第十一讲：乘方（暑期预习衔接讲义）（知识总结梳理+5大考点典例精讲+变式训练+高频精炼）-2025-2026学年七年级数学上册（人教版2024）

【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年人教版七年级数学上册 第十一讲：乘方 （知识总结梳理+5大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：乘方 定义总结： 一般地，n个相同的因数a相乘，即 ，记作 an ，读作a的n次方. 求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂. 知识点02：有理数的乘方运算 1. 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； 2. 正数的任何正整数次幂都是正数， 0的任何正整数次幂都是0. 知识点03：知识总结 考点1：有理数幂的概念 【典型例题】 表示（   ） A．2个3相乘 B．3个2相乘 C．2个3相加 D．3个2相加 【答案】B 【分析】本题考查了乘方运算概念的运用能力，运用乘方的定义进行辨别． 【详解】解：， 故选：B． 【变式训练1】 计算的和的式子为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了乘方的意义和乘法的意义，解题关键是根据乘方的意义和乘法的意义写出算式． 【详解】解：，， 它们的和为：， 故选：A． 【变式训练2】 化简＝（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了乘方的意义，根据乘方的意义分别表示出分子分母即可． 【详解】解：由乘方的意义可得分子表示个相乘，表示为；由乘法的意义可得分母表示个相加，表示为， ∴． 故选：B． 考点2：有理数乘方运算 【典型例题】 下列四个数中，结果是负数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了对正数和负数定义的理解，先利用有理数的相应的法则进行化简运算，然后再根据正负数的定义即可判断． 【详解】解：A．，是负数，符合题意； B．，是正数，不符合题意； C．，是正数，不符合题意； D．，是正数，不符合题意； 故选：A． 【变式训练1】 下列四个数中，是负数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了对正数和负数定义的理解，难度不大，注意0既不是正数也不是负数．先利用有理数的相应的法则进行化简运算，然后再根据正负数的定义即可判断． 【详解】A．，结果为正数，不是负数； B．，结果为正数，不是负数； C．，结果为负数，符合题意； D．，结果为正数，不是负数； 故选：C． 【变式训练2】 在，，，0，，中，非负数的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查非负数的定义，掌握非负数包含正数和0是解题关键．逐一计算各数的值，判断是否为非负数，再统计个数即可． 【详解】解：，8是非负数； ，1是非负数； ，是负数； 0是非负数； ，是负数； 是负数． 综上可知非负数有3个． 故选B． 考点3：有理数乘方的逆运算 【典型例题】 如果，则是（   ） A．8或 B． C．4 D．4或 【答案】D 【分析】此题考查有理数的乘方．直接利用有理数的乘方运算法则计算得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴a是：4或−4． 故选：D． 【变式训练1】 ，由此你能算出（    ） A．6 B．8 C． D．十分麻烦 【答案】B 【分析】先把原式变形为，从而得到，即可求解． 【详解】解： ＝1×8 ＝8 故选：B． 【点睛】本题主要考查了有理数乘方运算，掌握有理数乘方的意义是解题的关键． 【变式训练2】 若，则的值可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘方，乘方的逆运算，等式的性质等知识点，根据有理数乘方的运算法则即可得解，熟练掌握有理数的乘方的意义是解题关键． 【详解】∵ ∴ ∴ ∴， 故选：D． 考点4：有理数乘方运算的符号 【典型例题】 若 ，则一定有（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是乘方运算的符号规律，分别根据，，进行探究即可得到答案． 【详解】解：当，则， 当，则， 当，则，则， ∴当，则， 故选：C 【变式训练1】 下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题有理数的运算，根据有理数的四则混合运算，乘除混合运算，有理数乘方对各选项进行计算即可作出判断．解题的关键是掌握相应的运算法则，运算顺序和运算律． 【详解】解：A．∵，， ∴，故此选项不符合题意； B．∵，， ∴，故此选项不符合题意； C．，故此选项符合题意； D．，故此选项不符合题意． 故选：C． 【变式训练2】 在，，，0中，非负数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查有理数乘方中的符号问题，判断每个数的正负号即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，，，0中，只有0是非负数． 故选：A． 考点5：有理数乘方的应用 【典型例题】 如果哪吒的法宝混天绫每秒在原有8米的长度上翻一倍，那么在第10秒时的长度大概相当于多少个标准篮球场的周长（   ） A．50个 B．100个 C．150个 D．200个 【答案】B 【分析】本题考查含乘方的有理数的混合运算，乘方的应用，根据题意，正确列出算式是解题的关键． 根据1个标准篮球场的周长为86米，列式为再计算即可求解． 【详解】解：∵1个标准篮球场的周长为86米， ∴（个）， ∴在第10秒时的长度大概相当于100个标准篮球场的周长． 故选：B． 【变式训练1】 一根1米长的木棒，第1次截去一半，第2次截去剩下部分的一半，如此截下去，第4次截完后剩下的木棒长为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】此题考查了有理数的乘方，理解题意列出式子是解本题的关键．根据题意列出算式计算即可得到结果． 【详解】解：根据第1次截取后，剩， 第2次截取后，剩， 第3次截取后，剩 第4次后剩下，即（米） 故选B． 【变式训练2】 如图，某种卷筒纸的外直径为，内直径为，每层纸的厚度为．假如把这筒纸全部拉开，那么这筒纸的总长度大约是（π取3.14）（   ） A．3140米 B．31.4米 C．6280米 D．62.8米 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的混合运算和圆柱的计算．用空心圆柱的底面积÷厚度即可． 【详解】解：纸的总长度 米． 故选：D． 一、单选题 1．表示的意义是（    ） A．乘以6的积 B．6个相乘的积 C．5个相乘的积 D．6个相加的和 【答案】B 【分析】本题考查了乘方的意义，一般地，n个相同的因数a相乘，即计作，这种求几个相同因数的积的运算叫做乘方，根据乘方的意义解答即可． 【详解】解：表示6个相乘的积． 故选B． 2．表示的意义是（    ） A．5个2相乘 B．5个2相乘的积的相反数 C．2个相乘 D．2个5相乘的积的相反数 【答案】B 【分析】本题主要考查了乘方的意义，相反数的定义，表示的是个相乘的积，据此可得表示的意义，再由相反数的定义即可得到答案． 【详解】解：表示的意义是5个2相乘的积，故表示的意义是5个2相乘的积的相反数， 故选：B． 3．下列各式中，计算结果等于的是（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算乘方，再算加减即可． 【详解】解：A、-22+（-2）3=-4-8=-12，此选项错误； B、-22-（-2）3=-4+8=4，此选项正确； C、-22-23=-4-8=-12，此选项错误； D、（-2）2+（-2）3=4-8=-4，此选项错误． 故选B． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算、乘方．解题的关键是注意区分-22与（-2）2． 4．计算所得的结果是（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】此题考查了有理数的混合运算，先计算乘方，再计算加法即可. 【详解】解： 故选：C 5．代数式可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了乘方的意义：表示几个相同因数的积的运算；由乘方的意义即可求解． 【详解】解：， 故选：C． 6．计算的结果是 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的乘方，有理数的加法，熟练掌握其运算规则是解题的关键．根据个相加的和为，个相乘是，即可得到答案． 【详解】解：个相加的和为，个相乘是，那么原式 故选：A． 7．若，则，，按从小到大排列是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数大小比较，利用特殊值的方法是解答本题的关键． 首先得到，，，然后取，分别表示出，即可比较大小． 【详解】解：∵， ∴，， ∴不妨设， 则， ∵， ∴． 故选：B． 8．下列各数：，，，，，，中，负数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了化简多重符号，绝对值的意义，有理数的乘方运算；将各数化简后，根据负数：“小于0的数”，进行判断即可． 【详解】解：，，，，，，中，负数有，，共2个； 故选：B． 二、填空题 9．计算： ． 【答案】0 【分析】本题考查了有理数的混合运算，先计算乘方，再计算加法即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 10．若，则 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查非负数的性质和有理数的乘方，根据非负数的性质求出的值，再代入计算即可． 【详解】解：∴，且 ∴ ∴， ∴ 故答案为：9． 11．对于有理数，，定义一种新运算，规定，则 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，新定义运算，熟练根据新定义列出常规的有理数运算式子是解题的关键．先利用新定义得出有理数混合运算的算式，再进行计算即可． 【详解】解：由， 得 12．在中，底数是 ，指数是 ，结果是 ． 【答案】 4 【分析】本题考查了有理数幂的概念，根据有理数幂的概念解答即可，熟练掌握有理数幂的概念是解此题的关键． 【详解】解：在中，底数是，指数是4，结果是， 故答案为：，4，． 13．新考法  定义一种新的运算，如果，那么 ． 【答案】1 【分析】本题考查了新定义，有理数的乘方，根据新定义转化为有理数的乘方计算即可． 【详解】解：． 故答案为：1． 14．对于任意有理数a和b，定义一种新运算“*”，使得，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，根据新定义可得，据此计算求解即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 15．你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再拉伸，反复几次，如草图所示．这样捏合到第8次后可拉出 根细面条． 【答案】256 【分析】此题考查了有理数乘方的应用，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．根据题意列出算式，计算即可得到结果． 【详解】解：∵第1次后可拉出2根， 第2次后可拉出根， 第3次后可拉出根， … ∴第8次后可拉出根，， 故答案为：256． 16．计算： 【答案】0 【分析】本题考查了有理数的加法运算，有理数的乘方，根据有理数的乘方找到规律，计算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：0． 三、解答题 17．把下列各式写成乘方的形式，并指出底数、指数各是什么． (1) (2) 【答案】(1)底数是，指数是3 (2)底数是，指数是4 (3)底数是m，指数是 【分析】本题主要考查了乘方的意义，解题的关键是掌握乘方是一种特殊的乘法运算，幂是乘方的结果，当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括起来再写指数．表示n个a相乘． （1）首先化成幂的形式，再指出底数和指数各是什么即可； （2）首先化成幂的形式，再指出底数和指数各是什么即可； （3）首先化成幂的形式，再指出底数和指数各是什么即可． 【详解】（1）解：，底数是，指数是3． （2）解：，底数是，指数是4． （3）解：，底数是m，指数是． 18．计算： (1)； (2)； (3)； (4) ． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，运算顺序为：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算，如果有括号，要先做括号内的运算． （1）先算乘方和括号内的，再算乘除，最后算加减即可； （2）先算乘方和绝对值，再算乘法，最后算加减即可； （3）先算乘方和括号内的，再算乘除，最后算加减即可； （4）先算乘方，再算乘法，最后算加减即可． 【详解】（1）解：原式． （2）原式． （3）原式． （4）原式． 19．已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查非负性，有理数的乘方运算，根据非负性求出的值，再根据乘方法则进行计算即可． 【详解】解：因为，且，， 所以，， 所以，， 所以，， 所以． 20．如果互为倒数，互为相反数，是最大的负整数．求代数式的值． 【答案】． 【分析】本题考查了倒数和相反数，有理数的加减，有理数的乘方等知识， 根据倒数、相反数和负整数的定义得到，，，然后代入求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵互为倒数，互为相反数，是最大的负整数， ∴，，， ∴ ． 21．如图，当你把一张纸对折1次时可以得到2层，对折2次时可以得到4层，对折3次时可以得到8层，继续对折下去（最多折7次）．    (1)你能发现层数与折纸次数之间的关系吗？ (2)如果每层纸的厚度是0.05毫米，求对折7次时纸的总厚度． 【答案】(1)层数 (2)6.4毫米 【分析】本题考查了有理数的乘方，通过例举寻找规律是解题的关键． （1）由于把纸对折1次时，可以得到2层；当对折2次时，可以得到4-2层；当对折3次时，可以得到8-23层，由此即可得到层数5和折纸的次数之间的关系； （2）利用（1）的结论代入其中计算即可求解． 【详解】（1）解：∵对折1次，层数， 对折2次，层数， 对折3次，层数， ∴对折n次，层数； （2）解： （毫米）， 答：对折7次时纸的总厚度的总厚度为6.4毫米． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年人教版七年级数学上册 第十一讲：乘方 （知识总结梳理+5大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：乘方 定义总结： 一般地，n个相同的因数a相乘，即 ，记作 an ，读作a的n次方. 求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂. 知识点02：有理数的乘方运算 1. 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； 2. 正数的任何正整数次幂都是正数， 0的任何正整数次幂都是0. 知识点03：知识总结 考点1：有理数幂的概念 【典型例题】 表示（   ） A．2个3相乘 B．3个2相乘 C．2个3相加 D．3个2相加 【变式训练1】 计算的和的式子为（　　） A． B． C． D． 【变式训练2】 化简＝（　　） A． B． C． D． 考点2：有理数乘方运算 【典型例题】 下列四个数中，结果是负数的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】 下列四个数中，是负数的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】 在，，，0，，中，非负数的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 考点3：有理数乘方的逆运算 【典型例题】 如果，则是（   ） A．8或 B． C．4 D．4或 【变式训练1】 ，由此你能算出（    ） A．6 B．8 C． D．十分麻烦 【变式训练2】 若，则的值可以表示为（    ） A． B． C． D． 考点4：有理数乘方运算的符号 【典型例题】 若 ，则一定有（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】 下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】 在，，，0中，非负数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点5：有理数乘方的应用 【典型例题】 如果哪吒的法宝混天绫每秒在原有8米的长度上翻一倍，那么在第10秒时的长度大概相当于多少个标准篮球场的周长（   ） A．50个 B．100个 C．150个 D．200个 【变式训练1】 一根1米长的木棒，第1次截去一半，第2次截去剩下部分的一半，如此截下去，第4次截完后剩下的木棒长为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式训练2】 如图，某种卷筒纸的外直径为，内直径为，每层纸的厚度为．假如把这筒纸全部拉开，那么这筒纸的总长度大约是（π取3.14）（   ） A．3140米 B．31.4米 C．6280米 D．62.8米 一、单选题 1．表示的意义是（    ） A．乘以6的积 B．6个相乘的积 C．5个相乘的积 D．6个相加的和 2．表示的意义是（    ） A．5个2相乘 B．5个2相乘的积的相反数 C．2个相乘 D．2个5相乘的积的相反数 3．下列各式中，计算结果等于的是（        ） A． B． C． D． 4．计算所得的结果是（   ） A． B．2 C． D．4 5．代数式可表示为（    ） A． B． C． D． 6．计算的结果是 （    ） A． B． C． D． 7．若，则，，按从小到大排列是（   ） A． B． C． D． 8．下列各数：，，，，，，中，负数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 9．计算： ． 10．若，则 ． 11．对于有理数，，定义一种新运算，规定，则 ． 12．在中，底数是 ，指数是 ，结果是 ． 13．新考法  定义一种新的运算，如果，那么 ． 14．对于任意有理数a和b，定义一种新运算“*”，使得，那么 ． 15．你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再拉伸，反复几次，如草图所示．这样捏合到第8次后可拉出 根细面条． 16．计算： 三、解答题 17．把下列各式写成乘方的形式，并指出底数、指数各是什么． (1) (2) 18．计算： (1)； (2)； (3)； (4) ． 19．已知，求的值． 20．如果互为倒数，互为相反数，是最大的负整数．求代数式的值． 21．如图，当你把一张纸对折1次时可以得到2层，对折2次时可以得到4层，对折3次时可以得到8层，继续对折下去（最多折7次）．    (1)你能发现层数与折纸次数之间的关系吗？ (2)如果每层纸的厚度是0.05毫米，求对折7次时纸的总厚度． 学科网（北京）股份有限公司 $$