第05讲 一元二次方程的解及根与系数的关系（7大知识点+10大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）讲义2025-2026学年九年级上册数学（北师大版）

第02讲 一元二次方程的解及根与系数的关系（7大知识点+10大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 解一元二次方程——直接开平方法 典型例题二 解一元二次方程——配方法 典型例题三 公式法解一元二次方程 典型例题四 因式分解法解一元二次方程 典型例题五 换元法解一元二次方程 典型例题六 根据判别式判断一元二次方程根的情况 典型例题七 根据一元二次方程根的情况求参数 典型例题八 一元二次方程的根与系数的关系 典型例题九 与系数关系的新定义问题 典型例题十 配方法的应用 知识点01 直接开平方法 直接开平方法解一元二次方程：将方程化成则x＝. 【即时训练】 1．（2025·新疆·模拟预测）下列方程中，有两个相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（23-24九年级上·四川广元·阶段练习）一元二次方程的根是 ． 知识点02 配方法 配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法． 用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0 (a≠0）的一般步骤是： （1）化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数； （2）移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项； （3）配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方；（4）化原方程为(x+m）2=n的形式； （5）如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n＜0，则原方程无解． 注意：实际在解方程的过程中，一般也只是针对且为偶数时，才使用配方法，否则可以考虑使用公式法来更加简单。 【即时训练】 1．（24-25九年级上·湖北黄冈·阶段练习）把一元二次方程化成的形式时， ， ． 知识点03 公式法 公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的． 一元二次方程的求根公式是: (=b2－4ac≥0) 推导过程：一元二次方程，用配方法将其变形为： 2.公式法解方程的步骤：①化方程为一元二次方程的一般形式； ②确定a、b、c的值； ③求出b2－4ac的值；④若b2－4ac≥0，则代人求根公式，求出x1 ,x2．若b2－4ac＜0，则方程无解． 【即时训练】 1．（24-25九年级上·安徽宿州·阶段练习）若是一元二次方程的根，则（    ） A．5 B．7 C． D． 【即时训练】 2．（24-25九年级上·广西南宁·期中）小明用公式法解方程，请帮他填空第一步，解：，， ． 知识点04 因式分解法 将一元二次方程通过因式分解，分解为两个一次因式乘积等于0的形式，再使这两个一次因式分别等于0，实现降次的方法。 即将一元二次方程化简为；从而得出：，因式分解法的关键是分解成两个一次因式相乘的形式。 1、因式分解的主要方法： ①提取公因式法：通过提取公因式达到因式分解的目的，进而求解一元二方程。 ②乘法公式：因式分解的目的在将方程化成两个因式乘积等于0的形式，利用如下乘法公式，有时可以很好解决。①平方差公式：；②完全平方公式： ③十字相乘法：十字相乘法能将某些二次三项式因式分解。十字相乘法的二次三项式需满足三个条件： ①十字左边上下两数相乘等于二次项； ②十字右边上下两数相乘等于常数项；③十字交叉相乘积的和等于一次项。 例如：用十字相乘法解方程： ∴方程可分解为：（2x+3）（x－2）=0 ∴ 2、解一元二次方程的方法选择： ①虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用。 ②解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握。 ③四种求方程方法的一定要合理选用，依次按直接开平方、因式分解，配方法和公式法的顺序考虑选用。 注意：方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如2(x＋4)2=3（x＋4）中，不能随便约去（x＋4）。 【即时训练】 1．（24-25九年级上·吉林延边·阶段练习）一元二次方程的较大的根为（ ） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（23-24九年级上·四川南充·期中）方程的解是 ． 知识点05 一元二次方程的根 1、能使一元二次方程成立的未知数的值称为一元二次方程的解，我们也称为一元二次方程的根。 2、一元二次方程的实数根有0个、1个或2个。 3、常考点：为利用根的概念求代数式的值； 4、一元二次方程近似解：两端逼近法。 步骤：借助表格，找到两个相近的数，一个使，一个使，则一元二次方程的解就介于这两个数之间，再进一步逼近，缩小范围获得其近似解。 【即时训练】 1．（2025·北京丰台·模拟预测）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（    ） A．36 B．9或 C． D．9 【即时训练】 2．（2025·广东河源·模拟预测）若关于的一元二次方程总有两个不相等的实数根，请写出一个满足条件的的值 ．（写出一个即可） 知识点06 一元二次方程根的判别式 (=b2－4ac) ①当时，方程有两个不相等的实根； ② 当时，方程有两个相等的实根； ③ 当时，方程没有实根。 判别式作用：①定根的个数；②求待定系数的值。 注意：(1)在使用根的判别式之前，应将一元二次方程化成一般式； (2)在确定一元二次方程待定系数的取值范围时，必须检验二次项系数a≠0 (3)证明恒为正数的常用方法：把△的表达式通过配方化成“完全平方式+正数”的形式。 【即时训练】 1．（2025·河南漯河·模拟预测）如图，关于的方程中的三个符号，改变其中的两个（“”变为“”或“”变为“”），使方程的实数根的个数不变，则可以改变的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．以上选项均不成立 【即时训练】 2．（24-25八年级下·安徽淮北·阶段练习）已知关于的一元二次方程． （1）若是该方程的一个根，则的值为 ； （2）若该方程有两个相等的实数根，则的值为 ． 知识点07 一元二次方程根的判别式关系 如果一元二次方程（）的两根为那么，就有 比较等式两边对应项的系数，得 ①式与②式也可以运用求根公式得到．人们把公式①与②称之为韦达定理，即根与系数的关系． 因此，给定一元二次方程就一定有①与②式成立．反过来，如果有两数满足①与②，那么这两数必是一个一元二次方程的根．利用这一基本知识常可以简捷地处理问题． 利用根与系数的关系，我们可以不求方程的根，而知其根的正、负性． 在的条件下，我们有如下结论： 当时，方程的两根必一正一负．若，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若，则此方程的正根小于负根的绝对值． 当时，方程的两根同正或同负．若，则此方程的两根均为正根；若，则此方程的两根均为负根． ⑴ 韦达定理（根与系数的关系）： 如果的两根是，，则，．(隐含的条件：) ⑵ 若，是的两根(其中)，且为实数，当时，一般地： ① ， ② 且， ③ 且， 特殊地：当时，上述就转化为有两异根、两正根、两负根的条件． ⑶ 以两个数为根的一元二次方程(二次项系数为1)是：． ⑷ 其他： 1 若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根(，为有理数)． 2 若，则方程必有实数根． 3 若，方程不一定有实数根． 4 若，则必有一根． 5 若，则必有一根． ⑸ 韦达定理（根与系数的关系）主要应用于以下几个方面： 1 已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； 2 已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； 3 已知方程的两根，求作方程； 4 结合根的判别式，讨论根的符号特征； 5 逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理； ⑤ 利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱． 【即时训练】 1．（2025·四川自贡·模拟预测）若一元二次方程的两个实根为，，则的值为（     ） A．1 B． C．2 D． 【即时训练】 2．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）设，是一元二次方程的两个根，则代数式的值为 ． 【典型例题一 解一元二次方程——直接开平方法】 【例1】（2025·广东清远·模拟预测）方程的解是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025·河北唐山·模拟预测）对于符号“”，我们作如下规定：，如，若，则 ． 【例3】（24-25九年级上·全国·假期作业）用直接开平方法解下列一元二次方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 1．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）对于两个不相等的实数a，b，我们规定表示a，b中较小的数，如：，若，则x的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．3或 2．（2024九年级上·全国·专题练习）如图是一个正方体的展开图，标注了字母的面是正方体的正面，如果正方体的左面和右面所标注代数式的值相等，则的值是 ． 3．（24-25九年级上·北京·期中）解方程 (1) (2) (3) 4．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）先化简，再求值：，其中是方程的解． 【典型例题二 解一元二次方程——配方法】 【例1】（24-25八年级下·安徽亳州·期中）将一元二次方程配方成的形式，则，的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【例2】（23-24八年级下·江苏盐城·期中）若将一元二次方程化为的形式，则 ． 【例3】（24-25九年级上·全国·假期作业）用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 1．（24-25九年级上·广东深圳·期中）公元9世纪，阿拉伯数学家阿尔·花拉子米在解方程时采用的方法是：构造如图所示图形，一方面，正方形的面积为；一方面，它又等于，据此可得方程的一个正数解．按照这种构造方法，我们在求方程的一个正数解时，可以构造如下图形（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·安徽合肥·阶段练习）新定义：若关于x的一元二次方程：与，称为“同类方程”． 如与是“同类方程”． （1）若与是“同类方程”，则 ． （2）现有关于x的一元二次方程：与是“同类方程”．那么代数式能取的最大值是 ． 3．（24-25九年级上·全国·假期作业）用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 4．（24-25九年级上·广西河池·期中）用配方法完成下列推理过程． 解： ； ；   ； （1）当时，此方程有两个不相等的实数根分别为： ； ； （2）当时，此方程有两个相等的实数根分别为： ； ； （3）当时，请写出此方程根的情况． 【典型例题三 公式法解一元二次方程】 【例1】（24-25八年级下·安徽合肥·阶段练习）若用公式法解关于x的一元二次方程，其根为（　　） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·山西晋城·阶段练习）用 公 式 法 解 关 于x的 一 元 二 次 方 程 ， 得 ， 则 该 一 元 二 次 方 程是 ． 【例3】（24-25九年级上·山东泰安·期中）解方程： (1)（配方法）； (2)（公式法）． 1．（24-25八年级下·浙江温州·期中）已知关于的一元二次方程，设方程的两个实数根分别为，（其中），若是关于的函数，且，若，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·山东临沂·期中）关于的一元二次方程根的判别式的值是，则此方程的解为 ． 3．（24-25九年级上·全国·假期作业）用公式法解关于的方程： (1) (2) 4．（24-25八年级下·浙江湖州·期中）已知关于x的方程 (1)求证：无论k取何值，此方程总有实数根； (2)若一元二次方程满足，求k的值． 【典型例题四 因式分解法解一元二次方程】 【例1】（2025·河南洛阳·模拟预测）方程的根是（   ） A． B． C．， D．， 【例2】（24-25九年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）若是关于的一元二次方程，则的值是 ． 【例3】（24-25九年级上·全国·假期作业）用十字相乘法解方程： (1) (2) 1．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）已知是一元二次方程的一个实数根，则的值为（   ） A．0 B．0或2 C．2 D．0或 2．（24-25八年级下·山东烟台·期中）观察下列一组由★排列的“星阵”，按图中规律，若某个“星阵”中的★的个数为112个，则这个图的序号是 ．        3．（24-25八年级下·江苏南通·期中）用合适的方法解下列一元二次方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 4．（2025·河北邢台·模拟预测）如图，甲、乙两个图形都由长方形或正方形拼成，边长数据如图所示． (1)若甲、乙两图的外轮廓周长相等，求x的值； (2)求甲图的面积（用含x的代数式表示）； (3)若甲图的面积比乙图的面积大1，求乙图的面积． 【典型例题五 换元法解一元二次方程】 【例1】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）一元二次方程的两根分别为，1，则方程的两根分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【例2】（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）若关于x的方程（、为常数）的解是，，则方程的解是 ． 【例3】（24-25九年级上·贵州黔南·期末）阅读下列材料： 为解方程，可将方程变形为，然后设，则，原方程化为①，解①得，．当时，无意义，舍去；当时，，解得，原方程的解为，．上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题． 利用以上学习到的方法解方程：． 1．（23-24九年级上·江苏常州·阶段练习）关于的方程的解是（均为常数，），则方程的解是（    ） A． B． C． D．无法求解 2．（24-25八年级下·安徽安庆·阶段练习）关于的方程的解是，（、、均为常数，）． 问题： （1）关于的方程的根是 ； （2）关于的方程的根为 ． 3．（24-25八年级下·重庆·期末）计算： (1) (2) 4．（24-25九年级上·广东云浮·期中）阅读理解 为了解方程，可以将看作一个整体． 设，则原方程化为，解得，． 当时，，即，所以； 当时，，即，所以． 综上，原方程的根是，，，． 小试牛刀 请利用以上方法解方程：． 【典型例题六 根据判别式判断一元二次方程根的情况】 【例1】（2025·河南·模拟预测）关于的一元二次方程（为常数）的根的情况为（    ） A．没有实数根 B．有一个实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根 【例2】（2025·上海·模拟预测）方程的实数解数量为 个． 【例3】（24-25九年级上·山西吕梁·期中）已知关于的一元二次方程，试说明：不论为何值，此方程总有实数根． 1．（2025·河北邢台·模拟预测）小明在解关于的一元二次方程时，把一次项的符号抄成“+”，得到其中一个根是，则方程根的情况是（　　） A．无实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个实数根 D．有一个根是 2．（24-25九年级上·四川南充·自主招生）若二次方程组有唯一解，则k的所有可能取值为 ． 3．（2025·广东东莞·模拟预测）已知方程（）是一元二次方程． (1)求证：不论m取何值，该一元二次方程一定有两个不相等的实数根； (2)若方程有一根小于，求m的取值范围． 4．（24-25九年级上·河北邯郸·期末）已知一元二次方程．有如下四组条件：①，；②，；③，；④，． (1)能使一元二次方程有两个不相等的实数根的是_______；（填序号） (2)选择（1）中的一组条件解方程． 【典型例题七 根据一元二次方程根的情况求参数】 【例1】（2025·四川遂宁·模拟预测）已知关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025·山东聊城·模拟预测）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ． 【例3】（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知关于的方程只有一个实数根，求值． 1．（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）关于的方程有实数根，则的取值范围是（   ） A． B．或 C．且 D． 2．（2025·湖南娄底·模拟预测）对于实数定义新运算：，例如：．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是 ． 3．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)若是方程的一个实数根，且满足，求的值． 4．（24-25九年级上·湖南永州·期末）定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“最值码”，用表示，即；若另一关于的一元二次方程也为“全整根方程”，其“最值码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”． (1)“全整根方程”的“最值码”是_____； (2)关于的一元二次方程（m为整数，且）是“全整根方程”，请求出该方程的“最值码”； (3)若关于的一元二次方程是（m，n均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值． 【典型例题八 一元二次方程的根与系数的关系】 【例1】（24-25九年级上·江西吉安·阶段练习）已知是一元二次方程的两个实数根，则（　　） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【例2】（24-25九年级上·江西抚州·阶段练习）已知关于的一元二次方程的一个根为，则其另一个根与的乘积为 ． 【例3】（24-25九年级上·广东汕头·期末）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且是非负整数， (1)求的值； (2)若是该方程的两个实数根，则 ． 1．（2025·甘肃定西·模拟预测）对于任意实数a，b，定义新运算“”： ，例如：．若m，n是方程的两个实数根，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）若关于x的方程（m为正整数）的两根分别记为，，如：当时，方程的两根记为，，则 ． 3．（2025·四川南充·模拟预测）已知、是一元二次方程的两个实数根． (1)求整数的取值； (2)若等式成立，求整数的值． 4．（24-25八年级下·山东济南·阶段练习）阅读材料： 材料：若关于的一元二次方程的两个根为，则，．如：一元二次方程的两个实数根分别为，则；又如：一元二次方程的两个实数根分别为，则，． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题． (1)一元二次方程的两个根分别为，则___________，___________； (2)已知一元二次方程的两根分别为，求的值； (3)若实数满足，且，求的值． 【典型例题九 与系数关系的新定义问题】 【例1】（2025·河北邯郸·模拟预测）定义一种运算：，如：．若，则所有满足条件的实数的和为（    ） A． B．2 C． D． 【例2】（2024·广东深圳·模拟预测）对于字母m、n，定义新运算，若方程的解为a、b，则的值为 ． 【例3】（23-24八年级下·江苏苏州·期中）对于实数，定义新运算“”：，例如：，因为，所以． (1)求和的值； (2)若是一元二次方程的两个根，且，求的值． 1．（23-24九年级上·重庆江津·阶段练习）对于实数a，b，如果定义新运算，则下列结论正确的有（    ） ①；②；③若是一元二次方程的两个根，且，则m的值为3或． A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2024·山东济宁·模拟预测）定义运算：@．若，是方程的两根，则@@的值为 ． 3．（23-24九年级上·山东烟台·期末）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，更多的考查阅读理解能力、应变能力和创新能力． 定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a、b、c均不为 0．请根据此定义解决下列问题： (1)方程的倒方程是 ． (2)若是的倒方程的解，求出c的值； (3)若m，n是一元二次方程的倒方程的两个不相等的实数根，求代数式的值． 4．（24-25九年级上·广东深圳·期中）综合与探究 【定义】我们把关于x的一元二次方程与（，）称为一对“友好方程” 【示例】如的“友好方程”是． （1）写出一元二次方程的“友好方程”是________． 【探究】 （2）已知一元二次方程的两根为，，请求出它的“友好方程”的两个根． 【猜想】 （3）当时，方程的两根，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为________．（，） 【证明】 ∵方程的两根为，； 方程的两根为，①________；…… （4）请完成上述填空①，并补全证明过程．（备注：证明一组关系即可） 【拓展】 （5）已知关于x的方程的两根是，．请利用上述结论，直接写出关于x的方程的两根． 【典型例题十 配方法的应用】 【例1】（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）若一元二次方程 （a，b为常数），化成一般形式为，则a，b的值分别是（    ） A．，1 B．2，1 C．2， D．， 【例2】（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，高腾同学在校运会跳高比赛中采用背跃式，跳跃路线是一条抛物线，他跳跃的高度y（单位：m）与跳跃时间x（单位：s）之间具有函数关系，那么他能跳过的最大高度为 m． 【例3】（23-24八年级下·安徽淮北·阶段练习）如果关于的一元二次方程有一个根是1，那么我们称这个方程为“和美方程”． (1)判断一元二次方程是否为“和美方程”，请说明理由． (2)已知关于的一元二次方程是“和美方程”，求的最小值． 1．（23-24九年级上·湖南衡阳·阶段练习）一元二次方程经过配方后，可变形为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·湖南永州·期中）新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”，如与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式能取的最小值是 ． 3．（24-25八年级下·山东淄博·期中）把方程配方，得到． ①求m和p的值； ②解这个方程． 4．（24-25九年级上·广西桂林·期末）综合与实践 【方法研究】配方法是数学中重要的一种思想方法，配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．利用配方法可求一元二次方程的根，也可以求代数式的最值等． 例：求代数式的最小值． 解：原式． ， ， 的最小值为3． 【方法应用】 （1）仿照例题，用配方法求代数式的最小值． 【问题迁移】 （2）若，求，． 【拓展应用】 （3）如图，这是加菲尔德证明勾股定理的一个图形，其中，，是和的三边长．根据勾股定理，可得，我们把关于的一元二次方程，称为“勾系一元二次方程”，已知代数式的最小值是“勾系一元二次方程”的一个根，且，试求四边形的周长． 1．（2025·江苏南通·模拟预测）若关于的方程有两个相等的实数根，则的值是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·甘肃天水·模拟预测）定义一种运算：，例如，若，则正数x的值为（   ） A．0 B．0或4 C．3 D．4 3．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知方程可以配方成的形式，那么可以配方成（   ） A． B． C． D． 4．（2025·广西南宁·模拟预测）阅读材料：方程（b，c为常数）的两实根为，，所以方程可表示为．将等号左边展开得，与原方程对比，得到，．根据材料解决问题：一元三次方程（b，c，d为常数）的三个实根分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·湖南·阶段练习）新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”如与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式能取的最小值是（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 6．（24-25八年级下·安徽六安·阶段练习）关于x的一元二次方程的解是 ． 7．（2025·贵州黔东南·模拟预测）若关于x的一元二次方程恰有两个不相等的实数根，则m的值可以为 ．（任意写出一个即可） 8．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）已知关于的方程（为常数，）的解是，那么 （）方程解为 ； （）解为 ． 9．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）小明学习了韦达定理之后，发现若一元二次方程有两个实数根，，则方程可化为，将等式左边展开后可得，与原方程系数比较，就不难得到根与系数的等量关系． 小明接着思考，那么若一元三次方程有三个实数根，，，则这三个根之和、三个根之积与原方程系数之间是否存在类似的等量关系？ 请你帮助小明解决问题：若方程的三个实数根为，，，则的值为 ． 10．（2025·浙江湖州·模拟预测）一次数学探究活动中，老师给出了两个二次多项式，（其中p，q，c均是不为零的常数）及这两个代数式的一些信息，如下表所示： 二次多项式 对二次多项式进行因式分解 对二次多项式使用配方法 （说明：a，b，m，n，，均为常数） 有学生探究得到以下四个结论：①若，则；②若，则；③若有且只有一个x的值，使代数式的值为0，则；④若，则c的值不可能是．其中所有正确结论的序号是 ． 11．（24-25八年级下·浙江温州·期中）解方程： (1)． (2)． 12．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）定义新运算：对于任意实数、都有，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如：． 根据以上知识解决问题： (1)，求； (2)若的值小于0，请判断方程：的根的情况． 13．（2025·浙江嘉兴·模拟预测）小李与小王两位同学解方程的过程如下框： 小李： 解：两边同除以，得 ， 则． 小王： 解：移项，得， 提取公因式，得． 则或， 解得，． 你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出正确的解答过程． 14．（2025·福建泉州·模拟预测）“集合”是数学中一个基本概念，指一组互不相同的对象的全体．例如，装有三枚不同颜色小球的袋子可视为一个集合．集合中的元素没有顺序之分，如{苹果，香蕉}与{香蕉，苹果}是同一个集合；集合中的元素彼此不重复，如需写成，重复元素被视为一个元素．若有限集合（，k为正整数）中的元素满足，则称S为“平衡集合”． (1)判断：集合是否是“平衡集合”，并说明理由； (2) 、是两个不同的正数，且是“平衡集合”，求证：、至少有一个大于2． 15．（24-25八年级下·安徽宣城·期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：试求二次三项式最小值． 解：， ， ，即的最小值是1． 试利用“配方法”解决下列问题： (1)已知代数式，求它的最大值． (2)比较代数式与的大小，并说明理由． (3)知识迁移： 如图，在中，，点P在边上以的速度从点A向C移动，点Q在边上以的速度从点C向点B移动．若点同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设四边形的面积为，运动时间为t秒，求S的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $$第02讲 一元二次方程的解及根与系数的关系(7大知识点+10大典例+变式训练+过关检测) 典型例题一 解一元二次方程——直接开平方法 典型例题二 解一元二次方程——配方法 典型例题三 公式法解一元二次方程 典型例题四 因式分解法解一元二次方程 典型例题五 换元法解一元二次方程 典型例题六 根据判别式判断一元二次方程根的情况 典型例题七 根据一元二次方程根的情况求参数 典型例题八 一元二次方程的根与系数的关系 典型例题九 与系数关系的新定义问题 典型例题十 配方法的应用 知识点01 直接开平方法 直接开平方法解一元二次方程:将方程化成则x=. 【即时训练】 1.(2025 新疆 模拟预测)下列方程中,有两个相等实数根的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根,解一元二次方程.分别对每一个选项运用直接开平方法进行解方程即可判断. 【详解】解:A、,故该方程无实数解,故本选项不符合题意; B、,解得:,故本选项符合题意; C、,开方得,解得,故本选项不符合题意; D、,开方得,解得,故本选项不符合题意. 故选:B. 【即时训练】 2.(23-24九年级上 四川广元 阶段练习)一元二次方程的根是 . 【答案】, 【分析】本题考查了解一元二次方程,熟练掌握直接开平方法,因式分解法,配方法和公式法是解题的关键. 本题可以利用直接开平方法求解即可. 【详解】解: 或 解得:,, 故答案为:,. 知识点02 配方法 配方法:配方法是一种以配方为手段,以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法. 用配方法解一元二次方程:ax2+bx+c=0 (a≠0)的一般步骤是: (1)化二次项系数为1,即方程两边同除以二次项系数; (2)移项,即使方程的左边为二次项和一次项,右边为常数项; (3)配方,即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方;(4)化原方程为(x+m)2=n的形式; (5)如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解;如果n<0,则原方程无解. 注意:实际在解方程的过程中,一般也只是针对且为偶数时,才使用配方法,否则可以考虑使用公式法来更加简单。 【即时训练】 1.(24-25九年级上 湖北黄冈 阶段练习)把一元二次方程化成的形式时, , . 【答案】 5 【分析】本题考查了解一元二次方程配方法,利用配方法将一元二次方程化成,则可得到和的值. 【详解】解:∵, ∴, ∴,即 所以,, 故答案为:5,. 知识点03 公式法 公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法.它是通过配方推导出来的. 一元二次方程的求根公式是: (=b2-4ac≥0) 推导过程:一元二次方程,用配方法将其变形为: 2.公式法解方程的步骤:①化方程为一元二次方程的一般形式; ②确定a、b、c的值; ③求出b2-4ac的值;④若b2-4ac≥0,则代人求根公式,求出x1 ,x2.若b2-4ac<0,则方程无解. 【即时训练】 1.(24-25九年级上 安徽宿州 阶段练习)若是一元二次方程的根,则( ) A.5 B.7 C. D. 【答案】D 【分析】本题主要考查了公式法解一元二次方程,当关于x的一元二次方程有解时,则,由此根据题意可得,再代值计算即可. 【详解】解:∵是一元二次方程的根, ∴, ∴, 故选:D. 【即时训练】 2.(24-25九年级上 广西南宁 期中)小明用公式法解方程,请帮他填空第一步,解:,, . 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程-公式法:熟练掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键. 根据求根公式中的意义求解. 【详解】解:. 故答案为:. 知识点04 因式分解法 将一元二次方程通过因式分解,分解为两个一次因式乘积等于0的形式,再使这两个一次因式分别等于0,实现降次的方法。 即将一元二次方程化简为;从而得出:,因式分解法的关键是分解成两个一次因式相乘的形式。 1、因式分解的主要方法: ①提取公因式法:通过提取公因式达到因式分解的目的,进而求解一元二方程。 ②乘法公式:因式分解的目的在将方程化成两个因式乘积等于0的形式,利用如下乘法公式,有时可以很好解决。①平方差公式:;②完全平方公式: ③十字相乘法:十字相乘法能将某些二次三项式因式分解。十字相乘法的二次三项式需满足三个条件: ①十字左边上下两数相乘等于二次项; ②十字右边上下两数相乘等于常数项;③十字交叉相乘积的和等于一次项。 例如:用十字相乘法解方程: ∴方程可分解为:(2x+3)(x-2)=0 ∴ 2、解一元二次方程的方法选择: ①虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解,但它往往并非最简单的,一定要注意方法的选用。 ②解一元二次方程时一般不使用配方法(除特别要求外)但又必须熟练掌握。 ③四种求方程方法的一定要合理选用,依次按直接开平方、因式分解,配方法和公式法的顺序考虑选用。 注意:方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式.如2(x+4)2=3(x+4)中,不能随便约去(x+4)。 【即时训练】 1.(24-25九年级上 吉林延边 阶段练习)一元二次方程的较大的根为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的根,利用因式分解法解一元二次方程即可求解,掌握解一元二次方程的方法是解题的关键. 【详解】解:∵, ∴或, ∴,, ∴一元二次方程较大的根为, 故选:. 【即时训练】 2.(23-24九年级上 四川南充 期中)方程的解是 . 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法:先把方程右边变形为0,然后把方程左边进行因式分解,这样把一元二次方程转化为两个一元一次方程,再解一次方程可得到一元二次方程的解. 【详解】解:, 则, ∴, ∴或, 解得:, 故答案为:. 知识点05 一元二次方程的根 1、能使一元二次方程成立的未知数的值称为一元二次方程的解,我们也称为一元二次方程的根。 2、一元二次方程的实数根有0个、1个或2个。 3、常考点:为利用根的概念求代数式的值; 4、一元二次方程近似解:两端逼近法。 步骤:借助表格,找到两个相近的数,一个使,一个使,则一元二次方程的解就介于这两个数之间,再进一步逼近,缩小范围获得其近似解。 【即时训练】 1.(2025 北京丰台 模拟预测)若关于的一元二次方程有两个相等的实数根,则实数的值为( ) A.36 B.9或 C. D.9 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式, 根据一元二次方程根的判别式可知,求出解即可. 【详解】解:∵一元二次方程有两个相等的实数根, ∴, 解得. 故选:D. 【即时训练】 2.(2025 广东河源 模拟预测)若关于的一元二次方程总有两个不相等的实数根,请写出一个满足条件的的值 .(写出一个即可) 【答案】0(答案不唯一,即可) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式,掌握一元二次方程有两个不相等实数根的条件是判别式大于零成为解题的关键. 先根据判别式的意义得到,解不等式得到m的范围,然后在此范围内取一个值即可. 【详解】解:根据题意得,解得:. 所以当m取0时,方程有两个不相等的实数根. 故答案为:0. 知识点06 一元二次方程根的判别式 (=b2-4ac) ①当时,方程有两个不相等的实根; ② 当时,方程有两个相等的实根; ③ 当时,方程没有实根。 判别式作用:①定根的个数;②求待定系数的值。 注意:(1)在使用根的判别式之前,应将一元二次方程化成一般式; (2)在确定一元二次方程待定系数的取值范围时,必须检验二次项系数a≠0 (3)证明恒为正数的常用方法:把 的表达式通过配方化成“完全平方式+正数”的形式。 【即时训练】 1.(2025 河南漯河 模拟预测)如图,关于的方程中的三个符号,改变其中的两个(“”变为“”或“”变为“”),使方程的实数根的个数不变,则可以改变的是( ) A.①② B.①③ C.②③ D.以上选项均不成立 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式,分别计算原方程根的判别式,改变①②、①③、②③处符号时对应的根的判别式,即可得出结论. 【详解】解:∵, ∴原方程有两个不等的实数根, 改变①②处符号时,原方程为, ∴, ∴方程没有实数根, 改变①③处符号时,原方程为, ∴, ∴方程有两个不等的实数根, 改变②③处符号时,原方程为, ∴, ∴方程没有实数根, ∴改变①③处符号时,方程的实数根的个数不变, 故选:B, 【即时训练】 2.(24-25八年级下 安徽淮北 阶段练习)已知关于的一元二次方程. (1)若是该方程的一个根,则的值为 ; (2)若该方程有两个相等的实数根,则的值为 . 【答案】 或6 【分析】本题考查了一元二次方程的解以及根的判别式,解题的关键是将方程的根代入方程求解参数,以及利用根的判别式与根的关系建立等式求解参数. (1)把代入一元二次方程,得到关于的方程,求解得出的值; (2)根据一元二次方程有两个相等实数根时,判别式,建立关于的方程并求解. 【详解】解:(1)是关于的一元二次方程的一个根,, 解得; (2)关于的方程有两个相等的实根, ,即, 整理得, , 故答案为:;或6. 知识点07 一元二次方程根的判别式关系 如果一元二次方程()的两根为那么,就有 比较等式两边对应项的系数,得 ①式与②式也可以运用求根公式得到.人们把公式①与②称之为韦达定理,即根与系数的关系. 因此,给定一元二次方程就一定有①与②式成立.反过来,如果有两数满足①与②,那么这两数必是一个一元二次方程的根.利用这一基本知识常可以简捷地处理问题. 利用根与系数的关系,我们可以不求方程的根,而知其根的正、负性. 在的条件下,我们有如下结论: 当时,方程的两根必一正一负.若,则此方程的正根不小于负根的绝对值;若,则此方程的正根小于负根的绝对值. 当时,方程的两根同正或同负.若,则此方程的两根均为正根;若,则此方程的两根均为负根. ⑴ 韦达定理(根与系数的关系): 如果的两根是,,则,.(隐含的条件:) ⑵ 若,是的两根(其中),且为实数,当时,一般地: ① , ② 且, ③ 且, 特殊地:当时,上述就转化为有两异根、两正根、两负根的条件. ⑶ 以两个数为根的一元二次方程(二次项系数为1)是:. ⑷ 其他: 1 若有理系数一元二次方程有一根,则必有一根(,为有理数). 2 若,则方程必有实数根. 3 若,方程不一定有实数根. 4 若,则必有一根. 5 若,则必有一根. ⑸ 韦达定理(根与系数的关系)主要应用于以下几个方面: 1 已知方程的一个根,求另一个根以及确定方程参数的值; 2 已知方程,求关于方程的两根的代数式的值; 3 已知方程的两根,求作方程; 4 结合根的判别式,讨论根的符号特征; 5 逆用构造一元二次方程辅助解题:当已知等式具有相同的结构时,就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根,以便利用韦达定理; ⑤ 利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后,一定要验证方程的.一些考试中,往往利用这一点设置陷阱. 【即时训练】 1.(2025 四川自贡 模拟预测)若一元二次方程的两个实根为,,则的值为( ) A.1 B. C.2 D. 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系,掌握知识点是解题的关键. 根据一元二次方程根与系数的关系,可得,,由,即可直接得出答案. 【详解】解:∵一元二次方程的两个实根为, ∴,, ∴. 故选B. 【即时训练】 2.(24-25八年级下 浙江宁波 期中)设,是一元二次方程的两个根,则代数式的值为 . 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系,根据根与系数的关系先求出,的值,然后代入计算即可. 【详解】解:∵,是一元二次方程的两个根, ∴,, ∴, 故答案为:. 【典型例题一 解一元二次方程——直接开平方法】 【例1】(2025 广东清远 模拟预测)方程的解是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程,熟练掌握直接开平方法解一元二次方程是解题的关键.直接应用开平方法计算即可. 【详解】解:, , , ,, 故选:C. 【例2】(2025 河北唐山 模拟预测)对于符号“”,我们作如下规定:,如,若,则 . 【答案】 【分析】本题考查了新定义,一元二次方程的应用,根据题意列方程,即可解答,熟知题意是解题的关键. 【详解】解:由题意可得, 解得, 故答案为:. 【例3】(24-25九年级上 全国 假期作业)用直接开平方法解下列一元二次方程: (1); (2); (3); (4). 【答案】(1); (2); (3),; (4),. 【分析】本题考查解一元二次方程,熟练掌握直接开方法解方程,是解题的关键: (1)移项后,利用直接开方法解方程即可; (2)移项后,利用直接开方法解方程即可; (3)系数化1后,利用直接开方法解方程即可; (4)移项后,利用直接开方法解方程即可. 【详解】(1)解:, 即, 开方得:; (2), 即, 开方得:; (3), 即, 开方得:, 解得:,; (4), 即, 开方得:, 解得:,. 1.(24-25八年级下 安徽蚌埠 期中)对于两个不相等的实数a,b,我们规定表示a,b中较小的数,如:,若,则x的值为( ) A.或 B.或 C.或 D.3或 【答案】A 【分析】本题考查新定义运算,解一元二次方程,解不等式等,注意分情况讨论是解题的关键.分和两种情况,分别计算即可. 【详解】解:当,即时, , 解得, 当,即时, , 解得, 综上,的值为或, 故选:A. 2.(2024九年级上 全国 专题练习)如图是一个正方体的展开图,标注了字母的面是正方体的正面,如果正方体的左面和右面所标注代数式的值相等,则的值是 . 【答案】或 【分析】本题考查了正方体的平面展开图、解一元二次方程,根据正方体的表面展开图可得与相对面上的数字是,可以列出方程,解方程即可得到的值. 【详解】解:根据题意得:, 开方得:或, 解得:或, 故答案为:或. 3.(24-25九年级上 北京 期中)解方程 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了解方程,熟练掌握解方程的方法是解题的关键. (1)将方程变形为,得到,直接开立方即可; (2)将方程变形为,再用直接开平方法解方程即可; (3)先把方程化为整式方程整理得,解得,经检验是原方程的解. 【详解】(1)解: ; (2)解: , ; (3)解: 解得:, 经检验是原方程的解. 4.(24-25八年级下 江苏泰州 阶段练习)先化简,再求值:,其中是方程的解. 【答案】, 【分析】本题考查了分式的化简与求值,解一元二次方程,解题的关键是化简后,需要考虑分式有意义的条件,从而确定的值. 【详解】解:, , , , 解得:, , , 是方程的解, 故, 原式. 【典型例题二 解一元二次方程——配方法】 【例1】(24-25八年级下 安徽亳州 期中)将一元二次方程配方成的形式,则,的值为( ) A., B., C., D., 【答案】D 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程,熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键.先化二次项系数为,然后把方程左边写成完全平方的形式,从而得到、的值. 【详解】解:, ∴, ∴ ∴, 所以 故选:D. 【例2】(23-24八年级下 江苏盐城 期中)若将一元二次方程化为的形式,则 . 【答案】40 【分析】本题主要考查了配方法,把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方确定m、n的值即可得到答案. 【详解】解: , ∴, ∴, 故答案为:40. 【例3】(24-25九年级上 全国 假期作业)用配方法解下列方程: (1); (2); (3); (4); (5); (6). 【答案】(1); (2); (3),; (4),; (5),; (6),. 【分析】此题考查了解一元二次方程-配方法.各方程二次项系数化为1,常数项移到右边,两边加上一次项系数一半的平方,利用完全平方公式变形后,开方即可求出解. (1)运用配方法的步骤解一元二次方程即可得解. (2)运用配方法的步骤解一元二次方程即可得解. (3)运用配方法的步骤解一元二次方程即可得解. (4)运用配方法的步骤解一元二次方程即可得解. (5)运用配方法的步骤解一元二次方程即可得解. (6)运用配方法的步骤解一元二次方程即可得解. 【详解】(1)解:, , , , ; (2)解:, , , , , ; (3)解:, , , , , , ,; (4)解:, , , , , , ,; (5)解:, , , , , , ,; (6)解:, , , , , , ,. 1.(24-25九年级上 广东深圳 期中)公元9世纪,阿拉伯数学家阿尔 花拉子米在解方程时采用的方法是:构造如图所示图形,一方面,正方形的面积为;一方面,它又等于,据此可得方程的一个正数解.按照这种构造方法,我们在求方程的一个正数解时,可以构造如下图形( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法,利用配方法将原方程变形,结合图形即可解答. 【详解】解:, ; 按照这种构造方法,一方面,正方形的面积为;一方面,它又等于,据此可得方程的一个正数解. 故选:B 2.(24-25八年级下 安徽合肥 阶段练习)新定义:若关于x的一元二次方程:与,称为“同类方程”. 如与是“同类方程”. (1)若与是“同类方程”,则 . (2)现有关于x的一元二次方程:与是“同类方程”.那么代数式能取的最大值是 . 【答案】 2026 【分析】此题主要考查了完全平方公式的应用,解二元一次方程组,理解“同类方程”的定义是解答本题的关键. (1)根据“同类方程”的定义,可得出b的值. (2)根据“同类方程”的定义,可得出a,b的值,从而解得代数式的最大值. 【详解】解:(1)与是“同类方程”, 即与是“同类方程”, ∴, 解得, 故答案为:; (2)∵与是“同类方程”, ∴, ∴, ∴, 解得:, ∴. ∴当时,取得最大值为2026. 故答案为:2026. 3.(24-25九年级上 全国 假期作业)用配方法解下列方程: (1); (2); (3). 【答案】(1), (2), (3), 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程,掌握配方法的步骤是解题的关键. (1)方程二次项系数化为1,常数项移到右边,两边加上一次项系数一半的平方,利用完全平方公式变形后,开方即可求出解. (2)方程二次项系数化为1,常数项移到右边,两边加上一次项系数一半的平方,利用完全平方公式变形后,开方即可求出解. (3)将方程化为一般式,方程二次项系数化为1,常数项移到右边,两边加上一次项系数一半的平方,利用完全平方公式变形后,开方即可求出解. 【详解】(1)解:方程变形得:, 配方得:, 即, 开方得:, ,; (2)解:方程变形得:, 配方得:, 即, 开方得:, 解得:; ,; (3)解:整理得:, 配方得:, 即, 开方得:, ,. 4.(24-25九年级上 广西河池 期中)用配方法完成下列推理过程. 解: ; ; ; (1)当时,此方程有两个不相等的实数根分别为: ; ; (2)当时,此方程有两个相等的实数根分别为: ; ; (3)当时,请写出此方程根的情况. 【答案】;;; ;(1);;(2) ;;(3)此方程无实数根 【分析】利用配方法得,然后分三种情况讨论:(1)当时,(2)当时,(3)当时,分别求解即可. 本题主要考查利用配方法解一元二次方程,熟练掌握配方法的过程,并进行分类讨论是解题的关键. 【详解】解: , , , , (1)当时,此方程有两个不相等的实数根分别为: ,; (2)当时,此方程有两个相等的实数根分别为:,; (3)当时,此方程无实数根. 故答案为:;;; ;(1);;(2) ;. 【典型例题三 公式法解一元二次方程】 【例1】(24-25八年级下 安徽合肥 阶段练习)若用公式法解关于x的一元二次方程,其根为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】本题考查用公式法求解一元二次方程,熟练掌握公式法求一元二次方程的方法是解题的关键. 根据求解即可. 【详解】解:∵, ∴, ∴, ∴. 故选:C. 【例2】(24-25九年级上 山西晋城 阶段练习)用 公 式 法 解 关 于x的 一 元 二 次 方 程 , 得 , 则 该 一 元 二 次 方 程是 . 【答案】 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程,熟知求根公式是解题关键.根据公式法的求根公式,可得出一元二次方程的各项系数的值,即可得出答案. 【详解】解:根据题意及求根公式得: , ∴,,, 该一元二次方程为, 故答案为:. 【例3】(24-25九年级上 山东泰安 期中)解方程: (1)(配方法); (2)(公式法). 【答案】(1), (2), 【分析】本题主要考查了解一元二次方程. (1)利用配方法解方程即可. (2)利用公式法解方程即可. 【详解】(1)解:, , (2)解: 整理得: 1.(24-25八年级下 浙江温州 期中)已知关于的一元二次方程,设方程的两个实数根分别为,(其中),若是关于的函数,且,若,则( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题主要考查了公式法解一元二次方程,利用一元二方程的求根公式求出两根,进而用含的代数式表示出,即可得出结论. 【详解】解:是关于的一元二次方程, , 由求根公式,得, ∴或, ∵,, ∴,, ∴, 解得, ∴; 故选B. 2.(24-25九年级上 山东临沂 期中)关于的一元二次方程根的判别式的值是,则此方程的解为 . 【答案】, 【分析】本题考查了一元二次方程的解法.首先根据方程的根的判别式的值是,可知方程有两个不相等的实数根,再利用公式法可以求出方程的两个根. 【详解】解:的根的判别式的值是, , 方程有两个不相等的实数根, , 解得:,. 故答案为:, . 3.(24-25九年级上 全国 假期作业)用公式法解关于的方程: (1) (2) 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查了利用公式法解一元二次方程,解题关键是先利用判别式判断是否有根. (1)先将方程化为一般形式,再计算判别式,确定有根后,然后根据公式法即可求出答案; (2)先计算判别式,确定有根后,再根据公式法即可求出答案. 【详解】(1)解: , , ,,, , ; 或; (2), ,,, , 或. 4.(24-25八年级下 浙江湖州 期中)已知关于x的方程 (1)求证:无论k取何值,此方程总有实数根; (2)若一元二次方程满足,求k的值. 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、公式法解一元二次方程,解分式方程. (1)分和,两种情况讨论,当,是一元一次方程,有解;当时,求出,即可得证; (2)利用公式法求得,,由代入进行计算即可求解. 【详解】(1)证明:当,即时,原方程为, 解得:; 当,即时,, ∴方程有实数根. 综上可知:无论k取何值,此方程总有实数根; (2)解:∵, ∴, ∴,,且, , 解得:或, 经检验或是原方程的解. 故k的值为或. 【典型例题四 因式分解法解一元二次方程】 【例1】(2025 河南洛阳 模拟预测)方程的根是( ) A. B. C., D., 【答案】D 【分析】本题考查解一元二次方程,正确计算是解题的关键.根据因式分解法求一元二次方程即可. 【详解】解: 或 ,, 故选:D. 【例2】(24-25九年级上 黑龙江佳木斯 阶段练习)若是关于的一元二次方程,则的值是 . 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程的定义,一元二次方程的解法,理解一元二次方程的定义和解法是解答关键. 根据一元二次方程的定义,未知数的最高次数是,二次项系数不为,含有一个未知数的整式方程列出方程来求解. 【详解】解:是关于的一元二次方程, , 解得或. 故答案为:或. 【例3】(24-25九年级上 全国 假期作业)用十字相乘法解方程: (1) (2) 【答案】(1), (2), 【分析】本题考查了解一元二次方程,主要考查学生的计算能力. (1)先分解因式,即可得出两个一元一次方程,求出方程的解即可. (2)先分解因式,即可得出两个一元一次方程,求出方程的解即可. 【详解】(1)解:; , ,, ,. (2)解: , ,, ,. 1.(24-25九年级上 陕西渭南 期中)已知是一元二次方程的一个实数根,则的值为( ) A.0 B.0或2 C.2 D.0或 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解、解一元二次方程等知识点,掌握方程的解是满足方程的未知数的值成为解题的关键. 把代入一元二次方程关于a的方程求解即可. 【详解】解:∵是一元二次方程的一个实数根, ∴,解得:或2. 故选:B. 2.(24-25八年级下 山东烟台 期中)观察下列一组由 排列的“星阵”,按图中规律,若某个“星阵”中的 的个数为112个,则这个图的序号是 . 【答案】10 【分析】本题考查了图形类规律探索,解一元二次方程,从所给图形中发现并总结出一般规律是解题的关键. 从所给图形中可发现并总结出一般规律:图()中 的个数是,由此可得,解方程即可得到答案. 【详解】解:由题意可得: 图(1)一共有个 , 图(2)一共有个 , 图(3)一共有个 , 图(4)一共有个 , 图()中 的个数是:, 当时,则, 解得或(舍去), ∴若某个“星阵”中的 的个数为112个,则这个图的序号是10, 故答案为:10. 3.(24-25八年级下 江苏南通 期中)用合适的方法解下列一元二次方程: (1); (2); (3); (4). 【答案】(1),; (2),; (3),; (4)方程没有实数根. 【分析】本题考查了一元二次方程的解法,解一元二次方程常用的方法有直接开平方法,配方法,公式法,因式分解法, (1)利用直接开方法解一元二次方程即可; (2)利用因式分解法解一元二次方程即可; (3)利用因式分解法解一元二次方程即可; (4)利用公式法解一元二次方程即可. 【详解】(1)解:, 整理得, 开方得, 解得,; (2)解:, 整理得, 因式分解得, 即,, 解得,; (3)解:, 因式分解得, 即,, 解得,; (4)解:, ,,, , ∴方程没有实数根. 4.(2025 河北邢台 模拟预测)如图,甲、乙两个图形都由长方形或正方形拼成,边长数据如图所示. (1)若甲、乙两图的外轮廓周长相等,求x的值; (2)求甲图的面积(用含x的代数式表示); (3)若甲图的面积比乙图的面积大1,求乙图的面积. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了求长方形的周长和面积、整式的乘法运算、解一元二次方程.核心素养表现为抽象能力和运算能力. (1)根据长方形的周长公式列式计算即可求解; (2)利用长方形的面积公式列式即可; (3)根据,得到,解一元二次方程即可求解. 【详解】(1)解:由题意,得, 解得; (2)解:; (3)解:由题意,得, ∴, ∴, ∴, 解得或, ∵, ∴, ∴. 【典型例题五 换元法解一元二次方程】 【例1】(24-25八年级下 安徽合肥 期中)一元二次方程的两根分别为,1,则方程的两根分别为( ) A., B., C., D., 【答案】D 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程,熟知换元思想是解题的关键.根据题意可知,用替换了原方程中的,结合换元思想即可解决问题. 【详解】解:由题知, 将一元二次方程中的“”用“”替换, 可得方程, 因为一元二次方程的两根分别为,1, 所以或1, 解得或2, 即方程的两根分别为,. 故选:D. 【例2】(24-25九年级上 江苏南京 阶段练习)若关于x的方程(、为常数)的解是,,则方程的解是 . 【答案】, 【分析】本题考查直接开平方解一元二次方程的解的应用,熟练掌握换元法是解题的关键.将方程变形为相同的形式,再换元求解即可. 【详解】解:方程变形为,看作关于的方程, ∵方程(、为常数)的解是,, ∴,, 解得:,, 故答案为:,. 【例3】(24-25九年级上 贵州黔南 期末)阅读下列材料: 为解方程,可将方程变形为,然后设,则,原方程化为①,解①得,.当时,无意义,舍去;当时,,解得,原方程的解为,.上面这种方法称为“换元法”,把其中某些部分看成一个整体,并用新字母代替(即换元),则能使复杂的问题转化成简单的问题. 利用以上学习到的方法解方程:. 【答案】,,, 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程,熟练掌握换元法解一元二次方程是解题的关键:1、换元法:把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化;2、换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化,变得容易处理. 利用换元法解一元二次方程即可. 【详解】解:将原方程变形为, 设,则,原方程化为, 解得:,, 当时,,解得:; 当时,,解得:或; 原方程的解为,,,. 1.(23-24九年级上 江苏常州 阶段练习)关于的方程的解是(均为常数,),则方程的解是( ) A. B. C. D.无法求解 【答案】B 【分析】可以把方程看作关于的一元二次方程,从而,,即可求解. 【详解】解:根据题意得:方程看作关于的一元二次方程, 关于的方程的解是, ∴关于的一元二次方程的解为,, 解得, 故选:B. 【点睛】本题考查了用换元法解一元二次方程,找出两方程之间的关系是解题的关键. 2.(24-25八年级下 安徽安庆 阶段练习)关于的方程的解是,(、、均为常数,). 问题: (1)关于的方程的根是 ; (2)关于的方程的根为 . 【答案】 , , 【分析】本题考查了解一元二次方程,掌握运用换元法解一元二次方程是解题的关键. (1)将看作整体,由题意可知再求解即可; (2)仿照(1)计算即可. 【详解】解:(1)∵方程的解是,, ∴设,则可化为, ∴, ∴, 解得:. 故答案为:,. (2)设,则可化为, 即, ∵关于x的方程的解是,, ∴,,即, ∴, 解得:. 故答案为:,. 3.(24-25八年级下 重庆 期末)计算: (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程,熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键. (1)设,则原方程化为,得到或,当时,解得;当时,方程无实数解;即可得到答案; (2)整理方程得到,用因式分解法解方程即可. 【详解】(1)解: 设,则原方程化为, 解得或, 当时,解得; 当时,方程无实数解; ; (2)解: 或 解得:. 4.(24-25九年级上 广东云浮 期中)阅读理解 为了解方程,可以将看作一个整体. 设,则原方程化为,解得,. 当时,,即,所以; 当时,,即,所以. 综上,原方程的根是,,,. 小试牛刀 请利用以上方法解方程:. 【答案】,, 【分析】本题考查用换元法和因式分解法解一元二次方程,令,得,用因式分解法解方程求出t的值,再求出x的值即可. 【详解】解:令,则, 解得,, 当时,,解得,, 当时,,解得, 综上,原方程的解是,,. 【典型例题六 根据判别式判断一元二次方程根的情况】 【例1】(2025 河南 模拟预测)关于的一元二次方程(为常数)的根的情况为( ) A.没有实数根 B.有一个实数根 C.有两个不相等的实数根 D.有两个相等的实数根 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式:时,有两个不相等的实数根;时,有两个相等的实数根;时,没有实数根.据此即可求出答案. 【详解】解:∵, ∴方程有两个不相等的实数根, 故选C. 【例2】(2025 上海 模拟预测)方程的实数解数量为 个. 【答案】0 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系,根据判别式来判断即可,当时,方程有两个不相等的实数根,当时,方程有两个相等的实数根,当时,方程没有实数根. 【详解】解:, , , ∴方程无实数根,即实数解数量为0个, 故答案为:0. 【例3】(24-25九年级上 山西吕梁 期中)已知关于的一元二次方程,试说明:不论为何值,此方程总有实数根. 【答案】见解析 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式.熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键. 由题意知,,进而结论得证. 【详解】解:由题意,得. 不论为何值,此方程总有实数根. 1.(2025 河北邢台 模拟预测)小明在解关于的一元二次方程时,把一次项的符号抄成“+”,得到其中一个根是,则方程根的情况是( ) A.无实数根 B.有两个不相等的实数根 C.有两个实数根 D.有一个根是 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程的解和根的判别式.先求出,再根据判别式得到,即可得到结论. 【详解】解:由题意可得, 解得,, 对于方程, ∵, ∵, ∴方程根的情况是有两个实数根, 故选:C 2.(24-25九年级上 四川南充 自主招生)若二次方程组有唯一解,则k的所有可能取值为 . 【答案】 【分析】本题考查了代入法,以及一元二次方程根的判别式,通过适当的方法,把不熟悉的问题转化为熟悉的知识求解是解题的关键.利用代入法将方程组化为,再根据二次方程组有唯一解分以下情况①当时,②当时,结合一元二次方程根的判别式讨论求解,即可解题. 【详解】解:将代入中, 有, 整理得, 二次方程组有唯一解,即只有一个解, ①当时,即时,方程有一个解, ②当时,即时,方程为一元二次方程, 有当时,方程有两个相同的实数根, 即, 整理得, , 此方程无实数根, 综上所述,当时,二次方程组有唯一解, 故答案为:. 3.(2025 广东东莞 模拟预测)已知方程()是一元二次方程. (1)求证:不论m取何值,该一元二次方程一定有两个不相等的实数根; (2)若方程有一根小于,求m的取值范围. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式,解一元二次方程,熟知方程有两个不相等的实数根;方程有两个相等的实数根;方程没有实数根是解题的关键. (1)要证明方程总有两个不相等的实数根就是证明其判别式永远都是一个正数; (2)先求出原方程的两个实数根,根据方程有一根小于,列出不等式,求出的取值范围. 【详解】(1)证明:, 不论m取何值,该一元二次方程一定有两个不相等的实数根; (2)解:, , 解得, 方程有一根小于, 则,且, 解得. 4.(24-25九年级上 河北邯郸 期末)已知一元二次方程.有如下四组条件:①,;②,;③,;④,. (1)能使一元二次方程有两个不相等的实数根的是_;(填序号) (2)选择(1)中的一组条件解方程. 【答案】(1)②③ (2)选②,,;选③,, 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式和公式法解一元二次方程,熟练掌握公式法解一元二次方程是解题的关键. (1)根据一元二次方程根的判别式即可求解; (2)根据公式法解一元二次方程即可. 【详解】(1)解:由得: ①当,, ,方程有两个相等的实数根; ②,, ,方程有两个不相等的实数根; ③,, ,方程有两个不相等的实数根; ④,, ,方程无实数根; 综上可知能使一元二次方程有两个不相等的实数根的是②③, 故答案为:②③; (2)解:选②,,则这个方程为, , 方程有两个不相等的实数根, , ,; ③,,则这个方程为, , 方程有两个不相等的实数根; , ,.(二者选其一即可) 【典型例题七 根据一元二次方程根的情况求参数】 【例1】(2025 四川遂宁 模拟预测)已知关于的一元二次方程有实数根,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式,熟知方程有实数根对应方程的判别式非负是解题的关键; 根据一元二次方程有实数根的条件,判别式非负,代入方程系数计算判别式,解不等式即可确定m的取值范围. 【详解】解:对于方程,其判别式为:, 方程有实数根需满足,即:, 解得; 故选:D. 【例2】(2025 山东聊城 模拟预测)若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根,则的值为 . 【答案】10 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式,根据一元二次方程根的判别式得出,即,然后代入计算即可. 【详解】解:∵一元二次方程有两个相等的实数根, ∴, ∴. 故答案为:10. 【例3】(24-25九年级上 上海 阶段练习)已知关于的方程只有一个实数根,求值. 【答案】 【分析】本题考查分式方程,一元二次方程的知识,解题的关键是根据题意,等式两边同时乘以,得,移项,合并同类项,得,根据题意,方程只有一个实数根,则根据一元二次方程根的判别式,解出,即可. 【详解】解:, 等式两边同时乘以,得, 移项,合并同类项,得, ∵方程只有一个实数根, ∴, ∴, 解得:. 1.(24-25八年级下 浙江金华 阶段练习)关于的方程有实数根,则的取值范围是( ) A. B.或 C.且 D. 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程和一元二次方程的性质,以及一元二次方程判别式的应用,解题关键是分方程为一元一次方程和方程为一元二次方程,两种情况讨论.首先,需要分情况讨论和.然后,对于的情况,用根的判别式来判断方程是否有实数根,即可解答. 【详解】当时,, 解得, ∴方程有实数根. 当时, 是一元二次方程, 在方程中,,,. ∴. ∵方程有实数根, ∴,即. 解得, ∵, ∴且. ∴的取值范围是. 答案:D. 2.(2025 湖南娄底 模拟预测)对于实数定义新运算:,例如:.若关于的一元二次方程有两个相等的实数根,则的值是 . 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算,一元二次方程根的判别式,先根据新运算列出一元二次方程,再根据方程有个相等的实数根得,据此列出关于的方程解答即可求解,理解新定义运算是解题的关键. 【详解】解:由题意得,, ∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根, ∴, 解得, 故答案为:. 3.(24-25八年级下 安徽亳州 期中)已知关于的一元二次方程有两个实数根. (1)求的取值范围; (2)若是方程的一个实数根,且满足,求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了根的判别式,因式分解法解一元二次方程,掌握方程根的情况与跟的判别式的关系是解题的关键. (1)由方程根的情况,根据判别式可得到关于的不等式,则可求得的取值范围; (2)由方程根的定义,可用表示出,代入已知等式可得到关于的方程,则可求得的取值范围. 【详解】(1)根据题意,得, , ; (2)解:是方程的一个实数根, , 则, , , , 解得或(舍) . 4.(24-25九年级上 湖南永州 期末)定义:两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程”,代数式的值为该“全整根方程”的“最值码”,用表示,即;若另一关于的一元二次方程也为“全整根方程”,其“最值码”记为,当满足时,则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”. (1)“全整根方程”的“最值码”是_; (2)关于的一元二次方程(m为整数,且)是“全整根方程”,请求出该方程的“最值码”; (3)若关于的一元二次方程是(m,n均为正整数)的“全整根伴侣方程”,求的值. 【答案】(1) (2) (3)2 【分析】本题考查定义,一元二次方程根的判别式,正确理解全整根方程、全整根伴侣方程、最值码的定义是解题的关键. (1)根据“最值码”定义求解即可. (2)求出方程的判别式,再根据“全整根方程”得的值是一个完全平方数时,求出的值,从而求得b与c的值,代入中,即可求出最值码. (3)分别求出两方程的最值码,根据,即可得出的值. 【详解】(1)解:对于方程,可知: ,,, , , , “全整根方程” 的“最值码”是. 故答案为:. (2)解:对于方程,,,, , , . 方程是“全整根方程”, 是完全平方数, 又,且为整数, , 完全平方数为36、49、63, 当时,不为整数,不符合, 当时,为整数且,符合, 当时,不为整数,不符合. 只有当时,才是完全平方数, ,, , , , 一元二次方程的“最值码”为. (3)解:对于方程,,,, , , , . 对于,,,, , , . 是的“全整根伴侣方程”, , , , , , , , , 或. 、均为正整数, 不符合题意, , 故的值为2. 【典型例题八 一元二次方程的根与系数的关系】 【例1】(24-25九年级上 江西吉安 阶段练习)已知是一元二次方程的两个实数根,则( ) A.2023 B.2024 C.2025 D.2026 【答案】C 【分析】本题考查了根与系数的关系.利用一元二次方程根与系数的关系求出与的值,代入原式计算即可求出值. 【详解】解:一元二次方程的两个实数根为a,b, ,, 则原式, 故选:C. 【例2】(24-25九年级上 江西抚州 阶段练习)已知关于的一元二次方程的一个根为,则其另一个根与的乘积为 . 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系,解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为,,则. 设方程的另一个根为,根据根与系数的关系得到,,求出和,即可求解另一个根与的乘积. 【详解】解:设方程的另一个根为, 由题意得,,, 解得:,, ∴, 故答案为:. 【例3】(24-25九年级上 广东汕头 期末)关于的一元二次方程有两个不相等的实数根,且是非负整数, (1)求的值; (2)若是该方程的两个实数根,则 . 【答案】(1); (2). 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式,一元二次方程根与系数的关系,掌握相关知识是解题的关键. (1)根据根的判别式可得,再根据是非负整数,即可求解; (2)根据根与系数的关系得,即可求解. 【详解】(1)解:根据题意得: , 解得:, 是非负整数, . (2)解:当时,方程化为, ∴, ∴, , 故答案为:. 1.(2025 甘肃定西 模拟预测)对于任意实数a,b,定义新运算“”: ,例如:.若m,n是方程的两个实数根,则的值为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系,新定义下的实数运算;由得:,由根与系数的关系得;再把所求代数式通分,整体代入即可. 【详解】解:∵, ∴, 整理得:, ∵m,n是方程的两个实数根, 即m,n是方程的两个实数根, ∴; ∴; 故选:A. 2.(24-25八年级下 江苏扬州 阶段练习)若关于x的方程(m为正整数)的两根分别记为,,如:当时,方程的两根记为,,则 . 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系,求代数式的值,由一元二次方程根与系数的关系得出,,从而得出,由此规律计算即可得解,熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键. 【详解】解:∵关于x的方程(m为正整数)的两根分别记为,, ∴,, ∴, ∴ , 故答案为:. 3.(2025 四川南充 模拟预测)已知、是一元二次方程的两个实数根. (1)求整数的取值; (2)若等式成立,求整数的值. 【答案】(1), (2) 【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系; (1)根据方程有两个实数根,既有,求出k的取值范围,得到整数解即可; (2)根据方程的根与系数的关系得到,,然后代入求出整数k的值. 【详解】(1)解:∵一元二次方程有两个实数根, ∴, 解得:, ∴整数的为,; (2)解:∵、是一元二次方程的两个实数根, ∴,, ∴, 解得, ∴整数的值为. 4.(24-25八年级下 山东济南 阶段练习)阅读材料: 材料:若关于的一元二次方程的两个根为,则,.如:一元二次方程的两个实数根分别为,则;又如:一元二次方程的两个实数根分别为,则,. 根据上述材料,结合你所学的知识,完成下列问题. (1)一元二次方程的两个根分别为,则_,_; (2)已知一元二次方程的两根分别为,求的值; (3)若实数满足,且,求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查韦达定理,熟练掌握根与系数的关系是解题的关键. (1)根据题意中的公式进行计算即可; (2)先求出,再根据题意求出与的值即可得到答案; (3)根据即可得到答案. 【详解】(1)解:一元二次方程的两个根分别为,则,, 故答案为:; (2)解:一元二次方程的两根分别为, ,, , ; (3)解:实数满足,且, 则是的解, 故,, , , . 【典型例题九 与系数关系的新定义问题】 【例1】(2025 河北邯郸 模拟预测)定义一种运算:,如:.若,则所有满足条件的实数的和为( ) A. B.2 C. D. 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式,根与系数的关系,根据定义可得,即,再利用判别式可证明原方程有两个不相等的实数根,则由根与系数的关系可得答案. 【详解】解:∵, ∴, ∴, ∵ ∴原方程有两个不相等的实数根, ∴. 故选:B. 【例2】(2024 广东深圳 模拟预测)对于字母m、n,定义新运算,若方程的解为a、b,则的值为 . 【答案】6 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数关系.判断出,,再根据新定义计算即可. 【详解】解:方程的解为、, ,, ∴. 故答案为:6. 【例3】(23-24八年级下 江苏苏州 期中)对于实数,定义新运算“”:,例如:,因为,所以. (1)求和的值; (2)若是一元二次方程的两个根,且,求的值. 【答案】(1); (2) 【分析】本题考查了新定义、一元二次方程根与系数的关系以及实数的运算: (1)根据题目已知定义计算即可; (2)先根据一元二次方程根的定义得到,再根据新定义化简原式,利用根与系数的关系求解即可. 【详解】(1) ; ; (2)是一元二次方程的根, , 根据根与系数的关系得, . 1.(23-24九年级上 重庆江津 阶段练习)对于实数a,b,如果定义新运算,则下列结论正确的有( ) ①;②;③若是一元二次方程的两个根,且,则m的值为3或. A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】C 【分析】根据新定义进行运算,整式的混合运算及一元二次方程根与系数的关系,即可一一判定. 【详解】解:,故①正确; 当时,即时,, 当时,即时,,故②正确; ∵是一元二次方程的两个根, ∴, ∴, 当时,, ∵, ∴,解得:; 当时,, ∵, ∴或,解得:或; 综上所述:m的值为3或,故③错误; 故选:C. 【点睛】本题考查了新定义运算,有理数及整式的混合运算,一元二次方程根与系数的关系,理解题意,采用分类讨论的思想是解决本题的关键. 2.(2024 山东济宁 模拟预测)定义运算:@.若,是方程的两根,则@@的值为 . 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的运算,先根据定义运算化简@@,再根据根与系数的关系求出、的值,最后把、的值代入化简后的式子得结论. 【详解】由题意:@@ ,是方程的两根, , 原式 故答案为: 3.(23-24九年级上 山东烟台 期末)“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定,要求现学现用,更多的考查阅读理解能力、应变能力和创新能力. 定义:方程是一元二次方程的倒方程,其中a、b、c均不为 0.请根据此定义解决下列问题: (1)方程的倒方程是 . (2)若是的倒方程的解,求出c的值; (3)若m,n是一元二次方程的倒方程的两个不相等的实数根,求代数式的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系,熟练掌握一元二次方程的解法和倒方程的定义是解题的关键. (1)根据新定义的含义可得答案; (2)根据题意得到方程的倒方程为,把代入即可得到的值; (3)根据题意得到方程的倒方程为,再结合方程根与系数的关系进一步解答即可; 【详解】(1)解:方程的倒方程是; (2)解:由题意得:方程的倒方程为, 把代入方程得 :, ∴ (3)由题意得:方程的倒方程为, ∵m,n是方程的两个实数根, ∴, , ∴ ∴ ; 4.(24-25九年级上 广东深圳 期中)综合与探究 【定义】我们把关于x的一元二次方程与(,)称为一对“友好方程” 【示例】如的“友好方程”是. (1)写出一元二次方程的“友好方程”是_. 【探究】 (2)已知一元二次方程的两根为,,请求出它的“友好方程”的两个根. 【猜想】 (3)当时,方程的两根,与其“友好方程”的两根,之间存在的一种特殊关系为_.(,) 【证明】 ∵方程的两根为,; 方程的两根为,①_;…… (4)请完成上述填空①,并补全证明过程.(备注:证明一组关系即可) 【拓展】 (5)已知关于x的方程的两根是,.请利用上述结论,直接写出关于x的方程的两根. 【答案】(1);(2),;(3)互为倒数;(4)证明见解析;(5),. 【分析】本题考查了新定义下一元二次方程根与系数的关系,求根公式的应用,倒数的定义等知识,掌握相关知识是解题的关键. (1)根据“友好方程”的定义即可得出答案; (2)根据“友好方程”的定义得出方程的“友好方程”,求解即可; (3)(4)根据求根公式得出方程的两根为,及其“友好方程”的两根为,,再求得,,即可得出答案; (5)先根据“友好方程”的根的特点求出,即的两根为,,将待求方程变为,把看成一个整体即可求解. 【详解】解:(1)依题意可得: 一元二次方程的“友好方程”是, 故答案为:; (2), ∴, 解得:,; (3)(4)∵时, ∴方程的两根为,, 方程的两根为,, ∴ , 同理: , ∴方程的两根,与其“友好方程”的两根,之间存在的一种特殊关系为互为倒数, 故答案为:互为倒数,; (5)∵关于x的方程的两根是,, ∴方程的“友好方程”,即的两根为,, 设 ∴,即可化为: , ∴,, ∴或, 解得:,. 【典型例题十 配方法的应用】 【例1】(24-25八年级下 安徽蚌埠 期中)若一元二次方程 (a,b为常数),化成一般形式为,则a,b的值分别是( ) A.,1 B.2,1 C.2, D., 【答案】A 【分析】本题考查配方法的应用,将利用配方法转化为:,即可得出结论. 【详解】解: ∴, ∴; 故选:A. 【例2】(23-24九年级上 全国 课后作业)如图,高腾同学在校运会跳高比赛中采用背跃式,跳跃路线是一条抛物线,他跳跃的高度y(单位:m)与跳跃时间x(单位:s)之间具有函数关系,那么他能跳过的最大高度为 m. 【答案】 【分析】本题考查了配方法求抛物线的最值,熟练进行配方是解题的关键. 利用配方法把一般式转化为顶点式,确定二次函数的最值即为所求. 【详解】解: , ∵, ∴当时,的最大值为, ∴他能跳过的最大高度为m. 故答案为:. 【例3】(23-24八年级下 安徽淮北 阶段练习)如果关于的一元二次方程有一个根是1,那么我们称这个方程为“和美方程”. (1)判断一元二次方程是否为“和美方程”,请说明理由. (2)已知关于的一元二次方程是“和美方程”,求的最小值. 【答案】(1)该方程是“和美方程”,见解析 (2)最小值为 【分析】本题考查一元二次方程的解,配方法解一元二次方程的应用, (1)将代入方程看左右两边是否相等即可得到答案; (2)将代入得到字母关系,结合完全平方的非负性直接求解即可得到答案; 【详解】(1)解:该方程是“和美方程”,理由如下, ∵当时,方程左边,右边, ∴左边=右边, ∴是该方程的解, ∴该方程是“和美方程”; (2)解:由题意得:, ∴, ∴ , ∵, ∴, ∴的最小值为. 1.(23-24九年级上 湖南衡阳 阶段练习)一元二次方程经过配方后,可变形为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】本题考查了配方法解方程,正确运用配方的基本要领解答即可. 【详解】, , , , 故选C. 2.(24-25九年级上 湖南永州 期中)新定义:关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”,如与是“同族二次方程”.现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”,那么代数式能取的最小值是 . 【答案】 【分析】此题考查了配方法的应用,非负数的性质,以及一元二次方程的定义,弄清题中的新定义是解本题的关键.利用“同族二次方程”定义列出关系式,再利用多项式相等的条件列出关于a与b的方程组,求出方程组的解得到a与b的值,进而利用非负数的性质确定出代数式的最小值即可. 【详解】解: 与是“同族二次方程”, , ∴, , ∴, , 最小值为, 最小值为, 即最小值为. 故答案为:. 3.(24-25八年级下 山东淄博 期中)把方程配方,得到. ①求m和p的值; ②解这个方程. 【答案】①,;②,. 【分析】本题考查解一元二次方程—配方法,解题的关键是掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤: 第一步:将二次项系数化为, 当二次项系数不是时,方程两边同时除以二次项系数; 第二步:将常数项移到方程的另一边,在方程两边同时加上一次项系数一半的平方,使其中的三项成为完全平方式; 第三步:配方后将原方程化为的形式,再用直接开平方的方法解方程. ①移项,配方即可得出,,即可得解; ②将的值代入后配方得出,开方得出,即可得解. 【详解】①解:∵, ∴, ∴, 即, ∴,, 解得:,; ②, 配方得:, 开平方得:, 解得:,. 4.(24-25九年级上 广西桂林 期末)综合与实践 【方法研究】配方法是数学中重要的一种思想方法,配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法.利用配方法可求一元二次方程的根,也可以求代数式的最值等. 例:求代数式的最小值. 解:原式. , , 的最小值为3. 【方法应用】 (1)仿照例题,用配方法求代数式的最小值. 【问题迁移】 (2)若,求,. 【拓展应用】 (3)如图,这是加菲尔德证明勾股定理的一个图形,其中,,是和的三边长.根据勾股定理,可得,我们把关于的一元二次方程,称为“勾系一元二次方程”,已知代数式的最小值是“勾系一元二次方程”的一个根,且,试求四边形的周长. 【答案】(1);(2),;(3) 【分析】本题考查了配方法的应用,解题关键是熟练掌握配方法,根据题目给出的方法进行求解; (1)按照例题给出的方法计算即可; (2)按照题目给出的方法配方,再根据非负数的性质求出字母的值即可; (3)根据“勾系一元二次方程”的定义得出一元二次方程各系数的关系,再利用配方法求解即可. 【详解】解:(1), , , 的最小值为; (2), , , , ,, ,, ,; (3)由(1)的最小值是“勾系一元二次方程”的一个根, , , ,, , ∴, ∴, ∴(负值舍去),, 四边形的周长为. 1.(2025 江苏南通 模拟预测)若关于的方程有两个相等的实数根,则的值是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式,理解方程有两个相等的实数根是关键. 根据方程有两个相等的实数根得到,由此即可求解. 【详解】解:关于的方程有两个相等的实数根, ∴, 解得,, 故选:A . 2.(2024 甘肃天水 模拟预测)定义一种运算:,例如,若,则正数x的值为( ) A.0 B.0或4 C.3 D.4 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程.根据新定义列出方程,解方程即可求解. 【详解】解:∵,, ∴, 整理得, 解得,, ∴正数x的值为4, 故选:D. 3.(25-26九年级上 全国 课后作业)已知方程可以配方成的形式,那么可以配方成( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的配方法即可求出答案. 【详解】方程, 移项,得. 配方,得, 即. 根据题意,得,, ,, 代入,得. 配方,得. 故选:B. 【点睛】本题考查一元二次方程,解题的关键是掌握用配方法解一元二次方程. 4.(2025 广西南宁 模拟预测)阅读材料:方程(b,c为常数)的两实根为,,所以方程可表示为.将等号左边展开得,与原方程对比,得到,.根据材料解决问题:一元三次方程(b,c,d为常数)的三个实根分别为,,,则( ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】本题考查根与系数的关系,熟练掌握题干中给出的方程的表示方法,是解题的关键,根据题意,将一元三次方程,表示为,然后将左边展开,进行判断即可. 【详解】解:∵一元三次方程(b,c,d为常数)的三个实根分别为,,, ∴方程可表示为:, ∴, ∴, ∴,,;故选项C正确,选项B,D错误; ∵, ∴;故选项A错误; 故选C. 5.(24-25九年级上 湖南 阶段练习)新定义:关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”如与是“同族二次方程”.现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”,那么代数式能取的最小值是( ) A.2021 B.2022 C.2023 D.2024 【答案】D 【分析】本题考查了配方法的应用,一元二次方程的定义,理解题目中的新定义是解题的关键;利用“同族二次方程”定义列出关系式,再利用多项式相等的条件列出关于a与b的方程组,求出方程组的解得到a与b的值,进而利用非负数的性质确定出代数式的最大值即可. 【详解】解:∵关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”, ∴, ∴, , 解得:, , ∵, ∴, 当时,能取的最小值是2024, 故选:. 6.(24-25八年级下 安徽六安 阶段练习)关于x的一元二次方程的解是 . 【答案】, 【分析】本题考查了一元二次方程,解题的关键是掌握直接开平方法.移项可得,再用直接开平方法求解. 【详解】解:, ∴, ∴或, ∴,, 故答案为:,. 7.(2025 贵州黔东南 模拟预测)若关于x的一元二次方程恰有两个不相等的实数根,则m的值可以为 .(任意写出一个即可) 【答案】1(答案不唯一) 【分析】本题考查了由一元二次方程根的判别式求参数的值,由一元二次方程有两个不相等的实数根,可得即可求解. 【详解】解:由条件可知,且, 解得,且, 可以为1(答案不唯一). 故答案为:1(答案不唯一). 8.(24-25八年级下 安徽合肥 期中)已知关于的方程(为常数,)的解是,那么 ()方程解为 ; ()解为 . 【答案】 , , 【分析】()把方程变形为,再根据方程解的定义可得或,进而即可求解; ()把方程变形为,再根据方程解的定义可得或,进而即可求解; 本题考查了一元二次方程解的定义,正确对方程进行变形是解题的关键. 【详解】解:()方程变形为, ∵方程的解是, ∴或, ∴,, 故答案为:,; ()方程变形为, ∵方程的解是, ∴或, ∴,, 故答案为:,. 9.(24-25八年级下 浙江杭州 期中)小明学习了韦达定理之后,发现若一元二次方程有两个实数根,,则方程可化为,将等式左边展开后可得,与原方程系数比较,就不难得到根与系数的等量关系. 小明接着思考,那么若一元三次方程有三个实数根,,,则这三个根之和、三个根之积与原方程系数之间是否存在类似的等量关系? 请你帮助小明解决问题:若方程的三个实数根为,,,则的值为 . 【答案】 【分析】本题考查了一元三次方程根与系数的关系,整式的乘法,掌握知识点的应用是解题的关键. 根据一元三次方程有三个实数根,,,则有,然后得出,,,再根据根与系数的关系即可求解. 【详解】解:∵一元三次方程有三个实数根,,, ∴, ∴ , ∴,,, ∵的三个实数根为,,, ∴,,, ∴, 故答案为:. 10.(2025 浙江湖州 模拟预测)一次数学探究活动中,老师给出了两个二次多项式,(其中p,q,c均是不为零的常数)及这两个代数式的一些信息,如下表所示: 二次多项式 对二次多项式进行因式分解 对二次多项式使用配方法 (说明:a,b,m,n,,均为常数) 有学生探究得到以下四个结论:①若,则;②若,则;③若有且只有一个x的值,使代数式的值为0,则;④若,则c的值不可能是.其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①④/④① 【分析】本题主要考查配方法的应用、根的判别式及二元一次方程组的解法,熟练掌握配方法的应用、根的判别式及二元一次方程组的解法是解题的关键;由题意易得,然后根据配方法的应用、根的判别式及二元一次方程组的解法可依次排除答案. 【详解】解:∵, , , , ∴, ①∵, ∴, ∵, ∴, ∴, ∴;故正确; ②∵, ∴, 解得:, ∴;故错误; ③由题意可知:当时,方程有两个相等的实数根, ∴, ∴, ∴, ∴;故错误; ④当,即, ∴, ∴, ∴, ∴, ∵, ∴,所以c的值不可能是,说法正确; 综上所述:正确的结论有①④; 故答案为①④. 11.(24-25八年级下 浙江温州 期中)解方程: (1). (2). 【答案】(1), (2), 【分析】本题考查解一元二次方程,正确计算是解题的关键. (1)利用开平方法解方程即可; (2)利用配方法解方程即可. 【详解】(1)解: , 则或, 解得,. (2)解: 方程的两边同加,得, 即, 则或, 所以,. 12.(24-25八年级下 安徽合肥 期中)定义新运算:对于任意实数、都有,等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算.例如:. 根据以上知识解决问题: (1),求; (2)若的值小于0,请判断方程:的根的情况. 【答案】(1) (2)方程有两个不相等的实数根 【分析】本题主要考查新定义,根的判别式,一元二次方程的根与有如下关系:①当时,方程有两个不相等的两个实数根;②当时,方程有两个相等的两个实数根;③当时,方程无实数根. (1)根据新定义得出,解之可得答案; (2)由2 的值小于0知,解之求得.再在方程中由可得答案. 【详解】(1)解:∵, ∴ ,即, ∴ 解得:,, ∴的值为; (2)解:∵的值小于0, , 解得:. 在方程中,, 方程有两个不相等的实数根. 13.(2025 浙江嘉兴 模拟预测)小李与小王两位同学解方程的过程如下框: 小李: 解:两边同除以,得 , 则. 小王: 解:移项,得, 提取公因式,得. 则或, 解得,. 你认为他们的解法是否正确?若正确请在框内打“√”;若错误请在框内打“ ”,并写出正确的解答过程. 【答案】 ; ;,.正确的解答过程见解析 【分析】本题主要考查了解一元二次方程,解题的关键是掌握因式分解法. 利用因式分解法解一元二次方程即可. 【详解】 ; 解: ,. 14.(2025 福建泉州 模拟预测)“集合”是数学中一个基本概念,指一组互不相同的对象的全体.例如,装有三枚不同颜色小球的袋子可视为一个集合.集合中的元素没有顺序之分,如{苹果,香蕉}与{香蕉,苹果}是同一个集合;集合中的元素彼此不重复,如需写成,重复元素被视为一个元素.若有限集合(,k为正整数)中的元素满足,则称S为“平衡集合”. (1)判断:集合是否是“平衡集合”,并说明理由; (2) 、是两个不同的正数,且是“平衡集合”,求证:、至少有一个大于2. 【答案】(1)是“平衡集合”,理由见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了新定义,一元二次方程的根与系数的关系,正确掌握相关性质内容是解题的关键. (1)根据“平衡集合”的定义,进行作答即可; (2)结合、是两个不同的正数,且是“平衡集合”,得,设,则,解得,,即可作答. 【详解】(1)解:依题意,,, ∵ ∴是“平衡集合”; (2)解:∵、是两个不同的正数,且是“平衡集合”, ∴, 设, 根据根与系数关系可知,相当于方程的两根, 则, ∵, ∴, 解得, ∴, ∴, ∴、至少有一个大于2. 15.(24-25八年级下 安徽宣城 期中)我们已经学习了利用配方法解一元二次方程,其实配方法还有其他重要应用,例如:试求二次三项式最小值. 解:, , ,即的最小值是1. 试利用“配方法”解决下列问题: (1)已知代数式,求它的最大值. (2)比较代数式与的大小,并说明理由. (3)知识迁移: 如图,在中,,点P在边上以的速度从点A向C移动,点Q在边上以的速度从点C向点B移动.若点同时出发,且当一点移动到终点时,另一点也随之停止,设四边形的面积为,运动时间为t秒,求S的最小值. 【答案】(1) (2),理由见解析 (3)20 【分析】本题考查了配方法的应用,三角形的面积,解题的关键是掌握配方法. (1)利用“配方法”计算即可; (2)两式相减,差和0比较,确定大小; (3)大三角形面积减去小三角形面积,再把含有t的式子配方,求最小值. 【详解】(1)解:, , , 的最大值为; (2) , , ; (3),点P在边上以的速度从点A向C移动,点Q在边上以的速度从点C向点B移动 点从点运动到点所需时间为,点从点运动到点所需时间为, , , , , S的最小值为20. 学科网(北京)股份有限公司 $$