精品解析：江西省部分校2024-2025学年高二下学期第八次联考数学试卷

高二数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：北师大版必修第一册前五章，选择性必修第二册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简集合，再根据集合的交集运算求解. 【详解】由题意得，， 所以． 故选：C. 2. 在数列中，，则（ ） A. B. 13 C. D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，分别求得的值，得到数列的规律，即可求解. 【详解】由数列中，，可得， 所以数列的奇数项为2，偶数项为9，所以． 故选：D. 3. 已知函数，则（ ） A. B. 1 C. 0 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数导数，令即可得解. 【详解】由题可得， 令，可得， 解得． 故选：B 4. 已知函数 的定义域为，则 “ 为奇函数” 是 “ 为偶函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性、充分和必要条件等知识来确定正确答案. 【详解】依题意，函数 的定义域为， 若“ 为奇函数” ，则对于， 有，即 “ 为偶函数”. 若 “ 为偶函数”，如，则为偶函数， 不能得到 “ 为奇函数”， 所以“ 为奇函数” 是 “ 为偶函数”的充分不必要条件. 故选：A 5. 已知，则下列式子一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过特殊值排除ABD选项，利用不等式的性质证明C选项. 【详解】对于A，当时，不等式不成立，所以A错误． 对于B，当时，满足，但，所以B错误． 对于C，因为，所以，则，所以C正确． 对于D，当时，，不符合，所以D错误． 故选：C. 6. 若是定义在区间上的函数，其图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合图象，利用导数与函数单调性间的关系，得和时，的取值范围，即可求解. 【详解】由图可知的减区间为，，增区间为， 所以当时，，当时，， 又由图知，当时，，当时，， 所以的解集为， 故选：B. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合对数函数单调性得到，从而比较出大小. 【详解】因为，所以． 故选：A 8. 记为正项等比数列的前项和，若，则（ ） A. 12 B. 22 C. 30 D. 38 【答案】C 【解析】 【分析】由等比数列前项和的性质可得结果. 【详解】因为是等比数列，所以成等比数列， 故． 又，代入，解得． 因为，所以． 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 的最小值为0 【答案】AB 【解析】 【分析】根据基本不等式可判断A，由式子变形及A中结论判断B，根据“1”的技巧及基本不等式判断C，根据消元后，利用基本不等式求解最小值即可判断D. 【详解】因为，所以，当且仅当时，等号成立， 所以，所以，则A正确； 因为，所以，当且仅当时，等号成立，则B正确． 因为，所以， 当且仅当时，等号成立，则C错误； ，当且仅当时，等号成立，则D错误． 故选：AB 10. 如图，三角形数阵由一个等差数列1，2，3，4，5，⋯排列而成，按照此规律，记第行的第个数为，第行所有数之和为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】先根据图得出，求出，再结合题意、等差数列的通项公式及前项和即可逐项判断. 【详解】由图可知，，， 则 . 所以，，故选项A正确； 因为，故选项B正确； 因为， 所以，故选项C错误； 因为，且第11行共有11个数， 所以，故选项D正确． 故选：ABD. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 对于任意实数的图象都是中心对称图形 B. 存在实数，使得的图象是轴对称图形 C. 若在其定义域内单调递增，则的取值范围为 D. 当时，恒成立，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】验算即可判断AB，由题意有在上恒成立，利用均值不等式即可判断C，由，得，即直线的图象在曲线的下方或二者相切，又表示直线与轴的交点，即求与轴交点即可. 【详解】函数的定义域为，因为， 故对于任意实数的图象都是中心对称图形，显然A正确，B错误． 若在其定义域内单调递增，则在上恒成立， 因为，， 当且仅当时，等号成立，所以，解得，故C正确． 由，可得，所以直线的图象在曲线的下方或二者相切, 表示直线与轴的交点，令得，解得， 所以当直线与曲线相切于点时，取得最小值， 最小值为，故D正确． 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数，则_______． 【答案】3 【解析】 【分析】通过赋值求得的值. 【详解】令，则. 故答案为：. 13. 若偶函数满足，且当时，，则函数有_______个零点． 【答案】6 【解析】 【分析】先根据函数的周期性、奇偶性及当时，作出函数的图象；再根据解析式的特点作出函数的图象；最后根据数形结合思想即可求解. 【详解】由函数满足可得：是函数的一个周期. 结合是偶函数，且当时，，作出函数的图象， 再作出函数的图象，如图所示： 由图象可知两个函数图象有6个交点， 所以函数有6个零点． 故答案为：6. 14. 已知是公差不为0的等差数列的前项和，数列是等差数列，．若，记是数列的前项和，则的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】设出公差，表达出，从而得到，得到，当时，，当时，，当时，，从而求出的最小值. 【详解】设数列的公差为， 则， ， 因为数列是等差数列，所以或，故或（舍去）， 解得， ， 当时，，当时，，当时，， 所以当或5时，取得最小值，最小值为． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知是定义在上的奇函数，当时，． （1）求的值； （2）求在上的解析式； （3）解不等式． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据上的奇函数，利用即可求； （2）根据函数为奇函数，，即可求在上的解析式； （3）根据函数的单调性，结合，即可解不等式. 【小问1详解】 因为函数是定义在上的奇函数，所以， 故，解得． 【小问2详解】 当，则，所以． 因为是定义在上的奇函数，所以， 即，即在上的解析式为． 【小问3详解】 当时，，易得在上单调递增． 因为是定义在上的奇函数，所以在上单调递增． 又，所以的解集为． 16. 为数列的前n项和．已知，． （1）证明：是等差数列． （2）设，求数列的前n项和． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用，结合等差数列定义证明即可. （2）由（1）得代入，得，利用错位相减法求解. 【小问1详解】 当时，，因为，所以. 当时，， ，即， 因为，所以， 所以数列是首项为4，公差为1的等差数列. 【小问2详解】 由（1）知， 所以， 则， 则， 两式相减得， 所以数列的前项和. 17. 已知函数，． （1）已知曲线在点处的切线斜率为，求a； （2）讨论的单调性． 【答案】（1） （2）当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减． 【解析】 【分析】（1）利用导数值为切线斜率，即可求参数； （2）利用分类讨论思想，即可判断导数正负，从而可得函数单调区间. 【小问1详解】 求导得：． 由题意得，所以． 【小问2详解】 的定义域为． 当时， 令，解得，此时在上单调递增， 令，解得，此时在上单调递减． 当时，令，解得或1． ①当，即时， 令，解得或，令，解得， 此时在和上单调递增，在上单调递减； ②当，即时， 在上恒成立，所以在上单调递增； ③当，即时， 令，解得或，令，解得， 此时在和上单调递增，在上单调递减． 综上，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减． 18. 在数列中，是和的等差中项，且集合为单元素集合． （1）求． （2）已知数列为等比数列，． （ⅰ）求的通项公式； （ⅱ）若，证明： 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用等差中项的性质及一元二次不等式的解法，即可求解； （2）（i）根据条件建立方程，结合（1）中结果，联立求解出，即可求解；（ii）根据（i）得，裂项相消，即可求解. 【小问1详解】 因为是和的等差中项，所以，即①， 又因为集合为单元素集合，即只有一个解， 所以，得到②， 由①②知． 【小问2详解】 （i）数列的前项为，又由（1）知，所以，即. 又由（1）可知，所以，即， 解得或，因为，所以，则， 则数列的公比为， 所以数列是以1为首项，为公比的等比数列， 则，得到． （ⅱ）证明：因为， 所以， 又，所以，故命题得证． 19. 若数列使得函数f（x）满足，则称为的进阶数列．已知函数，，，，． （1）证明：为的进阶数列． （2）证明：． （3）证明：为的进阶数列． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用等比数列的前n项和公式即放缩即可证明结论. （2）先构造函数，求导求函数的单调区间及最小值，即可证明，对自变量加1及求对数即可证明结论. （3）由（2）的结论，以及等比数列前n项和及放缩即可证明结论. 【小问1详解】 由题可知 ， 所以为的进阶数列． 【小问2详解】 构造函数，可得． 当时，，即函数在上单调递增； 当时，，即函数在上单调递减． 因此函数在处取得极小值，也是最小值， 即可得恒成立，即，当且仅当时，等号成立． 由，可得，即，当且仅当时，等号成立． 综上，恒成立，但等号不在同一点处取得， 所以，即． 【小问3详解】 由（2）中结论可知， 所以， 因此． 故 ， 即为的进阶数列． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：北师大版必修第一册前五章，选择性必修第二册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在数列中，，则（ ） A. B. 13 C. D. 9 3. 已知函数，则（ ） A. B. 1 C. 0 D. 2 4. 已知函数 的定义域为，则 “ 为奇函数” 是 “ 为偶函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知，则下列式子一定成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 若是定义在区间上的函数，其图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 记为正项等比数列的前项和，若，则（ ） A. 12 B. 22 C. 30 D. 38 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 的最小值为0 10. 如图，三角形数阵由一个等差数列1，2，3，4，5，⋯排列而成，按照此规律，记第行的第个数为，第行所有数之和为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 对于任意实数的图象都是中心对称图形 B. 存在实数，使得的图象是轴对称图形 C. 若在其定义域内单调递增，则的取值范围为 D. 当时，恒成立，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数，则_______． 13. 若偶函数满足，且当时，，则函数有_______个零点． 14. 已知是公差不为0的等差数列的前项和，数列是等差数列，．若，记是数列的前项和，则的最小值为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知是定义在上的奇函数，当时，． （1）求的值； （2）求在上的解析式； （3）解不等式． 16. 为数列的前n项和．已知，． （1）证明：是等差数列． （2）设，求数列的前n项和． 17. 已知函数，． （1）已知曲线在点处的切线斜率为，求a； （2）讨论的单调性． 18. 在数列中，是和的等差中项，且集合为单元素集合． （1）求． （2）已知数列为等比数列，． （ⅰ）求的通项公式； （ⅱ）若，证明： 19. 若数列使得函数f（x）满足，则称为的进阶数列．已知函数，，，，． （1）证明：为的进阶数列． （2）证明：． （3）证明：为的进阶数列． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $