专题09 对数运算及对数函数（九大考点精讲）-2025-2026学年高一数学上学期秋季讲义（人教A版2019必修第一册）

专题9 对数运算及对数函数 目录 一、知悉思维导图 2 二、落实主干知识 2 知识点1、对数的概念 2 知识点2、对数的性质、换底公式与运算性质 2 知识点3、对数函数及其性质 3 三、探究重点难点 4 重难点题型1 对数运算 4 重难点题型2 对数函数的图像与性质 5 重难点题型3 对数型函数的定义域 7 重难点题型4 对数型函数的定义域与值域 9 重难点题型5 对数型函数的实际应用 13 重难点题型6 对数型函数的综合应用：指对幂比较大小 15 重难点题型7 对数型函数的综合应用：解不等式 16 重难点题型8 对数型函数的综合应用：求参数的范围 19 重难点题型9 对数型复合函数的综合应用 21 四、突破热点题型 26 知识点1 对数的概念 如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. 知识点2 对数的性质、换底公式与运算性质 (1)、对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1). (2)、对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①、loga(MN)＝logaM＋logaN； ②、loga＝logaM－logaN； ③、logaMn＝nlogaM(n∈R)； ④、logamMn＝logaM(m，n∈R，且m≠0). (3)换底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1). ⑤、； 知识点3 对数函数及其性质 (1)、概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞). (2)、对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0) 当x>1时，y>0； 当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0； 当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 (3)、对数函数常用技巧 在同一坐标系内，当时，随的增大，对数函数的图象愈靠近轴；当时，对数函数的图象随的增大而远离轴．(见下图) 重难点题型1 对数运算 例1.计算：（   ） A．－2 B．0 C．1 D．2 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】对数的运算 【分析】利用对数的运算性质计算可得所求代数式的值. 【详解】原式. 故选：B. 例2.（多选题）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【难度】0.85 【知识点】对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【详解】，所以，所以，故A正确，B错误；，故C错误，D正确． 1.（24-25高一下·湖南长沙·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】运用换底公式化简计算、对数的运算、指数式与对数式的互化 【分析】先利用对数的换底公式得，，最后利用对数的运算法则即可求解. 【详解】由题意有，， 所以， 故选：A. 2.（24-25高一下·河北保定·周测）（多选题）下列各式正确的是（    ） A．（，） B． C．若，则 D． 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】指数幂的运算、指数式与对数式的互化、对数的运算 【分析】利用指数幂的运算判断A；利用对数的运算判断B；利用指数与对数的互化判断C；利用换底公式判断D. 【详解】，A错误； ，B正确； 若，则，所以，C正确； ，错误， 故选：BC. 重难点题型2 对数函数的图像与性质 例3.函数的图象如图所示，则a的值可以是（   ） A． B．2 C．e D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】研究对数函数的单调性 【分析】由图象结合对数函数的性质可得答案. 【详解】因为函数的图象是单调递减的，所以， 由选项可知A正确. 故选：A. 例4.（2025·陕西安康·模拟预测）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】函数图像的识别 【分析】根据函数的定义域、单调性分析即可确定正确选项. 【详解】由题意，知的定义域为，排除A，C； ，当增大时，减小，也减小，即在上单调递减，排除D. 故选：B. 1.（24-25高二下·浙江温州·月考）函数的图象大致为（   ） A．  B．  C．   D．     【答案】A 【难度】0.85 【知识点】函数基本性质的综合应用、函数图像的识别、研究对数函数的单调性 【分析】结合函数的定义域单调性特殊点排除错误选项找到正确选项. 【详解】函数的定义域为，故排除D， 由一次函数和对数函数的性质可知与在定义域上单调递增，故在上单调第增，排除C， 因为所以函数图像经过点，故排除B. 故选：A 2.函数与的图象只可能是下图中的（   ） A．  B．  C．  D．   【答案】C 【难度】0.94 【知识点】函数图像的识别、判断对数型函数的图象形状 【分析】由一次函数图象得出的取值范围，利用对数函数的图象和性质逐项判断可得. 【详解】A中，由的图象知，则为增函数，A错； B中，由的图象知，则为减函数，B错； C中，由的图象知，则为减函数，所以C对； D中，由的图象知，此时无意义，D错． 故选：C. 重难点题型3 对数型函数的定义域 例5.（24-25高二下·北京平谷·期中）函数的定义域为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】具体函数的定义域、求对数型复合函数的定义域 【分析】根据对数以及分式的性质列不等式，即可求解. 【详解】的定义域满足，解得且， 故定义域为， 故答案为： 例6.（2025高二下·湖南郴州·学业考试）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】具体函数的定义域、求对数型复合函数的定义域 【分析】使分母不等于，及对数的真数大于即可求解. 【详解】要使有意义，则有，解得且， 所以的定义域为. 故选：D. 1.（24-25高一下·湖南永州·期中）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】具体函数的定义域、求对数型复合函数的定义域 【分析】由对数式的真数大于0，分式的分母不为0联立不等式组求解. 【详解】函数， ，， ． 故选：B. 2.（2025·北京丰台·二模）函数的定义域为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求对数型复合函数的定义域 【分析】利用对数的真数及被开方数，以及分母不为0的条件来求解即可得定义域. 【详解】由，解得， 所以函数的定义域为， 故答案为： 重难点题型4 对数型函数的单调性与值域 例7.（24-25高一下·辽宁葫芦岛·周测）函数的单调递减区间是 . 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】判断二次函数的单调性和求解单调区间、对数型复合函数的单调性 【分析】先求出函数的定义域，令，则，再根据复合函数的单调性，求出单调区间，即得结果. 【详解】由，得，则函数的定义域为， 令，，则， 函数的对称轴为， 在区间上单调递增，在区间上单调递减， 因为为增函数，根据复合函数同增异减， 要使函数单调递减，则需函数单调递减， 所以原函数的单调递减区间为. 故答案为： 例8.（24-25高一上·湖南岳阳·期末）已知函数，，则函数的值域为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求二次函数的值域或最值、求对数型复合函数的定义域、求对数型复合函数的值域 【分析】由原函数和所求函数求得其定义域，化简所求函数解析式，利用换元，得到一元二次函数，结合其图象性质即可求得函数值域. 【详解】因，，， 则由，解得：， 即函数的定义域为， 设，则，且在上单调递增， 故当时，即时，；当，即时，， 因，故函数的值域为. 故答案为：. 例9.（24-25高一上·广东揭阳·期末）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求对数型复合函数的定义域、对数型复合函数的单调性 【分析】先求出函数的定义域，再根据复合函数“同增异减”可得到结果. 【详解】因为函数，则， 解得或，所以函数的定义域为， 令，则函数在定义域上为单调递减函数， 而在上单调递减，在单调递增， 根据复合函数“同增异减”原则可得的单调递减区间为. 故选：A. 1.（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）函数的单调递增区间是 . 【答案】（或） 【难度】0.85 【知识点】求对数型复合函数的定义域、对数型复合函数的单调性 【分析】先求函数的定义域，根据复合函数单调性分析求解. 【详解】令，解得，可知函数的定义域为， 因为， 且在内单调递增，在内单调递减，在定义域内单调递增， 可知函数在内单调递增，在内单调递减， 所以函数的单调递增区间为. 故答案为：（或）. 2.（24-25高一上·广东广州·周测）函数，的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求二次函数的值域或最值、对数的运算、求对数函数在区间上的值域、求对数型复合函数的值域 【分析】令，，由换元法可得，利用二次函数的单调性即可求解. 【详解】令，因为，所以， 因为 ， 所以，， 函数在区间上单调递增， 所以，， 所以函数，的值域为. 故选：. 3.（23-24高一上·天津南开·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求对数型复合函数的定义域、求对数型复合函数的值域、基本（均值）不等式的应用、由指数函数的单调性解不等式 【分析】利用基本不等式求的范围，结合对数的性质求复合函数定义域，判断端点值是否可取，进而确定值域. 【详解】由，当且仅当时等号成立， 而，所以， 所以，故值域为. 故选：D 重难点题型5 对数型函数的实际应用 例10.人们常用里氏震级表示地震的强度，表示地震释放出的能量，其关系式可以简单地表示为，2021年1月4日四川省乐山市犍为县发生里氏级地震，2021年9月16日四川省泸州市泸县发生里氏级地震，则后者释放的能量大约为前者的（    ）倍．(参考数据：) A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】列出对数函数模型的解析式 【分析】设前者、后者的里氏震级分别为，前者、后者释放出的能量分别为、，根据已知关系式列式相减，利用对数运算法则可得． 【详解】设前者、后者的里氏震级分别为，前者、后者释放出的能量分别为、，则其满足关系和， 两式作差可以得到， 即，所以， 故选：C． 例11.（24-25高一上·陕西咸阳·期末）溶液的酸碱度是用来衡量溶液酸碱性强弱程度的一个指标，在化学中，常用值来表示溶液的酸碱度.的计算公式为其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.甲同学在径流咸阳的渭河中取出一定的水溶液，经测定其中氢离子的浓度摩尔/升，则渭河咸阳段水溶液的值约为（    ）（参考数据：，） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】列出对数函数模型的解析式 【分析】由对数的运算性质可求得渭河咸阳段水溶液的值. 【详解】由题意可知，渭河咸阳段水溶液的值为. 故选：D. 1.（24-25高三上·河北·期末）已知某一指数（其中数据M为常数，且）可以用来检测某一特殊海域的水质情况，其中指数d的值越大，水质越好．若数据N由变化为，对应的指数d由2.15提高到3.225，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】列出对数函数模型的解析式 【分析】根据题意，利用消元，再结合对数运算，即可得解. 【详解】根据题意，，，两式相除可得，， 所以，可得， 故选:D． 2.（24-25高一上·陕西汉中·期末）“打水漂”是一种游戏：按一定方式投掷石片，使石片在水面上实现多次弹跳，弹跳次数越多越好．小乐同学在玩“打水漂”游戏时，将一石片按一定方式投掷出去，石片第一次接触水面时的速度为5m/s，然后石片在水面上继续进行多次弹跳．不考虑其他因素，假设石片每一次接触水面时的速度均为上一次的，若石片接触水面时的速度低于2m/s，石片就不再弹跳，沉入水底，则小乐同学这次“打水漂”石片的弹跳次数为 ．（参考数据： 【答案】4 【难度】0.85 【知识点】对数的运算性质的应用、列出对数函数模型的解析式、利用对数函数的性质综合解题 【分析】根据题意得，即，根据指数函数的单调性和对数换底公式求解即可. 【详解】设这次“打水漂”石片的弹跳次数为， 由题意得，即，得. 因为， 所以,故. 故答案为：4 重难点题型6 对数型函数的综合应用：指对幂比较大小 例12．（23-24高三上·北京通州·期中）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小 【分析】 利用对数函数的单调性可得，，又，从而可得. 【详解】因为，所以，即， 因为，所以，即， 而，所以. 故选：B. 例13.（24-25高一上·陕西西安·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小 【分析】根据指数函数的单调性和对数函数的单调性即可求解. 【详解】因为，， 所以，又因为，所以， 故选：. 1.设，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【详解】因为，，即，，所以，故选A. 2.若，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小 【解析】分别找到对应的函数，并判断单调性，借助中间量进行大小比较. 【详解】单调递减，单调递增，单调递增， ，，， 则. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是借助中间量0和1进行大小的比较. 重难点题型7 对数型函数的综合应用：解不等式 例14.（2023·全国·模拟预测）已知定义在上的偶函数，对，都有，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的应用、用导数判断或证明已知函数的单调性、比较对数式的大小、比较函数值的大小关系 【分析】 根据导数判断函数的单调性，再结合偶函数的性质，根据对数函数的单调性比较大小. 【详解】 由已知对，都有， 即当，，所以函数在上单调递减， 又函数为偶函数， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 因为， 所以只需比较，，三者的大小关系， 又，，， 且， 所以 所以， 即， 故选：D. 例15.（2025高二下·湖南株洲·学业考试）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】比较对数式的大小 【分析】根据对数函数单调性,判断大小关系. 【详解】已知对数函数，当时，函数单调递减，因为,所以. 故选：D. 1.（2025·天津武清·模拟预测）已知定义在R上的函数，，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、比较对数式的大小、比较函数值的大小关系 【分析】根据函数的解析式，求得函数为奇函数，化简，再结合函数的单调性，即可求解. 【详解】，定义域为，关于原点对称， 且，所以函数为奇函数， 所以， 又， 任取，且，则，则， 故在上单调递增， 又由对数函数的单调性可得， 所以，即. 故选：D 2.（2024·安徽淮北·一模）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系. 【详解】因为，，，因此，. 故选：A. 重难点题型8 对数型函数的综合应用：求参数的范围 例16.（2025·吉林·三模）若函数（且）在区间上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】对数型复合函数的单调性、由对数（型）的单调性求参数 【分析】由对数的底数大于0，可得内函数为增函数，结合复合函数的单调性可得，再由对于恒成立，可得的取值范围，再求交集即可. 【详解】是由，复合而成， 由题意知：，在区间上单调递增， 若函数（其中且）在区间上单调递减， 所以单调递减， 可得： , 又对于恒成立， 所以， 解得：， 综上所述：. 故选：A 例17.（24-25高二下·山西·周测）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由对数（型）的单调性求参数 【分析】根据对数函数性质分析可知在上单调递减，且在上恒成立，进而列式求解. 【详解】因为在上单调递增，且在上单调递减， 可知在上单调递减，且在上恒成立， 可得，解得， 所以实数的取值范围为． 故选：B． 1.（24-25高一下·广西来宾·开学考试）已知函数是上的增函数，则的取值范围为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据分段函数的单调性求参数、由对数（型）的单调性求参数 【分析】应用分段函数单调递增结合对数函数单调性列不等式组计算求参. 【详解】当时，是增函数，所以，即. 当时，也是增函数，故. 当时，代入得，代入得， 所以要使函数在上是增函数， 则解得，即的取值范围为. 故答案为： 2.（24-25高一上·福建莆田·月考）已知关于的函数在上单调递增，则实数的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知二次函数单调区间求参数值或范围、由对数（型）的单调性求参数 【分析】根据复合函数单调性以及真数恒大于零，解不等式可得. 【详解】由题意知需满足在上恒成立， 根据复合函数单调性可得函数在上单调递减； 所以,解得； 即实数的取值范围是. 故答案为： 重难点题型9 对数型复合函数的综合应用 例18．（24-25高一下·浙江衢州·期末）已知函数． (1)当时，求的单调递增区间； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】求对数型复合函数的定义域、求对数型复合函数的值域、对数型复合函数的单调性、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）结合对数的运算法则求出函数的定义域，利用复合函数的单调性即可求解； （2）结合复合函数的单调性求出的单调性，利用单调性求出最值，结合恒成立问题即可求解. 【详解】（1）由，得，所以的定义域为， ， 令，则在上单调递增，在上单调递减， 又，为减函数， 所以的单调递增区间为． （2）由题意得当，， 当时，由（1）得在上单调递减，在上单调递增， 所以，不符合题意， 当时，为增函数， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增，在上单调递减， 因为， 所以， 即，解得，综上所述，． 例19.（24-25高一下·贵州贵阳·月考）已知函数. (1)若为偶函数，求的值； (2)若在上单调递增，求的取值范围 (3)设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、由奇偶性求参数、由对数函数的单调性解不等式、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）根据函数的奇偶性的定义列出关于的等式，即可求解. （2）根据复合函数单调性的判断方法及对数函数的定义域列出关于的不等式组，即可求解. （3）由题意可知恒成立；先利用换元法和二次函数的性质得出，即对于任意恒成立；再根据对数函数的单调性和参变分离法可得对于任意恒成立；最后利用基本不等式得出，从而可得出的取值范围. 【详解】（1）函数为偶函数， ，即. 又函数是增函数， ，即得对于函数定义域内任意的都成立， . （2）令，则. 函数是上的增函数，在上单调递增， 根据复合函数单调性的判断方法可得：函数在上单调递增, 且在上恒成立， ，解得：. 故的取值范围为. （3）对于任意，存在，使得不等式成立， . 令，， ， ，. 又二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， 当时，函数有最小值， 故当时，. 对于任意恒成立，即对于任意恒成立， 故对于任意恒成立. 又由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立， ， 故的取值范围为. 1.（24-25高一下·山西·期中）已知函数. (1)求的定义域； (2)研究函数的单调性； (3)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)单调递增区间为，单调递减区间为 (3) 【难度】0.65 【知识点】求对数型复合函数的定义域、对数型复合函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】（1）根据对数的真数大于得到不等式，即可得解； （2）根据对数型复合函数的单调性判断即可； （3）根据函数的单调性得到，即可得解. 【详解】（1）对于函数，令，即， 解得或， 所以的定义域为. （2）因为在上单调递增，在上单调递减， 又在定义域上单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减， 即的单调递增区间为，单调递减区间为； （3）因为， 又在上单调递增， 不等式等价于， 即或， 解得或， 所以实数的取值范围为. 2.（24-25高二下·陕西渭南·周测）已知函数 (1)求的定义域； (2)判断函数的奇偶性并予以证明； (3)求不等式的解集. 【答案】(1) (2)奇函数，证明见解析 (3) 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求对数型复合函数的定义域、由对数函数的单调性解不等式 【分析】（1）由对数的真数大于零可得出关于的不等式组，由此可解得函数的定义域； （2）判断出函数为奇函数，利用函数奇偶性的定义可证得结论成立； （3）由对数函数的单调性可得出关于实数的不等式组，由此可解得所求不等式的解集. 【详解】（1）对于函数，有，解得， 所以函数的定义域为. （2）函数是奇函数， 证明：由（1）知的定义域关于原点对称， 所以函数是奇函数. （3）由题意，当时，，解得， 所以所求不等式的解集是. 1．（2025高二下·湖南·学业考试）（    ） A．9 B．2 C．3 D．1 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】对数的运算 【分析】根据对数的运算性质，进行计算即可. 【详解】由题意，得， 故选：B. 2．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】求对数型复合函数的定义域 【分析】由对数函数的性质结合复合函数的定义域可得. 【详解】要使有意义，必须解得：． 故选：C. 3．（23-24高二上·贵州遵义·期末）年一位丹麦生物化学家提出溶液值，亦称氢离子浓度指数、酸碱值，是溶液中氢离子活度的一种标度，其中源自德语，意思是浓度，代表氢离子.的定义式为：，指的是溶液中氢离子活度.若溶液甲中氢离子活度为，溶液乙中氢离子活度为.则溶液甲的值与溶液乙的值的差约为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】列出对数函数模型的解析式 【分析】利用对数的运算性质可求得溶液甲的值与溶液乙的值的差. 【详解】由题意可知，溶液甲的值与溶液乙的值的差为 . 故选：C. 4．若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小 【分析】直接利用指数函数和对数函数的单调性判断. 【详解】因为，，， 所以， 故选：B. 5．（2025·山东·一模）函数在区间上是减函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】由对数（型）的单调性求参数 【分析】利用复合函数的单调性和函数的定义域求解即可. 【详解】函数，故，且为减函数， 若，则在为减函数，则函数为增函数，故舍去； 若，则为增函数，因为函数在区间上是减函数， 故. 故的取值范围是. 故选：D. 6．（24-25高一上·浙江杭州·期末）（多选题）下列运算正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【难度】0.85 【知识点】对数的运算、运用换底公式化简计算 【分析】根据对数的运算性质判断ABC，利用换底公式判断D. 【详解】选项A，，说法错误； 选项B，，说法错误； 选项C，令，则，即，说法正确； 选项D，，说法正确； 故选：CD 7．求函数的定义域 ． 【答案】答案见解析 【难度】0.85 【知识点】求对数型复合函数的定义域 【分析】根据分母不为零，偶次方根的被开方数大于等于零且对数的真数大于零，对参数分类讨论，结合对数函数的单调性求出函数的定义域； 【详解】要使函数有意义，则，即． 若，则，∴； 若，则，∴． 综上，当时，函数定义域为；当时，函数定义域为． 故答案为：当时，函数定义域为；当时，函数定义域为. 8．函数在上的值域为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求对数函数的最值 【分析】分和两种情况，结合对数函数值域分析求解. 【详解】因为函数在定义域上单调递增. 当时，，可得； 当时，，可得； 综上所述：所以的值域为. 故答案为：. 9．（24-25高一上·安徽阜阳·期中）已知函数的值域是，则实数的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求二次函数的值域或最值、求对数型复合函数的值域、复合函数的值域 【分析】对复合函数进行拆分，由外函数值域得出内函数值域，再通过讨论参数，列出不等式求得参数范围. 【详解】令，则， 要使得的值域为R，则函数的值域满足， 当时，即函数开口向上，且最小值小于等于0， ， 当时，满足题意， 综上所述：. 故答案为：. 10．（2025·海南·模拟预测）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由对数（型）的单调性求参数 【分析】令，由复合函数可知，内层函数在上为减函数，且对任意的，恒成立，即可得出关于实数的不等式组，由此可求得实数的取值范围. 【详解】令，因为外层函数为减函数，且原函数在上单调递增， 所以内层函数在上为减函数， 且对任意的，恒成立， 所以，解得. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 11．（24-25高三下·北京·开学考试）已知函数，对任意，都有成立，则a的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】研究对数函数的单调性、根据分段函数的单调性求参数、由对数（型）的单调性求参数 【分析】理解这个条件，它表明函数是增函数.对于分段函数是增函数，需要每一段函数都递增，并且在分段点处也要满足递增的条件.然后分别分析每一段函数的单调性以及分段点处的函数值关系，从而确定的取值范围. 【详解】对于对数函数，当时，函数在上单调递增. 因为这里，要使在上递增，所以. 对于一次函数，其斜率为，当时，函数在上单调递增. 所以要使在上递增，. 在这个分段点处，需要满足在处的值不大于在处的值. 当时，；. 所以，即. 综合前面的条件，需要同时满足，，. 取交集可得，的取值范围是. 故答案为：. 12．（24-25高一上·青海西宁·周测）已知函数是上的减函数，则的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据分段函数的单调性求参数、由对数（型）的单调性求参数 【分析】根据分段函数单调性，结合一次函数与对数函数的单调性，列不等式组求范围. 【详解】由题意，、分别在，上单调递减，且， 所以，即，解得. 故答案为： 13．已知函数． (1)若函数的定义域为R，值域为，求实数a的值； (2)若函数在上为增函数，求实数a的取值范围． 【答案】(1)1或 (2) 【难度】0.65 【知识点】根据二次函数的最值或值域求参数、由对数（型）的单调性求参数 【分析】（1）由求出的最小值，再利用配方法可得答案； （2） 利用复合函数的单调性可得答案． 【详解】（1）函数的值域为， ，又， 而函数的定义域为R， 的最小值． 而， ，解得，即， 实数a的值为1或； （2）在上为增函数， 函数在上是减函数， ∴函数在上为减函数且， ，解得， 即，故实数a的取值范围为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题9 对数运算及对数函数 目录 一、知悉思维导图 2 二、落实主干知识 2 知识点1、对数的概念 2 知识点2、对数的性质、换底公式与运算性质 2 知识点3、对数函数及其性质 3 三、探究重点难点 4 重难点题型1 对数运算 4 重难点题型2 对数函数的图像与性质 4 重难点题型3 对数型函数的定义域 6 重难点题型4 对数型函数的定义域与值域 6 重难点题型5 对数型函数的实际应用 7 重难点题型6 对数型函数的综合应用：指对幂比较大小 8 重难点题型7 对数型函数的综合应用：解不等式 9 重难点题型8 对数型函数的综合应用：求参数的范围 10 重难点题型9 对数型复合函数的综合应用 10 四、突破热点题型 12 知识点1 对数的概念 如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做 ，记作 ，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. 知识点2 对数的性质、换底公式与运算性质 (1)、对数的性质：①alogaN＝ ；②logaab＝ (a>0，且a≠1). (2)、对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①、loga(MN)＝ ； ②、loga＝ ； ③、logaMn＝ (n∈R)； ④、logamMn＝ (m，n∈R，且m≠0). (3)换底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1). ⑤、； 知识点3 对数函数及其性质 (1)、概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞). (2)、对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域： 值域： 当x＝1时，y＝0，即过定点 当x>1时，y>0； 当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0； 当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是 在(0，＋∞)上是 (3)、对数函数常用技巧 在同一坐标系内，当时，随的增大，对数函数的图象 轴；当时，对数函数的图象随的增大而 轴．(见下图) 重难点题型1 对数运算 例1.计算：（   ） A．－2 B．0 C．1 D．2 例2.（多选题）若，则（   ） A． B． C． D． 1.（24-25高一下·湖南长沙·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 2.（24-25高一下·河北保定·周测）（多选题）下列各式正确的是（    ） A．（，） B． C．若，则 D． 重难点题型2 对数函数的图像与性质 例3.函数的图象如图所示，则a的值可以是（   ） A． B．2 C．e D． 例4.（2025·陕西安康·模拟预测）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 1.（24-25高二下·浙江温州·月考）函数的图象大致为（   ） A．  B．  C．   D．     2.函数与的图象只可能是下图中的（   ） A．  B．  C．  D．   重难点题型3 对数型函数的定义域 例5.（24-25高二下·北京平谷·期中）函数的定义域为 ． 例6.（2025高二下·湖南郴州·学业考试）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 1.（24-25高一下·湖南永州·期中）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 2.（2025·北京丰台·二模）函数的定义域为 ． 重难点题型4 对数型函数的单调性与值域 例7.（24-25高一下·辽宁葫芦岛·周测）函数的单调递减区间是 . 例8.（24-25高一上·湖南岳阳·期末）已知函数，，则函数的值域为 ． 例9.（24-25高一上·广东揭阳·期末）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 1.（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）函数的单调递增区间是 . 2.（24-25高一上·广东广州·周测）函数，的值域为（   ） A． B． C． D． 3.（23-24高一上·天津南开·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 重难点题型5 对数型函数的实际应用 例10.人们常用里氏震级表示地震的强度，表示地震释放出的能量，其关系式可以简单地表示为，2021年1月4日四川省乐山市犍为县发生里氏级地震，2021年9月16日四川省泸州市泸县发生里氏级地震，则后者释放的能量大约为前者的（    ）倍．(参考数据：) A． B． C． D． 例11.（24-25高一上·陕西咸阳·期末）溶液的酸碱度是用来衡量溶液酸碱性强弱程度的一个指标，在化学中，常用值来表示溶液的酸碱度.的计算公式为其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.甲同学在径流咸阳的渭河中取出一定的水溶液，经测定其中氢离子的浓度摩尔/升，则渭河咸阳段水溶液的值约为（    ）（参考数据：，） A． B． C． D． 1.（24-25高三上·河北·期末）已知某一指数（其中数据M为常数，且）可以用来检测某一特殊海域的水质情况，其中指数d的值越大，水质越好．若数据N由变化为，对应的指数d由2.15提高到3.225，则（   ） A． B． C． D． 2.（24-25高一上·陕西汉中·期末）“打水漂”是一种游戏：按一定方式投掷石片，使石片在水面上实现多次弹跳，弹跳次数越多越好．小乐同学在玩“打水漂”游戏时，将一石片按一定方式投掷出去，石片第一次接触水面时的速度为5m/s，然后石片在水面上继续进行多次弹跳．不考虑其他因素，假设石片每一次接触水面时的速度均为上一次的，若石片接触水面时的速度低于2m/s，石片就不再弹跳，沉入水底，则小乐同学这次“打水漂”石片的弹跳次数为 ．（参考数据： 重难点题型6 对数型函数的综合应用：指对幂比较大小 例12．（23-24高三上·北京通州·期中）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 例13.（24-25高一上·陕西西安·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 1.设，，，则（ ） A． B． C． D． 2.若，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 重难点题型7 对数型函数的综合应用：解不等式 例14.（2023·全国·模拟预测）已知定义在上的偶函数，对，都有，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 例15.（2025高二下·湖南株洲·学业考试）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 1.（2025·天津武清·模拟预测）已知定义在R上的函数，，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2.（2024·安徽淮北·一模）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 重难点题型8 对数型函数的综合应用：求参数的范围 例16.（2025·吉林·三模）若函数（且）在区间上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例17.（24-25高二下·山西·周测）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 1.（24-25高一下·广西来宾·开学考试）已知函数是上的增函数，则的取值范围为 . 2.（24-25高一上·福建莆田·月考）已知关于的函数在上单调递增，则实数的取值范围是 . 重难点题型9 对数型复合函数的综合应用 例18．（24-25高一下·浙江衢州·期末）已知函数． (1)当时，求的单调递增区间； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围． 例19.（24-25高一下·贵州贵阳·月考）已知函数. (1)若为偶函数，求的值； (2)若在上单调递增，求的取值范围 (3)设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围. 1.（24-25高一下·山西·期中）已知函数. (1)求的定义域； (2)研究函数的单调性； (3)若，求实数的取值范围. 2.（24-25高二下·陕西渭南·周测）已知函数 (1)求的定义域； (2)判断函数的奇偶性并予以证明； (3)求不等式的解集. 1．（2025高二下·湖南·学业考试）（    ） A．9 B．2 C．3 D．1 2．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·贵州遵义·期末）年一位丹麦生物化学家提出溶液值，亦称氢离子浓度指数、酸碱值，是溶液中氢离子活度的一种标度，其中源自德语，意思是浓度，代表氢离子.的定义式为：，指的是溶液中氢离子活度.若溶液甲中氢离子活度为，溶液乙中氢离子活度为.则溶液甲的值与溶液乙的值的差约为（    ） A． B． C． D． 4．若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·山东·一模）函数在区间上是减函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·浙江杭州·期末）（多选题）下列运算正确的有（   ） A． B． C． D． 7．求函数的定义域 ． 8．函数在上的值域为 . 9．（24-25高一上·安徽阜阳·期中）已知函数的值域是，则实数的取值范围是 . 10．（2025·海南·模拟预测）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ． 11．（24-25高三下·北京·开学考试）已知函数，对任意，都有成立，则a的取值范围是 ． 12．（24-25高一上·青海西宁·周测）已知函数是上的减函数，则的取值范围是 . 13．已知函数． (1)若函数的定义域为R，值域为，求实数a的值； (2)若函数在上为增函数，求实数a的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$