精品解析：江西省九江市2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题

江西省九江市2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时间120分钟． 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 在中，为上靠近点的三等分点，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 空间中有两个不同的平面和两条不同的直线，则下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 设，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称，则的值可能是（ ） A. 11 B. 13 C. 14 D. 15 7. 如图，在正三棱锥中，分别为棱的中点，且.若，则正三棱锥的外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 函数的部分图象如图中实线所示，为函数与轴的交点.圆与的图象从左至右依次交于A，B，C，D，E，F六点，且在轴上，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则下列说法中正确的有（ ） A. 的虚部为2 B. C. 为纯虚数 D. 10. 如图，已知正方体中，为线段上的动点，为线段的中点，则下列四个结论正确的是（ ） A. 对任意点，平面 B. 三棱锥的体积为定值 C. 直线与所成的角不可能等于 D. 存在点，使平面 11. 球面三角是研究球面三角形的边、角关系的一门科学.从十六世纪起由于天文学、航海学、测量学等方面的发展，球面三角逐渐形成了独立学科．球面上的三个点，每两点之间用球的大圆劣弧相连接，三段弧所围成的球面部分称为球面三角形.如图，球的半径为1，A，B，C为球面上三点.平面中，三内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.球面中，，的弧长分别记为线段OA，OB，OC与球面围成的封闭几何体叫作球面三棱锥，记为球面.设，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则球面的体积 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，则______. 13. 已知圆锥的侧面展开图是面积为的半圆，则该圆锥的体积是______. 14. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且，则______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的最小正周期为是曲线的一条对称轴. （1）求； （2）求的单调递增区间. 16. 如图，圆台的轴截面为等腰梯形，上下底面半径分别为1，2，B为底面圆周上异于A，C的点，为BC的中点. （1）求证：平面； （2）若，求圆台的体积. 17. 如图，在中，内角A，B，C所对的边分别为为BC上一点，. （1）若，求的面积； （2）若，求． 18. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面，为的中点，，. （1）求证：平面平面； （2）求四棱锥的体积； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 19. 已知函数，称为的“伴随向量”，为的“伴随函数”（为坐标原点）. （1）求的伴随向量； （2）若为单位圆上两点，的伴随函数为，求最小时，的最大值； （3）若为抛物线上位于第一象限内一点，的伴随函数在处取得最大值，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省九江市2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时间120分钟． 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用诱导公式即可求解. 【详解】. 故选：D. 2. 若复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法算出，确定实部与虚部，即可知其在复平面内对应的点和对应的点所在象限. 【详解】，则复平面内对应的点为，该点位于第二象限. 故选：B. 3. 在中，为上靠近点的三等分点，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的加法法则和减法法则表示即可. 【详解】. 故选：A. 4. 空间中有两个不同的平面和两条不同的直线，则下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线与平面的平行关系判断AB两个选项，根据直线与平面的垂直和平行关系判断CD两个选项. 【详解】对于A：若，则可能有，A错误； 对于B：若，则也可能异面或相交，B错误； 对于C：若，则与不一定垂直，且，则与不一定垂直，C错误； 对于D：若，则，又，则，D正确. 故选：D. 5. 设，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用两角和差的正弦公式，再结合正弦函数的单调性即可判断大小. 【详解】， ， 在上单调递增，，即. 故选：C. 6. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称，则的值可能是（ ） A. 11 B. 13 C. 14 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】根据左加右减得到平移后的解析式，由奇偶性得到方程，求解即可. 【详解】依题意得，为偶函数， 则，即. 故选：B. 7. 如图，在正三棱锥中，分别为棱的中点，且.若，则正三棱锥的外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】证明过的三条侧棱两两互相垂直，可将正三棱锥补成正方体，根据正方体体对角线即为正方体外接球直径，求正方体的外接球的半径，即为该正三棱锥外接球的半径，运用球的体积公式求解即可. 【详解】分别为棱的中点，则，所以. ，， 而正三棱锥中，对棱互相垂直，即， 又，平面，平面， ，. 设，则，所以， 在三角形中，，解得， 所以，即有， 过的三条侧棱两两互相垂直， 因此可将正三棱锥补成正方体，正三棱锥的外接球即是正方体的外接球， 由，正三棱锥的外接球， 故选：C. 8. 函数的部分图象如图中实线所示，为函数与轴的交点.圆与的图象从左至右依次交于A，B，C，D，E，F六点，且在轴上，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】AF为圆的直径，可得判断A；由题意可得，可求得，判断C；利用，可求得判断C；由题意得不出，可判断B. 【详解】根据的图象以及圆的对称性，可得A，F关于对称，且AF为圆的直径， ，故A正确； 同理B，E关于对称，， 故C正确； ，故D正确. 由题意可得A，F关于对称，B，E关于对称，所以为圆的直径， 而，，故， 若，则，故， 而，故， 故，而，故，故矛盾，故不垂直于， 故，故B错误. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则下列说法中正确的有（ ） A. 的虚部为2 B. C. 为纯虚数 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意可得，然后逐项计算判断即可. 【详解】， 所以的虚部为， ，. 故选：BC. 10. 如图，已知正方体中，为线段上的动点，为线段的中点，则下列四个结论正确的是（ ） A. 对任意点，平面 B. 三棱锥的体积为定值 C. 直线与所成的角不可能等于 D. 存在点，使平面 【答案】ABD 【解析】 【分析】证明出平面平面，由面面平行的性质可判断A选项；利用锥体体积公式可判断B选项；利用异面直线所成角的定义可判断C选项；推导出平面，结合中位线的性质可判断D选项. 【详解】对于A选项，连接、、、，如下图所示： 在正方体中，，， 故四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 同理可证平面， 因为，、平面，故平面平面， 因为平面，因此平面，A对； 对于B选项，因为平面平面，平面， 所以点到平面的距离等于点到平面的距离为定值， 而为定值，故为定值，B对； 对于C选项，因为，，故四边形为平行四边形， 所以，所以与所成的角为或其补角，如下图所示： 易知为正三角形，显然当时，，C错； 对于D选项，连接、、，如下图所示： 因为四边形为正方形，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，、平面，所以平面， 当为的中点时，因为为的中点，此时，故平面，D对. 故选：ABD. 11. 球面三角是研究球面三角形的边、角关系的一门科学.从十六世纪起由于天文学、航海学、测量学等方面的发展，球面三角逐渐形成了独立学科．球面上的三个点，每两点之间用球的大圆劣弧相连接，三段弧所围成的球面部分称为球面三角形.如图，球的半径为1，A，B，C为球面上三点.平面中，三内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.球面中，，的弧长分别记为线段OA，OB，OC与球面围成的封闭几何体叫作球面三棱锥，记为球面.设，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则球面的体积 【答案】ABD 【解析】 【分析】由，可得，可判断A；利用，计算可判断B；对于C，由已知可得，举出反例可判断C，对于D，先求得三棱锥的体积，由球面的体积即可判断D. 【详解】对于， 由，得，即，故A正确； 对于由，得，故B正确； 对于C，，∴， 即， 又， ∴，， 取，满足， 此时，故C错误； 对于D，， 则平面的面积为， 此时三棱锥为边长为1的正四面体，取的中点，连接， 过点作⊥平面，交于点， 其中，，故， 故到平面ABC的距离， 所以三棱锥的体积， 则球面的体积，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量数量积的坐标运算求解即可. 