精品解析：广东省深圳市龙华高级中学观澜校区2024-2025学年下学期八年级期中考试数学试卷

八年级数学 一． 选择题（共8小题） 1. 2024年4月25日搭载神舟十八号载人飞船的长征二号F遥十八运载火箭成功发射升空，叶光富、李聪、李广苏3名航天员开启“太空出差”之旅，展现了中国航天科技的新高度． 下列航空航天图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形的识别．根据中心对称图形的概念判断即可．把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是中心对称图形，故本选项符合题意； D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：C 2. 下列各式是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的意义，能熟记因式分解的意义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式叫因式分解． 根据因式分解的意义逐个判断即可． 【详解】解：A．等式从左边到右边的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意； B．等式从左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意； C．等式从左边到右边的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意； D．等式右边不是积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意； 故选：B． 3. 若，则下列不等式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键． 根据不等式的性质对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、若，则，原说法错误，不符合题意； B、若，则，原说法正确，符合题意； C、若，则，原说法错误，不符合题意； D、若，则，原说法错误，不符合题意． 故选：B． 4. 如图，将周长为8的△ABC沿BC方向平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【详解】解：根据题意，将周长为8个单位的等边△ABC沿边BC向右平移1个单位得到△DEF， ∴AD=1，BF=BC+CF=BC+1，DF=AC； 又∵AB+BC+AC=8， ∴四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC=10． 故选C． 5. 如图，直线与直线 交于点，则不等式 的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与不等式之间的关系，根据函数图象找到直线的图象在直线的图象下方时，自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可知，直线的图象在直线的图象下方时，自变量的取值范围为， ∴不等式 的解集为， 故选：A． 6. 图1是某学校人行入口的智能闸机及其示意图，如图2，当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度是，当它关闭时，双侧挡板边缘的端点A与B之间的距离为，且与闸机侧立面夹角，则双翼的边缘（）的长度为（ ） A. B. 70 C. D. 80 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查含30度角直角三角形的性质，添加正确的辅助线是解题的关键． 过A作于E，过B作于F，则可得和的长，依据端点A与B之间的距离为，即可得到双翼的边缘（）的长度． 【详解】解：如图，过A作于E，过B作于F， 点A与B之间的距离为，可以通过闸机的物体的最大宽度是， ， 在中，， 故选：B． 7. 如图，的对角线相交于点O，的平分线与边相交于点P，E是中点，连接，若，则的长为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定以及三角形的中位线定理等知识，熟练掌握相关图形的判定与性质是解题的关键． 根据平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义以及等腰三角形的判定可得，进而可得，再根据三角形的中位线解答即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，． ∴． ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 是的中点，， ∴是的中位线， ， 故选：C． 8. 如图，平行四边形中，，，对角线交于点P，将平行四边形绕点O顺时针旋转，旋转后点P的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点A作于点D，过点P作于点E，过点作于点，根据度角所对的直角边等于斜边一半，得到，利用勾股定理求得，得到，再根据平行四边形的性质，利用中点坐标公式，得到点P的坐标为，进而得到、，然后利用旋转的性质，证明，得到，，即可得到旋转后点的坐标． 【详解】解：如图，平行四边形旋转后得到平行四边形，过点A作于点D，过点P作于点E，过点作于点， ，， ， ， ， ， ， 由勾股定理得：， ， 四边形是平行四边形， ，即点P为中点， ， 点P的坐标为，即， ，， 由旋转的性质可知，，， ，， ， 在和中，， ， ，， 点在第四象限， 的坐标为， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，中点坐标公式，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题关键． 二．填空题（共5小题） 9. 因式分解：_____． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解，保证因式分解彻底 【详解】解： 10. 若关于的分式方程的解是负数，则的取值范围是__________． 【答案】且 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，首先根据解分式方程的步骤，求出关于的分式方程解是多少，然后根据分式方程的解为负数，求出的取值范围即可，掌握相应的运算法则是关键． 【详解】解：化简分式方程可得，， 解得：， 且， 且 故答案为：且． 11. 若关于的分式方程有增根，则的值为___________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了分式方程增根问题，熟练掌握分式方程的解法是解题关键．先将分式方程化成一元一次方程，解方程可得，再根据分式方程有增根可得，则，由此即可得． 【详解】解：， 方程两边同乘以，得， 解得， ∵关于的分式方程有增根， ∴，即， ∴， 解得， 故答案为：2． 12. 如图，在中，是边上一点，是边的中点，平分． 若，则的长为 ________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等角对等边判定等腰三角形的综合，掌握以上知识，合理作出辅助线是关键． 如图所示，延长交于点，连接，根据平行四边形的性质得到，，由角平分线的定义得到，，再证明，，即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交于点，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵是中点，， ∴，且， ∴， ∴， ∴， 故答案为：9 ． 13. 如图，中，，，，将边绕点B顺时针旋转至，连，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质及全等三角形的性质和判定，作，，在Rt中，可求得及的长，再证明，根据勾股定理可得的长． 【详解】解：过C作于M，过点D作，交延长线于点N， ，， 在Rt中， , ∴， 边绕点B顺时针旋转至， ，， ， 在和中， ， ，，， 在Rt中，根据勾股定理得，． 故答案为． 三． 解答题（共7小题） 14. 解分式方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）原方程无解 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解题步骤是解题的关键，需要注意的是，最后需要检验是否为增根． （1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【小问1详解】 解：， 去分母得：， 解得：， 经检验是分式方程的解； ∴原方程的解为：； 【小问2详解】 解：， 去分母得：， 解得：， 经检验是分式方程的增根． ∴原方程无解． 15. 解不等式组并把解集在数轴上表示出来． 【答案】， 把不等式组的解集在数轴上表示为： 【解析】 【分析】先分别解出两个不等式，再确定不等式组的解集，最后在数轴上表示即可． 【详解】解：解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集是： 【点睛】本题考查解一元一次不等式组及在数轴上表示出不等式组的解集，解题关键是正确解出不等式． 16. 先化简，再求值：，并从，，，这四个数中取一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】；当时，值为． 【解析】 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再利用分式有意义的条件得出符合分式的x的值，代入计算可得． 【详解】解：原式 为使分式有意义， 则有，，， ，，， 此时，取 当时， 原式 【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则及因式分解的应用，注意取合适的值时，要使分式有意义． 17. 如图，在中，点E，F是对角线所在直线上的两个不同的点（不在线段上），与相交于点O． （1）下列条件：① ；② ；③ ，请你从中选择一个能证明四边形是平行四边形的条件，并写出证明过程； （2）若四边形是平行四边形， 且，的面积为5， 求的面积． 【答案】（1） 解：方法1：我选①，证明如下： ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，即 ∴ ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 方法2：我选③.证明如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形． （2）10 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形中线的性质等知识点，掌握平行线的判定与性质成为解题的关键． （1）选定一个条件，然后运用平行线的判定与性质即可解答； （2）根据平行线的性质可得及已知条件可得，然后根据三角形中线的性质即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形和四边形都是平行四边形， ∴， ∴，即. 又∵， ∴. ． 18. 综合与实践． 如何分配工作，使公司支付的总工资最少 素材1 壮锦是工艺美术织品，是壮族人民最精彩的文化创造之一，其历史也非常悠久．某公司承接到2160个壮锦手提包的订单，计划将任务分配给甲、乙两个生产部门去完成． 甲部门每天生产的总数是乙部门每天生产总数的2倍，甲部门单独完成这项任务所需的时间比乙部门单独完成少18天． 素材2 经调查，这项订单需要支付甲部门4800元/天，乙部门3000元/天． 素材3 由于甲部门有其他工作任务，甲部门工作天数不超过乙部门工作天数的一半． 问题解决 任务1 确定工作效率 求甲、乙部门原来每天分别生产多少个壮锦手提包； 任务2 拟订设计方案 ①若设甲部门工作m天，则甲部门完成壮锦手提包______个，乙部门工作时间可表示为______天； ②如何安排甲、乙两部门工作的天数，才能使正好完成任务时该公司支付的总工资最少？最少需要多少元？ 【答案】任务1：甲部门原来每天生产120个壮锦手提包，乙部门原来每天生产60个壮锦手提包；任务2：①，；②甲部门工作9天，乙部门工作18天，才能使正好完成任务时该公司支付的总工资最少，最少需要97200元． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，一次函数的最大利润问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设乙部门每天能生成个壮锦手提包，依题意，列式得，注意经检验是方程的解，即可作答． （2）设甲部门工作天，则乙部门的工作时间为（天）．再依题意，得出，解出，根据利润公式得出，运用一次函数的性质，进行分析作答即可． 【详解】解：任务1：设乙部门原来每天生产x个壮锦手提包，则甲部门原来每天生产2x个壮锦手提包， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：甲部门原来每天生产120个壮锦手提包，乙部门原来每天生产60个壮锦手提包； 任务2：①设甲部门工作m天，则甲部门完成壮锦手提包个，乙部门工作时间可表示为天， 故答案为：，； ②由题意得：， 解得：， 设该公司支付的总工资为y元， 由题意得：， ， 随m的增大而减小， 当时，y有最小值， 此时，， 答：甲部门工作9天，乙部门工作18天，才能使正好完成任务时该公司支付的总工资最少，最少需要97200元． 19. 著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则． 阅读：材料 1：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是真分式． 材料 2：在处理分数和分式的问题时，有时由于分子大于分母，或分子的次数高于分母的次数，在实际运算时难度较大，这时，我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（分式）的和（差）的形式，通过对它的简单分析来解决问题，我们称这种方法为分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效． 将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行，例如：． 类似地，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，如：，这样，分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式． 根据以上阅读材料，解答下列问题： （1）填空：①分式是 ______ 分式（填“真”或“假”）； ②把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式：____________________． （2）若分式的值为非负整数，则整数的值为 ____________________． （3）若分式拆分成一个整式与一个真分式（分子为整数）的和（差）的形式为：（整式部分对应等于，真分式部分对应等于），求的最小值． 【答案】（1）①真；② （2）或或 （3） 【解析】 【分析】本题考查分式的化简以及完全平方公式．正确理解题意、掌握分式的变形方法，是解题的关键． （1）①根据材料1中定义判断即可；②根据题干中的方法，将分式进行变形即可； （2）根据题干中的方法，将分式进行变形，再进行求解即可； （3）先将分式转化为一个整数和一个分式的和的形式，然后将代数式转化为完全平方公式的形式，求出最小值即可． 【小问1详解】 解：①分式中分子的次数小于分母的次数，则分式是真分式， 故答案为：真； ②， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵的值为非负整数， ∴， ∴； 故答案为：或或； 【小问3详解】 解：∵， 又， ∴，， ∴， ∴， ∴ ； ∵， ∴； ∴的最小值为． 20. 我们规定：有一组邻边相等，且这组邻边的夹角为的凸四边形叫做“准筝形”． （1）如图，在四边形中，，，， ，则 ___________ ； ___________． （2）小军同学研究“准筝形”时，思索这样一道题：如图，“准筝形”，求的长． 小军研究后发现，可以为边向外作等边三角形，构造手拉手全等模型，用转化的思想来求请你按照小军的思路求的长． （3）如图，在中，，设是所在平面内一点，当四边形是“准筝形”时，请直接写出四边形的面积． 【答案】（1） （2）7 （3）或或 【解析】 【分析】（1）连接，证明是等边三角形，从而得到和直角三角形，根据,继而求得; （2）以为边作等边，连接，过点E作于F，证得，求出，由直角三角形的性质得出由勾股定理求出，再由勾股定理即可得出答案； （3）过点C作，交延长线于H，设，求出，由直角三角形的性质得出，构建方程求出x，进而得出的长，分三种情况，分别求解即可． 【小问1详解】 如图，连接， , 是等边三角形， ， , 又, , 故答案为： 【小问2详解】 以为边作等边，连接，过点E作于F，如图2所示， 则， ， ∴是等边三角形， ， 即， 在和中， ， ， ∴， ， ， ， ， ， 由勾股定理得： 在中，由勾股定理得： ∴， 【小问3详解】 过点C作，交延长线于H，设，如图3所示， ， ， , ， 又， ∴是等腰直角三角形， ， ①如图4所示， 当时， 连接，过点C作，交延长线于点G，过点A作， 则，，， ， ∵在和中， ∴ ， ∴， 在中，由勾股定理得， ， ， ， ②图5所示， 当时， 连接，作于点G，于K， 如图，则 ，， ③如图6所示， 当时， 作于M，作于H， 则，, ， ， 综上所述，四边形A BCD的面积为或或． 【点睛】本题是考查了“准筝形”的判定与性质、四边形内角和定理、全等三角形的判定与性质含30°角的直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积等知识，熟练掌握准筝形的判定与性质和直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学 一． 选择题（共8小题） 1. 2024年4月25日搭载神舟十八号载人飞船的长征二号F遥十八运载火箭成功发射升空，叶光富、李聪、李广苏3名航天员开启“太空出差”之旅，展现了中国航天科技的新高度． 下列航空航天图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则下列不等式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，将周长为8的△ABC沿BC方向平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 5. 如图，直线与直线 交于点，则不等式 的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 图1是某学校人行入口的智能闸机及其示意图，如图2，当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度是，当它关闭时，双侧挡板边缘的端点A与B之间的距离为，且与闸机侧立面夹角，则双翼的边缘（）的长度为（ ） A. B. 70 C. D. 80 7. 如图，的对角线相交于点O，的平分线与边相交于点P，E是中点，连接，若，则的长为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 8. 如图，平行四边形中，，，对角线交于点P，将平行四边形绕点O顺时针旋转，旋转后点P的坐标为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共5小题） 9. 因式分解：_____． 10. 若关于的分式方程的解是负数，则的取值范围是__________． 11. 若关于的分式方程有增根，则的值为___________． 12. 如图，在中，是边上一点，是边的中点，平分． 若，则的长为 ________． 13. 如图，中，，，，将边绕点B顺时针旋转至，连，则___________． 三． 解答题（共7小题） 14. 解分式方程： （1）； （2）． 15. 解不等式组并把解集在数轴上表示出来． 16. 先化简，再求值：，并从，，，这四个数中取一个合适的数作为的值代入求值． 17. 如图，在中，点E，F是对角线所在直线上的两个不同的点（不在线段上），与相交于点O． （1）下列条件：① ；② ；③ ，请你从中选择一个能证明四边形是平行四边形的条件，并写出证明过程； （2）若四边形是平行四边形， 且，的面积为5， 求的面积． 18. 综合与实践． 如何分配工作，使公司支付的总工资最少 素材1 壮锦是工艺美术织品，是壮族人民最精彩的文化创造之一，其历史也非常悠久．某公司承接到2160个壮锦手提包的订单，计划将任务分配给甲、乙两个生产部门去完成． 甲部门每天生产的总数是乙部门每天生产总数的2倍，甲部门单独完成这项任务所需的时间比乙部门单独完成少18天． 素材2 经调查，这项订单需要支付甲部门4800元/天，乙部门3000元/天． 素材3 由于甲部门有其他工作任务，甲部门工作天数不超过乙部门工作天数的一半． 问题解决 任务1 确定工作效率 求甲、乙部门原来每天分别生产多少个壮锦手提包； 任务2 拟订设计方案 ①若设甲部门工作m天，则甲部门完成壮锦手提包______个，乙部门工作时间可表示为______天； ②如何安排甲、乙两部门工作的天数，才能使正好完成任务时该公司支付的总工资最少？最少需要多少元？ 19. 著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则． 阅读：材料 1：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是真分式． 材料 2：在处理分数和分式的问题时，有时由于分子大于分母，或分子的次数高于分母的次数，在实际运算时难度较大，这时，我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（分式）的和（差）的形式，通过对它的简单分析来解决问题，我们称这种方法为分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效． 将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行，例如：． 类似地，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，如：，这样，分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式． 根据以上阅读材料，解答下列问题： （1）填空：①分式是 ______ 分式（填“真”或“假”）； ②把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式：____________________． （2）若分式的值为非负整数，则整数的值为 ____________________． （3）若分式拆分成一个整式与一个真分式（分子为整数）的和（差）的形式为：（整式部分对应等于，真分式部分对应等于），求的最小值． 20. 我们规定：有一组邻边相等，且这组邻边的夹角为的凸四边形叫做“准筝形”． （1）如图，在四边形中，，，， ，则 ___________ ； ___________． （2）小军同学研究“准筝形”时，思索这样一道题：如图，“准筝形”，求的长． 小军研究后发现，可以为边向外作等边三角形，构造手拉手全等模型，用转化的思想来求请你按照小军的思路求的长． （3）如图，在中，，设是所在平面内一点，当四边形是“准筝形”时，请直接写出四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $