专题06 函数的单调性与奇偶性（九大考点精讲）-2025-2026学年高一数学上学期秋季讲义（人教A版2019必修第一册）

专题06 函数的单调性与奇偶性 目录 一、知悉思维导图 2 二、落实主干知识 2 知识点1、函数的单调性 2 知识点2、函数单调性的常用结论 3 知识点3、函数的奇偶性 3 知识点4、函数奇偶性的常用结论 4 三、探究重点难点 5 重难点题型1 求函数的单调性 5 重难点题型2 已知单调性求参数 7 重难点题型3 判断函数的奇偶性 9 重难点题型4 已知奇偶性求参数 12 重难点题型5 由奇偶性，求函数的解析式 13 重难点题型6 由奇偶性，求函数值 17 重难点题型7 由单调性与奇偶性，解不等式 19 重难点题型8 由单调性与奇偶性，比较大小 25 重难点题型9 抽象函数的单调性与奇偶性 27 四、突破热点题型 29 知识点1、函数的单调性 (1)、单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)、严格单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 知识点2、函数单调性的常用结论 （1）、若均为区间A上的增(减)函数，则也是区间A上的增(减)函数； （2）、若，则与的单调性相同；若，则与的单调性相反； （3）、函数在公共定义域内与，的单调性相反； （4）、函数在公共定义域内与的单调性相同； （5）、奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反； （6）、一些重要函数的单调性： ①的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减； ②（，）的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减． 知识点3、函数的奇偶性 （1）．函数奇偶性的定义及图象特点 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数 图象关于轴对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是奇函数 图象关于原点对称 判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果或，则函数为偶函数；如果或，则函数为奇函数． 注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x，也在定义域内（即定义域关于原点对称）． 知识点4、函数奇偶性的常用结论 （1）、奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反． （2）、，在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 （3）、若奇函数的定义域包括，则． （4）、若函数是偶函数，则． （5）、定义在上的任意函数都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和． （6）、若函数的定义域关于原点对称，则为偶函数，为奇函数，为偶函数． （7）、掌握一些重要类型的奇偶函数： ①函数为偶函数，函数为奇函数． ②函数（且）为奇函数． ③函数（且）为奇函数． ④函数（且）为奇函数． 重难点题型1 求函数的单调性 1.（单调性不能混合乘除）复合函数的单调性①增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数； ②增函数-减函数=增函数，减函数-增函数=减函数； ③如果是增函数，那么是减函数，也是减函数。 2．判断函数单调性的方法： （1）定义法，步骤为：取值，作差，变形，定号，判断．利用此方法证明抽象函数的单调性时，应根据所给抽象关系式的特点，对或进行适当变形，进而比较出与的大小． （2）利用复合函数关系，若两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数，简称“同增异减”． （3）图象法：从左往右看，图象逐渐上升，则单调递增；图象逐渐下降，则单调递减． （4）利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，判断函数的单调性. 3．在利用函数的单调性写出函数的单调区间时，首先应注意函数的单调区间应是函数定义域的子集或真子集，求函数的单调区间必须先确定函数的定义域；其次需掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间． 例1.已知函数的图象如图所示，则该函数的单调递增区间为（    ）    A． B．和 C． D．和 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】求函数的单调区间、函数图象的应用 【分析】根据函数图象直接确定递增区间即可. 【详解】由图象知，该函数的单调递增区间为和， 故选：B． 例2.（25-26高一上·全国·课后作业）（多选题）下列函数在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【难度】0.94 【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性 【详解】显然在上单调递减；因为在上单调递减，所以在上单调递增；又的图象关于直线对称，所以在上单调递减；由知，其图象关于直线对称，所以在上单调递增． 1.函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求函数的单调区间 【详解】作出函数的图象，如图所示．由图象得的单调递增区间为和． 2.（24-25高一下·广西柳州·开学考试）下列函数是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】根据初等函数的单调性判断即可. 【详解】对于A，在上单调递减，故A不符合题意， 对于B，在和上单调递增，在定义域上不是单调递增函数，故B不符合题意， 对于C，在上单调递减，在上单调递增，故C不符合题意， 对于D，在上单调递增，故D符合题意。 故选：D. 重难点题型2 已知单调性求参数 例3.若是函数的单调递增区间，则实数a的值为 . 【答案】0 【难度】0.94 【知识点】根据函数的单调性求参数值、已知二次函数单调区间求参数值或范围 【分析】求出函数的单调递增区间，进而求出值. 【详解】函数的单调递增区间是， 依题意，，所以. 故答案为：0 例4.（24-25高一上·上海长宁·期末）已知函数是上的严格减函数，且在上的函数值不恒为负，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性求参数值 【分析】将变形得到，根据条件，结合反比例函数的性质，即可求解. 【详解】， 所以的图象可由向左平移个单位，再向上或向下平移个单位得到， 又是上的严格减函数，且在上的函数值不恒为负， 所以，解得， 故答案为：. 1.已知函数满足随增大而减小，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性求参数值 【分析】通过，，三种情况讨论即可. 【详解】当，，显然符合， 当时，函数图象为开口向下的抛物线，在单调递增，不符合， 当时，函数图象为开口向上的抛物线，在单调递减，此时需满足 ， 即， 综上实数的取值范围是， 故选：C 2.（24-25高一下·辽宁朝阳·月考）已知函数，在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】根据函数的单调性求参数值、根据分段函数的单调性求参数 【分析】根据题意，由函数在上单调递增，列出不等式，代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可得，，解得，即， 所以实数的取值范围为. 故选：A 重难点题型3 判断函数的奇偶性 1.（奇偶性不能混合加减）复合函数的单调性①奇函数+奇函数=奇函数，偶函数+偶函数=偶函数； ②奇函数奇函数=偶函数，奇函数偶函数=奇函数，偶函数偶函数=偶函数； 2.判断函数奇偶性的常用方法及思路： （1）定义法： （2）图象法： （3）性质法：利用奇函数和偶函数的和、差、积、商的奇偶性和复合函数的奇偶性来判断. 注意：①分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x的范围相应地化简解析式，判断与的关系，得出结论，也可以利用图象作判断． ②性质法中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的． ③性质法在选择题和填空题中可直接运用，但在解答题中应给出性质推导的过程. 例5.（24-25高二下·浙江·期中）下列函数中既是偶函数，又在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断 【分析】根据解析式的形式，直接判断函数的性质. 【详解】AB的两个函数都是奇函数，故不正确； C.，所以在区间单调递减，故不正确； D.是偶函数，且在区间单调递增，故正确. 故选：D 例6.（24-25高一下·河北保定·期中）（多选题）下列函数中为奇函数且在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】根据基本初等函数的单调性和奇偶性，判断各选项正误. 【详解】正比例函数是奇函数，在上单调递减，A错误. 反比例函数是奇函数，在上单调递增，B正确. 分段函数，，是奇函数，当时，单调递增，C正确. 对钩函数是奇函数，在上单调递减，D错误. 故选：BC. 1.（24-25高一上·云南大理·期末）下列函数中，是偶函数的是（    ） A．（） B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的定义与判断 【分析】根据偶函数的定义，逐项分析即可得解. 【详解】对于A选项，()定义域不关于原点对称，故A错误； 对于B选项，，所以不是偶函数，故B错误； 对于C选项，函数定义域为R，且，所以是偶函数，故C正确； 对于D选项，，所以不是偶函数，故D错误. 故选：C. 2.（24-25高一上·新疆喀什·期末）（多选题）下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】对选项中的函数定义域以及奇偶性、单调性逐一判断即可得出结论. 【详解】对于A，易知其定义域为，满足奇函数定义，且为增函数，即A正确； 对于B，易知其定义域为，满足偶函数定义，不符合题意，B错误； 对于C，易知其定义域为，关于原点对称， 但它在和上单调递减，C错误； 对于D，显然的定义域为，且满足，为奇函数， 当时，在上单调递增， 由奇函数性质可知函数在定义域内单调递增，即D正确. 故选：AD 重难点题型4 已知奇偶性求参数 例7.已知定义域为的奇函数，则的值为 ． 【答案】0 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的应用、由奇偶性求参数、求函数值 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，且，解得且．所以． 例8.（24-25高一上·河南漯河·期末）已知是定义在上的偶函数，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】由奇偶性求参数 【分析】利用偶函数的定义域关于原点对称可求得的值，由偶函数的定义可得，可求的值，进而可求得结论. 【详解】因为是定义在上的偶函数， 所以，解得，所以定义域为 又，所以，所以， 又，所以，所以. 故选：D. 1.（24-25高一上·云南昭通·期末）已知定义在上的奇函数，则 . 【答案】2 【难度】0.85 【知识点】由奇偶性求参数 【分析】根据奇函数求m的值，并代入检验即可. 【详解】由题意，解得，即， 且，是奇函数，所以符合题意. 故答案为：2. 2.（24-25高一下·安徽·开学考试）已知是奇函数，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C． D．1或2 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求参数 【分析】由奇函数的定义构造等式求解即可； 【详解】易知的定义域为， 由奇函数的定义可知，， 则， 整理得恒成立， 所以，解得. 故选：A 重难点题型5 由奇偶性，求函数解析式 例9.（24-25高一上·陕西西安·月考）已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由奇偶性求函数解析式、函数奇偶性的应用、判断两个函数是否相等 【分析】利用函数奇偶性求对称区域解析式，再利用绝对值的意义，把分段函数又写成含绝对值的函数即可. 【详解】当时，，即有， 再由是定义在上的奇函数，所以， 即有， 所以当时，， 当时，， 综上可得：， 故选：C. 例10.（24-25高一上·江苏无锡·周考）定义在R上的奇函数，当时，，那么时，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】由奇偶性求函数解析式 【分析】根据函数奇偶性以及时的解析式即可求得时的解析式. 【详解】当时，， 可得， 又因为为奇函数，所以，可得， 即时，. 故选：A 例11.（24-25高一下·江西宜春·月考）已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)求函数的解析式； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求函数解析式、根据函数的单调性解不等式 【分析】（1）利用奇函数的性质求时的对应解析式，即可得； （2）根据函数的定义域及单调性得，即可求参数范围. 【详解】（1）函数是定义在上的奇函数，当时，， 任取，则，所以， 因为函数是定义在上的奇函数， 所以，， 综上，； （2）当时，，所以在上单调递增； 因为函数是定义在上的奇函数，所以函数在上单调递增， 所以可化为： 即，解得：，即实数的取值范围是. 1.（24-25高一下·河北保定·周考）若函数为奇函数，且当时，，则当时，的解析式为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由奇偶性求函数解析式 【分析】由奇函数的性质求解即可. 【详解】因为为奇函数，且当时，， 所以当时，时， 所以，即， 所以. 故答案为： 2.（24-25高一上·北京·期中）偶函数在上满足，则当时， ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由奇偶性求函数解析式 【分析】利用偶函数的定义求出函数解析式. 【详解】偶函数在上满足， 当时，，所以. 故答案为： 3．（24-25高一上·云南德宏·期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)当时，求的解析式； (2)判断在上的单调性，并用定义证明. 【答案】(1) (2)单调递增，证明见解析 【难度】0.65 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、由奇偶性求函数解析式 【分析】（1）令，则，再根据已知结合函数的奇偶性即可得解； （2）根据单调性的定义即可求解. 【详解】（1）当时，则， 又因为为奇函数，则， 所以当时，； （2）函数在单调递增， 证明如下：当时，， 对任意的且， ， 因为且，则， 所以，即， 所以函数在单调递增. 重难点题型6 由奇偶性，求函数值 例12.（24-25高一上·甘肃兰州·期末）已知函数是奇函数，当时，，那么的值是（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】由奇偶性求函数解析式 【分析】根据奇函数的性质即可求解. 【详解】因为函数为奇函数，当时，, 则. 故选：B. 例13.（23-24高一上·江苏淮安·周考）设是定义在上的奇函数，当时，，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】由奇偶性求函数解析式、函数奇偶性的应用 【分析】根据奇函数的定义可得，求出即可. 【详解】因为是定义在上的奇函数，且当时，， 所以. 故选：D 1.（24-25高一上·江苏盐城·期中）若奇函数和偶函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求函数解析式 【分析】利用奇函数和偶函数的性质可得出关于、的方程组，解出这两个函数的解析式，代值计算可得出的值. 【详解】因为奇函数和偶函数满足， 则， 即，解得， 因此，. 故选：C. 2.（24-25高一上·广东广州·期中）函数是定义在上的奇函数，当时，，则 ，当时 ． 【答案】 12 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的应用、由奇偶性求函数解析式 【分析】根据奇函数的定义求解． 【详解】由已知， 时，， 故答案为：12；． 重难点题型7 由单调性与奇偶性，解不等式 例14.（24-25高一下·上海·期中）已知定义域为的偶函数在上为严格减函数，则不等式的解集为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】根据条件，利用偶函数的性质，得到，即可求解. 【详解】因为是定义域为的偶函数，且在上为严格减函数， 由，得到，整理得到，解得， 故答案为：. 例15.（24-25高一下·湖南永州·开学考试）定义在上的偶函数满足：在上单调递减，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、由函数奇偶性解不等式、根据函数的单调性解不等式 【分析】根据给定条件，利用偶函数的性质及单调性脱去法则“f”求解不等式. 【详解】由是定义在上的偶函数，得， 又在上单调递减，因此，整理得，解得， 所以满足不等式的的取值范围是. 故选：C 例16.（23-24高一上·北京·期末）已知，. (1)当时，判断函数的单调性，并写出函数的单调区间； (2)当时，判断函数在区间上的单调性，并用单调性定义进行证明； (3)当时，求函数在区间上的最小值. 【答案】(1)判断见解析，减区间是，增区间是； (2)单调递增，证明见解析； (3). 【难度】0.65 【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性、奇偶函数对称性的应用、利用函数单调性求最值或值域、定义法判断或证明函数的单调性 【分析】（1）利用对勾函数单调性判断单调性，再写出单调区间. （2）先由函数式组成判断函数的单调性，再运用函数单调性定义进行证明. （3）根据给定区间及双勾函数的图象进行分类讨论，再进行合并表述即得. 【详解】（1）当时，函数定义域为， ，函数是奇函数， 由对勾函数知，函数在上单调递减，在上单调递增， 由奇函数的性质知，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递减区间是；递增区间是. （2）当时，在上单调递增. 任取，有， 由，得，，则，即， 所以函数在区间上单调递增. （3）由（1）知，当时，函数在上单调递减，在上单调递增， ①当，即时，在上单调递增，则； ②当，即时，在上单调递减，则； ③当，即时，， 所以. 1.（24-25高一上·湖南·期中）已知函数，若不等式成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、函数奇偶性的定义与判断、由函数奇偶性解不等式、根据函数的单调性解不等式 【分析】构造函数，利用的奇偶性与单调性求解即可. 【详解】设，定义域为， 则，故是奇函数． 不等式等价于不等式， 即不等式． 因为是奇函数，所以． 因为均是上的减函数，所以是上的减函数， 则，即，解得． 则的取值范围是. 故答案为：. 2.（2025·河南·三模）已知为定义在上的奇函数，若在上单调递减，则满足不等式的实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式、函数奇偶性的应用 【分析】根据奇函数的性质得在上单调递减，再根据奇函数性质将化为，结合定义域利用单调性得，解不等式组即可解答. 【详解】因为是奇函数，则可化为． 又在上单调递减且是定义在上的奇函数，所以在上单调递减． 则，解得或， 即实数a的取值范围是． 故选：C 3．（24-25高一上·天津红桥·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，． (1)已知函数的部分图象如图所示，请根据条件将图象补充完整，并写出函数的单调递增区间； (2)写出函数的解析式； (3)若关于的方程有4个不相等的实数根，求实数的取值范围；（只需写出结论） (4)求函数在时的值域． 【答案】(1)图象见解析， (2) (3) (4)答案见解析 【难度】0.65 【知识点】奇偶函数对称性的应用、函数图象的应用、求二次函数的值域或最值、由奇偶性求函数解析式 【分析】（1）根据偶函数的图象关于轴对称，可得函数的完整图象，再根据函数图象写出函数的单调增区间. （2）根据偶函数的性质，求函数解析式. （3）结合图象，可得方程有4个不相等的实数根时，实数的取值范围. （4）分类讨论，弄清函数在上的单调性，求函数值域. 【详解】（1）函数的图象如图： 单调递增区间为 （2）因为是定义在上的偶函数，所以. 设，则 ，所以 所以当 时，. 的解析式为   . （3）关于的方程有个不相等的实数根，等价于与的图象有个交点     结合图象可知，当时，与的图象有个交点 所以. （4）当时，在单调递减，而，最小值为 ∴的值域为   当时，在单调上递减，在上单调递增 所以最小值为1，<=0 ∴的值域为 当时，在单调上递减，在上单调递增 所以最小值为1，最大值为 ∴的值域为 综上可得的值域为： 当时，值域为； 当，值域为 当时，值域为. 重难点题型8 由单调性与奇偶性，比较大小 例17.下列函数是上的偶函数，且在上单调递减，则下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、比较函数值的大小关系 【分析】根据函数在上单调递减，将各函数值转化到定义在上的函数值， 由偶函数的定义可得，即可由单调性比较得出． 【详解】因为是上的偶函数，所以，而在上单调递减，所以 ． 故选：A． 【点睛】本题主要考查函数奇偶性和单调性的综合应用，属于基础题． 例18.（24-25高一上·北京·期中）若偶函数在上是增函数，则以下结论正确的是（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的应用、比较函数值的大小关系 【分析】利用偶函数判断在上的单调性，进而直接利用单调性判断大小即可. 【详解】若偶函数在上是增函数, 则在上是减函数， 又，且 ，即 故选：D 1.（23-24高一上·山西吕梁·期末）已知函数的图象的对称轴为直线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】二次函数的图象分析与判断、比较函数值的大小关系 【解析】根据二次函数的图像的开口向上，对称轴为，可得，且函数在上递增，再根据函数的对称性以及单调性即可求解. 【详解】二次函数的图像的开口向上，对称轴为， 且函数在上递增， 根据二次函数的对称性可知， 又，所以， 故选：A 【点睛】本题考查了二次函数的单调性以及对称性比较函数值的大小，属于基础题. 2.设函数定义在实数集上，，且当时，，则有（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】比较函数值的大小关系、函数对称性的应用、判断指数函数的单调性 【详解】由，得函数关于对称， 当时，，为减函数，则当时，函数为增函数， ∵，∴， 即，故选． 重难点题型9 抽象函数的单调性与奇偶性 例19.（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）已知函数对于任意实数，都有，且. (1)求的值； (2)令，求证:函数为奇函数； (3)求的值. 【答案】(1) (2)证明见解析； (3). 【难度】0.65 【知识点】抽象函数的奇偶性、函数奇偶性的应用、函数奇偶性的定义与判断、求函数值 【分析】（1）应用赋值法即可； （2）应用奇函数的定义即可判断； （3）结合（2）转化为求，即可求解. 【详解】（1）当时，，则； （2）当时，，则； 设，则，则， 则，即， 即函数为奇函数. （3）由（2）知，为奇函数，则 . 1.（24-25高一上·河南·月考）已知定义域为R的函数满足，，当时，． (1)用定义法证明：在定义域内单调递增； (2)记函数，判断的奇偶性，并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2)是奇函数，证明见解析 【难度】0.65 【知识点】抽象函数的奇偶性、定义法判断或证明函数的单调性 【分析】（1）根据题意，由函数单调性的定义法代入计算，即可证明； （2）根据题意，由函数奇偶性的定义代入计算，即可证明. 【详解】（1）设，则， 因为，所以，故，而， 故，所以是单调递增函数． （2）是奇函数． 证明如下：由， 所以， 由，令， 则，再令，解得， 所以， 所以 ， 故是奇函数． 1．（24-25高一上·广东广州·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求函数的单调区间、复合函数的单调性、具体函数的定义域 【分析】现根据解析式有意义的条件求的定义域，然后在定义域内，利用复合函数的单调性法则求得结果. 【详解】要使函数有意义，则， 即，解得或， 函数定义域为. 令，则，在上单调递减， 对称轴为，开口向上， 在上单调递减，在上单调递增， 根据复合函数“同增异减”原则，可知的单调递减区间是. 故选：D. 2．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知，对都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】根据函数的单调性求参数值 【分析】由变形得，构造函数,进而根据二次函数的单调性求参数. 【详解】由，得，则， 设函数，则对都有成立， 所以函数在区间上单调递增， 所以，解得，则. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是将变形为，从而构造函数. 3．（24-25高一上·河南漯河·周考）已知是R上的增函数，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据分段函数的单调性求参数、根据函数的单调性求参数值 【分析】分段函数在R上单调递增，需满足在每一段上单调递增，且分段处左端点函数值小于等于右端点函数值，从而得到不等式，求出答案. 【详解】在上单调递增， 要想是R上的增函数，需满足， 解得， 故的取值范围为. 故选：C 4．（24-25高一上·江苏南通·周考）设函数在区间上具有单调性，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】已知二次函数单调区间求参数值或范围、根据函数的单调性求参数值 【分析】在本题中先求出函数的对称轴，再根据函数在区间上具有单调性，分类讨论，确定对称轴与区间的位置关系来求解的取值范围. 【详解】对于函数，可得对称轴为. 因为函数在区间上具有单调性，所以对称轴不在区间内. 当时，即，函数在区间上单调递增. 当时，即，函数在区间上单调递减. 所以的取值范围是或. 故选：D. 5．（24-25高一下·山西大同·周考）下列函数中是奇函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】函数奇偶性的定义与判断 【分析】利用函数的奇偶性的定义依次判断即可. 【详解】对A，函数定义域为，关于原点对称，，不满足，故A不符合题意； 对B，函数定义域为，关于原点对称，，不满足，故B不符合题意； 对C，函数定义域为，关于原点对称，，满足，故C符合题意； 对D，函数定义域为，关于原点对称，，不满足，故D不符合题意. 故选：C. 6．（24-25高一下·云南昭通·月考）已知函数是定义在上的偶函数，那么的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、由奇偶性求参数 【分析】利用函数的奇偶性求出的值，再根据函数单调性求最值即可. 【详解】是定义在上的偶函数， ，. 又，，. 所以，，. 故选：C. 7．（24-25高一下·云南昭通·期中）已知函数是定义在上的奇函数，对任意，且，都有，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由函数奇偶性解不等式、根据函数的单调性解不等式 【分析】对任意，且，都有，可知在上单调递减，然后由函数的奇偶性求解不等式即可. 【详解】由，且，都有， 则在上单调递减． 又函数是定义在上的奇函数， 则在上单调递减，由，则，且， 故或时，或时，， 所以的解集为， 故选：D． 8．设，已知函数的定义域是且为奇函数且在的减函数，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性解不等式、函数奇偶性的应用、函数基本性质的综合应用 【分析】分析函数在上的单调性，根据函数的定义域与单调性可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】因为函数的定义域是且为奇函数，且函数在上单调递减， 故函数在上单调递减，故函数在上为减函数， 由可得，解得. 故选：C. 9．（24-25高二下·天津·月考）（多选题）下列函数中，在定义域内既是奇函数又是减函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】根据题意，结合基本初等函数的性质，以及函数的奇偶性的判定方法，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，函数为非奇非偶函数，所以A不符合题意； 对于B中，函数在上为单调递减函数， 当在定义域内不是单调递减函数，所以B不符合题意； 对于C中，函数的定义域为，关于原点对称， 且满足，所以函数为奇函数， 又由函数在定义域上为单调递减函数，所以C符合题意； 对于D中，由函数，其图象如图所示， 函数的图象关于原点对称，且在定义域上为单调递减函数，所以D符合题意. 故选：CD.    10．（24-25高三上·北京·月考）函数的单调递增区间是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】分段函数的单调性 【分析】由分段函数的性质结合二次函数的性质可得. 【详解】， 由二次函数的性质可得当时，单调递增区间是； 当时，单调递增区间是， 所以函数的单调递增区间是. 故答案为：. 11．（24-25高一下·河北保定·期中）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性求参数值、根据分段函数的单调性求参数 【分析】考虑各段函数的单调性以及分段点处的函数值大小关系，由此可求结果. 【详解】因为是上的减函数，所以， 解得， 所以的取值范围是， 故答案为：. 12．（24-25高一上·上海·期末）已知，关于的函数在区间上是严格减函数，且在该区间函数值不恒为负，则实数 . 【答案】或0 【难度】0.65 【知识点】根据函数的最值求参数、根据函数的单调性求参数值 【分析】先进行分离变形，然后结合反比例函数的单调性即可求解. 【详解】由已知，， 又函数在区间上是严格减函数，且函数值不恒为负， 所以，解得，又因为，所以或0. 故答案为：或0. 13．（24-25高一上·上海长宁·期末）若函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】根据函数的单调性求参数值 【分析】将命题转化为关于的不等式组，即可得到答案. 【详解】命题等价于和同时成立. 分别解不等式，得到，，从而的取值范围是. 故答案为：. 14．已知定义域为的奇函数，则的值为 ． 【答案】0 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的应用、由奇偶性求参数 【详解】因为奇函数的定义域为，所以，解得，又因为，所以，所以，所以． 15．（24-25高一上·北京石景山·期末）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时， ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】由奇偶性求函数解析式 【分析】根据奇函数的定义求解即可. 【详解】令，则，因为是定义在上的奇函数， 所以. 故答案为：. 16．（23-24高一上·广东惠州·期中）已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求函数解析式、函数奇偶性的应用 【分析】根据给定条件，利用奇函数的定义求出函数值. 【详解】依题意，. 故答案为： 17．（24-25高一上·广东广州·期中）已知，分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则 ． 【答案】5 【难度】0.85 【知识点】由奇偶性求函数解析式、函数奇偶性的应用、求函数值 【分析】应用函数奇偶性，建立方程组求出，的解析式，再求即可. 【详解】解：因为，分别是定义在上的奇函数和偶函数， 所以，即， 解之得，所以. 故答案为：5 18．已知函数，若存在，使得有解，则实数x的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数不等式能成立（有解）问题、由函数奇偶性解不等式 【详解】设，则，故为奇函数，由得，即.当时，，由在上单调递增，在上单调递增，则在上单调递增，又为奇函数，所以在上单调递增.故由得，即，由题意，存在使得有解，当时，，不符合题意；当，即时，，解得或，故；当，即时，，解得或，故.综上可得，实数x的取值范围是. 19．（24-25高一上·四川内江·期末）已函数为定义在上的偶函数，当时，． (1)求函数的解析式． (2)求函数的单调区间，并说明理由． 【答案】(1) (2)增区间，减区间，理由见解析 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、由奇偶性求函数解析式、定义法判断或证明函数的单调性 【分析】（1）根据函数的奇偶性求函数的解析式. （2）先用单调性的定义证明函数在上的单调性，再结合偶函数的性质，可得函数在上的单调性. 【详解】（1）设，则，所以， 又因为函数为偶函数，所以，所以，. 所以. （2）设， 则， 因为，所以，，所以. 即. 所以函数在上单调递增. 又函数为偶函数，其图象关于轴对称，所以函数在上单调递减. 20．（21-22高一上·天津南开·期中）已知函数是定义在R上的偶函数，且当≤0时，． (1)求出当时，的解析式； (2)如图所示，请补出函数的完整图象； (3)根据图象直接写出函数的单调增区间及值域． 【答案】(1)时的解析式； (2)图象见解析； (3)单调增区间为：和，值域为：，． 【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求函数解析式、根据图像判断函数单调性、求二次函数的值域或最值、奇偶函数对称性的应用 【分析】（1）根据奇偶性求出时的解析式； （2）根据偶函数的图象关于轴对称，补出函数的完整图象； （3）结合二次函数的图象写出函数的单调增区间及值域． 【详解】（1）解：由题意设，则， 所以， 因为为上的偶函数，所以， 所以时的解析式． （2）解：由题意做出函数图象如下： （3）解：据图可知，单调增区间为：和；值域为：，． 21．（24-25高一上·辽宁丹东·期中）定义域为的函数满足. (1)求证：； (2)求证：为偶函数； (3)当时，，求证：在上单调递增，在上单调递减. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】求函数值、抽象函数的奇偶性、定义法判断或证明函数的单调性 【分析】（1）取计算出，再取即可； （2）取，再取计算出即可； （3）利用定义法证明函数在上的单调性，再结合函数奇偶性得出函数在上的单调性. 【详解】（1）取代入，得， 取代入， 得，故. （2）取代入，得， 取代入，所以， 所以，因为当时，，所以为偶函数. （3）设，则，由题设. 所以在上单调递增. 因为为偶函数，所以，而，所以在上单调递减. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 函数的单调性与奇偶性 目录 一、知悉思维导图 2 二、落实主干知识 2 知识点1、函数的单调性 2 知识点2、函数单调性的常用结论 3 知识点3、函数的奇偶性 3 知识点4、函数奇偶性的常用结论 4 三、探究重点难点 5 重难点题型1 求函数的单调性 5 重难点题型2 已知单调性求参数 6 重难点题型3 判断函数的奇偶性 7 重难点题型4 已知奇偶性求参数 8 重难点题型5 由奇偶性，求函数的解析式 9 重难点题型6 由奇偶性，求函数值 10 重难点题型7 由单调性与奇偶性，解不等式 11 重难点题型8 由单调性与奇偶性，比较大小 13 重难点题型9 抽象函数的单调性与奇偶性 14 四、突破热点题型 15 知识点1、函数的单调性 (1)、单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)、严格单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 知识点2、函数单调性的常用结论 （1）、若均为区间A上的增(减)函数，则也是区间A上的增(减)函数； （2）、若，则与的单调性相同；若，则与的单调性相反； （3）、函数在公共定义域内与，的单调性相反； （4）、函数在公共定义域内与的单调性相同； （5）、奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反； （6）、一些重要函数的单调性： ①的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减； ②（，）的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减． 知识点3、函数的奇偶性 （1）．函数奇偶性的定义及图象特点 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数 图象关于轴对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是奇函数 图象关于原点对称 判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果或，则函数为偶函数；如果或，则函数为奇函数． 注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x，也在定义域内（即定义域关于原点对称）． 知识点4、函数奇偶性的常用结论 （1）、奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反． （2）、，在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 （3）、若奇函数的定义域包括，则． （4）、若函数是偶函数，则． （5）、定义在上的任意函数都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和． （6）、若函数的定义域关于原点对称，则为偶函数，为奇函数，为偶函数． （7）、掌握一些重要类型的奇偶函数： ①函数为偶函数，函数为奇函数． ②函数（且）为奇函数． ③函数（且）为奇函数． ④函数（且）为奇函数． 重难点题型1 求函数的单调性 1.（单调性不能混合乘除）复合函数的单调性①增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数； ②增函数-减函数=增函数，减函数-增函数=减函数； ③如果是增函数，那么是减函数，也是减函数。 2．判断函数单调性的方法： （1）定义法，步骤为：取值，作差，变形，定号，判断．利用此方法证明抽象函数的单调性时，应根据所给抽象关系式的特点，对或进行适当变形，进而比较出与的大小． （2）利用复合函数关系，若两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数，简称“同增异减”． （3）图象法：从左往右看，图象逐渐上升，则单调递增；图象逐渐下降，则单调递减． （4）利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，判断函数的单调性. 3．在利用函数的单调性写出函数的单调区间时，首先应注意函数的单调区间应是函数定义域的子集或真子集，求函数的单调区间必须先确定函数的定义域；其次需掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间． 例1.已知函数的图象如图所示，则该函数的单调递增区间为（    ）    A． B．和 C． D．和 例2.（25-26高一上·全国·课后作业）（多选题）下列函数在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 1.函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 2.（24-25高一下·广西柳州·开学考试）下列函数是增函数的是（    ） A． B． C． D． 重难点题型2 已知单调性求参数 例3.若是函数的单调递增区间，则实数a的值为 . 例4.（24-25高一上·上海长宁·期末）已知函数是上的严格减函数，且在上的函数值不恒为负，则实数的取值范围为 ． 1.已知函数满足随增大而减小，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2.（24-25高一下·辽宁朝阳·月考）已知函数，在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 重难点题型3 判断函数的奇偶性 1.（奇偶性不能混合加减）复合函数的单调性①奇函数+奇函数=奇函数，偶函数+偶函数=偶函数； ②奇函数奇函数=偶函数，奇函数偶函数=奇函数，偶函数偶函数=偶函数； 2.判断函数奇偶性的常用方法及思路： （1）定义法： （2）图象法： （3）性质法：利用奇函数和偶函数的和、差、积、商的奇偶性和复合函数的奇偶性来判断. 注意：①分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x的范围相应地化简解析式，判断与的关系，得出结论，也可以利用图象作判断． ②性质法中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的． ③性质法在选择题和填空题中可直接运用，但在解答题中应给出性质推导的过程. 例5.（24-25高二下·浙江·期中）下列函数中既是偶函数，又在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 例6.（24-25高一下·河北保定·期中）（多选题）下列函数中为奇函数且在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 1.（24-25高一上·云南大理·期末）下列函数中，是偶函数的是（    ） A．（） B． C． D． 2.（24-25高一上·新疆喀什·期末）（多选题）下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 重难点题型4 已知奇偶性求参数 例7.已知定义域为的奇函数，则的值为 ． 例8.（24-25高一上·河南漯河·期末）已知是定义在上的偶函数，那么的值是（    ） A． B． C． D． 1.（24-25高一上·云南昭通·期末）已知定义在上的奇函数，则 . 2.（24-25高一下·安徽·开学考试）已知是奇函数，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C． D．1或2 重难点题型5 由奇偶性，求函数解析式 例9.（24-25高一上·陕西西安·月考）已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的表达式为（    ） A． B． C． D． 例10.（24-25高一上·江苏无锡·周考）定义在R上的奇函数，当时，，那么时，（    ） A． B． C． D． 例11.（24-25高一下·江西宜春·月考）已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)求函数的解析式； (2)若，求实数的取值范围. 1.（24-25高一下·河北保定·周考）若函数为奇函数，且当时，，则当时，的解析式为 . 2.（24-25高一上·北京·期中）偶函数在上满足，则当时， ． 3．（24-25高一上·云南德宏·期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)当时，求的解析式； (2)判断在上的单调性，并用定义证明. 重难点题型6 由奇偶性，求函数值 例12.（24-25高一上·甘肃兰州·期末）已知函数是奇函数，当时，，那么的值是（   ） A． B． C．1 D．3 例13.（23-24高一上·江苏淮安·周考）设是定义在上的奇函数，当时，，则（    ） A． B．1 C． D． 1.（24-25高一上·江苏盐城·期中）若奇函数和偶函数满足，则（    ） A． B． C． D． 2.（24-25高一上·广东广州·期中）函数是定义在上的奇函数，当时，，则 ，当时 ． 重难点题型7 由单调性与奇偶性，解不等式 例14.（24-25高一下·上海·期中）已知定义域为的偶函数在上为严格减函数，则不等式的解集为 ． 例15.（24-25高一下·湖南永州·开学考试）定义在上的偶函数满足：在上单调递减，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例16.（23-24高一上·北京·期末）已知，. (1)当时，判断函数的单调性，并写出函数的单调区间； (2)当时，判断函数在区间上的单调性，并用单调性定义进行证明； (3)当时，求函数在区间上的最小值. 1.（24-25高一上·湖南·期中）已知函数，若不等式成立，则的取值范围是 ． 2.（2025·河南·三模）已知为定义在上的奇函数，若在上单调递减，则满足不等式的实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·天津红桥·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，． (1)已知函数的部分图象如图所示，请根据条件将图象补充完整，并写出函数的单调递增区间； (2)写出函数的解析式； (3)若关于的方程有4个不相等的实数根，求实数的取值范围；（只需写出结论） (4)求函数在时的值域． 重难点题型8 由单调性与奇偶性，比较大小 例17.下列函数是上的偶函数，且在上单调递减，则下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 例18.（24-25高一上·北京·期中）若偶函数在上是增函数，则以下结论正确的是（    ） A．B．C．D． 1.（23-24高一上·山西吕梁·期末）已知函数的图象的对称轴为直线，则（    ） A． B． C． D． 2.设函数定义在实数集上，，且当时，，则有（    ）． A． B． C． D． 重难点题型9 抽象函数的单调性与奇偶性 例19.（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）已知函数对于任意实数，都有，且. (1)求的值； (2)令，求证:函数为奇函数； (3)求的值. 1.（24-25高一上·河南·月考）已知定义域为R的函数满足，，当时，． (1)用定义法证明：在定义域内单调递增； (2)记函数，判断的奇偶性，并证明你的结论． 1．（24-25高一上·广东广州·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知，对都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·河南漯河·周考）已知是R上的增函数，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·江苏南通·周考）设函数在区间上具有单调性，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·山西大同·周考）下列函数中是奇函数的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·云南昭通·月考）已知函数是定义在上的偶函数，那么的最大值是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·云南昭通·期中）已知函数是定义在上的奇函数，对任意，且，都有，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 8．设，已知函数的定义域是且为奇函数且在的减函数，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高二下·天津·月考）（多选题）下列函数中，在定义域内既是奇函数又是减函数的是（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高三上·北京·月考）函数的单调递增区间是 ． 11．（24-25高一下·河北保定·期中）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为 . 12．（24-25高一上·上海·期末）已知，关于的函数在区间上是严格减函数，且在该区间函数值不恒为负，则实数 . 13．（24-25高一上·上海长宁·期末）若函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围是 ． 14．已知定义域为的奇函数，则的值为 ． 15．（24-25高一上·北京石景山·期末）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时， ． 16．（23-24高一上·广东惠州·期中）已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则 . 17．（24-25高一上·广东广州·期中）已知，分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则 ． 18．已知函数，若存在，使得有解，则实数x的取值范围是 . 19．（24-25高一上·四川内江·期末）已函数为定义在上的偶函数，当时，． (1)求函数的解析式． (2)求函数的单调区间，并说明理由． 20．（21-22高一上·天津南开·期中）已知函数是定义在R上的偶函数，且当≤0时，． (1)求出当时，的解析式； (2)如图所示，请补出函数的完整图象； (3)根据图象直接写出函数的单调增区间及值域． 21．（24-25高一上·辽宁丹东·期中）定义域为的函数满足. (1)求证：； (2)求证：为偶函数； (3)当时，，求证：在上单调递增，在上单调递减. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$