【详解】. 故答案为： 13. 已知圆锥的侧面展开图是面积为的半圆，则该圆锥的体积是______. 【答案】## 【解析】 【分析】设出圆锥的相关参数，根据侧面积公式和圆心角公式列出方程组，解出底面圆半径和母线长，再利用勾股定理算出高，代入圆锥的体积公式即可. 【详解】解：设圆锥底面圆半径为，母线长为，高为， 由题意，根据侧面积公式和圆心角公式得，解得，， ， 因此该圆锥的体积是. 故答案为：. 14. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用三角内角和定理与正弦定理可得，进而利用三角恒等变换可得，进而可求得，再利用正弦定理可求得. 【详解】， 由正弦定理及，得，即， ， 即， .又，故， . 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的最小正周期为是曲线的一条对称轴. （1）求； （2）求的单调递增区间. 【答案】（1）2， （2） 【解析】 【分析】（1）根据周期可先求，再利用对称轴可求； （2）由（1）得的解析式，再利用整体代换法求单调增区间即可. 【小问1详解】 依题意得，， 由，得， ，. 【小问2详解】 由（1）得，， ， 令，得， 的单调递增区间为. 16. 如图，圆台的轴截面为等腰梯形，上下底面半径分别为1，2，B为底面圆周上异于A，C的点，为BC的中点. （1）求证：平面； （2）若，求圆台的体积. 【答案】（1） 取AB的中点，连接， 为BC的中点，，且， 又，且，且， 四边形为平行四边形， ， 又平面平面， 平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取AB的中点，连接，通过证四边形为平行四边形，即可证得平面； （2）连接，求出圆台的高，即可得到体积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接， 是中点，， ， 又在圆台中，平面，平面， 所以，， 分别记圆台的上下底面圆半径为, 则， . 17. 如图，在中，内角A，B，C所对的边分别为为BC上一点，. （1）若，求的面积； （2）若，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，利用，可求得，可求面积； （2）设，则，利用余弦定理可得，求得，利用正弦定理可得，进而利用余弦定理可求得. 【小问1详解】 ，则， 是直角三角形， 在中，，， ， . 【小问2详解】 设，则， 在中，由余弦定理，得，解得. 即， 在中，由正弦定理，得，即， ，. 在中，由余弦定理，得， . 18. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面，为的中点，，. （1）求证：平面平面； （2）求四棱锥的体积； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：平面，平面， ， 为等边三角形，为的中点， ， 又，平面， 平面， 又平面， 平面平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先由已知的线面垂直推出线线垂直，再由等边三角形三线合一的性质得另一组线线垂直，两组线线垂直得线面垂直，从而得面面垂直； （2）先计算出等边三角形的边长和面积，代入三棱锥的体积公式即可计算三棱锥的体积，分析可知，四棱锥的体积是三棱锥的体积的2倍； （3）通过作出辅助线，找到直线与平面所成角的平面角，运用直角三角形中非直角的角的正弦公式计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知平面， ，， 又为的中点，根据三线合一的性质，， 平面，平面， ，根据勾股定理， ， ， ， . 【小问3详解】 过点作于，连接， 由（1）知平面平面，平面平面， 平面， 直线与平面所成角即为， 又，， 根据相似三角形对边成比例，在Rt中，， ，， ，， ，即直线与平面所成角的正弦值为. 19. 已知函数，称为的“伴随向量”，为的“伴随函数”（为坐标原点）. （1）求的伴随向量； （2）若为单位圆上两点，的伴随函数为，求最小时，的最大值； （3）若为抛物线上位于第一象限内一点，的伴随函数在处取得最大值，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用两角和的正弦公式化简，再根据“伴随向量”的定义可直接求解； （2）由，可知三点共线，根据最小时，，然后可得的最大值即为，求出即可； （3）根据辅助角公式的含义可得，再利用换元法可求范围. 【小问1详解】 ， 的“伴随向量”. 【小问2详解】 由，知三点共线， 为单位圆上两点，最小时， 此时， 依题意，设，则，其中, 所以，的最大值即为 为单位圆上两点，，故的最大值为. 【小问3详解】 设，其中， 则 其中 当，即时，取得最大值， 此时 令，由，得当且仅当时等号成立， 函数在上单调递减，， 即的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $