第九讲：有理数的乘法法则（暑期预习衔接讲义）（知识总结梳理+5大考点典例精讲+变式训练+高频精炼）-2025-2026学年七年级数学上册（人教版2024）

【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年人教版七年级数学上册 第九讲：有理数的乘法法则 （知识总结梳理+5大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：有理数的乘法运算 有理数的乘法法则： 1.两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. 2.任何数同 0 相乘，都得0. 倒数： (1)a≠0时，a的倒数是 (2)乘积是1的两个数互为倒数 知识点02：多个有理数相乘的积的符号法则 1.几个不是 0 的数相乘， 负因数的个数是偶数时，积为正； 负因数的个数是奇数时，积为负. 简而言之：奇负偶正 2. 乘法交换律：ab＝ba 乘法结合律：(ab)c = a(bc) 分配律：a(b + c) = ab + ac 考点1：两个数的乘法运算 【典型例题】 计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】 若的运算结果为正数，则内的数字可以是（　　） A． B．0 C．3 D．5 【变式训练2】 计算的结果等于（   ） A． B． C． D． 考点2：多个数的乘法运算 【典型例题】 下列式子中，积的符号为负的是（     ） A． B． C． D． 【变式训练1】 下列各式中，运用运算律不正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练2】 下列乘积的结果，符号为正的是（　　） A． B． C． D． 考点3：有理数乘法运算的实际应用 【典型例题】 小海去电影院购买电影票时付款100元找回44元．根据如图表信息，可判断小海看的场次是（    ） 《哪吒之魔童闹海》70元/张 上午场：六折    中午场：五折 下午场：八折    夜场：不打折 A．上午场 B．中午场 C．下午场 D．夜场 【变式训练1】 初一年级于12月举行了班际篮球赛，6支球队进行单循环比赛（每两队之间都比赛一场），总的比赛场数为（   ） A．6 B．15 C．18 D．30 【变式训练2】 规定：水位上升为正，水位下降为负；几天后为正，几天前为负．若水位每天下降，今天的水位记为，那么2天前的水位用算式表示正确的是（   ） A． B． C． D． 考点4：倒数 【典型例题】 若的倒数是，则的相反数是（　　） A．4 B． C． D． 【变式训练1】 的倒数是（   ） A． B． C． D． 考点5：有理数的乘法运算律 【典型例题】 计算时，用（ ）计算比较简便． A．加法结合律 B．乘法分配律 C．乘法交换律 D．乘法结合律 【变式训练1】 用简便方法计算，逆用分配律正确的是（      ） A． B． C． D． 【变式训练2】 下列计算结果最小的是（   ） A． B． C． D． 一、单选题 1．下列结果中，是负数的是（   ） A． B． C． D． 2．2025的倒数是（　　） A．-2025 B．2025 C． D． 3．计算的结果等于（   ） A．10 B． C． D． 4．若，则内的数字是（    ） A． B．2 C．4 D． 5．下列各组数中，互为倒数的是（   ） A．2和 B．3和 C．1和 D．和 6．若的运算结果为正数，则内的数字可以为（　　） A．3 B．2 C．0 D． 7．如果与互为倒数，则的相反数等于（   ）． A． B． C．0 D． 8．若5的倒数是x，则5x的值是（    ） A． B．1 C．0 D． 9．如图是嘉淇对一道题的解题过程，下列说法正确的是（    ） …① …② …③ A．解题运用了加法结合律 B．解题运用了乘法交换律 C．从②步开始出错 D．从③步开始出错 二、填空题 10．计算： ； 11．的倒数是 ． 12． ． 13．已知且，则的值为 ． 14．用“”定义一种新运算：对于有理数a和b，规定，如，则的值是 ． 15．王军同学在自学了电脑编程后，设计了如图所示的程序，若他输入的数是3，则输出的数为 ． 16．用正负数表示气温的变化，上升为正，下降为负.登山队攀登一座山峰，每登高气温的变化量为，登山队员在山脚测得气温是，那么他们登高后，气温是 ． 三、解答题 17．计算． (1)； (2)； (3)； 18．若定义一种新的运算“*”，规定有理数，如．求： (1)； (2)． 19．为巩固脱贫攻坚成果，助力乡村振兴快速发展．我县所略乡推行“发展茶油产业，加快脱贫的步伐”．某种植户新鲜采摘了20筐茶果，以每筐25千克为标准重量，超过或不足千克数分别用正，负数来表示，记录如下： 与标准重量的差值（单位：千克） 0 1 筐数 1 4 2 3 2 8 (1)与标准重量比较，20筐茶果总计超过或不足多少千克？ (2)若该种植户采摘生茶果每千克售价元，则出售这20筐茶果可获得多少元？ 20．出租车往返于A，B两个城市，A市在B市的正北方向，在A，B两城市沿线有若干个村庄．某天出租车从A市出发前往B市，再从B市返回A市，规定向北行驶为正．出租车当天行驶的记录如下（单位：千米）：，，，，，，，． (1)通过计算，说明出租车离A市多远？ (2)在A，B两个城市之间距A市6千米处有一个加油站，该出租车经过加油站________次； (3)若出租车每行驶1千米耗油0.07升，则该出租车一天共耗油多少升？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年人教版七年级数学上册 第九讲：有理数的乘法法则 （知识总结梳理+5大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：有理数的乘法运算 有理数的乘法法则： 1.两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. 2.任何数同 0 相乘，都得0. 倒数： (1)a≠0时，a的倒数是 (2)乘积是1的两个数互为倒数 知识点02：多个有理数相乘的积的符号法则 1.几个不是 0 的数相乘， 负因数的个数是偶数时，积为正； 负因数的个数是奇数时，积为负. 简而言之：奇负偶正 2. 乘法交换律：ab＝ba 乘法结合律：(ab)c = a(bc) 分配律：a(b + c) = ab + ac 考点1：两个数的乘法运算 【典型例题】 计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数乘法，熟练掌握有理数乘法法则是解题的关键，根据有理数的乘法法则计算即可得到答案． 【详解】解：， 故选：D． 【变式训练1】 若的运算结果为正数，则内的数字可以是（　　） A． B．0 C．3 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，大于0的数为正数，先把每个选项代入，再算出的结果，然后与0进行比较，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：A 【变式训练2】 计算的结果等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘法，根据有理数的乘法运算法则计算即可，掌握有理数的乘法运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 考点2：多个数的乘法运算 【典型例题】 下列式子中，积的符号为负的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘法运算，根据有理数乘法的运算法则，积的符号由因数中负号的个数决定，奇负偶正，进行判断即可． 【详解】解：A、有2个负号，积的符号为正，不符合题意； B、有4个负号，积的符号为正，不符合题意； C、积为0，不符合题意； D、有3个负号，积的符号为负，符合题意； 故选D． 【变式训练1】 下列各式中，运用运算律不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算、乘法运算律等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 根据有理数乘法运算、乘法运算律、有理数四则混合运算逐项化简即可． 【详解】解：A．符合乘法交换律，正确，不符合题意； B．符合乘法结合律，正确，不符合题意； C．符合乘法结合律，正确，不符合题意； D．，乘法和加法不能结合，错误，符合题意． 故选：D． 【变式训练2】 下列乘积的结果，符号为正的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，根据同号得正，异号得负，0乘以任何数为0；对各选项分析判断即可求解． 【详解】解：A． 结果为0，故该选项不正确，不符合题意； B． 结果是负数；故该选项不正确，不符合题意； C． 结果是正数，故该选项正确，符合题意；     D． 结果是负数，故该选项不正确，不符合题意；． 故选：C． 考点3：有理数乘法运算的实际应用 【典型例题】 小海去电影院购买电影票时付款100元找回44元．根据如图表信息，可判断小海看的场次是（    ） 《哪吒之魔童闹海》70元/张 上午场：六折    中午场：五折 下午场：八折    夜场：不打折 A．上午场 B．中午场 C．下午场 D．夜场 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数乘法和减法的实际应用，先求出小海所看电影的实际票价，再分别求出四个场次的实际票价即可得到答案． 【详解】解：由题意得，小海所看电影的实际票价为元， 上午场的实际票价为元， 中午场的实际票价为元， 下午场的实际票价为元， 夜场的实际票价为元， ∴可判断小海看的场次是下午场， 故选：C． 【变式训练1】 初一年级于12月举行了班际篮球赛，6支球队进行单循环比赛（每两队之间都比赛一场），总的比赛场数为（   ） A．6 B．15 C．18 D．30 【答案】B 【分析】本题考查了列式计算，理解单循环比赛的特点是解题的关键；根据单循环比赛的特点，进行计算即可得答案． 【详解】解：6支球队举行单循环比赛， 每支球队比赛5场， 每两支球队之间都比赛一场， 总的比赛场数为场； 故选B． 【变式训练2】 规定：水位上升为正，水位下降为负；几天后为正，几天前为负．若水位每天下降，今天的水位记为，那么2天前的水位用算式表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘法，解答本题的关键是明确题意，用相应的正负数表示出来．根据题意可以用相应的正负数表示题目中所求的问题，本题得以解决． 【详解】解：由题意可得，2天前的水位用算式表示是， 故选：D． 考点4：倒数 【典型例题】 若的倒数是，则的相反数是（　　） A．4 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了倒数“乘积为1的两个数互为倒数”、相反数“只有符号不同的两个数互为相反数”，熟记倒数和相反数的定义是解题关键．先根据倒数的定义可得的值，再根据相反数的定义求解即可得． 【详解】解：∵的倒数是，且， ∴， ∴的相反数是4， 故选：A． 【变式训练1】 的倒数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查倒数的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据倒数的定义，即可解答． 【详解】解：的倒数是． 故选C． 考点5：有理数的乘法运算律 【典型例题】 计算时，用（ ）计算比较简便． A．加法结合律 B．乘法分配律 C．乘法交换律 D．乘法结合律 【答案】D 【分析】本题考查有理数的运算与技巧，观察算式中的三个分数，发现第二个分数和第三个分数相乘时，分母和分子可以约分，从而简化计算．此时需要运用乘法结合律，将后两个分数先结合相乘即可． 【详解】解：原式为， 根据乘法结合律，将后两个分数结合：， 约分后得：， 通过改变乘法的结合顺序简化了计算，因此使用乘法结合律最简便， 故选：D． 【变式训练1】 用简便方法计算，逆用分配律正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是乘法的运算律，熟练掌握乘法的运算律是解题的关键． 利用乘法对加法的分配率的逆应用运算即可． 【详解】解： 故选：B． 【变式训练2】 下列计算结果最小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数乘法运算．根据有理数运算法则分别计算并比较大小即可． 【详解】解：A、； B、； C、； D、； ∵， ∴得数最小的是D选项， 故选：D． 一、单选题 1．下列结果中，是负数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了负数的概念，绝对值、相反数及有理数的乘法，掌握这些知识是关键；分别计算各选项的值，判断是否为负数即可． 【详解】解：A. ：负负得正，结果为3，是正数； B. ：先计算绝对值，再取负号，结果为，是负数； C. ：直接相乘，结果为12，是正数； D. ：任何数与0相乘均为0，既不是正数也不是负数； 综上，只有选项B的结果为负数； 故选：B． 2．2025的倒数是（　　） A． B．2025 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是倒数的含义，根据乘积为1的两个数互为倒数作答即可． 【详解】解：2025的倒数是． 故选：C． 3．计算的结果等于（   ） A．10 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的乘法， 根据“两数相乘，异号得负，并把绝对值相乘”计算即可． 【详解】解：原式． 故选：D． 4．若，则内的数字是（    ） A． B．2 C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查的是有理数的乘法运算，根据可得答案. 【详解】解：∵， ∴则内的数字是， 故选：A 5．下列各组数中，互为倒数的是（   ） A．2和 B．3和 C．1和 D．和 【答案】A 【分析】本题考查了倒数的概念，熟练掌握乘积为1的两数互为倒数，是解题的关键． 根据倒数的定义分别进行解答，即可得出答案． 【详解】解：A. 2和互为倒数，符合题意； B、C、D选项均不符合倒数的定义，故不符合题意； 故选：A． 6．若的运算结果为正数，则内的数字可以为（　　） A．3 B．2 C．0 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的乘法运算．根据有理数乘法符号法则，三个数相乘结果为正值，当且仅当负数的个数为偶数． 【详解】解：原式为； 1. 已知为负数，为正数，故原式中已有1个负数； 2. 要使结果为正数，负数的总个数需为偶数，因此内的数必须为负数，使负数总个数变为2（偶数）； 3. 选项中只有为负数，满足条件； 4. 验证：，符合题意． 故选：D． 7．如果与互为倒数，则的相反数等于（   ）． A． B． C．0 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求一个数的倒数和相反数．根据只有符号不同的两个数互为相反数和乘积为1的两个数互为倒数解答即可． 【详解】解：∵与互为倒数， ∴， ∴的相反数是． 故选：B． 8．若5的倒数是x，则5x的值是（    ） A． B．1 C．0 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了倒数的定义，根据若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数，求解即可． 【详解】解：∵5的倒数是x， ∴， 故选：B． 9．如图是嘉淇对一道题的解题过程，下列说法正确的是（    ） …① …② …③ A．解题运用了加法结合律 B．解题运用了乘法交换律 C．从②步开始出错 D．从③步开始出错 【答案】C 【分析】根据题干中的计算步骤即可求得答案．本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解： 此步骤是将原式变形， 此步骤是利用乘法分配律， 此步骤是利用减法法则， 则原计算步骤从②步开始出错， 故选：C． 二、填空题 10．计算： ； 【答案】 【分析】此题考查了有理数的乘法运算，根据有理数的乘法运算法则求解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 11．的倒数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了倒数的概念，熟练掌握基本概念是解题的关键． 先将带分数化为假分数，再将分子分母颠倒位置即可得到答案． 【详解】解：， ∴的倒数是， 故答案为：． 12． ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法，根据有理数的乘法运算律计算即可得解，熟练掌握有理数的乘法运算律是解此题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 13．已知且，则的值为 ． 【答案】1或 【分析】本题考查了有理数的乘法，绝对值的性质，有理数的加法，根据异号得负判断出x、y的对应情况是解题的关键．根据绝对值的性质求出x、y的值，再根据有理数的乘法运算，异号得负判断出x、y的对应情况，然后相加即可． 【详解】解：， 时，， 时，， 综上所述，的值是1或． 故答案为：1或 14．用“”定义一种新运算：对于有理数a和b，规定，如，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数四则混合运算．根据题意将式子展开后进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 15．王军同学在自学了电脑编程后，设计了如图所示的程序，若他输入的数是3，则输出的数为 ． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的运算与程序图，正确理解程序图的要求是解题的关键．根据程序计算，若结果的绝对值小于，则将结果作为输入的数代入计算，若结果的绝对值大于则输出． 【详解】解：输入的数是3，，绝对值小于 输入，，绝对值大于则输出 故答案为：． 16．用正负数表示气温的变化，上升为正，下降为负.登山队攀登一座山峰，每登高气温的变化量为，登山队员在山脚测得气温是，那么他们登高后，气温是 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数乘法的实际应用，根据题意分析得出变化量，再结合正负数的意义是解题的关键． 根据题意知，气温变化量为乘以攀登高度，即可求解． 【详解】解：登高后，气温变化量为：， ． 故答案为：． 三、解答题 17．计算． (1)； (2)； (3)； 【答案】(1)0 (2) (3) 【分析】本题考查有理数的乘除混合运算．掌握各运算法则是解题关键． （1）任何数与0相乘都等于0，所以结果为0． （2）利用乘法交换律先算与的积，再乘． （3）将化为后与相乘并约分计算． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 18．若定义一种新的运算“*”，规定有理数，如．求： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义运算，有理数混合运算；理解新定义，正确进行运算是解题的关键． （1）根据新定义得，进行有理数混合运算，即可求解； （2）根据新定义进行分步运算，即可求解； 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 19．为巩固脱贫攻坚成果，助力乡村振兴快速发展．我县所略乡推行“发展茶油产业，加快脱贫的步伐”．某种植户新鲜采摘了20筐茶果，以每筐25千克为标准重量，超过或不足千克数分别用正，负数来表示，记录如下： 与标准重量的差值（单位：千克） 0 1 筐数 1 4 2 3 2 8 (1)与标准重量比较，20筐茶果总计超过或不足多少千克？ (2)若该种植户采摘生茶果每千克售价元，则出售这20筐茶果可获得多少元？ 【答案】(1)20筐茶果的总质量比标准质量超过8千克 (2)出售这20筐茶果可获得元 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，熟知正负数的实际意义是解题的关键． （1）根据表格中的数据求出这20筐茶果的重量，若结果为正，则超过标准质量，若为负，则不足，若为0，这等于标准质量，据此求解即可； （2）用每千克的售价乘以茶果总质量即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得：千克， 答：20筐茶果的总质量比标准质量超过8千克； （2）解：由题意得：（元） 答：出售这20筐茶果可获得元． 20．出租车往返于A，B两个城市，A市在B市的正北方向，在A，B两城市沿线有若干个村庄．某天出租车从A市出发前往B市，再从B市返回A市，规定向北行驶为正．出租车当天行驶的记录如下（单位：千米）：，，，，，，，． (1)通过计算，说明出租车离A市多远？ (2)在A，B两个城市之间距A市6千米处有一个加油站，该出租车经过加油站________次； (3)若出租车每行驶1千米耗油0.07升，则该出租车一天共耗油多少升？ 【答案】(1)4千米 (2)6 (3)升 【分析】此题考查了正负数的实际应用，有理数的运算的实际应用，解题的关键是正确列式． （1）将出租车当天行驶的记录相加即可求解； （2）根据出租车当天行驶的记录结合在A，B两个城市之间距A市6千米处有一个加油站求解即可； （3）首先求出行驶的总路程，然后乘以1千米耗油量即可求解． 【详解】（1）（千米） ∴说明出租车离A市多远4千米； （2）∵出租车从A市出发前往B市，规定向北行驶为正 ∴向南行驶为负 ∴由可得，当出租车向南行驶8千米时，第一次经过加油站； ∵ ∴此时离A市南边1千米，故第二次经过加油站； ∵ ∴此时离A市南边10千米，故第三次经过加油站； ∵ ∴此时离A市南边4千米，故第四次经过加油站； ∴此时离A市南边17千米，故第五次经过加油站； ∴此时离A市南边4千米，故第六次经过加油站； 综上所述，出租车经过加油站6次； （3） （升） ∴该出租车一天共耗油升． 学科网（北京）股份有限公司 $$