第八讲：有理数的减法（暑期预习衔接讲义）（知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼）-2025-2026学年七年级数学上册（人教版2024）

【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年人教版七年级数学上册 第八讲：有理数的减法 （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：有理数的减法 有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数. 知识点02：有理数的加减混合运算 （1）有理数加减混合运算的方法：有理数加减法统一成加法． （2）方法指引：①在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式．②转化成省略括号的代数和的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化． 考点1：有理数的减法运算 【典型例题】 下列计算中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加减运算，根据有理数的加减运算进行计算即可求解． 【详解】解：A． ，故该选项不正确，不符合题意；     B． ，故该选项不正确，不符合题意； C． ，故该选项正确，符合题意；     D． ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 【变式训练1】 计算的结果等于（    ） A．7 B．10 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的减法，根据有理数的减法运算法则即可求解． 【详解】解： 故选：D． 【变式训练2】 下列计算结果最小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加减运算以及有理数的大小比较，根据有理数的运算进行计算，再比较大小即可求解． 【详解】解： ，，， ∵ ∴计算结果最小的事 故选：B． 考点2：有理数的减法的实际应用 【典型例题】 “雪山之巅轿子立，千年冰封岁月长”．冬日某一天的轿子雪山，山脚最低气温为零上，记作，山顶最低气温为零下，记作，则这一天轿子雪山山脚与山顶的最大温差是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数减法的实际运用，根据题意列式计算即可． 【详解】解：由题意得， 故选：C． 【变式训练1】 某种筷子的合格长度标准为，则下列四双筷子中合格的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数加减法的实际应用．求出的值，确定筷子中合格的长度，进行判断即可． 【详解】解：，， ∴零件的尺寸标准在之间， 故四双筷子中合格的长度是． 故选：B． 【变式训练2】 如图，平遥县某天的气温是，则这天的温差（最高气温减最低气温）是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数减法的应用，用最高气温减去最低气温即可求解． 【详解】解：根据题意，这天的温差为， 故选：C． 考点3：有理数的减法的加减混合运算 【典型例题】 将写成省略括号和加号的形式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了去括号法则：括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不改变正负号；括号前面是“−”号，把括号和它前面的“−”号去掉，括号里各项都改变正负号．根据减去一个数等于加上这个数的相反数，变为连加，加号和括号省略，即可． 【详解】解：， 故选：B． 【变式训练1】 数轴上一点A向右移动4个单位长度到达点B，若点B再向左移动2个单位长度到达点C，若点C表示的数是，则点A表示的数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，有理数的加减混合运算，正确列出算式是解答本题的关键．根据左加右减的规律列式求解即可． 【详解】解：由题得，故A正确，C、B、D错误； 故选：A． 【变式训练2】 若是最大的负整数，是绝对值最小的数，表示的数在原点左侧且距离原点3个单位长度，则的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查的是绝对值，数轴，有理数的加减混合运算，掌握相应的运算法则是关键． 根据最大的负整数，绝对值最小的数，与原点的距离的含义先求解a，b，c，再代入计算即可． 【详解】解：根据题意得：， 则． 故选：A． 考点4：有理数的减法的混合应用 【典型例题】 嘉嘉一周内在某支付平台上有4次交易：①购物支出950 元；②售卖个人物品存进500元；③购物支出800元；④绩效奖励存进1200元．则这一周嘉嘉在平台上的余额增加了（    ） A．1700元 B．900元 C．400元 D．元 【答案】D 【分析】本题考查了正负数的应用、有理数的加减运算等知识点，理解正负数的相反意义成为解题的关键． 先根据有理数的正负数的相反意义列式，然后根据有理数加减运算法则计算即可． 【详解】解：根据题意可得：元． 故选D． 【变式训练1】 一种干吃面包装袋上标着：净重，表示这种干吃面标准的质量是150克，实际每袋最少不小于（    ）克． A．155 B．150 C．145 D．140 【答案】C 【分析】本题考查了正数和负数，根据有理数的加减法，可得标准的范围，可得最少的质量．有理数的加减法是解题关键． 【详解】解：克， 故选：C． 【变式训练2】 春节期间走亲访友相互拜年是传统习俗，长辈们都很关心同学们的学习情况，如果将小明同学期末数学成绩110分记为“分”，小丽的成绩记作“”，则小丽本次期末数学测试的成绩为（   ） A．111分 B．107分 C．103分 D．117分 【答案】C 【分析】本题考查了正数、负数的应用，有理数的减法；由题意知，标准的分数为106分，超过的记为正数，不足的记为负数，根据小丽的成绩记作“”即可求解． 【详解】解：小明同学期末数学成绩110分记为“分”， 则标准的分数为106分， 由小丽的成绩记作“”，则小丽的的成绩为（分）； 故选：C． 一、单选题 1．计算的结果等于（   ） A．－1 B．1 C．－5 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的减法，熟练掌握有理数的减法的运算法则是解题的关键． 根据有理数的减法进行计算法则即可求解． 【详解】解：， 故选：D． 2．在数轴上表示的点与表示的点之间的距离是（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查数轴上两点间的距离、有理数的减法，根据数轴上的两点间的距离公式求解即可． 【详解】解：在数轴上表示的点与表示的点之间的距离是， 故选：C． 3．某天14：00，我国五个城市的气温如表，其中与济南气温最接近的城市是（   ） 城市 哈尔滨 北京 广州 济南 上海 气温/℃ 13 5 A．哈尔滨 B．北京 C．广州 D．上海 【答案】B 【分析】本题考查有理数的大小比较，数轴上两点间的距离． 将各个城市的温度从小到大排列，再比较与济南接近的两个城市，即可解答． 【详解】解：∵，且， 即， ∴北京与济南气温最接近． 故选B． 4．如果某天中午的气温是，傍晚比中午下降了，那么傍晚的气温是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数减法的实际应用，用中午的气温减去下降的气温进行计算即可． 【详解】解：； 故选B． 5．若数轴上点A，B分别表示数为，2，则A，B两点之间的距离可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是数轴上两点间的距离，即数轴上两点之间的距离等于两点所表示数的差的绝对值，或用右边的点表示的数减去左边的点表示的数． 【详解】解：∵数轴上点A，B分别表示数为，2， ∴A，B两点之间的距离可表示为， 故选：C． 6．把写成省略加号的和的形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的加减．根据减去一个数等于加上这个数的相反数，然后去掉括号和加号即可． 【详解】解： ， 故选：B． 7．一个点从数轴的原点开始，先向左移动3个单位，再向右移动2个单位，这时该点所表示的数是（         ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴三要素，即原点、正方向、单位长度，解题的关键是熟练掌握原点左边的点表示的数为负数，原点右边的点表示的数为正数，左边的点表示的数比右边的点表示的数小．根据数轴表示数的方法，一个点从数轴的原点开始，先向左移动3个单位，再向右移动2个单位，这时该点所表示的数为，然后计算即可． 【详解】解：， 该点所表示的数为， 故选：A． 8．骆驼最高适应温度为，最低适应温度为，则骆驼适应温度的最大温差是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数减法的应用，根据温差最高温度最低温度，列式即可解答，理解温差最高温度最低温度是解题关键． 【详解】解：骆驼最高适应温度为，最低适应温度为， 骆驼适应温度的最大温差：． 故选：D． 二、填空题 9． ， ． 【答案】 0 【分析】本题考查了有理数的减法运算，掌握减去一个数，等于加上这个数的相反数是解题的关键． 根据有理数的减法运算法则即可求解． 【详解】解：， ， 故答案为：0，． 10．武汉市年的最高温度是月日的，最低温度是月日的．则年武汉市全年温度的最大相差 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的减法法则，熟练掌握有理数的减法法则是解答本题的关键． 用最高温度减去最低温度即可． 【详解】解：， 故答案为：． 11．珠穆朗玛峰海拔约8849米，吐鲁番盆地最低处海拔约为米，两地的相对高度（即山峰最高处比盆地最低处高）是 米． 【答案】 【分析】此题考查有理数的减法，解题的关键是熟练运用有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．根据题意列出算式即可求出答案． 【详解】解：依题意， 故答案为：． 12．把写成省略括号的和的形式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减，属于应知应会题型，掌握有理数的加减运算法则是解题的关键； 根据有理数的加减运算法则解答即可． 【详解】解：把写成省略括号的和的形式是； 故答案为：． 13．将数轴上表示的点沿数轴移动7个单位后所表示的数是 ． 【答案】或6 【分析】本题考查数轴上的平移，掌握知识点是解题的关键． 根据数轴上点的移动规律"左减右加"进行计算，即可解答． 【详解】解：①将数轴上表示的点沿数轴向左移动7个单位后所表示的数是 ， ②将数轴上表示的点沿数轴向右移动7个单位后所表示的数是 ． 故答案为：或6． 14．小李做水温下降实验，他把一杯水的温度由下降到记作；过一会儿，他测到这杯水的温度是，此时这杯水的温度应记作 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的减法的应用，相反意义的量，根据题意得出，即可得出答案． 【详解】解：， 一杯水的温度由下降到，记作， 故答案为： 15．某地一天中午的气温是，到了晚上下降了，则晚上该地的气温是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的减法的实际应用，解题关键是列出算式． 先根据题意列出算式，再计算． 【详解】解：∵该地一天中午的气温是，到了晚上下降了， ∴晚上该地的气温是（） 故答案为： ． 16．在下图中点A表示的数是3，点B被墨水遮住了，已知点A与点B的距离是5个单位长度，则点B表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴、有理数的减法，理解题意是解题的关键．根据题意，点B在点A的左侧，且点A与点B的距离是5个单位长度，据此即可求解． 【详解】解：由题意得，点B表示的数为． 故答案为：． 三、解答题 17．计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的加减混合运算、加法运算律等知识点，掌握相关运算法则和运算定律是解题的关键． （1）根据有理数的加减运算法则进行计算即可； （2）根据加法交换律和结合律进行简便计算即可； （3）先进行绝对值运算，再运用有理数加减法运算法则求解即可； （4）根据加法交换律和结合律进行简便计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 18．已知数轴上的点A、B、C、D、E分别表示、、0、2、． (1)请在数轴上标出A、B、C、D、E五个点，并比较他们的大小； (2)如果把数轴的原点取在点B处，其余条件都不变，那么点A表示的数是 _________ ． 【答案】(1)图见解析， (2) 【分析】本题考查有理数与数轴，正确的在数轴上表示出各数，掌握数轴上的数右边的比左边的大，是解题的关键： （1）将各数在数轴上进行表示，然后根据数轴上的数右边的比左边的大，比较大小即可； （2）根据两点间的距离公式进行求解即可． 【详解】（1）解：在数轴上表示各数如图： 由数轴可知：； （2）∵， ∴当把数轴的原点取在点B处时， 点表示的数为． 19．某服装厂计划平均每天生产400套运动服，下表是该厂某一周的生产情况（超出计划产量的记为“”，不足计划产量的记为“”）： 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 合计 (1)试求出表中被污染的数据； (2)该服装厂星期五生产了多少套运动服？ 【答案】(1)表中被污染的数据是 (2)该服装厂星期五生产了392套运动服 【分析】本题考查了正数和负数，利用了有理数的加减法运算，解题的关键是读懂题意． （1）用合计减去其他六天的情况即可求出； （2）根据第（1）问即可求出星期五的生产情况． 【详解】（1）解：依题意得，星期五工厂多生产运动服为： ，   ，         ∴表中被污染的数据是； （2）解：由（1）得：该服装厂星期五生产的运动服比平均数量少8件， ∴套，                      ∴该服装厂星期五生产了392套运动服． 20．“十·一”黄金周期间，麦积山风景区在7天假期中每天旅游的人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数） 日 期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化 单位：万人 若9月30日的游客人数记为1万人，请解答下列问题 (1)10月2日的游客人数是 _____万人 ． (2)这七天内游客人数最多的是_____日，游客数为_____万人． (3)请计算这七天总共有多少游客去麦积山风景区？ 【答案】(1)3.2 (2)3，3.6 (3)19.4万人 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数加减运算的应用，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量． （1）根据正负数的意义列式计算即可得解； （2）分别求出这7天的游客人数，然后解答即可； （3）将这七天游客人数相加即可． 【详解】（1）解：10月2日的游客人数是：（万人）． 故答案为：． （2）解：1日游客数为：（万人）， 2日游客数为：（万人）， 3日游客数为：（万人）， 4日游客数为：（万人）， 5日游客数为：（万人）， 6日游客数为：（万人）， 7日游客数为：（万人）， 所以，游客人数最多的是3日，游客数为万人． 故答案为：． （3）解：七天游客总数：（万人）． 答：这七天总共有万人游客去麦积山风景区． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年人教版七年级数学上册 第八讲：有理数的减法 （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：有理数的减法 有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数. 知识点02：有理数的加减混合运算 （1）有理数加减混合运算的方法：有理数加减法统一成加法． （2）方法指引：①在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式．②转化成省略括号的代数和的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化． 考点1：有理数的减法运算 【典型例题】 下列计算中正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】 计算的结果等于（    ） A．7 B．10 C． D． 【变式训练2】 下列计算结果最小的是（    ） A． B． C． D． 考点2：有理数的减法的实际应用 【典型例题】 “雪山之巅轿子立，千年冰封岁月长”．冬日某一天的轿子雪山，山脚最低气温为零上，记作，山顶最低气温为零下，记作，则这一天轿子雪山山脚与山顶的最大温差是（   ） A．3 B． C． D． 【变式训练1】 某种筷子的合格长度标准为，则下列四双筷子中合格的长度是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】 如图，平遥县某天的气温是，则这天的温差（最高气温减最低气温）是（   ） A． B． C． D． 考点3：有理数的减法的加减混合运算 【典型例题】 将写成省略括号和加号的形式是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】 数轴上一点A向右移动4个单位长度到达点B，若点B再向左移动2个单位长度到达点C，若点C表示的数是，则点A表示的数是（　　） A． B． C． D． 【变式训练2】 若是最大的负整数，是绝对值最小的数，表示的数在原点左侧且距离原点3个单位长度，则的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 考点4：有理数的减法的混合应用 【典型例题】 嘉嘉一周内在某支付平台上有4次交易：①购物支出950 元；②售卖个人物品存进500元；③购物支出800元；④绩效奖励存进1200元．则这一周嘉嘉在平台上的余额增加了（    ） A．1700元 B．900元 C．400元 D．元 【变式训练1】 一种干吃面包装袋上标着：净重，表示这种干吃面标准的质量是150克，实际每袋最少不小于（    ）克． A．155 B．150 C．145 D．140 【变式训练2】 春节期间走亲访友相互拜年是传统习俗，长辈们都很关心同学们的学习情况，如果将小明同学期末数学成绩110分记为“分”，小丽的成绩记作“”，则小丽本次期末数学测试的成绩为（   ） A．111分 B．107分 C．103分 D．117分 一、单选题 1．计算的结果等于（   ） A．－1 B．1 C．－5 D．5 2．在数轴上表示的点与表示的点之间的距离是（    ） A．4 B． C．2 D． 3．某天14：00，我国五个城市的气温如表，其中与济南气温最接近的城市是（   ） 城市 哈尔滨 北京 广州 济南 上海 气温/℃ 13 5 A．哈尔滨 B．北京 C．广州 D．上海 4．如果某天中午的气温是，傍晚比中午下降了，那么傍晚的气温是（   ） A． B． C． D． 5．若数轴上点A，B分别表示数为，2，则A，B两点之间的距离可表示为（   ） A． B． C． D． 6．把写成省略加号的和的形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 7．一个点从数轴的原点开始，先向左移动3个单位，再向右移动2个单位，这时该点所表示的数是（         ） A． B．2 C． D． 8．骆驼最高适应温度为，最低适应温度为，则骆驼适应温度的最大温差是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9． ， ． 10．武汉市年的最高温度是月日的，最低温度是月日的．则年武汉市全年温度的最大相差 ． 11．珠穆朗玛峰海拔约8849米，吐鲁番盆地最低处海拔约为米，两地的相对高度（即山峰最高处比盆地最低处高）是 米． 12．把写成省略括号的和的形式是 ． 13．将数轴上表示的点沿数轴移动7个单位后所表示的数是 ． 14．小李做水温下降实验，他把一杯水的温度由下降到记作；过一会儿，他测到这杯水的温度是，此时这杯水的温度应记作 ． 15．某地一天中午的气温是，到了晚上下降了，则晚上该地的气温是 ． 16．在下图中点A表示的数是3，点B被墨水遮住了，已知点A与点B的距离是5个单位长度，则点B表示的数为 ． 三、解答题 17．计算： (1)； (2)； (3)； (4) 18．已知数轴上的点A、B、C、D、E分别表示、、0、2、． (1)请在数轴上标出A、B、C、D、E五个点，并比较他们的大小； (2)如果把数轴的原点取在点B处，其余条件都不变，那么点A表示的数是 _________ ． 19．某服装厂计划平均每天生产400套运动服，下表是该厂某一周的生产情况（超出计划产量的记为“”，不足计划产量的记为“”）： 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 合计 (1)试求出表中被污染的数据； (2)该服装厂星期五生产了多少套运动服？ 20．“十·一”黄金周期间，麦积山风景区在7天假期中每天旅游的人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数） 日 期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化 单位：万人 若9月30日的游客人数记为1万人，请解答下列问题 (1)10月2日的游客人数是 _____万人 ． (2)这七天内游客人数最多的是_____日，游客数为_____万人． (3)请计算这七天总共有多少游客去麦积山风景区？ 学科网（北京）股份有限公司 $$