精品解析：重庆市梁平区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题

2025年春八年级数学质量监测卷 考生须知： 1．本卷共4页，四道大题，满分150分．时间120分钟． 2．在答题卡上准确填写学校名称、班级名称、学生姓名． 3．答案一律填涂或书写在答题卡上，在本卷上作答无效． 4．监测结束，请将本卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题，共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑． 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于x的正比例函数的值随x值的增大而减小，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 已知三组数据：①1，2，3；②2，3，4；③3，4，5；以每组数据分别作为三角形的三边长，其中能构成直角三角形的是（ ） A. ② B. ③ C. ①② D. ①③ 4. 若数据1，4，2，x，5的平均数是3，则中位数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 5. 已知一个平行四边形两邻角的度数之比为，则它较大的一个内角度数是（ ） A. B. C. D. 6. 甲、乙两人10次射击成绩的折线图如图所示，图上水平的直线表示平均数水平，甲、乙两人射击成绩数据的方差分别为，则______（填“>”“<”或“=”） A. < B. > C. = D. 不确定 7. 如图，在中，点M是斜边的中点，以为边作正方形．若，则（ ） A B. 2 C. D. 4 8. 随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．如图①是某餐厅的机器人聪聪和慧慧，他们从厨房门口出发，准备给客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设聪聪行走的时间为，聪聪和慧慧行走的路程分别为，，，与x的函数图象如图②所示，则下列说法不正确的是（ ） A. 慧慧比聪聪晚出发 B. 聪聪速度为 C. D. 9. 如图所示，在四边形中， ， ， ， ，E，F分别是，边的中点，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 10. 用表示距离最近的正整数．（n为正整数），比如：表示距离最近的正整数，；表示距离最近的正整数，；表示距离最近的正整数，……利用这些发现得到以下结论：①；②；③时，n的值有4个； 三个结论中正确的结论有（ ）个． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 第Ⅱ卷（非选择题，共110分） 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算的结果是_______． 12. 直线与轴的交点坐标为___________． 13. 某校规定学生的学期学业成绩由三部分组成：平时占20%，期中占30%，期末占50%，小颖的平时、期中、期末成绩分别为85分、90分、92分，则她本学期的学业成绩为__分． 14. 如图，，在数轴上点A表示的数为a，则a的值是______． 15. 若一组数据1，3，2，2，5，3，2，4，6，2的平均数是m，众数是n，实数x，y满足方程组，则______，______． 16. 如图，矩形中，，的平分线与的延长线相交于点E，与相交于点F，点M为的中点，连接．则______度，______． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 先化简，再求值，其中． 18. 一次函数和一次函数在同一坐标系中的图象如图所示，已知，观察图象回答下列问题： （1）关于x的一元一次方程的解是______； （2）关于x的不等式的解集是______； （3）关于x、y的方程组的解是______； （4）______． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 劳动教育能够提升学生的智力与创造力、强壮学生的体格．实验中学为了给学生提供合适的劳动教育场地，在校园规划了一片劳动基地（四边形）用来种植蔬菜和花卉．如图，花卉区和蔬菜区之间用一条长的小路隔开（小路的宽度忽略不计）．经测量，花卉区的边长，边长12m，蔬菜区的边长，． （1）求蔬菜区边的长； （2）求花卉区的面积． 20. 如图，在四边形中，．连接，． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线交于点E，交于点F，连接（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作图中，证明四边形菱形，完成下列填空． 证明：垂直平分， ∴ ① ． ， ， ， ， ② ， 即， ， ， ， 四边形形是 ③ ． ． 四边形为菱形． 21. 2024年3月25日是第29个全国中小学生安全教育日，为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某校开展了校园安全知识竞赛（百分制），八年级学生参加了本次活动．为了解该年级的答题情况，该校随机抽取了八年级部分学生的竞赛成绩（成绩用x表示，单位：分）．并对数据（成绩）进行统计整理数据分为五组： ．下面给出了部分信息： C组的数据： 70，71，71，72，72，72，74，74，75，76，76，76，78，78，79，79． 不完整的学生竞赛成绩频数分布直方图和扇形统计图如下： 请根据以上信息完成下列问题： （1）随机抽取的八年级学生人数为______，扇形统计图中B组对应扇形的圆心角为______度，抽取的八年级学生竞赛成绩的中位数是______分． （2）请补全频数分布直方图； （3）该校八年级共300人参加了此次竞赛活动，请你估计该校八年级参加此次竞赛活动成绩达到80分及以上的学生人数． 22. 甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同商品，春节期间两家商场都让利酬宾，其中甲商场所有商品按八折出售，乙商场对一次购物中超过200元价格的部分打七折． （1）以x（单位：元）表示商品原价，y（单位：元）表示购物金额，分别就两家商场的让利方式写出y关于的函数解析式； （2）在如图所示的直角坐标系中画出（1）中函数的图象； （3）春节期间如何选择这两家商场去购物更省钱？ 23. 如图，四边形为平行四边形，连接并延长至点D，延长至点A，使得，连接． （1）若，求的度数； （2）若，且，，，则______． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，一次函数的图象分别与x轴和y轴交于点B，C，作直线． （1）求直线的函数表达式． （2）M是直线上的一动点，是否存在点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图2，点，P为x轴正半轴上的一动点，以点P为直角顶点，为腰在第一象限内作等腰直角，连结，当的值最小时，请直接写出的周长． 25. 如图，在矩形中，，对角线相交于点O，对角线所在直线l绕点O顺时针方向旋转，旋转中，直线l分别交于点E，F，将四边形沿直线l折叠得到四边形，其中线段交于点G． （1）如图1，若，求的长． （2）如图2，连接交于点H． ①证明：；②求证：； （3）当时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年春八年级数学质量监测卷 考生须知： 1．本卷共4页，四道大题，满分150分．时间120分钟． 2．在答题卡上准确填写学校名称、班级名称、学生姓名． 3．答案一律填涂或书写在答题卡上，在本卷上作答无效． 4．监测结束，请将本卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题，共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑． 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次根式的加减乘除运算．利用二次根式的加减法的法则，二次根式的乘除法的法则对各项进行运算，然后作出判断即可． 【详解】解：A、，故此选项符合题意； B、与不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：A． 2. 关于x的正比例函数的值随x值的增大而减小，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正比例函数的图象和性质．正比例函数，当时，一次函数随的增大而增大，当时，一次函数随的增大而减小，进行解答，即可． 【详解】解：∵关于的正比例函数的值随值的增大而减小， ∴， ∴． 故选：C． 3. 已知三组数据：①1，2，3；②2，3，4；③3，4，5；以每组数据分别作为三角形的三边长，其中能构成直角三角形的是（ ） A. ② B. ③ C. ①② D. ①③ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．根据三角形勾股定理的逆定理符合即为直角三角形 ，将数据分别代入，符合即为能构成直角三角形． 【详解】解：由题意得： ① ；②；③ ， 所以能构成直角三角形的是③． 故选：B． 4. 若数据1，4，2，x，5的平均数是3，则中位数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平均数和中位数．首先根据平均数求出x值，再从小到大排列，找到中间的数即可． 【详解】解：∵数据1，4，2， x，5的平均数是3， ∴， 解得：， 从小到大排列为1，2，3，4，5， 最中间的数是3，则这组数据的中位数是3． 故选：B． 5. 已知一个平行四边形两邻角的度数之比为，则它较大的一个内角度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质．根据平行四边形的性质进行解析，即可得到答案． 【详解】解：平行四边形， ， ， ， ， 故选：C． 6. 甲、乙两人10次射击成绩的折线图如图所示，图上水平的直线表示平均数水平，甲、乙两人射击成绩数据的方差分别为，则______（填“>”“<”或“=”） A. < B. > C. = D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了折线统计图和方差．利用折线统计图可判断乙的成绩波动较大，然后根据方差的意义可得到甲乙的方差的大小． 【详解】解：由折线统计图得乙的成绩波动较大， ， 故选：A． 7. 如图，在中，点M是斜边的中点，以为边作正方形．若，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了算术平方根的应用，直角三角形斜边上的中线性质．先根据正方形的面积求出，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴， ∵， ∴， ∵在中，点M是斜边的中点， ∴， 故选：C． 8. 随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．如图①是某餐厅的机器人聪聪和慧慧，他们从厨房门口出发，准备给客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设聪聪行走的时间为，聪聪和慧慧行走的路程分别为，，，与x的函数图象如图②所示，则下列说法不正确的是（ ） A. 慧慧比聪聪晚出发 B. 聪聪的速度为 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了函数图象的分析，掌握行程问题的数量关系，数形结合是解题的关键．根据图象结合速度、路程、时间之间的关系，逐项判断即可求解． 【详解】解：由图象可得，慧慧比聪聪晚出发，故A选项正确，不符合题意； 慧慧一开始的速度为：，当速度提高到原来的2倍时，为，则，聪聪的速度为，故B选项不正确，符合题意；故C选项正确，不符合题意； ，故D选项正确，不符合题意； 故选：B． 9. 如图所示，在四边形中， ， ， ， ，E，F分别是，边的中点，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理、勾股定理．设的中点为，连接、，从而可得是的中位线，为的中位线，由三角形中位线定理可得，，求出，最后由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：如图，设的中点为，连接、， ∵点、分别是、的中点， ∴是的中位线，为的中位线， ∴，，，， ∵， ， ∴，， ∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 故选：A． 10. 用表示距离最近的正整数．（n为正整数），比如：表示距离最近的正整数，；表示距离最近的正整数，；表示距离最近的正整数，……利用这些发现得到以下结论：①；②；③时，n的值有4个； 三个结论中正确的结论有（ ）个． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查无理数的估算，数字规律探索问题．利用，m为整数，且，可知，，所以的个数为个，根据此规律分析各个结论即可． 【详解】解：由题意可知：设，m为整数，且， ∴， 当时，， ∴，故①正确； 由①可知：， ∴， ∵，均为整数，，均不为整数，且， ∴的个数为个， ∴的个数为4个，故②正确； 由②可知的个数为个， ∴，故③正确； 综上所述：正确的有①②③． 故选：D． 第Ⅱ卷（非选择题，共110分） 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算的结果是_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则成为解题的关键．直接根据二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 12. 直线与轴的交点坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】将代入求出y的值即可． 【详解】解：将代入得：， ∴直线与轴的交点坐标为； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点坐标，解题的关键是掌握x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0． 13. 某校规定学生的学期学业成绩由三部分组成：平时占20%，期中占30%，期末占50%，小颖的平时、期中、期末成绩分别为85分、90分、92分，则她本学期的学业成绩为__分． 【答案】90 【解析】 【分析】根据加权平均数的定义可得． 【详解】解:85×20%+90×30%+92×50%=90， 故答案为：90． 【点睛】本题主要考查加权平均数，熟练掌握加权平均数的定义是解题的关键． 14. 如图，，在数轴上点A表示的数为a，则a的值是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查数轴上的点表示的数，实数与数轴，勾股定理，解题的关键是求出，根据勾股定理求出，即可得的值． 【详解】解：由图可得，， 表示的数比表示的数小， ． 故答案为：． 15. 若一组数据1，3，2，2，5，3，2，4，6，2的平均数是m，众数是n，实数x，y满足方程组，则______，______． 【答案】 ①. 2 ②. 1 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，求中位数和众数，一组数据中出现次数最多的数据为该组数据的众数，一组数据中，处在最中间的那个数据或最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此求出m、n的值，再由，即可得到答案． 【详解】解：∵2出现的次数最多， ∴， ∵平均数是m， ∴， ∴原方程组为， 由得：， ∴． 故答案为：2；1 16. 如图，矩形中，，的平分线与的延长线相交于点E，与相交于点F，点M为的中点，连接．则______度，______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据矩形的性质，角平分线的定义，得到，平行线的性质，求出，连接，证明，推出为等腰直角三角形，进行求解即可． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 连接， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，点M为的中点， ∴为等腰直角三角形，， ∴，， ∴，， 又∵，， ∴， ∴，， ∴，即：， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为： ；． 【点睛】本题考查矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，斜边上的中线，全等三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 先化简，再求值，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，二次根式的运算，先根据分式的运算法则进行化简，然后把x、y的值代入，根据二次根式的运算法则计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 18. 一次函数和一次函数在同一坐标系中的图象如图所示，已知，观察图象回答下列问题： （1）关于x的一元一次方程的解是______； （2）关于x的不等式的解集是______； （3）关于x、y的方程组的解是______； （4）______． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组的关系以及勾股定理，解题的关键是理解函数图象与方程、不等式、方程组之间的联系． （1）由题意得，关于的方程的解是直线与x轴交点的横坐标； （2）由图可得答案； （3）由图可得出两条直线交点坐标是二元一次方程组的解； （4）使用勾股定理求得的长度． 【小问1详解】 解：∵点坐标为， ∴关于的方程的解是． 故答案为：； 【小问2详解】 解：由图可得，关于的不等式的解集是． 故答案为：； 【小问3详解】 解：由图可得，关于x、y方程组解是 故答案为：； 【小问4详解】 解：， 故答案为：． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 劳动教育能够提升学生的智力与创造力、强壮学生的体格．实验中学为了给学生提供合适的劳动教育场地，在校园规划了一片劳动基地（四边形）用来种植蔬菜和花卉．如图，花卉区和蔬菜区之间用一条长的小路隔开（小路的宽度忽略不计）．经测量，花卉区的边长，边长12m，蔬菜区的边长，． （1）求蔬菜区边的长； （2）求花卉区的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）在中，运用勾股定理即可求解； （2）先通过勾股定理逆定理证明，即可求解面积． 【小问1详解】 解：∵，， ∴； 答：蔬菜区边长为； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴，而， ∴， ∴， 花卉区的面积为：． 答：花卉区的面积为． 20. 如图，在四边形中，．连接，． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线交于点E，交于点F，连接（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作图中，证明四边形为菱形，完成下列填空． 证明：垂直平分， ∴ ① ． ， ， ， ， ② ， 即， ， ， ， 四边形形是 ③ ． ． 四边形为菱形． 【答案】（1）见解析 （2）；；平行四边形 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、平行四边形的判定及菱形的判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质及菱形的判定定理是解题的关键． （1）分别以点B、C为圆心，大于长为半径画弧，交于两点，然后连接这两个点，分别交于点E，交于点F，进而问题可求解； （2）由（1）易得，然后可得，进而根据菱形的判定定理可进行求解． 【小问1详解】 解：如图，点E，F，即为所求； 【小问2详解】 证明：垂直平分， ∴． ， ， ， ， ， 即， ， ， ， 四边形形是平行四边形． ． 四边形为菱形． 故答案为：；；平行四边形 21. 2024年3月25日是第29个全国中小学生安全教育日，为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某校开展了校园安全知识竞赛（百分制），八年级学生参加了本次活动．为了解该年级的答题情况，该校随机抽取了八年级部分学生的竞赛成绩（成绩用x表示，单位：分）．并对数据（成绩）进行统计整理数据分为五组： ．下面给出了部分信息： C组的数据： 70，71，71，72，72，72，74，74，75，76，76，76，78，78，79，79． 不完整的学生竞赛成绩频数分布直方图和扇形统计图如下： 请根据以上信息完成下列问题： （1）随机抽取的八年级学生人数为______，扇形统计图中B组对应扇形的圆心角为______度，抽取的八年级学生竞赛成绩的中位数是______分． （2）请补全频数分布直方图； （3）该校八年级共300人参加了此次竞赛活动，请你估计该校八年级参加此次竞赛活动成绩达到80分及以上的学生人数． 【答案】（1），， （2）见解析 （3）该校八年级参加此次竞赛活动成绩达到分及以上的学生人数为人 【解析】 【分析】本题考查统计图的综合应用，求中位数，利用样本估计总体，解题的关键是数形结合． （1）组人数除以所占的比例求出随机抽取的八年级学生人数，乘以组所占的比例，可求出组对应扇形的圆心角，根据中位数的确定方法求出中位数； （2）求出组人数，补全直方图即可； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【小问1详解】 解：随机抽取的八年级学生人数为（人）， 扇形统计图中组对应扇形的圆心角为， 将数据排序后第个和第个数据分别为，， 抽取的八年级学生竞赛成绩的中位数是（分）， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：组的人数为：（人）， 补全频数分布直方图如下： 【小问3详解】 解：（人）， 答：该校八年级参加此次竞赛活动成绩达到分及以上的学生人数为人． 22. 甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品，春节期间两家商场都让利酬宾，其中甲商场所有商品按八折出售，乙商场对一次购物中超过200元价格的部分打七折． （1）以x（单位：元）表示商品原价，y（单位：元）表示购物金额，分别就两家商场的让利方式写出y关于的函数解析式； （2）在如图所示的直角坐标系中画出（1）中函数的图象； （3）春节期间如何选择这两家商场去购物更省钱？ 【答案】（1）甲商场：；乙商场：当时，； 当时，； （2）见解析 （3）当时，去甲商场购物更省钱；当时，去甲、乙两商场购物的金额相等；当时，去乙商场购物更省钱． 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数实际应用： （1）分别根据两商场的让利方式，列出函数关系式，即可求解； （2）根据一次函数的图象画出函数图象，即可； （3）分三种情况讨论，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得：甲商场：； 乙商场：当时，； 当时，； 【小问2详解】 解：对于， 当时，， ∴函数的图象过点， 对于， 当时，， ∴函数的图象过点， 对于， 当时，，当时，， ∴函数的图象过点， 画出函数图象，如下： 【小问3详解】 解：当时，，此时去甲、乙两商场购物的金额相等； 当时，，此时去乙商场购物更省钱； 当时，，此时去甲商场购物更省钱； 综上所述，当时，去甲商场购物更省钱；当时，去甲、乙两商场购物的金额相等；当时，去乙商场购物更省钱． 23. 如图，四边形为平行四边形，连接并延长至点D，延长至点A，使得，连接． （1）若，求的度数； （2）若，且，，，则______． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理． （1）连接，交于点O，根据平行四边形的性质证明，易证四边形是平行四边形，推出，即可得到； （2）先证明平行四边形为菱形，推出，结合，根据三角形面积公式得到，由勾股定理可求，进而得到，求出，进而求出，即可得解． 【小问1详解】 解：如图，连接，交于点O． ∵四边形为平行四边形， ，． 又， ，即， ∴四边形是平行四边形， ， ； 【小问2详解】 解：， ∴平行四边形为菱形， ， ． ， ， ． 在直角三角形中，， ． 在直角三角形中，， ， ． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，一次函数的图象分别与x轴和y轴交于点B，C，作直线． （1）求直线的函数表达式． （2）M是直线上的一动点，是否存在点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图2，点，P为x轴正半轴上的一动点，以点P为直角顶点，为腰在第一象限内作等腰直角，连结，当的值最小时，请直接写出的周长． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）当时，得出点C的坐标为，设直线的函数表达式为，将点，代入，即可解答． （2）当时，得出点B的坐标为，由点，，得出，，分别讨论当，时，即可解答． （3）连接，设点P的坐标为．由，得当C，Q，D三点共线时，的值最小，过点Q作轴于点H，证得，得到点Q的坐标为，求出直线的函数表达式为把点代入求出的值，再利用勾股定理求出，即可解答． 【小问1详解】 解：将代入，则， ∴点C的坐标为， 设直线的函数表达式为， 将点，代入， 得， 解得， ∴直线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：存在． 令，解得， ∴点B的坐标为， ∵点，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， 解得，点M的坐标为； 当时，， 解得，点M的坐标为． 综上所述存在点M的坐标为或，使得； 【小问3详解】 解：如图，连接，过点Q作轴于点H， 设点P的坐标为， ∵， ∴当C，Q，D三点共线时，的值最小， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴点Q坐标为． ∵点，， 设直线的函数表达式为，则， 解得：， ∴直线的函数表达式为， 把点代入，得， 解得， 此时，， ∴， ∴的周长为． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，三角形面积，勾股定理，坐标与图形性质等知识；解题的关键是正确添加辅助线构造全等三角形． 25. 如图，在矩形中，，对角线相交于点O，对角线所在的直线l绕点O顺时针方向旋转，旋转中，直线l分别交于点E，F，将四边形沿直线l折叠得到四边形，其中线段交于点G． （1）如图1，若，求的长． （2）如图2，连接交于点H． ①证明：；②求证：； （3）当时，请直接写出的长． 【答案】（1） （2）①见解析；②见解析 （3）6或9 【解析】 【分析】（1）利用矩形性质证，得，过作于，再结合矩形的性质和勾股定理即可求的长； （2）①识别出和是“8”字倒角，从而得出，再根据平行线得出，即可得证； ②证线段等于线段＋线段，思路就截长补短，再观察题干条件有，构造等边三角形即可证出； （3）分两种情况讨论，①点在右上方；②点在左上方，先利用勾股定理求的长，设，利用矩形和等腰三角形的性质与判定得到，再利用线段和差建立方程即可求解． 【小问1详解】 解：四边形是矩形， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， 过作于，则， ， 四边形是矩形， ， 在中，； 【小问2详解】 证明：①∵四边形是矩形， ， ， ， ∵四边形折叠得到四边形， ， ， 又∵， ， ， ， ； ②∵， ， ， 如图，在延长线上取一点， ， ， 在上截取，则为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解∶①当点在右上方时，如图过点G作于点Q， 则， ， 四边形是矩形， 同理可得：四边形是矩形， ，， 四边形是矩形， ， ， 将四边形沿直线l折叠得到四边形， ， ， ， ， 设， 由（1）知，， ， 将四边形沿直线l折叠得到四边形， ， ， ， ， ， ， ， 解得， ； ②当点在左上方时， 同理可得，， 设，同理有， ， ， 解得， ， 综上，的长为6或9． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，二次根式，一元一次方程的应用等知识，熟练掌握以上知识是解决本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$