意； ②y＝2π×5x＝10πx，y是x的正比例函数，故此选项不符合题意； ③y＝（x﹣80）（100﹣2x）＝100x﹣2x2﹣8000+160x＝﹣2x2+260x﹣8000，y是x的二次函数，故此选项符合题意； 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11.如果函数3是二次函数，则m的值为 　　 ． 【解答】解：∵是二次函数， ∴， 解得：， ∴m＝2； 故答案为：2． 12.若y＝（m+1）x|m|+1+4x﹣5是关于x的二次函数，则一次函数y＝mx+m的图象不经过 第 　　 象限． 【解答】解：由于y＝（m+1）x|m|+1+4x﹣5是关于x的二次函数， ∴|m|+1＝2且m+1≠0， ∴m＝1， 故一次函数的解析式为y＝x+1， 故一次函数过一、二、三象限， 故答案为：四． 13.某厂今年一月份新产品的研发资金为1000元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为y＝　 　 ． 【解答】解：∵每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x， ∴该厂今年三月份新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为：y＝1000（1+x）2． 故答案为：1000（1+x）2． 14.有一长方形条幅，长为am，宽为bm，四周镶上宽度相等的花边，则剩余面积S（m2）与花边宽度x（m）之间的函数关系式为　 　 ，自变量x的取值范围为　 　 ． 【解答】解：剩余长方形的长为（a﹣2x），宽为（b﹣2x）， 则剩余面积S（m2）与花边宽度x（m）之间的函数关系式为：s＝（a﹣2x）（b﹣2x）． ∵x＞0，2x＜b ∴自变量x的取值范围为0＜x． 故答案为：s＝（a﹣2x）（b﹣2x）；0＜x． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15.已知函数y＝（m2﹣m）x2+mx+（m+1），m是常数． （1）若这个函数是一次函数，求m的值； （2）若这个函数是二次函数，求m的值． 【解答】解：依题意得 ∴ ∴m＝1 （2）依题意得m2﹣m≠0∴m≠0且m≠1． 16.如图，已知等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为20cm，AC与MN在同一条直线上，开始时点A与点N重合，让△ABC以2cm/s的速度向左运动，最终点A与点M重合，求重叠部分的面积ycm2与时间ts之间的函数关系式． 【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形， ∴重叠部分也是等腰直角三角形， 又∵AN＝2t， ∴AM＝MN﹣AN＝20﹣2t， ∴MH＝AM＝20﹣2t， ∴重叠部分的面积为y（20﹣2t）2＝2t2﹣40t+200． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17.如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米． （1）求S与x的函数关系式及自变量x的取值范围； （2）若墙的最大可用长度为9米，求此时自变量x的取值范围． 【解答】解：（1）S＝BC×AB＝（24﹣3x）x＝﹣3x2+24x 由题意得： 0＜x＜8 （2）∵24﹣3x≤9 ∴x≥5 结合（1）得，5≤x＜8． 18.一个二次函数y＝（k﹣1）2x﹣1． （1）求k值． （2）求当x＝0.5时y的值？ 【解答】解：（1）由题意得：k2﹣3k+4＝2， 则k2﹣3k+2＝0， （k﹣1）（k﹣2）＝0， 解得：k1＝1，k2＝2， ∵k﹣1≠0， ∴k＝2； （2）把k＝2代入y＝（k﹣1）2x﹣1得：y＝x2+2x﹣1， 当x＝0.5时，y＝（）2+21． 5、 （本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19.根据以下素材，探索完成任务． 如何设计打印图纸方案？ 素材1 如图1，正方形ABCD是一张用于3D打印产品的示意图，它由三个区块（Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ）构成．已知AB＝10cm，点E，F分别在BC和AB上，且BE＝BF，设BE＝x cm（0＜x＜10）． 素材2 为了打印精准，拟在图2中的BC边上设置一排间距为1cm的定位坐标（B为坐标原点），计算机可根据点E的定位坐标精准打印出图案． 问题解决 任务1 确定关系 用x的代数式表示： 区域Ⅰ的面积＝　　 ；区域Ⅱ的面积＝　　 ． 任务2 拟定方案 为了美观，拟将区域Ⅲ分割为甲、乙两个三角形区域，并要求区域乙是含DE边的等腰三角形，求所有方案中乙的面积或者函数表达式． 【解答】解：任务1： ∵BE＝BF＝x， ∴区块Ⅰ的面积：． ∵BE＝BF＝x，AB＝BC＝10cm， ∴CE＝BC﹣BE＝10﹣x， ∴区块Ⅱ的面积：． ∴区块Ⅲ的面积：． 任务2：①如图1若连接DF， ∵AD＞AF， ∴△ADF不可能为等腰三角形， ∵DF＝DE， ∴△DFE为等腰三角形， ∴． ②如图2连接AE， ∴． 20.学校准备将一块长20m，宽14m的矩形绿地扩建，如果长和宽都增加x m，设增加的面积是y m2． （1）求x与y之间的函数关系式． （2）若要使绿地面积增加72m2，长与宽都要增加多少米？ 【解答】解：（1）由题意可得， y＝（20+x）（14+x）﹣20×14 化简，得 y＝x2+34x， 即x与y之间的函数关系式是：y＝x2+34x； （2）将y＝72代入y＝x2+34x，得 72＝x2+34x， 解得，x1＝﹣36（舍去），x2＝2， 即若要使绿地面积增加72m2，长与宽都要增加2米． 六、（本题满分12分） 21.已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝8cm，矩形MNPQ的长和宽分别为9cm和2cm，点P和点A重合，NP和AC在同一条直线上（如图所示），Rt△ABC不动，矩形MNPQ沿射线NP以每秒1cm的速度向右移动，设移动x（0＜x≤9）s后，矩形MNPQ与△ABC重叠部分的面积为y cm2，求y与x之间的函数关系式． 【解答】解：运动过程中，重叠部分图形的形状在发生改变，重叠部分面积也随之而变化，由此可知题目需进行以下分类讨论： 当0＜x≤2时，如图1所示，重叠部分为等腰直角三角形，腰长为x cm，得：； 当2＜x≤8时，如图2所示，重叠部分为直角梯形，梯形高即为矩形宽为2cm，梯形下底长为x cm，上底长为（x﹣2）cm，得：； 当8＜x≤9时，如图3所示，重叠部分为直角梯形，梯形高即为矩形宽为2cm，梯形下底长即为等腰直角三角形腰长8cm保持不变，则上底长为8﹣2＝6（cm），得保持不变． 综上所述，y 七、（本题满分12分） 22.某商品的进价为每件40元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件，如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件．设每件商品的售价x元（x为整数），每个月的销售量为y件． （1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围； （2）设每月的销售利润为W，请直接写出W与x的函数关系式． 【解答】解：（1）当50＜x≤80时，y＝210﹣（x﹣50），即y＝260﹣x， 当80＜x＜140时，y＝210﹣（80﹣50）﹣3（x﹣80），即y＝420﹣3x． 则y； （2）由题意可得， W＝﹣x2+300x﹣10400（50＜x≤80）， W＝﹣3x2+540x﹣16800（80＜x＜140）． 八、（本题满分14分） 23.如图，长方形ABCD中，宽AB＝4，点P沿着四边按B→C→D→A方向运动，开始以每秒m个单位匀速运动，a秒后变为每秒2个单位匀速运动，b秒后恢复原速匀速运动，在运动过程中，△ABP的面积S与运动时间t的关系如图所示． （1）直接写出长方形的长＝　　 ，长方形的宽＝　　 ； （2）直接写出m＝　　 ，a＝　　 ，b＝　　 ； （3）当P点运动到BC中点时，有一动点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿C→D→A运动，当一个点到达终点，另一个点也停止运动，设点Q运动的时间为x秒，△BPQ的面积为y，求当2≤x≤4时，y与x之间的关系式． 【解答】解：（1）在5≤x≤7时，△ABP的面积不变， 此时：点P在BC上运动，速度为每秒2个单位， ∴AD＝BC＝2×2＝4， 在5≤x≤7时，△ABP的面积为12， ∴4×BC＝12， ∴BC＝6， ∴长方形的长为6． 故答案为：6，4； （2）当x＝a时，S△ABP4×BP＝8， ∴BP＝4， ∴CP＝2， ∴a＝5﹣（2÷2）＝4， ∴m1， 当x＝b时，S△ABP4×AP＝4， ∴AP＝2， ∴DP＝4， ∴b＝7+（4÷2）＝9； 故答案为：1，4，9； （3）根据题意可知，BC＝4×1+1×2＝6，CD＝2×2＝4； 当0≤x≤1时，如图，BP＝3+x，CQ＝x， ∴yBP•CQ（3+x）•xx2x； 当1＜x≤2时，如图，BP＝4+2（x﹣1）＝2x+2，CQ＝x， yBP•CQ（2x+2）•x＝x2+x； 当2＜x≤4时，如图，CP＝2（x﹣2），CQ＝x， ∴PQ＝x﹣（2x﹣4）＝4﹣x， ∴yPQ•BC（4﹣x）•6＝12﹣3x； ∴y． ∵2≤x≤4， ∴y与x之间的关系式为y＝12﹣3x． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 21.1二次函数 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1.下列函数中，y一定是x的二次函数的是（　　） A．y＝ax2+bx+c B．y＝50+x2 C．y＝x+2 D．y＝（x+1）2﹣x2 2.若方程y＝mx2﹣4x﹣5是关于x的二次函数，则m的取值范围是（　　） A．m＞0 B．m≠0 C．m≠2 D．m≠﹣2 3.下列函数中是二次函数的有（　　） ①；②；③y＝x（3﹣5x）；④y＝（1+2x）（1﹣2x）+4x2． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4.二次函数y＝2x2﹣3的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（　　） A．2、0、﹣3 B．2、﹣3、0 C．2、3、0 D．2、0、3 5.若y＝mx2+nx﹣p（其中m，n，p是常数）为二次函数，则（　　） A．m，n，p均不为0 B．m≠0，且n≠0 C．m≠0 D．m≠0，或p≠0 6.若y＝（a2+a）是二次函数，那么（　　） A．a＝﹣1或a＝3 B．a≠﹣1且a≠0 C．a＝﹣1 D．a＝3 7.深高小学部饲养了两只萌萌的羊驼，建筑队在学校一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库，仓库总面积为y平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设AB＝x米，则y关于x的函数关系式为（　　） A．y＝x（18﹣4x） B．y＝x（18﹣2x） C．y＝x（12﹣4x） D．y＝x12﹣2x 8.2022年北京某零售店“冰墩墩”的销售日益火爆，每个纪念品进价40元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每降价1元，每天销量增加20个．现商家决定降价销售，每个降价x元（0＜x＜4）．设每天销售量为y个，每天销售纪念品获得的利润w元，则下列等式正确的是（　　） A．y＝20x﹣300 B．y＝﹣20x+300 C．w＝（20x+300）（4﹣x） D．w＝（﹣20x+1180）（40﹣x） 9.某农机厂四月份生产零件60万个，设该厂第二季度平均每月的增长率为x，如果第二季度共生产零件y万个，那么y与x满足的函数关系式是（　　） A．y＝60（1+x）2 B．y＝60+60（1+x）+60（1+x）2 C．y＝60（1+x）+60（1+x）2 D．y＝60+60（1+x） 10.下面问题中，y与x满足的函数关系是二次函数的是（　　） ①面积为10cm2的矩形中，矩形的长y（cm）与宽x（cm）的关系； ②底面圆的半径为5cm的圆柱中，侧面积y（cm2）与圆柱的高x（cm）的关系； ③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件x元出售，可卖出（100﹣2x）件．利润y（元）与每件进价x（元）的关系． A．① B．② C．③ D．①③ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11.如果函数3是二次函数，则m的值为 　　 ． 12.若y＝（m+1）x|m|+1+4x﹣5是关于x的二次函数，则一次函数y＝mx+m的图象不经过 第 　　 象限． 13.某厂今年一月份新产品的研发资金为1000元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为y＝　 　 ． 14.有一长方形条幅，长为am，宽为bm，四周镶上宽度相等的花边，则剩余面积S（m2）与花边宽度x（m）之间的函数关系式为　 　 ，自变量x的取值范围为　 　 ． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15.已知函数y＝（m2﹣m）x2+mx+（m+1），m是常数． （1）若这个函数是一次函数，求m的值； （2）若这个函数是二次函数，求m的值． 16.如图，已知等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为20cm，AC与MN在同一条直线上，开始时点A与点N重合，让△ABC以2cm/s的速度向左运动，最终点A与点M重合，求重叠部分的面积ycm2与时间ts之间的函数关系式． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17.如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米． （1）求S与x的函数关系式及自变量x的取值范围； （2）若墙的最大可用长度为9米，求此时自变量x的取值范围． 18.一个二次函数y＝（k﹣1）2x﹣1． （1）求k值． （2）求当x＝0.5时y的值？ 5、 （本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19.根据以下素材，探索完成任务． 如何设计打印图纸方案？ 素材1 如图1，正方形ABCD是一张用于3D打印产品的示意图，它由三个区块（Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ）构成．已知AB＝10cm，点E，F分别在BC和AB上，且BE＝BF，设BE＝x cm（0＜x＜10）． 素材2 为了打印精准，拟在图2中的BC边上设置一排间距为1cm的定位坐标（B为坐标原点），计算机可根据点E的定位坐标精准打印出图案． 问题解决 任务1 确定关系 用x的代数式表示： 区域Ⅰ的面积＝　　 ；区域Ⅱ的面积＝　 　 ． 任务2 拟定方案 为了美观，拟将区域Ⅲ分割为甲、乙两个三角形区域，并要求区域乙是含DE边的等腰三角形，求所有方案中乙的面积或者函数表达式． 20.学校准备将一块长20m，宽14m的矩形绿地扩建，如果长和宽都增加x m，设增加的面积是y m2． （1）求x与y之间的函数关系式． （2）若要使绿地面积增加72m2，长与宽都要增加多少米？ 六、（本题满分12分） 21.已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝8cm，矩形MNPQ的长和宽分别为9cm和2cm，点P和点A重合，NP和AC在同一条直线上（如图所示），Rt△ABC不动，矩形MNPQ沿射线NP以每秒1cm的速度向右移动，设移动x（0＜x≤9）s后，矩形MNPQ与△ABC重叠部分的面积为y cm2，求y与x之间的函数关系式． 七、（本题满分12分） 22.某商品的进价为每件40元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件，如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件．设每件商品的售价x元（x为整数），每个月的销售量为y件． （1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围； （2）设每月的销售利润为W，请直接写出W与x的函数关系式． 八、（本题满分14分） 23.如图，长方形ABCD中，宽AB＝4，点P沿着四边按B→C→D→A方向运动，开始以每秒m个单位匀速运动，a秒后变为每秒2个单位匀速运动，b秒后恢复原速匀速运动，在运动过程中，△ABP的面积S与运动时间t的关系如图所示． （1）直接写出长方形的长＝　　 ，长方形的宽＝　　 ； （2）直接写出m＝　　 ，a＝　　 ，b＝　　 ； （3）当P点运动到BC中点时，有一动点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿C→D→A运动，当一个点到达终点，另一个点也停止运动，设点Q运动的时间为x秒，△BPQ的面积为y，求当2≤x≤4时，y与x之间的关系式． 学科网（北京）股份有限公司 $$