精品解析：江西省鹰潭市余江区第一中学2024-2025学年高一下学期6月期末考试数学试题

2024级高一年级下学期期末考试 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：北师大版必修第二册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 已知复数，则（ ） A. 的虚部为 B. C. D. 2. （ ） A. B. C. D. 3. 在平行四边形中，为的中点，点在上，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，为两个不同的平面，，为两条不同的直线，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，为异面直线，，，则 5. 在中，内角、、所对的边分别为、、，，，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在区间上至少有3个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 某中学开展劳动实习，学习制作模具加工，现将一个圆台加工成一个球体．已知圆台的上、下底面的半径之和为6，母线长为8，且母线与底面所成的角为，则得到的球的表面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知是定义域为的奇函数，当时，，若，则零点的个数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知角和的终边关于轴对称，则（ ） A. B. C. D. 10. 若是复数，则下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则或 11. 如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点（含端点），则下列结论正确的有（ ） A. 过，，三点的平面截正方体所得的截面的面积为 B. 存点，使得直线平面 C. 当在线段上运动时，三棱锥体积不变 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 用斜二测画法作出水平放置的正方形的直观图如图所示，则正方形与直观图的周长之比__________. 13. 已知角的终边上有一点，则______． 14. 费马点是在三角形中到三个顶点距离之和最小的点，具体位置取决于三角形的形状，如果三角形的三个内角均小于，费马点是三角形内部对三边张角均为的点；如果三角形有一个内角大于或等于，费马点就是该内角所在的顶点.已知中，角所对的边分别为，为费马点.若，则的值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量． （1）若，求实数的值； （2）若与垂直，求实数值． 16. 已知，且均为锐角． （1）求的值； （2）求的值． 17. 已知函数，且. （1）求的解析式； （2）将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上每个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到函数的图象.当时，求不等式的解集. 18. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角A的大小； （2）若，，点D是边BC上的一点，且．求AD的长； （3）若是锐角三角形，，点E为AB中点，求CE的取值范围． 19. 如图，在三棱柱中，底面是边长为3的等边三角形，，． （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值； （3）若点是棱上的动点（包括端点），求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024级高一年级下学期期末考试 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：北师大版必修第二册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则（ ） A. 的虚部为 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知可得的虚部，即可判断；由复数模的运算即可判断；由共轭复数的定义即可判断；虚部不为0的复数不能比较大小，即可判断. 【详解】由已知可得的虚部为，故错误； ，故错误； ，故正确； 虚部不为0的复数不能比较大小，故错误. 故选：C. 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】用诱导公式化简然后用两角和的正弦公式合并，然后由特殊角的三角函数求其值，即可解答. 【详解】 . 故选：A. 3. 在平行四边形中，为的中点，点在上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用向量的加法减法及线性关系计算求解. 【详解】因为平行四边形中，为中点，点在上，且， 所以， 则. 故选：B. 4. 已知，为两个不同的平面，，为两条不同的直线，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，为异面直线，，，则 【答案】C 【解析】 【分析】借助正方体中的空间关系，来举反例，判断ABD是错误的，故C正确. 【详解】 在正方体中，由于平面，平面， 但平面与平面不平行，故A错误； 同理，由于平面，平面，且 但平面与平面不平行，故B错误； 同理，由于平面，平面，且与是异面直线， 但平面与平面不平行，故D错误； 对于C，由，得，而，因此，C正确. 故选：C. 5. 在中，内角、、所对的边分别为、、，，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二倍角公式求出的值，再利用正弦定理可求得的值. 【详解】因为为的内角，则， 由二倍角的余弦公式可得，解得， 由正弦定理可得，所以，. 故选：A. 6. 已知函数在区间上至少有3个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知可得，结合条件可得，求解即可. 【详解】因为，所以， 因为函数在区间上至少有3个零点， 所以，解得，所以的取值范围是. 故选：C. 7. 某中学开展劳动实习，学习制作模具加工，现将一个圆台加工成一个球体．已知圆台的上、下底面的半径之和为6，母线长为8，且母线与底面所成的角为，则得到的球的表面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据圆台的结构特征和边角关系求出圆台上下底面的半径，然后求出圆台的高，然后将等腰梯形补成等边三角形求出内切圆半径，即可求出球的表面积的最大值. 【详解】设圆台上、下底面的半径分别为，，则， 易知圆台的轴截面是一个等腰梯形，又母线与底面所成的角为，则等腰梯形的底角为． 由于，即，解得，， 则圆台的高为，将梯形补成边长为10的等边三角形， 所以该等边三角形的内切圆的半径为， 又，所以圆台加工成一个球体的半径最大值为， 所以球的表面积最大值为． 故选：B． 8. 已知是定义域为的奇函数，当时，，若，则零点的个数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性以及对称性可得周期性，即可作出两函数图象，根据图象交点个数即可求解. 【详解】由于是定义域为的奇函数，故，故， 所以，当时，， 又由，可得， 故是周期函数，且周期为4， 当时，，则， 又，所以时， 当时，，则， 又由，得到，所以当时，， 当时，，则， 所以当时，， 故 在同一坐标系中，作出的图象如下, 又当时，，而，故当后，两个函数图象再无交点， 由函数图象可知：的图象有4个不同的交点，故有4个零点， 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知角和的终边关于轴对称，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意，然后根据诱导公式逐项判断即可. 【详解】因为角和的终边关于x轴对称，可得. 对于A，由，A正确； 对于B，由，B错误； 对于C，由，C正确； 对于D，由，D错误. 故选：AC 10. 若是复数，则下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则或 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据复数的乘、除法运算即可判断A；举例说明，结合复数的乘方计算即可判断BCD. 【详解】A：设，由， 得，故A正确； B：当时，满足，但，故B错误； C：当时，满足， 但，故C错误； D：当时，满足，但，故D错误． 故选：BCD． 11. 如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点（含端点），则下列结论正确的有（ ） A. 过，，三点的平面截正方体所得的截面的面积为 B. 存在点，使得直线平面 C. 当在线段上运动时，三棱锥的体积不变 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据正方体的性质，结合线面平行、面面平行的判定定理和性质定理逐项判定可①②③确定ABC的正误，利用展开法和点距离的三角不等式，结合余弦定理计算可求得的最小值，进而判定D. 【详解】对于A， ∵正方体的对面互相平行， ∴过三点的平面截正方体的对面所得截线互相平行， 又∵为线段的中点，∴截面交BC于其中点G， 连接，则四边形即为所求截面，显然为等腰梯形， 且， 梯形的高， 面积为，故A正确； 如图所示，设为的中点， 因为，平面，平面， 所以平面， 假设直线平面， 又因为平面， 所以平面平面， 又因为平面，所以平面， 因为分别为正方形的边的中点，所以， 又因为， 所以， 所以四边形是平行四边形，所以， 而直线与平面相交，所以直线与平面相交， 这与平面矛盾，故假设直线平面不成立，故B错误. ∵，平面，不在平面内， ∴平面， 又∵，∴到平面AD1C的距离为定值，又∵的面积为定值， ∴当在线段上运动时，三棱锥的体积不变，故C正确； 将等腰直角三角形展开到与矩形在同一平面内， ， 当共线时取等号，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 用斜二测画法作出水平放置正方形的直观图如图所示，则正方形与直观图的周长之比__________. 【答案】 【解析】 【分析】设正方体的棱长，再利用画直观图的规则求出直观图的周长即可. 【详解】设正方形的边长为，则正方形的周长为， 直观图中,，则其周长为， 所以正方形与直观图的周长之比为. 故答案为：. 13. 已知角的终边上有一点，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据三角函数的定义结合三角变换公式可求的值. 【详解】由三角函数的定义，知，所以， ． 故答案为： 14. 费马点是在三角形中到三个顶点距离之和最小的点，具体位置取决于三角形的形状，如果三角形的三个内角均小于，费马点是三角形内部对三边张角均为的点；如果三角形有一个内角大于或等于，费马点就是该内角所在的顶点.已知中，角所对的边分别为，为费马点.若，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知求，进而有且费马点在内部，，再应用三角形面积公式列方程得，再由向量数量积的定义求目标式的值. 【详解】由，显然最大角，且， 所以为小于的钝角，且， 所以费马点在内部，且， 所以， 则， 所以， 由. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量． （1）若，求实数的值； （2）若与垂直，求实数的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据向量平行的坐标表示即可列方程求解； （2）根据向量垂直的坐标表示以及数量积的运算律，即可化简求解. 【小问1详解】 由于，若，则满足，解得； 【小问2详解】 与垂直，则， 即， 故， 化简可得，解得或. 16. 已知，且均为锐角． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据同角关系求解的值，即可根据二倍角公式以及和差角公式求解； （2）根据余弦的和差角公式即可求解. 【小问1详解】 均为锐角， ，， 故， 又，， ， ， 故； 【小问2详解】 ， ，， . 17. 已知函数，且. （1）求的解析式； （2）将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上每个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到函数的图象.当时，求不等式的解集. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据特殊值计算结合角的范围求解； （2）先根据平移伸缩得出，再结合二倍角余弦公式化简应用单调性解三角不等式即可. 【小问1详解】 因为，所以，，可得，， 又，所以，所以. 【小问2详解】 将的图象向右平移个单位长度得的图象， 再将图象上每个点的横坐标变为原来的2倍得到的图象，所以，所以原不等式化为. 令，，则，不等式化为， 所以，所以， 所以， 结合函数在上的图象得， 所以，即不等式的解集为. 18. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角A的大小； （2）若，，点D是边BC上的一点，且．求AD的长； （3）若是锐角三角形，，点E为AB的中点，求CE的取值范围． 【答案】（1） （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理求解. （2）由已知求出，再在中由余弦定理列式求出. （3）由已知结合正切函数的性质求出的范围，再用正弦定理求出的范围，进而用含的表达式表示并求出范围. 【小问1详解】 在中，由，得， 由余弦定理得，而， 所以. 【小问2详解】 由（1）得， 由点D是边BC上的一点，且，得， 在中，由余弦定理得， 即，所以. 【小问3详解】 在锐角中，，则，， 由正弦定理得， 在中，点E为AB的中点，， 由余弦定理得， 所以CE的取值范围是. 19. 如图，在三棱柱中，底面是边长为3的等边三角形，，． （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值； （3）若点是棱上的动点（包括端点），求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由勾股定理得到，即可求证； （2）取的中点，证明是二面角的平面角，即可求解； （3）过点作，交的延长线于点，证明点到平面的距离为，直线与平面所成角的正弦值为，分析的最大、最小值，即可求解． 【小问1详解】 证明：在中，，，，所以，所以， 在中，，，，所以，所以， 又，平面，，所以平面． 【小问2详解】 如图，连接，取的中点，连接． 因为平面，平面平面，平面，所以， 因为，，所以， 因为，，是的中点，所以，， 所以是二面角的平面角． 在等边中，，，所以， 在中，因为，，所以， 在平行四边形中，， 所以，， 在中，， 所以， 故二面角的正弦值为． 【小问3详解】 如图，过点作，交延长线于点． 因为，，，，平面，所以平面． 因为平面，所以． 又，，，平面， 所以平面，， 所以． 因为，平面，平面，所以平面． 又因为点在棱上，所以点到平面的距离为， 所以直线与平面所成角的正弦值为， 当时，最短，为， 可得直线与平面所成角的正弦值的最大值为， 当点与重合时，最长，为4， 可得直线与平面所成角的正弦值的最小值为， 故直线与平面所成角的正弦值的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$