精品解析：河南省安阳市滑县2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题

P绝密★启用前 2024-2025学年第二学期期末学业质量监测 八年级 数学 注意事项： 1．本试卷共4页，三个大题，满分120分． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下面各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列各式中能与合并的是（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，解题关键是理解同类二次根式的定义． 根据同类二次根式的定义，将各选项化简后，判断被开方数是否与相同． 【详解】解：的被开方数为6，与不同，无法合并，故A不符合； 的被开方数为2，与相同，属于同类二次根式，可以合并，故B符合； ，被开方数为4，与不同，无法合并，故C不符合； 的被开方数为3，与不同，无法合并，故C不符合， 故选：B． 2. 若菱形较小的内角是，较短的一条对角线长是2，则该菱形的周长是（　　） A. 8 B. C. D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． 由菱形较小的内角为且较短对角线长为2，可知该对角线将菱形分成两个等边三角形，从而菱形的边长等于对角线长，进而求得周长． 【详解】解：如图 菱形中，有，， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 故选A． 3. 下表是某校女子足球队队员的年龄分布，则该女子足球队队员年龄的中位数是（ ） 年龄/岁 频数 2 3 6 1 A. 岁 B. 岁 C. 岁 D. 岁 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中位数，解题关键是理解中位数的定义． 根据中位数的定义，将数据按大小顺序排列后，位于中间位置的数即为中位数． 【详解】解：年龄频数之和为 ，共名队员， 总人数为偶数，中位数为第6和第7个数据的平均值， 按年龄从小到大排列，依次为：， 第6个数据为岁，第7个数据也为岁，因此中位数为， 故选：C． 4. 下列说法不正确的是（ ） A. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，解题关键是掌握平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定． 根据平行四边形、矩形、菱形的判定条件逐一分析选项，找出错误的结论． 【详解】有一个角是直角的平行四边形是矩形，符合矩形的定义，正确，故A不符合； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，符合菱形的判定定理，正确，故B不符合； 对角线相等的四边形不一定是矩形，例如，等腰梯形的对角线也相等，但它不是矩形，因此该说法错误，故C符合； 两组对边分别相等的四边形是平行四边形，符合平行四边形的判定定理，正确，故D不符合； 故选：C． 5. 如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于两点，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，能利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键． 不等式的解集即为一次函数图象在轴下方所对应的点的横坐标的取值范围，据此即可求解． 【详解】解：∵一次函数的图象与轴交于， ∴由图象可得不等式的解集是， 故选：D． 6. 估算的值在（ ） A. 2到3之间 B. 3到4之间 C. 4到5之间 D. 5到6之间 【答案】B 【解析】 【分析】先化简，后估算计算即可． 【详解】， ∵， ∴ 即， 故选B． 【点睛】本题考查了二次根式的乘法，无理数的估算，熟练掌握估算的基本方法是解题的关键． 7. 如图，点在的边上，点是的中点，连接，，若，，，，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，直角三角形的性质，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点． 根据题意和勾股定理的逆定理得是直角三角形，即可得是直角三角形，根据得，在中，根据勾股定理进行计算即可得． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴是直角三角形， ∵，E是的中点 ∴， 在中，，，根据勾股定理得， ∴， 故选：C． 8. 若直线平移后过点，则平移方法是（ ） A. 向左平移个单位 B. 向下平移个单位 C. 向上平移个单位 D. 向右平移个单位 【答案】C 【解析】 【分析】可设平移后的直线解析式为，把已知点的坐标代入可求得的值，则可求得平移后的解析式；观察变化情况即可求得答案． 【详解】解：设平移后的直线解析式为， ∵直线平移后过点， ∴， ∴， ∴平移后的直线解析式为， ∵， ∴向上平移个单位得到的． 故选：C． 【点睛】本题考查函数图像的平移，用待定系数法确定一次函数的图像，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．掌握函数图像平移的规律是解题的关键． 9. 如图，在正方形中，点为边的中点，将沿折叠，使点落在正方形的内部一点处，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理，解题关键是利用折叠的性质求解． 根据正方形的性质和折叠的性质可得，，由此得，．设，，由三角形内角和定理可得，又由，即可求出的度数． 【详解】解：∵四边形是正方形， ，， ∵E为边的中点， ， ∵沿折叠后得到， ，，， ，， ，． 设，， ， ， ∵中，， ∴， 又∵， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、折叠的性质、等腰三角形的性质及三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 10. 杆秤是古代的一种度量工具，由木制的带有秤星的秤杆、金属秤锤、秤组等组成（如图）．称重时，若秤杆上秤锤到秤细的水平距离为时，秤钩所挂重物为，则是的一次函数． 下表为若干次称重时，某数学兴趣小组所记录的一些数据．请判断哪一对数据是错误的？（　　） /cm 1 2 4 7 11 12 0.75 1.00 1.50 2.75 3.25 3.50 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，解题关键是利用描点法画出图象． 先利用描点法画出图象，再找出错误数据． 【详解】解：图像如图所示： 根据图像可知这对数据是错误的， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 能说明命题“”是假命题的一个反例可以是________． 【答案】a=-1（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据“a是实数，成立的条件为”，即可求解 ． 【详解】解：当a=-1时，． 故答案为：a=-1（答案不唯一） 【点睛】本题主要考查了举反例法证明一个命题为假命题，熟练掌握a是实数，成立的条件为是解题的关键． 12. 如图，是菱形的对角线上一点，过点作于点．若，则点到边的距离为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形性质，角平分线性质，根据菱形性质可知平分，再根据角平分线性质即可求解． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴平分， ∵E为上的一点，， ∴点E到的距离， 故答案为：． 13. 已知和是实数，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件和代数式求值，掌握二次根式有意义的条件是做题的关键．根据二次根式的定义，得到且，解不等式得到x的值；把代入求得y的值；然后将x、y的值代入计算得到答案． 【详解】解：根据题意，得且， ∴． 把代入 ∴． ∴． 故答案为：． 14. 如图，点P是平行四边形的对角线上一点，过点P作，分别交，于点E、F连接．若，则图中阴影部分的面积为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质、直角三角形的性质，过点P作，交于点M，于点N，过点P作于点G，根据平行四边形的判定与性质得出，，再根据直角三角形的性质求得，再利用平行四边形的面积公式求解即可． 【详解】解：过点P作，交于点M，于点N，过点P作于点G， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴四边形、四边形、四边形、四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：6． 15. 如图1点从矩形的顶点出发，沿以的速度匀速运动到点，图2是点运动时，的面积随时间变化的关系图象，则_____；a的值为_____． 【答案】 ①. 10 ②. 4 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，动点的函数图象，从图象可知， ，进而求出，根据的面积为，结合勾股定理求出的长，即可． 【详解】解：由图象可知，当点从点运动到点时，的面积不变，当点从点运动到点时，的面积逐渐减小， ∵矩形， ∴， ∵点从矩形的顶点出发，沿以的速度匀速运动， ∴当点运动到点时，，， ∴， ∵当点运动到点时，， ∴， 在中，， ∴； 故答案为：10，4 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，负整数指数幂，熟知二次根式的相关计算法则是解题的关键． （1）先计算二次根式乘除法，再化简二次根式和计算负整数指数幂，最后计算加减法即可得到答案； （2）先根据平方差公式去括号，再去绝对值后计算加减法即可得到答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 如图，有一块不规则四边形钢板．已知，，，，，工人师傅计划把它打造成一种模具，需要知道它的具体面积，请你帮忙算出来． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的实际应用，利用勾股定理可得，则可证明得到，再根据列式求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 18. 为迎接中考体育测试，加强体质锻炼，本学期八年级学生共进行了五次体育模拟测试，已知甲、乙两位同学五次模拟测试成绩的总分相同，小明根据甲同学的五次测试成绩绘制了尚不完整的统计表，并给出了乙同学五次测试成绩的方差的计算过程． 甲同学五次体育模拟测试成绩统计表 次数 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 成绩（分） 小明将乙同学五次模拟测试成绩直接代入方差公式，计算过程如下： 根据上述信息，完成下列问题： （1）的值是______； （2）根据甲、乙两位同学这五次模拟测试成绩，你认为谁的体育成绩更好?请通过计算说明理由； （3）如果甲再测试1次，第六次模拟测试成绩为13分，那么这6次成绩的众数是______；与前五次相比，甲六次模拟测试成绩的方差_____（填“变大”“变小”或“不变”）． 【答案】（1） （2）乙的体育成绩更好，理由见解析 （3）；变小 【解析】 【分析】本题考查平均数、方差，解题的关键是牢记方差和平均数定义及计算公式． （1）根据乙同学的方差计算过程可以确定五次测试成绩，根据甲、乙两位同学五次模拟测试成绩的总分相同列方程可得的值； （2）利用方差作比较可得结论； （3）求出甲次模拟测试成绩的方差，然后与前次模拟测试成绩的方差作比较即可； 【小问1详解】 由题意得：， 解得：， 故答案为：； 【小问2详解】 乙的体育成绩更好，理由： ∵， ∴， ∵，，即两人的平均成绩相同，但乙的方差较小，说明乙的成绩更稳定， ∴乙的体育成绩更好； 小问3详解】 ∵甲第六次模拟测试成绩为分，则出现次数最多，众数为 又∵甲前次模拟测试成绩的平均成绩为分， ∴甲次模拟测试成绩的平均成绩为：， 则甲次模拟测试成绩的方差为： ， ∵， ∴与前次相比，甲次模拟测试成绩的方差变小． 故答案为：，变小． 19. 小华和小周在一条直线跑道上匀速跑步，小周先跑，小华出发时，小周已经距起点100米了，他们距起点的距离（米）与小华出发的时间（秒）之间的关系如图（不完整）．根据图中信息，解答下列问题． （1）在上述变化过程中，自变量是_____，因变量是_____； （2）小华的跑步速度为_____米/秒，小周的跑步速度为_____米/秒； （3）当小华第1次追上小周时，求他们距起点的距离． 【答案】（1）小华出发的时间t；距起点的距离s （2）； （3）当小华追上小周时，小华距起点的距离为米 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象，常量与变量，体现了方程思想，当小华第1次追上小周时，根据所跑路程相等列出方程求出t是解题的关键． （1）根据图象的横轴表示自变量，纵轴表示因变量即可得出答案； （2）根据小华秒跑了米，小周秒跑了米计算速度即可； （3）设秒时，小华第次追上小周，根据所跑路程相等列出方程求出，进而得到小华距起点的距离． 【小问1详解】 解：在上述变化过程中，自变量是小华出发的时间，因变量是他们距起点的距离． 故答案为：小华出发的时间；他们距起点的距离． 【小问2详解】 解：小华的速度为：米秒， 小周的跑步速度为：米秒． 故答案为：；． 【小问3详解】 解：设秒时，小华第次追上小周， 根据题意得：， 解得：， 则（米）， 答：当小华追上小周时，小华距起点的距离为米． 20. 如图，，点在射线上，且满足． （1）尺规作图：作的平分线，交射线于点；（保留作图痕迹．不要求写作法） （2）连接，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）四边形为菱形，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的判定及性质、作角平分线，熟练掌握基本作图是解题的关键． （1）以点为圆心，以适当长度为半径画弧，交于点，交于点，分别以点，为圆心，以大于长度为半径画弧，两弧在内部交于一点，画射线，射线即为的平分线，射线与射线的交点即为点； （2）证得，得到，进而得到，可证得四边形为平行四边形，结合，即可求得答案． 【小问1详解】 解：以点为圆心，以适当长度为半径画弧，交于点，交于点，分别以点，为圆心，以大于长度为半径画弧，两弧在内部交于一点，画射线，射线即为的平分线，射线与射线的交点即为点． 【小问2详解】 解：四边形为菱形，理由如下： ∵平分， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 又， ∴． 又， ∴四边形为平行四边形． 又， ∴四边形为菱形． 21. 如图，一次函数的图象与坐标轴交于两点，将线段以点为中心逆时针旋转一定的角度，点的对应点落在第二象限内的点处． （1）如图1，若点到横、纵坐标轴的距离分别为和． ①点的坐标为（_____，_____），_____度； ②请求出直线的解析式； （2）若线段以点为中心逆时针旋转，那么在线段上是否存在一点，使四边形是平行四边形?若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）①，，；② （2）存在， 【解析】 【分析】（1）①根据点在第二象限内，点到横、纵坐标轴的距离分别为和，即可得出点的坐标，根据一次函数与坐标轴交于A，B两点，求出A，B两点坐标，可得，则是等腰直角三角形，即可得出； ②待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据旋转的性质可得，进而根据勾股定理求得，再求得，根据平行四边形的性质以及点的平移，即可求解． 【小问1详解】 解：①∵点在第二象限内，点到横、纵坐标轴的距离分别为和 ∴点C的坐标为， 一次函数与坐标轴交于A，B两点， 当时，，当时， ∴点A、B的坐标分别为、， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形 ∴ 故答案：，，． ②设的表达式为，把，代入得： ， 解得， ∴直线的表达式为； 【小问2详解】 解：如图，过点作轴于点， 线段以点为中心逆时针旋转，点对应点落在第二象限内的点处 ∴ ∴ ∴ ∵四边形是平行四边形 ∴ ∴将点向右平移个单位，再向上平移个单位得到点， ∴. 【点睛】本题考查一次函数与几何综合，旋转的性质，平行四边形的性质，平移的性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 22. 实践与操作 【背景阅读】 有人说过：几何学有两件宝，一个是勾股定理，一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．人们把叫作黄金分割数，把宽与长的比是（约为）的矩形叫作黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、均匀的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计． 【实践操作】 下面我们折出一个黄金矩形． 第一步：在一张宽为2的矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步：如图2，把这个正方形对折成两个相等的矩形和．再把纸片展平； 第三步：如图3折出矩形的对角线，并沿折叠纸片，使点落在延长线上的点D处； 第四步：展平纸片，过点折出，使，得到矩形，如图4所示，则矩形就是黄金矩形． 【问题解决】 （1）图3中，______；______；（结果均保留根号） （2）请根据折纸的过程，写出图4中矩形是黄金矩形的理由； （3）在实际应用的过程中，常常需要进行代数式的化简，当一个代数式的分母中含有无理数（带根号的式子）时，我们可以利用以下方法把分母中的根号化去．这一过程称为小母有理化． 如：． 请结合以上内容，通过计算判断图4中矩形是否为黄金矩形．______．（填“是”或“否”） 【答案】（1）； （2）见解析 （3）是 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，分母有理化，正确理解题意是解题的关键． （1）由折叠的性质可得，，，则，再证明四边形是矩形，得到，，由勾股定理可得，由折叠的性质可得，则； （2）由折叠可得，，， ，根据，，可得，则矩形是黄金矩形； （3）根据分母有理化的方法可得，据此可得答案． 【小问1详解】 解；由折叠的性质可得，，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴； 【小问2详解】 证明：由折叠可得，，， ， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ∵，， ， ∴矩形是黄金矩形； 【小问3详解】 解；∵， ∴， ∴矩形是黄金矩形． 23. 数学活动课上，老师让同学们以“正方形”为主题开展数学活动． 将直角的顶点放在正方形的对角线上（点不与点、重合）其中直角边与交于点，直角边与交于点． （1）发现： 如图1，当与垂直时，线段和的数量关系是______；四边形的形状是______； （2）探究 如图2，当与不垂直时，请判断与之间的数量关系是否发生变化，若变化，请写出新的数量关系；若不变，请给出证明； （3）拓展： 当与不垂直时，以为邻边构造矩形，连接，请直接写出的度数． 【答案】（1）；正方形 （2）的结论不变，理由见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质得到，平分，又，，得到四边形是矩形，因此，根据角平分线的性质可得,则可证明四边形是正方形； （2）过点作于点，作于点．由正方形得到，平分，因此四边形是矩形，．进而有，从而，进而证得，得证； （3）分情况讨论：过点作于点，作，交的延长线于点，证得，得到，根据角平分线的判定得到平分；连接，过点作于点，过点作交延长线于点，，矩形是正方形，即可作答． 【小问1详解】 解：四边形是正方形， ，平分， ，， ， 四边形是矩形， ∴ ， 四边形是正方形； 【小问2详解】 解：的结论不变，理由如下： 如图所示，过点作于点，于点， ， 四边形是正方形， ，平分， 四边形是矩形，， ， ， ， 即， ， ； 【小问3详解】 解：过点作于点，作，交的延长线于点， 则， 由（2）有，且四边形是矩形， 四边形是正方形， ，， 在四边形中，， 即， ， ， ， ， ， ，， 平分， 四边形是正方形， ， ， ， 的度数为； 如图，连接，过点作于点，过点作交延长线于点， ， 四边形是矩形， ∴， 又， ， ， ， ∴， 又∵，， ， ， 矩形是正方形， 是对角线， ， 的度数为或． 【点睛】本题是正方形综合题，考查正方形的判定及性质，角平分线的判定，全等三角形的判定及性质，解题的关键是正确作出辅助线，综合运用相关知识． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ P绝密★启用前 2024-2025学年第二学期期末学业质量监测 八年级 数学 注意事项： 1．本试卷共4页，三个大题，满分120分． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下面各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列各式中能与合并的是（ ） A B. C. 2 D. 2. 若菱形较小的内角是，较短的一条对角线长是2，则该菱形的周长是（　　） A. 8 B. C. D. 16 3. 下表是某校女子足球队队员的年龄分布，则该女子足球队队员年龄的中位数是（ ） 年龄/岁 频数 2 3 6 1 A. 岁 B. 岁 C. 岁 D. 岁 4. 下列说法不正确的是（ ） A. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 两组对边分别相等四边形是平行四边形 5. 如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于两点，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 6. 估算的值在（ ） A. 2到3之间 B. 3到4之间 C. 4到5之间 D. 5到6之间 7. 如图，点在的边上，点是的中点，连接，，若，，，，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 5 8. 若直线平移后过点，则平移方法是（ ） A. 向左平移个单位 B. 向下平移个单位 C. 向上平移个单位 D. 向右平移个单位 9. 如图，在正方形中，点为边的中点，将沿折叠，使点落在正方形的内部一点处，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 杆秤是古代的一种度量工具，由木制的带有秤星的秤杆、金属秤锤、秤组等组成（如图）．称重时，若秤杆上秤锤到秤细的水平距离为时，秤钩所挂重物为，则是的一次函数． 下表为若干次称重时，某数学兴趣小组所记录的一些数据．请判断哪一对数据是错误的？（　　） /cm 1 2 4 7 11 12 0.75 1.00 1.50 2.75 3.25 3.50 A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 能说明命题“”是假命题的一个反例可以是________． 12. 如图，是菱形的对角线上一点，过点作于点．若，则点到边的距离为_____． 13. 已知和是实数，且，则______． 14. 如图，点P是平行四边形的对角线上一点，过点P作，分别交，于点E、F连接．若，则图中阴影部分的面积为_____． 15. 如图1点从矩形的顶点出发，沿以的速度匀速运动到点，图2是点运动时，的面积随时间变化的关系图象，则_____；a的值为_____． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 如图，有一块不规则的四边形钢板．已知，，，，，工人师傅计划把它打造成一种模具，需要知道它的具体面积，请你帮忙算出来． 18. 为迎接中考体育测试，加强体质锻炼，本学期八年级学生共进行了五次体育模拟测试，已知甲、乙两位同学五次模拟测试成绩总分相同，小明根据甲同学的五次测试成绩绘制了尚不完整的统计表，并给出了乙同学五次测试成绩的方差的计算过程． 甲同学五次体育模拟测试成绩统计表 次数 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 成绩（分） 小明将乙同学五次模拟测试成绩直接代入方差公式，计算过程如下： 根据上述信息，完成下列问题： （1）的值是______； （2）根据甲、乙两位同学这五次模拟测试成绩，你认为谁的体育成绩更好?请通过计算说明理由； （3）如果甲再测试1次，第六次模拟测试成绩为13分，那么这6次成绩的众数是______；与前五次相比，甲六次模拟测试成绩的方差_____（填“变大”“变小”或“不变”）． 19. 小华和小周在一条直线跑道上匀速跑步，小周先跑，小华出发时，小周已经距起点100米了，他们距起点的距离（米）与小华出发的时间（秒）之间的关系如图（不完整）．根据图中信息，解答下列问题． （1）在上述变化过程中，自变量是_____，因变量是_____； （2）小华的跑步速度为_____米/秒，小周的跑步速度为_____米/秒； （3）当小华第1次追上小周时，求他们距起点的距离． 20. 如图，，点在射线上，且满足． （1）尺规作图：作的平分线，交射线于点；（保留作图痕迹．不要求写作法） （2）连接，判断四边形的形状，并说明理由． 21. 如图，一次函数图象与坐标轴交于两点，将线段以点为中心逆时针旋转一定的角度，点的对应点落在第二象限内的点处． （1）如图1，若点到横、纵坐标轴的距离分别为和． ①点的坐标为（_____，_____），_____度； ②请求出直线的解析式； （2）若线段以点为中心逆时针旋转，那么在线段上是否存在一点，使四边形是平行四边形?若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 22. 实践与操作 【背景阅读】 有人说过：几何学有两件宝，一个是勾股定理，一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．人们把叫作黄金分割数，把宽与长的比是（约为）的矩形叫作黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、均匀的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计． 【实践操作】 下面我们折出一个黄金矩形． 第一步：在一张宽为2的矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步：如图2，把这个正方形对折成两个相等的矩形和．再把纸片展平； 第三步：如图3折出矩形的对角线，并沿折叠纸片，使点落在延长线上的点D处； 第四步：展平纸片，过点折出，使，得到矩形，如图4所示，则矩形就是黄金矩形． 【问题解决】 （1）图3中，______；______；（结果均保留根号） （2）请根据折纸的过程，写出图4中矩形是黄金矩形的理由； （3）在实际应用过程中，常常需要进行代数式的化简，当一个代数式的分母中含有无理数（带根号的式子）时，我们可以利用以下方法把分母中的根号化去．这一过程称为小母有理化． 如：． 请结合以上内容，通过计算判断图4中矩形是否为黄金矩形．______．（填“是”或“否”） 23. 数学活动课上，老师让同学们以“正方形”为主题开展数学活动． 将直角的顶点放在正方形的对角线上（点不与点、重合）其中直角边与交于点，直角边与交于点． （1）发现： 如图1，当与垂直时，线段和的数量关系是______；四边形的形状是______； （2）探究 如图2，当与不垂直时，请判断与之间的数量关系是否发生变化，若变化，请写出新的数量关系；若不变，请给出证明； （3）拓展： 当与不垂直时，以为邻边构造矩形，连接，请直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$