辽宁省普通高中2024-2025学年高二下学期7月期末考试数学模拟试题（4）

高二数学答题卡 第 1页（共 6页） 高二数学答题卡 第 2页（共 6页） 高二数学答题卡 第 3页（共 6页） 辽宁省普通高中 2024-2025学年下学期 7月期末调研试题（4） 高二数学答题卡 姓 名 准考证号 填 涂 要 求 正确填涂 错误填涂示例 缺考考生由监考 员用 2B 铅笔填 涂右侧缺考标记 缺考标记 注 意 事 项 1.首先，检查题卡有无破损及印刷问题，若有问题请及时更换。用 0.5mm黑色字迹签字笔在 规定位置填写姓名、准考证号。核对条形码上姓名、准考证号是否正确，并贴好条形码。 2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5mm黑色字迹签字笔作答，字体工整、 笔迹清楚。 3.选择题修改时请用橡皮擦净后再作答；非选择题在对应题号答题区内作答，超出答题区域 的答案无效；选择题和非选择题在试卷、草稿纸上作答无效。 4.保持卡面清洁，不可折叠、污损。题卡上禁用涂改液、修正带和胶带纸。 第一部分 选择题（共 58分） （须用 2B铅笔填涂） 第二部分 非选择题（共 92分） （须用 0.5mm黑色字迹签字笔书写） 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 条 形 码 粘 贴 处 三、填空题：每小题 5分，共 15分． 12． ． 13． ． 14． ． 四、解答题（共 77分） 15．（本小题满分 13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 （续 15题） 16．（本小题满分 15分） 文本真实性 检测结果 总计 识别为 AI生成（篇） 识别为人类撰写（篇） 真实 AI生成（篇） 真实人类撰写（篇） 总计 200 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 17．（本小题满分 15分） ·监制 1． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9．[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10．[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 11．[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 高二数学答题卡 第 4页（共 6页） 高二数学答题卡 第 5页（共 6页） 高二数学答题卡 第 6页（共 6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 （续 17题） 18．（本小题满分 17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 （续 18题） 19．（本小题满分 17分） （续 19题） ·监制 绝密★启用前 辽宁省普通高中2024-2025学年下学期7月期末调研试题（4） 高二数学 命题人：辽宁省鸿飞教学研究中心 朱勃宇 审题人：辽宁省鸿飞教学研究中心 刘思瑞 命题范围：排列组合与二项式定理、概率与统计、数列、导数及其应用 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在等比数列中，，，则 A．36 B． C． D．6 2．设的导函数为，曲线在点处的切线与直线垂直，则 A． B． C． D． 3．若，则 A．1 B． C．129 D． 4．某校高三学生的模考数学成绩服从正态分布，按照、、、的比例将考试成绩划分为优秀、良好、合格和基本合格四个等级．若某同学的数学成绩为分，则他的等级是 附：，，． A．优秀 B．良好 C．合格 D．基本合格 5．已知离散型随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，且，，若的数学期望，则 A．19 B．16 C． D． 6．已知等比数列中，，，设数列的最大项为，最小项为，则 A． B． C． D． 7．记为数列的前n项和，若，且的值为1，2，3的可能性相同，则是奇数的概率为 A． B． C． D． 8．已知函数在处有最小值，最小值小于，则的取值范围是 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下列说法中正确的是 A．设和互为对立事件，则 B．若随机变量，且，则 C．若，则 D．若随机变量X的分布列为，则 10．已知函数有3个零点和2个极值点，则 A．的3个零点之和等于 B．的3个零点之积等于 C．在3个零点处的切线的斜率之和大于零 D．的3个零点和2个极值点的算术平均数相等 11．1679年，德国著名数学家、哲学家戈特弗里德·威廉·莱布尼茨发明了二进制，这是一种使用0和1两个数码的数制，是现代电子计算机技术的基础．对于整数可理解为逢二进一，比如：在十进制中的自然数1在二进制中就表示为表示为表示为表示为表示为．若自然数可表示为二进制表达式，则，其中当时，或，记为整数的二进制表达式中0的个数，则以下说法中正确的是 A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知等差数列的前项和为，且，则 ． 13．若随机变量服从两点分布，则的最大值为 ． 14．函数是定义在上的可导函数，为其导函数，若且，则不等式的解集为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分） 已知函数． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若有两个极值点，求a的取值范围． 16．（本小题满分15分） 某学术平台引入智能检测系统对所收集的文本进行筛查．检测系统对AI生成文本的识别准确率为98%，对人类撰写文本的识别准确率为96.5%．检测系统对所收集的文本进行筛查时，会对每篇文本输出一个“AI生成概率”得分y（分）．y与文本长度x（字）可以用一元线性回归模型来刻画，其线性回归方程为，且，，已知该平台中15%的文本由AI生成． （1）求回归系数； （2）从该平台随机选取一篇文本，求该文本被检测系统识别为人类撰写文本的概率（精确到0.001）； （3）现从平台中随机抽取200篇文本进行统计分析，填写列联表（篇数四舍五入取整数）；并依据小概率值的独立性检验，能否判断“检测结果”与“文本真实性”有差异？ 文本真实性 检测结果 总计 识别为AI生成（篇） 识别为人类撰写（篇） 真实AI生成（篇） 真实人类撰写（篇） 总计 200 参考公式： 提示：独立性检验中常用的小概率值和相应的临界值 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17．（本小题满分15分） 设为数列的前n项和，已知是公比为2的等比数列． （1）证明：是等比数列； （2）求的通项公式以及； （3）设，若，，求m的取值范围． 18．（本小题满分17分） 已知函数． （1）当为奇数时，证明：的图象关于点对称； （2）当时，，求的取值范围； （3）证明：当时，． 19．（本小题满分17分） 某次投篮游戏，规定每名同学投篮次，投篮位置有A, B两处，第一次在A处投，从第二次开始，若前一次未投进，则下一次投篮位置转为另一处；若前一次投进，则下一次投篮位置不变．在A处每次投进得2分，否则得0分；在处每次投进得3分，否则得0分．已知甲在A, B两处每次投进的概率分别为，，且每次投篮相互独立．记甲第次在A处投篮的概率为，第次投篮后累计得分为． （1）求的分布列及数学期望； （2）求的通项公式； （3）证明：． 参考公式：若，是离散型随机变量，则． 辽宁鸿飞 高二数学试卷 第 1 页（共 4 页） 高二数学试卷 第 1 页（共 4 页） 辽宁鸿飞 学科网（北京）股份有限公司 $$ 辽宁省普通高中2024-2025学年下学期7月期末调研试题（4） 高二数学 参考答案与解析 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C B B A D B C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 题号 9 10 11 答案 ABC BCD ABD 1．D 【分析】根据等比数列的性质即可求解． 【详解】等比数列中，，， ，由于故，所以， 故选：D． 2．C 【分析】根据题意，得到曲线在点处的切线的斜率为，进而得到的值，得到答案． 【详解】曲线在点处的切线与直线垂直， 可得曲线在点处的切线的斜率为，所以． 故选：C． 3．B 【分析】利用赋值法求解即可． 【详解】令可得，令可得，即， 故选：B 4．B 【分析】利用正态分布的原则即可求解． 【详解】由题意可知，，所以，， 因为， 所以，根据比例成绩大于分为优秀， 因为，根据比例成绩在到之间的为良好， ，根据比例成绩在到之间的为合格， ，根据比例成绩小于分为基本合格， 因为小张的数学成绩为分，则他的等级是良好． 故选：B． 5．A 【分析】首先设，利用期望公式，计算，求实数，再根据分布列求,根据方差的性质，计算结果． 【详解】由题知，设，则，因此，解得，因此离散型随机变量的分布列如下： 0 1 2 3 则，因此． 故选：A 6．D 【分析】设等比数列的公比为，根据题意求出、的值，可得出数列的通项公式，分析数列奇数项和偶数项的单调性，可得出、的值，即可得解． 【详解】设等比数列的公比为，由，解得， 所以，， 当为奇数时，； 当为偶数时，． 所以，数列的奇数项单调递增，偶数项单调递减， 故，，， 故选：D． 7．B 【分析】首先分为奇数和为偶数时，根据递推关系得到概率的递推关系式，转化为数列问题，利用递推关系式，求数列的通项公式． 【详解】记事件A为“为奇数”，事件为“为奇数”，是奇数的概率为． 当为奇数时，若，则仍然为奇数， 当为偶数时，若或3，则为奇数，从而， 即，即，整理可得． 又，所以是首项为，公比为的等比数列，则， 所以．故是奇数的概率为． 故选：B 8．C 【分析】分析可知函数在取极小值，可得出，则，利用导数分析函数的单调性，结合可求出的取值范围，即可得出的取值范围． 【详解】函数的定义域为，且， 由于函数在有最小值，则函数在取极小值，则， 所以， 即， 当时，对任意的恒成立，，不合乎题意； 当时，由可得，由可得, 此时函数的减区间为，增区间为，此时函数在处取得极小值，即最小值，合乎题意； 当时，由可得，由可得， 此时函数的减区间为，增区间为，此时函数在处取得极大值，不合乎题意． 所以，由题意可得，则，解得， 因此，． 故选：C． 9．ABC 【分析】利用条件概率的公式可判断A，利用二项分布的期望和方差公式可判断B，利用全概率公式可判断C，由超几何分布的期望公式可判断D． 【详解】对于A，由条件概率的公式可知，故A正确 对于B，因为，所以， 则，所以， 所以，故B正确 对于C，根据全概率公式，， 故，故C正确 对于D，由题意知，服从，，的超几何分布，所以，故D错误． 故选：ABC 10．BCD 【分析】令三个零点为，则并展开，结合已知解析式判断A、B；对函数求导有，由，若两个极值点为，则，且，即可判断C、D． 【详解】由题设，令三个零点为，则， 又，则，，A错，B对； 对函数求导得，显然，即， 若两个极值点为，则，故，D对； 三个零点的斜率之和为， 又，且， 所以， 所以，C对． 故选：BCD 11．ABD 【分析】根据题设新定义分别写出的二进制表示方式，判断A、B；由判断C；根据，结合二项式定理有，即可判断D． 【详解】对于A：，故，对； 对于B：，其中共有3个0，故，对； 对于C：，，故，显然时，错； 对于D：，则， 所以，对． 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．4 【分析】根据等差数列和的性质及项的性质计算求解． 【详解】由等差数列的性质可知，即， 由，得， 即，又， 所以． 故答案为：4． 13． 【分析】根据两点分布期望和方差公式可将所求式子化为，利用基本不等式可求得结果． 【详解】服从两点分布，设成功的概率为p， 可得，，其中， （当且仅当，即时取等号）， 的最大值为． 故答案为：． 14． 【分析】构造函数，由题知 得到在的最小值为0，得到在单增，在上，等价于，利用单调性可解． 【详解】构造函数， 在上，等价于， , ,得 ， 在上单增，在上单减， 在上，恒成立， 又，则 又在上，等价于，即，则 不等式的解集为 故答案为： 【点睛】利用导数比较大小或解不等式的常用技巧 利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式．常见构造的辅助函数形式有： （1） )；（2）； （3）；(4)；(5) ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） （1） （2） 【分析】（1）根据导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程． （2）问题转化为方程有两个正根，设函数，通过求导，分析函数的单调性和极值及走势，可得a的取值范围． 【详解】（1）当时，（）． 因为，所以所求切线的切点为． 又，所以． 所以曲线在处的切线方程为：，即． （2）因为（）， 所以（）． 有两个极值点在上有两个不同的变号零点． 由（）． 设（），则． 由；由． 所以在上单调递增，在上单调递减． 又，，当时，恒成立， 所以方程有两个不等的正根等价于：． 所以所求的取值范围是 16．（本小题满分15分） （1） （2） （3）判断“检测结果”与“文本真实性”有差异 【分析】（1）利用回归直线过样本中心可求回归系数； （2）利用全概率公式可求概率； （3）完善列联表，再根据公式计算卡方，结合临界值表判断即可． 【详解】（1）因为，且，， 故，故． （2）记事件为 “由AI生成的文本”， 为“由人类撰写的文本”， 为“被检测系统识别为人类撰写的文本”， 由题意知，，，，， 由全概率公式知： ， 即该文本被检测系统识别为人类撰写文本的概率约为． （3）AI生成的篇数为，人类撰写的篇数为， 真实AI生成且被识别为AI生成的篇数， 真实人类撰写且被识别为人类撰写的篇数， 故列联表为： 文本真实性 检测结果 总计 识别为AI生成（篇） 识别为人类撰写（篇） 真实AI生成（篇） 29 1 30 真实人类撰写（篇） 6 164 170 总计 35 165 200 零假设为：分类变量相互独立，即“检测结果”与“文本真实性”无差异． 由列联表数据计算得，， 所以依据小概率值的独立性检验，可以判断“检测结果”与“文本真实性”有差异． 17．（本小题满分15分） （1）证明见解析 （2）， （3） 【分析】（1）根据给定条件，利用等比数列定义求得，再利用前n项和与第n项的关系推理得证； （2）利用（1）的信息即可求出，； （3）求出并求出其最大项，建立不等式求解． 【详解】（1）证明：由已知可得，数列是首项为1，公比为2的等比数列， 则，即，① 则，② ②①得：，即， 可得，又， 是等比数列． （2）由（1）知， 则． （3）由，且，得， 当时，，当时，， ， 若，则， 若，则，可得， 因此数列的最大项为， 由，，得， 即，整理得，则，即， 的取值范围是． 18．（本小题满分17分） （1）证明见解析 （2） （3）证明见解析 【分析】（1）依据函数的性质，通过对进行化简，结合为奇数这一条件，判断函数的对称性． （2）对函数求导，根据导数的正负判断函数的单调性，进而分析函数的最值情况，从而确定满足时的取值范围． （3）利用已知不等式对进行放缩，然后通过裂项相消法对数列求和，进而证明不等式． 【详解】（1）由题得． 因为为奇数， 所以． 即． 所以的图象关于点对称． （2）令． 则． ①当时，显然有． 所以成立； ②当时， 当时，因为， 所以， 即在区间上单调递减， 所以当时，． 即， 所以，不满足题意； ③当时， 当时，因为， 所以， 即在区间上单调递增， 当时，，即． 当时，因为， 所以，即在区间上单调递减， 所以的最大值为． 所以，即． 所以，符合题意． 综上，的取值范围为． （3）由（2）可知，当时，． 因为． 显然，且． 所以． 当时，显然成立； 当时，因为． 所以． 即 ． 综上，当时， 19．（本小题满分17分） （1）分布列见解析， （2）（，2，……，） （3）证明见解析 【分析】（1）设“甲第次在处投进”为事件，“甲第次在处投进”为事件，，2，依题意，的可能取值为0，2，3，4，根据独立事件概率乘法公式分别求解随机变量对应的概率即可得分布列，从而得数学期望； （2）当时，甲第次在处投篮分两种情形：①第次在处投篮且投进； ②第次在处投篮且未投进．分别确定概率，结合数列的递推关系得等比数列，根据等比数列的通项公式求解的通项公式即可； （3）第次在处投篮的概率为，在处投篮的概率为，记第次得分，则的可能取值为0，2，3，分别求解概率即可计算数学期望，结合指数函数的性质证明结论即可． 【详解】 （1）设“甲第次在处投进”为事件，“甲第次在处投进”为事件， ，2，依题意，的可能取值为0，2，3，4． ， ， ， ， 所以的概率分布为 0 2 3 4 （分）． （2）当时，甲第次在处投篮分两种情形： ①第次在处投篮且投进，这种情形概率为； ②第次在处投篮且未投进，这种情形概率为． 所以， 故， 因为， 所以是以为首项，为公比的等比数列． 所以， 即，，2，……，． （3）因为第次在处投篮的概率为，在处投篮的概率为， 记第次得分，则的可能取值为0，2，3， ， ， ， 所以， 因为， 所以 ， 因为， 所以． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 辽宁省普通高中2024-2025学年下学期7月期末调研试题（4） 高二数学 命题人：辽宁省鸿飞教学研究中心 朱勃宇 审题人：辽宁省鸿飞教学研究中心 刘思瑞 命题范围：排列组合与二项式定理、概率与统计、数列、导数及其应用 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在等比数列中，，，则 A．36 B． C． D．6 2．设的导函数为，曲线在点处的切线与直线垂直，则 A． B． C． D． 3．若，则 A．1 B． C．129 D． 4．某校高三学生的模考数学成绩服从正态分布，按照、、、的比例将考试成绩划分为优秀、良好、合格和基本合格四个等级．若某同学的数学成绩为分，则他的等级是 附：，，． A．优秀 B．良好 C．合格 D．基本合格 5．已知离散型随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，且，，若的数学期望，则 A．19 B．16 C． D． 6．已知等比数列中，，，设数列的最大项为，最小项为，则 A． B． C． D． 7．记为数列的前n项和，若，且的值为1，2，3的可能性相同，则是奇数的概率为 A． B． C． D． 8．已知函数在处有最小值，最小值小于，则的取值范围是 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下列说法中正确的是 A．设和互为对立事件，则 B．若随机变量，且，则 C．若，则 D．若随机变量X的分布列为，则 10．已知函数有3个零点和2个极值点，则 A．的3个零点之和等于 B．的3个零点之积等于 C．在3个零点处的切线的斜率之和大于零 D．的3个零点和2个极值点的算术平均数相等 11．1679年，德国著名数学家、哲学家戈特弗里德·威廉·莱布尼茨发明了二进制，这是一种使用0和1两个数码的数制，是现代电子计算机技术的基础．对于整数可理解为逢二进一，比如：在十进制中的自然数1在二进制中就表示为表示为表示为表示为表示为．若自然数可表示为二进制表达式，则，其中当时，或，记为整数的二进制表达式中0的个数，则以下说法中正确的是 A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知等差数列的前项和为，且，则 ． 13．若随机变量服从两点分布，则的最大值为 ． 14．函数是定义在上的可导函数，为其导函数，若且，则不等式的解集为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分） 已知函数． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若有两个极值点，求a的取值范围． 16．（本小题满分15分） 某学术平台引入智能检测系统对所收集的文本进行筛查．检测系统对AI生成文本的识别准确率为98%，对人类撰写文本的识别准确率为96.5%．检测系统对所收集的文本进行筛查时，会对每篇文本输出一个“AI生成概率”得分y（分）．y与文本长度x（字）可以用一元线性回归模型来刻画，其线性回归方程为，且，，已知该平台中15%的文本由AI生成． （1）求回归系数； （2）从该平台随机选取一篇文本，求该文本被检测系统识别为人类撰写文本的概率（精确到0.001）； （3）现从平台中随机抽取200篇文本进行统计分析，填写列联表（篇数四舍五入取整数）；并依据小概率值的独立性检验，能否判断“检测结果”与“文本真实性”有差异？ 文本真实性 检测结果 总计 识别为AI生成（篇） 识别为人类撰写（篇） 真实AI生成（篇） 真实人类撰写（篇） 总计 200 参考公式： 提示：独立性检验中常用的小概率值和相应的临界值 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17．（本小题满分15分） 设为数列的前n项和，已知是公比为2的等比数列． （1）证明：是等比数列； （2）求的通项公式以及； （3）设，若，，求m的取值范围． 18．（本小题满分17分） 已知函数． （1）当为奇数时，证明：的图象关于点对称； （2）当时，，求的取值范围； （3）证明：当时，． 19．（本小题满分17分） 某次投篮游戏，规定每名同学投篮次，投篮位置有A, B两处，第一次在A处投，从第二次开始，若前一次未投进，则下一次投篮位置转为另一处；若前一次投进，则下一次投篮位置不变．在A处每次投进得2分，否则得0分；在处每次投进得3分，否则得0分．已知甲在A, B两处每次投进的概率分别为，，且每次投篮相互独立．记甲第次在A处投篮的概率为，第次投篮后累计得分为． （1）求的分布列及数学期望； （2）求的通项公式； （3）证明：． 参考公式：若，是离散型随机变量，则． 答案第1页，共2页 高二数学试卷 第 5 页（共 4 页） 辽宁鸿飞 高二数学试卷 第 6 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$