精品解析：湖北省武汉市外国语学校2024-2025学年七年级下学期期末数学试卷

湖北省武汉市外国语学校2024-2025学年七年级下学期期末数学试卷 卷面分值：120分 考试时间：120分钟 一、选择题（共10个小题，每小题3分，共30分．下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑．） 1. 化简的值为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，根据算术平方根的定义，非负数a的算术平方根记为，据此进行作答即可． 【详解】解：， 故选：A 2. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的有意义的条件，掌握“二次根式的被开方数是非负数”是解本题的关键．由在实数范围内有意义，列不等式，再解不等式即可得到答案． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得：， 故选：A． 3. 下列调查中，最适合采用抽样调查的是（ ） A. 企业招聘，对应聘人员的面试 B. 了解全班同学每周体育锻炼的时间 C. 了解七（3）班学生的数学成绩 D. 调查某批次汽车的抗撞能力 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抽样调查和全面调查，抽样调查适用于总体数量大、具有破坏性或无法进行全面调查的情况，需逐一分析各选项是否满足这些条件． 【详解】解： A、企业对应聘人员的面试需全面了解每个应聘者，必须采用全面调查，故该选项不符合题意； B、全班同学人数有限，直接调查全体更准确，无需抽样，故该选项不符合题意； C、班级学生数量少，适合全面调查以获取所有学生成绩，故该选项不符合题意； D、汽车抗撞能力测试具有破坏性，无法逐一检测，必须通过抽样调查部分车辆来推断整体，故该选项符合题意； 故选：D 4. 已知，则下列四个不等式中，不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐一分析各选项即可得出答案，掌握不等式的性质是解题的关键． 【详解】解：A、∵， ∴，故选项不符合题意； B、∵， ∴，故选项不符合题意； C、∵， ∴不一定大于，故选项符合题意； D、∵， ∴， ∴，故选项不符合题意； 故选：C． 5. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图是从玻璃杯底部发出的一束平行光线经过水面折射形成的光线示意图，水面与玻璃杯的底面平行．若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质，理解题意，掌握数形结合的思想是解题的关键．根据平行线的性质，，再代入数值得，即可求出． 【详解】解：由平行线的性质可得， ， ， ， 故选：B． 6. 如果是关于和的二元一次方程的解，那么的值为（ ） A B. 2 C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，将方程的解代入原方程，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：将代入方程，得：， ∴， 解得：， 故选：D． 7. 已知点在第四象限，则点在第（ ）象限． A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根据点的坐标判断点所在的象限，不等式的性质，根据第四象限点的坐标特征确定m、n的符号，再代入点B的坐标表达式，判断其横纵坐标的符号，从而确定所在象限． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴， ∴， ∴， 即点B的横坐标为负，纵坐标为正， ∴点B在第二象限， 故选：B 8. 中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个题目：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个，问：苦、甜果各有几个？设苦果有x个，甜果有y个，则可列方程组为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了列二元一次方程组，属于古代问题，由题意，根据等量关系：用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个，列出方程组即可． 【详解】解：苦果有x个，甜果有y个， 则根据九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，得方程； 根据四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个，得方程； 故得方程组：； 故选：D． 9. 方程组中，若未知数x，y满足不等式组，则满足条件的的整数值是（ ） A. 4，3 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解方程组和解不等式组的方法和步骤．根据题意，先求出方程组的解，然后把方程组的解代入不等式组，即可求出的取值范围，然后得到的整数解即可． 【详解】解：由题意得：， 由，解得：， 把代入，得：， 把，代入不等式组，得：， 解不等式，得：， 解不等式，得：， ∴不等式组的解集为：， ∴满足条件的的整数解有：和， 故选：C． 10. 某商家将电子手表、保温杯、蓝牙耳机搭配为三种礼盒各一个，其中A盒中有1个保温杯，3个电子手表，2个蓝牙耳机；B盒中有1个保温杯，2个电子手表，1个蓝牙耳机；C盒中有2个保温杯，3个电子手表，1个蓝牙耳机．经核算，C盒的成本为155元，B盒的成本为100元（每种礼盒的成本为该盒中保温杯、电子手表、蓝牙耳机的成本之和），则A盒的成本为（ ） A. 140元 B. 145元 C. 150元 D. 165元 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，根据等量关系列出方程，是解题的关键．设保温杯、电子手表、蓝牙耳机的成本分别为元、元、元，根据B盒和C盒的成本列出方程组，通过消元法求出的值，再代入A盒的成本表达式求解即可． 【详解】解：设保温杯、电子手表、蓝牙耳机的成本分别为元、元、元，根据题意得： ， 则， 化简得：， 由得， 则A盒成本为： （元）， 故选：B． 二、填空题（共6小题，每小题3分．共18分） 11. 写出一个小于4的正无理数是________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据无理数估算的方法求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了无理数的估算，准确计算是解题的关键． 12. 在画频数分布直方图时，一组数据共有50个，这些数据中最小值为155，最大值为175，若确定组距为3，则分成的组数为______组． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图相关知识，用最大值减去最小值，求出极差，再除以组距即为所求． 【详解】解：， 即分成的组数为7组， 故答案为：7． 13. “换元法”是解决数学问题的重要思想方法，若方程组的解是，则方程组的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查换元法解二元一次方程组，先将原方程组变形为，令，，利用换元法求解即可． 【详解】解：将方程组中每一个方程两边同除以5，得， 令，，则， 方程组的解是， ， ， 解得， 故答案为：． 14. 如图，，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的内角和，解答此题的关键是作出辅助线，利用三角形内角与外角的关系把所求的角的度数归结到三角形或四边形中，利用三角形和四边形的内角和定理解答．连接，，根据三角形内角与外角的性质可得，，，再根据四边形及三角形内角和定理解答即可． 【详解】解：连接，， ∵是的外角， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴在四边形中，…①， 在中，…②， ①+②得，， 即， ∴． ∴． 故答案为：3． 15. 下列说法：①如果直线，直线和直线满足，，则；②若，且，则；③若关于的不等式组所有的整数解的和为，则的取值范围是或；④若关于的不等式组有解且每个解都不在的范围内，则．其中正确说法是______．（填正确结论的序号） 【答案】②④ 【解析】 【分析】本题考查算术平方根、解一元一次不等式组及平行线判定与性质，掌握算术平方根的意义、一元一次不等式组的解法和平行线的判定与性质是解题的关键． ①根据“在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行”判断即可；②根据“算术平方根的平方等于被开方数”计算即可；③先解不等式组得，再根据整数解中有无正数，分情况讨论即可；④根据题意，得或，求它们的解集即可． 【详解】解：在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行， ∴①不正确，不符合题意； ，，， ∴， ∴， ∴②正确，符合题意； 解得：， 所有的整数解的和为， ∴当x的整数解无正数时，整数解为， ，解得， 当x的整数解有正数时，整数解为， ，解得， ∴的取值范围是或， ∴③错误，不符合题意； ④不等式组的解集为： ∵原不等式组有解，且每个解都不在的范围内， ∴或， 解第一个不等式组得，第二个不等式组无解， ∴当时，原不等式组有解且每个解都不在的范围内， ∴④正确，符合题意． 综上，②④正确． 故答案为：②④． 16. 如图，在中，与的角平分线相交于点，点M、N分别在边上，且，连接，若的周长为4，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于，于，于，在上截取，连接，根据角平分线的性质得到，证明得到，证明得到，证明，得到，再证明，得到．则可求出，设，根据，可得；根据，可得，据此可得答案． 【详解】解：如图，过点作于，于，于，在上截取，连接， 平分， ， 同理可得， ， 在和中， ， ， ， 同理可得， ， ， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ，（平行线间间距相等）， ， ， 在和中， ， ， ． 的周长 ， ∴， 设， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，添加适当的辅助线是解题的关键． 三、解答题（共8小题，共72分） 17 解不等式组，请按下列步骤完成解答： （1）解不等式①，得______； （2）解不等式②，得______； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； （4）原不等式组的解集为______． 【答案】（1） （2） （3）详见解析 （4） 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组、在数轴上表示不等式的解集：（1）去括号、移项，再合并同类项求解即可；（2）移项再合并同类项即可；（3）根据已知解集，在数轴上表示；（4）观察数轴即可． 【小问1详解】 解： ∴； 【小问2详解】 解： ∴； 【小问3详解】 解：解集表示在数轴上如图： 【小问4详解】 解：观察数轴，原不等式的解集为． 18. 完成下列证明过程，并在括号内填上依据： 如图：，求证：． 证明： （______） 和中 （______） （______） （______） （______） （______）（______） （______）． 【答案】两直线平行，内错角相等；；；；全等三角形对应边相等；；全等三角形对应角相等；内错角相等，两直线平行 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，根据得，根据证明，得，，从而可证明． 【详解】证明： （两直线平行，内错角相等） 在和中， ， （全等三角形对应边相等） （全等三角形对应角相等） （内错角相等，两直线平行）． 故答案为：两直线平行，内错角相等；；；；全等三角形对应边相等；；全等三角形对应角相等；内错角相等，两直线平行． 19. “微信”“支付宝”“共享单车”和“网购”给我们的生活带来了很多便利．七年级数学小组在校内对“你最认可的生活事物”进行调查，随机调查了名学生，每名学生从如图四种中必选一种且只能选择一种，将调查结果绘制成如图所示不完整的统计图． （1）根据图中信息，求出：______，______： （2）请把条形统计图补充完整； （3）根据抽样调查的结果，请估算在全校1500名学生中，最认可“微信”和“支付宝”这两样生活事物的学生共有多少名？ 【答案】（1）100，35； （2）见解析 （3）1125人 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图的意义和制作方法，掌握两个统计图中数量关系是正确解答的前提． （1）样本中，认可“共享单车”的有10人，占被调查人数的，可求出被调查人数，即的值，进而求出“网购”的人数，“支付宝”的人数和所占的百分比，确定n的值； （2）求出“支付宝”“网购”人数即可补全条形统计图； （3）样本中，“微信”和“支付宝”占被调查人数的，因此估计总体1500人中“微信”和“支付宝”也占，根据样本估计总体即可得出答案． 【小问1详解】 解：（人），即， “网购”人数：（人）， “支付宝”人数：（人），， 因此， 故答案为：100，35； 【小问2详解】 解：补全条形统计图如图所示： 【小问3详解】 解：（人）， 答：全校1500名学生中，最认可“微信”和“支付宝”这两样新生事物的大约有1125人． 20. 如图，的平分线交于点，的平分线与延长线交于点，若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，由平行线的性质得到，由角平分线的定义结合，得到，进而求出，由三角形内角和定理和角平分线的定义可得，进而得到，再利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：如图，设交于点， ∵， ∴， ∴ ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵的平分线交于点E，的平分线与延长线交于点F， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴， ∴． 21. 如图，在的方格纸中，的个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫格点三角形． （1）仅用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹） ①在图1中，先作出的边上的高，再在边上作点，使； ②在图2中，点为的中点，在上作点，使； （2）在的方格纸中与全等且有一条公共边的格点三角形（不含）共有______个． 【答案】（1）详见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了作图以及全等三角形：（1）观察，作垂直即可；先构造一个等腰直角三角形再延长交于点；数格子，找到合适的线段比例，连线即可；（2）分类讨论，三边分别为公共边时，通过数格子，找到与另外两边相等线段组成的三角形，连线即可． 【小问1详解】 观察，作垂直即可 先构造一个等腰直角三角形再延长交于点 数格子，找到合适的线段比例，连线即可 【小问2详解】 与全等且有一条公共边的格点三角形 分别是以为公共边的三角形 当公共边为时 当公共边时 当公共边为时，不符合题意，舍去 故答案为：． 22. 某经销商购进8件A产品和15件B产品需要118元，购进16件A产品和9件B产品需要110元．A产品每件售价5元，B产品的销量不超过200件，每件售价8元；销量超过200件时，超过的部分每件7元． （1）求每件A，B产品的进价． （2）该经销商每天购进A、B产品共300件，并在当天都销售完． ①要求购进B产品的件数多于A产品件数的3倍，B产品的总利润不超过A产品总利润的6倍，设每天购进A产品件（为正整数），求的取值范围； ②儿童节这天，经销商让利销售，将A产品售价每件降低t元，B产品售价每件定为7元，且A、B产品的总利润的最小值不少于315元，在①中的取值条件下，直接写出t的最大值． 【答案】（1）每件A产品的进价为3.5元，每件B产品的进价为6元 （2）①（x为正整数）；② 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一元一次不等式的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设每件A产品的进价为a元，每件B产品的进价为b元，根据题意得出，解之即可得出结论； （2）①设每天购进A产品x件，则购进B产品件，根据“购进B产品的件数多于A产品件数的3倍，B产品的总利润不超过A产品总利润的6倍”，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围； ②设A，B两种产品全部售完后获得的总利润为w元，利用总利润=每件的销售利润×销售数量（进货数量），即可得出w关于x的函数关系式，再利用一次函数的性质即可找出关于t的一元一次不等式组，解之取其中的最大值即可得出结论． 【小问1详解】 解：设每件A产品的进价为a元，每件B产品的进价为b元， 依题意得：， 解得：． 答：每件A产品的进价为3.5元，每件B产品的进价为6元． 【小问2详解】 ①设每天购进A产品x件，则购进B产品件， 依题意得：， 解得：． ∴x的取值范围为（x为正整数）． ②设A，B两种产品全部售完后获得的总利润为w元，则． ∵销售A，B两产品的总利润的最小值不少于315元，且，x为正整数， ∴， 解得：， ∴t的最大值为． 答：在①中x的取值条件下，t的最大值为． 23. 已知分别在上． （1）点在之间，连接， ①如图1，若，求的度数； ②如图2，分别过点E、F的射线交于直线下方的点，若，，求与的数量关系； （2）如图3，射线从开始，绕E点以每秒的速度顺时针旋转，同时射线从开始，绕F点以每秒的速度顺时针旋转，直线与直线交于P，若直线与直线相交所夹的锐角为，直接写出运动时间秒（）的值． 【答案】（1）①；② （2）1或5 或 7 【解析】 【分析】（1）①作，则，由平行线的性质可得，，结合，可得；②作，，则，设，，根据平行线的性质，用含x和y的式子表示出与，即可求解； （2）分三种情况，画出图形，根据平行线的性质，及直线与直线相交所夹的锐角为，列关于t的方程，即可求解． 【小问1详解】 解：①如图，作， ， ， ，， ， ，， ； ②如图，作，， ， ， 设，，则，，， ，， ，， ； ， ，， ， ， ； 【小问2详解】 解：分三种情况， ①如图，作， ， ， ，， ， 解得； ②如图，作，则， ，， ， 解得； 如图，作， 则，，， ， 解得； 综上可知，或或． 【点睛】本题考查平行线的判定与性质，解题的关键是作辅助线构造平行，注意分情况讨论． 24. 如图1，平面直角坐标系中，点，点，点，且a、b、满足． （1）点A、B、C坐标分别是______、B______、C______； （2）如图2，点为线段BC上一点，． ①若直线，求点的坐标； ②之间满足的数量关系为______（用含的式子表示）； （3）如图3，点为轴上一动点．在点T运动过程中，若，求t的取值范围． 【答案】（1） （2）①；② （3）或 【解析】 【分析】对于（1），根据二次根式有意义的条件可得b，再根据绝对值和完全平方数的非负性求出a，c即可； 对于（2），①先根据，接下来根据面积相等得，即可求出，； ②根据面积相等可得答案； 对于（3），当时，可知；当时，可知；当时，可知，根据面积公式列出不等式，求出解集即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 所以． 故答案为：； 【小问2详解】 解：①∵点， ∴， 连接， ∵， ， ， 即， ， ， ， ， 即， 解得， ∴点； ②由，得， 则， 故答案为：； 【小问3详解】 解：当时，如图， 可知， ∵， ∴， 即， 解得， ∴； 当时，如图， 可知， ∵， ∴， 即， 解得， 所以； 当时，如图， 可知， ∵， ∴， 即， 解得， 此时，无解． 所以t的取值范围是或． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，绝对值的性质，解一元一次不等式，根据三角形面积相等求线段长，注意分情况讨论，不能丢解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖北省武汉市外国语学校2024-2025学年七年级下学期期末数学试卷 卷面分值：120分 考试时间：120分钟 一、选择题（共10个小题，每小题3分，共30分．下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑．） 1. 化简的值为（ ） A 3 B. C. D. 2. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 下列调查中，最适合采用抽样调查的是（ ） A. 企业招聘，对应聘人员的面试 B. 了解全班同学每周体育锻炼的时间 C. 了解七（3）班学生的数学成绩 D. 调查某批次汽车抗撞能力 4. 已知，则下列四个不等式中，不正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图是从玻璃杯底部发出的一束平行光线经过水面折射形成的光线示意图，水面与玻璃杯的底面平行．若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 6. 如果是关于和的二元一次方程的解，那么的值为（ ） A. B. 2 C. D. 3 7. 已知点在第四象限，则点在第（ ）象限． A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 8. 中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个题目：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个，问：苦、甜果各有几个？设苦果有x个，甜果有y个，则可列方程组为（　　） A. B. C. D. 9. 方程组中，若未知数x，y满足不等式组，则满足条件的的整数值是（ ） A. 4，3 B. C. D. 10. 某商家将电子手表、保温杯、蓝牙耳机搭配为三种礼盒各一个，其中A盒中有1个保温杯，3个电子手表，2个蓝牙耳机；B盒中有1个保温杯，2个电子手表，1个蓝牙耳机；C盒中有2个保温杯，3个电子手表，1个蓝牙耳机．经核算，C盒的成本为155元，B盒的成本为100元（每种礼盒的成本为该盒中保温杯、电子手表、蓝牙耳机的成本之和），则A盒的成本为（ ） A. 140元 B. 145元 C. 150元 D. 165元 二、填空题（共6小题，每小题3分．共18分） 11. 写出一个小于4的正无理数是________． 12. 在画频数分布直方图时，一组数据共有50个，这些数据中最小值为155，最大值为175，若确定组距为3，则分成的组数为______组． 13. “换元法”是解决数学问题重要思想方法，若方程组的解是，则方程组的解为______． 14. 如图，，则______． 15. 下列说法：①如果直线，直线和直线满足，，则；②若，且，则；③若关于的不等式组所有的整数解的和为，则的取值范围是或；④若关于的不等式组有解且每个解都不在的范围内，则．其中正确说法是______．（填正确结论的序号） 16. 如图，在中，与的角平分线相交于点，点M、N分别在边上，且，连接，若的周长为4，则的面积为______． 三、解答题（共8小题，共72分） 17. 解不等式组，请按下列步骤完成解答： （1）解不等式①，得______； （2）解不等式②，得______； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； （4）原不等式组的解集为______． 18. 完成下列证明过程，并在括号内填上依据： 如图：，求证：． 证明： （______） 在和中 （______） （______） （______） （______） （______）（______） （______）． 19. “微信”“支付宝”“共享单车”和“网购”给我们的生活带来了很多便利．七年级数学小组在校内对“你最认可的生活事物”进行调查，随机调查了名学生，每名学生从如图四种中必选一种且只能选择一种，将调查结果绘制成如图所示不完整的统计图． （1）根据图中信息，求出：______，______： （2）请把条形统计图补充完整； （3）根据抽样调查的结果，请估算在全校1500名学生中，最认可“微信”和“支付宝”这两样生活事物的学生共有多少名？ 20. 如图，的平分线交于点，的平分线与延长线交于点，若，求的度数． 21. 如图，在方格纸中，的个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫格点三角形． （1）仅用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹） ①在图1中，先作出的边上的高，再在边上作点，使； ②在图2中，点为的中点，在上作点，使； （2）在的方格纸中与全等且有一条公共边的格点三角形（不含）共有______个． 22. 某经销商购进8件A产品和15件B产品需要118元，购进16件A产品和9件B产品需要110元．A产品每件售价5元，B产品的销量不超过200件，每件售价8元；销量超过200件时，超过的部分每件7元． （1）求每件A，B产品的进价． （2）该经销商每天购进A、B产品共300件，并在当天都销售完． ①要求购进B产品的件数多于A产品件数的3倍，B产品的总利润不超过A产品总利润的6倍，设每天购进A产品件（为正整数），求的取值范围； ②儿童节这天，经销商让利销售，将A产品售价每件降低t元，B产品售价每件定为7元，且A、B产品的总利润的最小值不少于315元，在①中的取值条件下，直接写出t的最大值． 23. 已知分别在上． （1）点在之间，连接， ①如图1，若，求的度数； ②如图2，分别过点E、F的射线交于直线下方的点，若，，求与的数量关系； （2）如图3，射线从开始，绕E点以每秒的速度顺时针旋转，同时射线从开始，绕F点以每秒的速度顺时针旋转，直线与直线交于P，若直线与直线相交所夹的锐角为，直接写出运动时间秒（）的值． 24 如图1，平面直角坐标系中，点，点，点，且a、b、满足． （1）点A、B、C坐标分别是______、B______、C______； （2）如图2，点为线段BC上一点，． ①若直线，求点的坐标； ②之间满足的数量关系为______（用含的式子表示）； （3）如图3，点为轴上一动点．在点T运动过程中，若，求t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $