2026届高三数学一题多变-对数函数图像与零点的综合运用讲义

第6题 对数函数图像与零点的综合应用（一题多变） 【2025届云南三校联考卷（二） 第8题】 ，为函数的两个零点，其中，则下列说法错误的是（    ） A．        B． C．的最小值为4    D．的最小值为4 【思路分析】通过题意判断得到比1大还是小对的图象没有影响，然后不妨假设，进而得到，根据对数运算法则得到，将B、C、D选项利用消元思想转化为对勾函数求最值或取值范围问题即可求解，注意最值取得的条件是否符合题意. 【详解】函数的定义域为，且， 由，得，因此直线与函数的图象有两个公共点， 其横坐标为，，比1大还是小对的图象没有影响，可令， 而当时，递减， 当时，递增，于是， 对于A，由，得，即，A正确； 对于B，，而函数在上单调递增，因此，B正确； 对于C，，函数在上单调递增，因此，C错误； 对于D，，当且仅当时取等号，D正确，故选C． 【题后反思】对数函数问题巧妙运用数形结合的方法，通过基本不等式求最值要注意取得最值的条件是否成立，通过对勾函数求最值或取值范围需要注意自变量的范围. 【变化角度】分段函数+复合函数根的问题 【示例】已知函数，函数有4个不同的零点，，，且 ，则的取值可能为（ ） A．    B．7    C．    D． 【思路分析】令得，问题转化为有4个不同的根，即函数与函数有4个不同的交点，分别作出与的图像，利用二次函数与对数函数的图像性质，计算可得答案， 【详解】，令得， 函数有4个不同的零点，即有4个不同的根， 根据题意，作出的图像如图所示， 由二次函数的对称性可知， 由对数函数的性质，，即， 则有，得，所以， 由，解得，则， 对勾函数在上单调递增，有，得， 所以. 故选：AB 【举一反三】 1．定义在上的满足对，关于的方程有7个不同的实数根，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意，对化简得，即，画出图象，结合图象即可得到答案. 【详解】关于的方程可化简为， 即有7个不同的根，画出的图象，      观察可以看出当有4个不同的根， 故只需有3个不同的根即可，所以. 故选：A. 【变换角度】分段函数+三个零点的问题 【示例】已知函数，若方程有三个不同的实数根，且，则的取值范围是（ ） A．    B．    C．    D． 【思路分析】分析函数的性质，结合其图象求出a的范围，再用a表示，利用导数法求值域，即可计算作答.本题的关键是找到之间的关系，从而减少变量得到，再利用导数求出其值域即可. 【详解】函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，其图象如图， 方程有三个不同的实数根，即直线与的图象有三个公共点，则， 由，得：，即， 而，，则， 于是得， 记，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以， 又函数在定义域上单调递减，所以. 故选：A 【举一反三】 2．设常数，函数；若方程有三个不相等的实数根，且，则下列说法正确的是（    ） A．a的取值范围为 B．的取值范围为 C． D．的取值范围为 【答案】D 【分析】根据给定条件，分析函数的性质，确定所在区间，再逐项推理判断作答. 【详解】当时，函数是减函数，函数值集合为， 当时，函数是增函数，函数值集合为， 当时，函数是减函数，函数值集合为，如图， 因方程有三个不相等的实数根，则，，A不正确； ，且满足，于是得，因此的取值范围为，B不正确； ，且有，因此，，即，解得，C不正确； ，所以的取值范围为，D正确. 故选：D 【变换角度】分段函数+四个零点的问题 【示例】（2024高三·全国·专题练习）已知函数，若，且，则下列结论正确的是（ ） A．    B． C．    D． 【思路分析】作出函数的图象，设，则直线与函数的图象个交点横坐标分别为，可得出，再结合对称性与对数运算即可得正确选项. 【详解】函数的图象如图所示， 设，则， 则直线与函数的图象个交点横坐标分别为， 对于A：函数的图象关于直线对称，则，故A正确； 对于B：由图象可知，且， ∴，即，所以，故B正确； 对于C，当时，， 由图象可知，则，故C错误； 对于D，由图象可知， 所以，故D错误. 故选：AB. 【举一反三】 3．已知函数，若函数有四个不同的零点，，，，且，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得函数与有四个不同的交点，作出函数与的图象如图所示，然后结合图象逐个分析判断即可. 【详解】因为函数有四个不同的零点， 所以有四个不同的解，即函数与有四个不同的交点， 作出函数与的图象如图所示： 又时，，由图象可得，故B不正确， 由，得或，所以由图象可得，故A正确； 由图象可得，所以，即， 即，所以，故C错误； 又，关于对称，故，故D错误， 故选：A. 关键点点睛：此题考查对数函数图象的应用，考查函数与方程的综合应用，解题的关键是将问题转化为函数与有四个不同的交点，然后作出函数图象，结合图象分析判断，考查数形结合的思想，属于较难题. 4．已知函数，若存在实数.满足，且，则的取值范围是 【答案】 【分析】作出函数的图象，结合图象可知之间的关系，将转化为关于的二次函数求范围即可. 【详解】作出函数的图象，如图， 因为，，， 所以由图可知，，， 所以， 在上单调递增，所以， 即的取值范围是. 故答案为：. 5．为函数的两个零点，其中，则下列说法错误的是（    ） A． B． C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】C 【分析】根据给定条件，由函数零点的意义可得直线与函数的图象有两个公共点，结合函数的性质可得，再借助对勾函数性质及基本不等式逐项分析得解. 【详解】函数的定义域为， 由，得，因此直线与函数的图象有两个公共点，其横坐标为， 而当时，递减，当时，递增，于是， 对于A，由，得，即，A正确； 对于B，，而函数在上单调递增，因此，B正确； 对于C，，函数在上单调递增，因此，C错误； 对于D，，当且仅当时取等号，D正确. 故选：C 6．函数.若该函数的两个零点为，则（    ） A． B． C． D．无法判定 【答案】C 【分析】转化为两函数的交点问题，结合图像，利用对数的运算求解. 【详解】由得， 令，在同一坐标系内作出函数的图像， 令函数与直线的交点的横坐标为， 则，即，所以， 因此．故A，B，D错误. 故选：C． 7．已知函数，若存在实数（）满足，则正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】画出的图象，根据图象可得的取值范围，再根据图象的局部对称性可得，且，故可判断各项的正误. 【详解】作出函数的图象，如图： 令，得或或， 由存在实数满足， 得直线与函数的图象有4个不同交点，由图象知，D正确； 由与关于对称，得，B正确； 由，得， 即，则， 整理得，C正确； ，由图象得，于是， 即，因此，A错误. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：分段函数的零点问题，可先刻画其图象，根据图象的性质可得各零点的性质，结合基本不等式等考虑目标代数式的范围等. 8．已知函数，若方程存在三个不同的实数解，且满足，设，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】画出的图象，根据对数函数、指数函数、基本不等式等知识求得正确答案. 【详解】画出、的图象如下图所示， 由于方程存在三个不同的实数解，所以， 由图知，，且， 所以， ，则， 所以， 所以的最大值为. 故答案为： 9．已知，若函数有5个零点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由函数零点的意义可得或，求出根的个数，再结合函数性质，借助数形结合法求出的范围. 【详解】函数在上单调递增，函数值集合为， 在上单调递减，函数值集合为，在上单调递增，函数值集合为， 又由，得或， 当时，，解得或， 因为函数有5个零点，则方程有3个解， 即函数的图象与直线有3个公共点， 在同一坐标系内作出函数的图象与直线，如图， 观察图象得，当时，函数的图象与直线有3个公共点， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第6题 对数函数图像与零点的综合应用（一题多变） 【2025届云南三校联考卷（二） 第8题】 ，为函数的两个零点，其中，则下列说法错误的是（    ） A．        B． C．的最小值为4    D．的最小值为4 【思路分析】通过题意判断得到比1大还是小对的图象没有影响，然后不妨假设，进而得到，根据对数运算法则得到，将B、C、D选项利用消元思想转化为对勾函数求最值或取值范围问题即可求解，注意最值取得的条件是否符合题意. 【详解】函数的定义域为，且， 由，得，因此直线与函数的图象有两个公共点， 其横坐标为，，比1大还是小对的图象没有影响，可令， 而当时，递减， 当时，递增，于是， 对于A，由，得，即，A正确； 对于B，，而函数在上单调递增，因此，B正确； 对于C，，函数在上单调递增，因此，C错误； 对于D，，当且仅当时取等号，D正确，故选C． 【题后反思】对数函数问题巧妙运用数形结合的方法，通过基本不等式求最值要注意取得最值的条件是否成立，通过对勾函数求最值或取值范围需要注意自变量的范围. 【变化角度】分段函数+复合函数根的问题 【示例】已知函数，函数有4个不同的零点，，，且 ，则的取值可能为（ ） A．    B．7    C．    D． 【思路分析】令得，问题转化为有4个不同的根，即函数与函数有4个不同的交点，分别作出与的图像，利用二次函数与对数函数的图像性质，计算可得答案， 【详解】，令得， 函数有4个不同的零点，即有4个不同的根， 根据题意，作出的图像如图所示， 由二次函数的对称性可知， 由对数函数的性质，，即， 则有，得，所以， 由，解得，则， 对勾函数在上单调递增，有，得， 所以. 故选：AB 【举一反三】 1．定义在上的满足对，关于的方程有7个不同的实数根，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变换角度】分段函数+三个零点的问题 【示例】已知函数，若方程有三个不同的实数根，且，则的取值范围是（ ） A．    B．    C．    D． 【思路分析】分析函数的性质，结合其图象求出a的范围，再用a表示，利用导数法求值域，即可计算作答.本题的关键是找到之间的关系，从而减少变量得到，再利用导数求出其值域即可. 【详解】函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，其图象如图， 方程有三个不同的实数根，即直线与的图象有三个公共点，则， 由，得：，即， 而，，则， 于是得， 记，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以， 又函数在定义域上单调递减，所以. 故选：A 【举一反三】 2．设常数，函数；若方程有三个不相等的实数根，且，则下列说法正确的是（    ） A．a的取值范围为 B．的取值范围为 C． D．的取值范围为 【变换角度】分段函数+四个零点的问题 【示例】（2024高三·全国·专题练习）已知函数，若，且，则下列结论正确的是（ ） A．    B． C．    D． 【思路分析】作出函数的图象，设，则直线与函数的图象个交点横坐标分别为，可得出，再结合对称性与对数运算即可得正确选项. 【详解】函数的图象如图所示， 设，则， 则直线与函数的图象个交点横坐标分别为， 对于A：函数的图象关于直线对称，则，故A正确； 对于B：由图象可知，且， ∴，即，所以，故B正确； 对于C，当时，， 由图象可知，则，故C错误； 对于D，由图象可知， 所以，故D错误. 故选：AB. 【举一反三】 3．已知函数，若函数有四个不同的零点，，，，且，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，若存在实数.满足，且，则的取值范围是 5．为函数的两个零点，其中，则下列说法错误的是（    ） A． B． C．的最小值为 D．的最小值为 6．函数.若该函数的两个零点为，则（    ） A． B． C． D．无法判定 7．已知函数，若存在实数（）满足，则正确的是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，若方程存在三个不同的实数解，且满足，设，则的最大值为 ． 9．已知，若函数有5个零点，则实数的取值范围是 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$