精品解析：辽宁省阜新市彰武县六校联考2024-2025学年九年级下学期5月期中考试数学试题

2025年九年级数学测试卷 （考试时间120分钟，试卷满分120分） 一、选择题（在每一小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．每小题3分，共30分） 1. 如图是由6个大小相同的正方体搭成的几何体，其左视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，解答本题的关键是掌握左视图的定义． 左视图是从物体的左边观察得到的图形，结合选项进行判断即可． 【详解】解：该几何体从左边看，有两列，从左到右第一列有两个正方形，第二列有一个正方形． 故选：B． 2. 下表是几种液体在标准大气压下的沸点： 液体名称 液态氧 液态氢 液态氮 液态氦 沸点/ 则沸点最高的液体是（ ） A. 液态氧 B. 液态氢 C. 液态氮 D. 液态氦 【答案】A 【解析】 【分析】根据有理数的大小比较可直接进行求解． 【详解】解：由“两个负数比较，绝对值越大反而小”可知：， ∴； 故选A． 【点睛】本题主要考查有理数的大小比较，熟练掌握两个负数的大小比较是解题的关键． 3. 拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓，节约一粒米的账：一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年就可以节省3240万斤，这些粮食可供9万人吃一年，“3240万”这个数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．将“3240万”转换为数字32400000，再根据科学记数法规则表示即可． 【详解】解：∵3240万， ∴， 故选C． 4. 如图，在中，是对角线，当是等边三角形时，为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关性质． 利用等边三角形的性质求出度数，利用平行四边形性质可求的度数． 【详解】解：是等边三角形， ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴， ． 故选：D． 5. 下列各式运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、单项式乘多项式的运算法则计算即可得出答案． 【详解】解：A. ，计算错误，故此选项不符合题意； B. ，计算错误，故此选项不符合题意； C. ，计算正确，故此选项符合题意； D. ，计算错误，故此选项不符合题意； 故选C． 6. 某班级计划举办手抄报展览，确定了“时代”“ ”“豆包”三个主题，若小红随机选择其中一个主题，则她恰好选中“”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了用概率公式求概率，掌握概率所求情况数与总情况数之比是银师的关键． 直接由概率公式求解即可． 【详解】解：从“时代”“”“豆包”三个主题，选择其中一个主题有3种情况，选中“”的只有1种情况， 所以恰好选中“”的概率是． 故选：C． 7. 下列自然能源图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故正确； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故错误； C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故错误； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故错误； 故选：A． 【点睛】本题考查轴对称图形与中心对称图形的识别，理解基本定义是解题关键． 8. 在《九章算术》中，二元一次方程组是通过“算筹”摆放的，如图1、图2所示．图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．如图1所示的算筹图表示的方程组是，类似的，图2所示的算筹图表示的方程组是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据图形，结合题目所给的运算法则列出方程组即可； 【详解】解：由题意可得， 图②所示的算筹图可以表述为：， 故选：B． 9. 如图，矩形的对角线相交于点， ，，若，则四边形的周长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，菱形的判定及性质定理等知识点，解题的关键是熟练掌握相关性质． 利用矩形的性质得出和它们的长度，根据条件判定四边形为菱形，即可求出四边形的周长． 【详解】解：∵四边形是矩形，且 ， 又，， ∴四边形是菱形， ∴四边形的周长为8． 故选：C． 10. 如图，直线y＝﹣x＋4与x轴、y轴分别交于点A、B、C是线段AB上一点，四边形OADC是菱形，则OD的长为（　　） A. 4.2 B. 4.8 C. 5.4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】由直线的解析式可求出点B、A的坐标，进而可求出OA、OB的长，再利用勾股定理即可求出AB的长，由菱形的性质可得OE⊥AB，OE=DE，再根据直角三角形的面积可求出OE的长，进而可求出OD的长. 【详解】解：∵直线y＝﹣x＋4与x轴、y轴分别交于点A、B， ∴点A（3,0）、点B（0,4）， ∴OA=3，OB=4， ∴AB=， ∵四边形OADC是菱形, ∴OE⊥AB，OE=DE， 由直角三角形的面积得， 即3×4=5×OE. 解得：OE=2.4， ∴OD=2OE=4.8. 故选B. 【点睛】本题考查了菱形的性质和一次函数与坐标轴的交点问题，难度不大，题目设计新颖，解题的关键是把求OD的长转化为求直角△AOB斜边上的高OE的长的2倍. 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 方程的解为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．按照解分式方程的步骤进行计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 检验：当时，， 是原方程的解． 故答案为：． 12. 点按照一个方向平移后，点M的对应点的坐标是，则点N的对应点是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据点的平移规律“左减右加，上加下减”解答即可． 【详解】点 M(1,−2) 按照一个方向平移后，点M(1,−2)的对应点的坐标是 (3,2) ，而，， 所以则点N(−3,4)的对应点是(，),即 . 故答案为：. 【点睛】本题考查了坐标点的平移规律，解题的关键是掌握点的平移规律“左减右加，上加下减”． 13. 如图，已知，和相交于点，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，先证明，利用相似三角形的性质可，再证明可得，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 已知抛物线经过，则该抛物线与x轴的另一个交点是__________． 【答案】 【解析】 【分析】将点代入抛物线即可求出解析式，进而可求该抛物线与x轴的另一个交点． 【详解】解：将点代入抛物线得： ，解得 ∴抛物线的解析式为： 令，则 解得： ∴该抛物线与x轴的另一个交点是 故答案为： 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点坐标，求出抛物线的解析式是解题关键． 15. 如图，在矩形中，，．连接，在和上分别截取，使，分别以点E和点F为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点G，作射线交于点H，则线段的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】过H作于Q，根据勾股定理求出设，列方程,求出的值即可求出解． 【详解】解：过H作于Q，如图， 在矩形中，，，, ∴， 由作图得：平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，设，有， 即：， 解得：， ∴, ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了作图-基本作图，矩形的性质，角平分线性质，勾股定理，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 三、解答题（16题10分；17-21题，每题8分；22题12分；23题13分，共75分） 16. 计算： （1）计算：； （2）计算：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，分式加减乘除混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先化简算术平方根、绝对值、整数指数幂，再运算加减法，即可作答． （2）先对所有的分子分母进行因式分解，同时将除法化为乘法，进行约分运算，再进行分式加减运算，最后结果化为最简分式或整式，即可求解． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 某学校为打造书香校园，计划购进甲、乙两种课外书．购买1本甲种书和2本乙种书共需125元；购买2本甲种书和5本乙种书共需300元． （1）求甲、乙两种书的单价； （2）学校决定购买甲、乙两种书共50本，且两种书的总费用不超过2000元，那么该校最多可以购买多少本乙种书？ 【答案】（1）25元，50元 （2）30本 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式解决实际问题： （1）设出单价，根据题意列出二元一次方程组，解得即可； （2）根据题意列得一元一次不等式，求解即可； 根据题意列得方程组以及不等式是解题的关键． 【小问1详解】 解：设甲种书的单价是x元，乙种书的单价是y元， 根据题意得：， ， 解得：， 答：甲种书的单价是25元，乙种书的单价是50元； 【小问2详解】 解：设该校购买m本乙种书，则购买本甲种书， 根据题意得：， 解得：， ∴m的最大值为30， 答：该校最多可以购买30本乙种书． 18. 国产动画电影《哪吒之魔童闹海》在2025年春节全球热映，以中华神话为内核的精良制作引发观影热潮，首周票房突破20亿，据2025年3月15日《人民日报》报道，影片《哪吒之魔童闹海》累计票房（含海外及预售票房）超150.19亿元，票房成绩进入全球票房榜前5！某影院为了了解本市观众对影片的喜爱程度，随机调查名国内观众，根据统计的评分（满分10分）结果，绘制出如图的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：的值为________，图①中的值为________； （2）求统计的这组观众对影片的喜爱程度数据的平均数； （3）该影院单日观看影片人数达到1700人次，若这些观影的人都参加本次测试，请估计影片的喜爱程度评分为10分的人数． 【答案】（1）50，6 （2）统计的这组观众对影片的喜爱程度数据的平均数为9.16分 （3）估计该影院观众对影片的喜爱程度评分为10分的人数约为612人 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图与条形统计图，加权平均数，用样本估计总体； （1）将评分为9分的人数除以其百分比，即可求出a的值；将评分为7分的人数除以a的值，即可求出m的值； （2）根据加权平均数的计算方法计算即可； （3）将观影人数1700乘以评分为10分的百分比计算即可． 【小问1详解】 解：， ， 即． 故答案为：50；6 【小问2详解】 解：根据条形统计图，得 ∴这组观众对影片的喜爱程度数据的平均数为分． 【小问3详解】 解：∵在所抽取的样本中，对影片的喜爱程度评分为10分的占， ∴根据样本数据，估计该影院单日观看影片人数达到1700人次中，对影片的喜爱 程度评分为10分的占，有（人）， ∴估计该影院观众对影片的喜爱程度评分为10分的人数约为612人． 19. 星海广场是亚洲最大的城市广场．某店专门销售某种品牌的星海广场纪念品，成本为30元/件、每天销售件与销售单价元之间的一次函数关系如图所示，其中． （1）求与之间的函数表达式； （2）当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当销售单价为50元时，每天获取的利润最大，最大利润是4000元 【解析】 【分析】（1）可用待定系数法来确定y与x之间的函数关系式； （2）利用利润w=销量乘以每件利润进而得出关系式求出答案； 【小问1详解】 解：设与的函数表达式为， 直线经过点 解得： 与之间的函数表达式为； 【小问2详解】 设每天利润为元，则. ∴抛物线开口向下， ， 当时，w最大. 答：当销售单价为50元时，每天获取的利润最大，最大利润是4000元． 【点睛】本题考查二次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式，正确掌握二次函数的性质是解题关键． 20. 脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图1 是政府给贫困户新建的房屋，如图2是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线，为了测量房屋的高度，在地面上C点测得屋顶A的仰角为，此时地面上 C点、屋檐上E点、屋顶上 A 点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点 D时，又测得屋檐E点的仰角为，房屋的顶层横梁，，交 于点G（点 C，D，B在同一水平线上）． （1）求屋顶到横梁的距离（结果精确到）； （2）求房屋的高（结果精确到）．（参考数据） 【答案】（1）3.5米 （2）10米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，轴对称图形，解题的关键是借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形． （1）根据题意得到，，，解直角三角形即可得到结论； （2）过作于，设，解直角三角形即可得到结论． 【小问1详解】 房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线，， ，，， 在中，，，， ， ， 答：屋顶到横梁的距离约为3.5米； 【小问2详解】 如图2，过作于，设， 在中，，， ， ， 在中，，， ， ， 米，， ， 解得：， 四边形为矩形， 米， （米． 答：房屋的高约为10米． 21. 如图，内接于，是的直径，点在上，点是的中点，过点作，垂足为点，的延长线交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴  ∵， ∴， ∵是半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，弧长公式，正确添加辅助线是解题的关键． （1）连接，由圆周角定理得到，然后证明，由，得到，即可证明； （2）先证明，则可求，则，可证明为等边三角形，则，可求，那么，则半径，再由弧长公式求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 22. 【问题初探】 数学课上，老师提出如下问题： 如图①，是 的中线， M 是的中点，的延长线交于N，求证： ． 经过思考，甲、乙两名同学分别给出如下解题思路： 甲同学的思路：如图②，过点D作，于点K，利用全等将与的数量关系转化为与之间的关系； 乙同学的思路：如图③，过点A作的平行线交的延长线于点K，利用相似将与的数量关系转化为与之间的关系． （1） 请你选择一名同学的思路，写出证明过程； （2） 【类比分析】 老师发现两名同学都利用了转化思想．为了帮助同学更好地利用转化思想解决问题提出：如图④， 在 中，是边上的中线， N， K是的三等分点，交于M，交于P，求的值．请你写出解答过程； （3）【学以致用】 在 中，，在直线上取点B，使连接，在线段上取点A，连接， 直线交直线于F， 当时， 求的值．请你写出解答过程； 【答案】（1）①甲同学的思路： 证明：如图，过点D作，于点K， ， M 是的中点， ， ， 是 的中线， ， ， 在和中 ， （）， ， ； ②乙同学的思路： 如图，作交的延长线于， ， M 是的中点， ， 在和中 ， （）， ， 是 的中线， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：连接，如图， ∵N，K是的三等分点， ∴． ∵， ∴为的中位线， ∴，， 设，则． ∵，， ∴． ∵， ； 即； （3）或 【解析】 【分析】（1）①甲同学的思路，过点D作，于点K，由判定，由全等三角形的性质得，即可求证；②乙同学的思路， 作交的延长线于，由判定，由全等三角形的性质得，由平行线得，由相似三角形的性质得，即可求证； （2）连接，利用三角形的中位线定理和相似三角形的判定与性质解答即可； （3）①在线段上，如图，过作交的延长线于，延长交于，连接，过作交于，由平行线可判定，由相似三角形的性质得，由可判定，由全等三角形的性质得，即可求解；②当在射线上，过作交于，过作交于，延长交于，过作交于，由可判定，由全等三角形的性质得，由平行线得，可求，同理可求，由相似三角形的性质得，即可求解； 【详解】（1）略 （2）略 （3）①在线段上， 如图，过作交的延长线于，延长交于，连接，过作交于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， （）， ， ， ， ； ②当在射线上， 如图，过作交于，过作交于，延长交于，过作交于， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， （）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ∴ 综上所述：或． 23. 定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于它的横坐标的三倍，则称该点为“纵三倍点”．例如都是“纵三倍点”． （1）下列函数图象上只有一个“纵三倍点”的是______；（填序号） ①；②；③． （2）已知抛物线（均为常数）与直线只有一个交点，且该交点是“纵三倍点”，求抛物线的解析式； （3）若抛物线（是常数，）的图象上有且只有一个“纵三倍点”，令，是否存在一个常数，使得当时，的最小值恰好等于，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）①③ （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据“纵三倍点”的定义逐项判断即可； （2）根据定义可得“纵三倍点”为，代入得出①，联立根据题意得出②，联立①②，即可求解； （3）联立 ，依题意得出得出 ．分三种情况：当，当时， 当时，求解即可 【小问1详解】 解：①联立，解得：， ∴一次函数的图象上的“纵三倍点”为，故①符合题意； ③联立，即， 解得： 故②不合题意； ④联立，解得：， ∴二次函数的图象上只有一个“纵三倍点”，故③正确； 综上分析可知，正确的是①③． 故答案为：①③． 【小问2详解】 解： 解得： 依题意经过，则① 联立 ∴ ∵抛物线（均为常数）与直线只有一个交点， ∴② 联立①②得 解得： ∴抛物线解析式为； 【小问3详解】 解：联立 即 依题意，， ∴ ∴， 当，即时，在处，w有最小值， ∴，解得：（舍去），（舍去）， 当时，即时，w有最小值1， ∴存在常数，使得时，w的最小值恰好等于t，符合题意； 当时，在处，w有最小值t， ∴，解得：（舍去），， 综上所述：或 【点睛】本题主要考查了先定义运算，一次函数、二次函数和反比例函数的综合应用，一元二次方程根的判别式，解题的关键是理解“纵三倍点”的定义，任意的一个“纵三倍点”一定在正比例函数的图象上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年九年级数学测试卷 （考试时间120分钟，试卷满分120分） 一、选择题（在每一小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．每小题3分，共30分） 1. 如图是由6个大小相同的正方体搭成的几何体，其左视图是（　　） A. B. C. D. 2. 下表是几种液体在标准大气压下的沸点： 液体名称 液态氧 液态氢 液态氮 液态氦 沸点/ 则沸点最高的液体是（ ） A. 液态氧 B. 液态氢 C. 液态氮 D. 液态氦 3. 拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓，节约一粒米的账：一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年就可以节省3240万斤，这些粮食可供9万人吃一年，“3240万”这个数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，是对角线，当是等边三角形时，为（ ） A. B. C. D. 5. 下列各式运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 某班级计划举办手抄报展览，确定了“时代”“ ”“豆包”三个主题，若小红随机选择其中一个主题，则她恰好选中“”的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 下列自然能源图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 8. 在《九章算术》中，二元一次方程组是通过“算筹”摆放的，如图1、图2所示．图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．如图1所示的算筹图表示的方程组是，类似的，图2所示的算筹图表示的方程组是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，矩形的对角线相交于点， ，，若，则四边形的周长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 16 10. 如图，直线y＝﹣x＋4与x轴、y轴分别交于点A、B、C是线段AB上一点，四边形OADC是菱形，则OD的长为（　　） A. 4.2 B. 4.8 C. 5.4 D. 6 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 方程的解为________． 12. 点按照一个方向平移后，点M的对应点的坐标是，则点N的对应点是_______． 13. 如图，已知，和相交于点，，则______． 14. 已知抛物线经过，则该抛物线与x轴的另一个交点是__________． 15. 如图，在矩形中，，．连接，在和上分别截取，使，分别以点E和点F为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点G，作射线交于点H，则线段的长是________． 三、解答题（16题10分；17-21题，每题8分；22题12分；23题13分，共75分） 16. 计算： （1）计算：； （2）计算：． 17. 某学校为打造书香校园，计划购进甲、乙两种课外书．购买1本甲种书和2本乙种书共需125元；购买2本甲种书和5本乙种书共需300元． （1）求甲、乙两种书的单价； （2）学校决定购买甲、乙两种书共50本，且两种书的总费用不超过2000元，那么该校最多可以购买多少本乙种书？ 18. 国产动画电影《哪吒之魔童闹海》在2025年春节全球热映，以中华神话为内核的精良制作引发观影热潮，首周票房突破20亿，据2025年3月15日《人民日报》报道，影片《哪吒之魔童闹海》累计票房（含海外及预售票房）超150.19亿元，票房成绩进入全球票房榜前5！某影院为了了解本市观众对影片的喜爱程度，随机调查名国内观众，根据统计的评分（满分10分）结果，绘制出如图的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：的值为________，图①中的值为________； （2）求统计的这组观众对影片的喜爱程度数据的平均数； （3）该影院单日观看影片人数达到1700人次，若这些观影的人都参加本次测试，请估计影片的喜爱程度评分为10分的人数． 19. 星海广场是亚洲最大的城市广场．某店专门销售某种品牌的星海广场纪念品，成本为30元/件、每天销售件与销售单价元之间的一次函数关系如图所示，其中． （1）求与之间的函数表达式； （2）当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？ 20. 脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图1 是政府给贫困户新建的房屋，如图2是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线，为了测量房屋的高度，在地面上C点测得屋顶A的仰角为，此时地面上 C点、屋檐上E点、屋顶上 A 点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点 D时，又测得屋檐E点的仰角为，房屋的顶层横梁，，交 于点G（点 C，D，B在同一水平线上）． （1）求屋顶到横梁的距离（结果精确到）； （2）求房屋的高（结果精确到）．（参考数据） 21. 如图，内接于，是的直径，点在上，点是的中点，过点作，垂足为点，的延长线交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 22. 【问题初探】 数学课上，老师提出如下问题： 如图①，是 的中线， M 是的中点，的延长线交于N，求证： ． 经过思考，甲、乙两名同学分别给出如下解题思路： 甲同学的思路：如图②，过点D作，于点K，利用全等将与的数量关系转化为与之间的关系； 乙同学的思路：如图③，过点A作的平行线交的延长线于点K，利用相似将与的数量关系转化为与之间的关系． （1） 请你选择一名同学的思路，写出证明过程； （2） 【类比分析】 老师发现两名同学都利用了转化思想．为了帮助同学更好地利用转化思想解决问题提出：如图④， 在 中，是边上的中线， N， K是的三等分点，交于M，交于P，求的值．请你写出解答过程； （3）【学以致用】 在 中，，在直线上取点B，使连接，在线段上取点A，连接， 直线交直线于F， 当时， 求的值．请你写出解答过程； 23. 定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于它的横坐标的三倍，则称该点为“纵三倍点”．例如都是“纵三倍点”． （1）下列函数图象上只有一个“纵三倍点”的是______；（填序号） ①；②；③． （2）已知抛物线（均为常数）与直线只有一个交点，且该交点是“纵三倍点”，求抛物线的解析式； （3）若抛物线（是常数，）的图象上有且只有一个“纵三倍点”，令，是否存在一个常数，使得当时，的最小值恰好等于，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $