精品解析：四川省达州市达川区2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题

达川区2025年春季学期教学质量检（监）测 八年级数学试卷 （满分：150分；时间：120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，每个小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称及中心对称定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐项判断，即可解题． 【详解】解：A、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； 故选：A． 2. 下列等式从左到右变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解定义．正确理解因式分解的结果是“整式的积”的形式，是解题的关键．把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，据此解答即可． 【详解】解：A. ，是整式的乘法运算，不符合因式分解的定义，不符合题意； B. ，故原选项分解因式错误，不符合题意； C. ，右侧不是积的形式，不符合因式分解，不符合题意； D. ，将左边多项式转化为完全平方形式，符合因式分解的定义，故符合题意； 故选：D． 3. 若，则下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．根据不等式的基本性质，逐一分析各选项的正确性． 【详解】解：， ，，，故选项A、B错误，选项C正确； 当，则，即，故选项D错误； 故选：C． 4. 如图，B，C两地被池塘隔开，为了测量B，C间的距离，小明在池塘一侧的平地上选一点A，再分别找出线段的中点D，E，若小明测得的长是12米，则B，C间的距离为（ ）米． A. 48 B. 24 C. 12 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键． 直接根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：线段的中点分别为D，E， ， 测得的长是12米， 米； 故选：B． 5. 如图，已知一次函数和的图象交于点，当时，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根据一次函数交点求不等式组的解集，熟练掌握数形结合思想是解题的关键．利用图象法，根据函数图象求解即可． 【详解】解：∵函数和的图象交于点， ∴由图象可得：的解集为：， ∴当时，的取值范围是． 故选：C． 6. 用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做平面镶嵌问题．如图，利用相同边长的正三角形可以进行平面镶嵌．请问下列图形或图形组合无法进行平面镶嵌的是（ ） A. 全等三角形 B. 边长相等的正方形 C. 边长相等的正三角形 D. 边长相等的正五边形 【答案】D 【解析】 【分析】根据判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能判断即可． 【详解】解：A选项，三角形内角和是180°，180°×2=360°，能镶嵌，故该选项不符合题意； B选项，正方形的每个内角是90°，90°×4=360°，能镶嵌，故该选项不符合题意； C选项，正三角形的每个内角是60°，60°×6=360°，能镶嵌，故该选项不符合题意； D选项，正五边形的每个内角是108°，不能镶嵌，故该选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了平面镶嵌（密铺），掌握判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能是解题的关键． 7. 下列说法中，错误的是（ ） A. 如果两个三角形成中心对称，那么这两个三角形一定全等 B. 若等腰三角形的两边长分别为，则该等腰三角形的周长是或 C. 三角形的三边分别为a，b，c，如果满足，那么该三角形是直角三角形 D. 用反证法证明命题“在三角形中，至少有一个内角大于或等于”时，第一步应假设“三角形中三个内角都小于” 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反证法、命题的真假判断的概念．根据中心对称图形，三角形三边关系，等腰三角形的定义、勾股定理的逆定理、反证法的应用判断即可． 【详解】解：A：中心对称的两个图形全等，正确，不符合题意； B：等腰三角形边长为， 若腰为，则三边为，此时，不满足三角形三边关系， 若腰为，则三边为，此时，满足三角形三边关系， 故周长是，错误，符合题意； C：由可得，符合勾股定理，说明是直角三角形，正确，不符合题意； D：反证法需假设原命题的否定，即“三个内角都小于”，正确，不符合题意； 故选：B． 8. 如图，将周长为12的沿方向平移3个单位长度得到，则四边形的周长为（ ） A. 18 B. 17 C. 16 D. 15 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平移的性质，根据平移的性质，得到，结合的周长，进行求解，即可解题． 【详解】解：由周长为12的沿方向平移3个单位长度得到， 得， 四边形的周长为； 故选：A． 9. 如图，在中，对角线相交于点O，过点O作交于E，若，，，则的长为（ ） A. B. C. 8 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，垂直平分线的判定与性质，勾股定理与勾股逆定理，先得出垂直平分，则，根据勾股逆定理，得出则，即可作答． 【详解】解：连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， 即， ∴ ∴， ∴． 故选：D． 10. 如图，在正方形外取一点E，连接．过点B作交于点P．若，，下列结论： ①；②点C到直线的距离为；③P是的中点；④． 其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方形性质证明即可判断①，过点作交的延长线于点，利用全等三角形的判定和性质，以及勾股定理求出即可判断②，进而求出即可判断③，利用求出即可判断④． 【详解】解：①四边形为正方形， ， ， ， ， ， ， 故①正确； ②过点作交的延长线于点， ，， ，， ， ， ， ，， ， 为等腰直角三角形，即， ， ， ， ， 点C到直线的距离是1， 故②错误； ③， ， ， ， P不是的中点， 故③错误； ④， ， ， ， 故④正确． 综上所述，正确的有2个， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、正方形的性质、等腰三角形的性质和判定，勾股定理，正方形和三角形的面积公式的运用等知识，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 11. 我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，如图1所示，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．图2是八角形窗户的示意图，它的一个外角的大小为____°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多边形外角和定理，平面镶嵌等知识点，掌握外角和定理是解题的关键． 由多边形的外角和定理直接可求出结论． 【详解】∵正八边形的每一个外角都相等，外角和为， ∴它的一个外角． 故答案为：． 12. 已知，，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了因式分解−提公因式法，代数式求值．注意整体思想在解题中的应用．将所求代数式提取公因式后进而代入，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故答案是：25． 13. 如图，在中，，分别以点C，B为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线分别交于点D，E，连接相交于点P．若，则的大小为__________． 【答案】##69度 【解析】 【分析】本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线的性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．由作图可知，可得，根据直角三角形斜边上中线的性质可得，然后由角的和差关系可得答案． 【详解】解：由作图可知是的垂直平分线， ， ， ， ，，， ∴， ， ， ， 故答案为：． 14. 若关于的方程无解，则的值为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了分式方程无解问题，掌握整式方程无解或分式方程有增根时，分式方程无解是关键． 将分式方程转化为整式方程，分整式方程无解和分式方程有增根两种情况求解． 【详解】解：去分母得：， 整理得：，即， 当，即时，整式方程无解，满足题意； 当，即时，， 此时分式方程的增根为或， 代入得：（无解）或， 解得：， 综上所述，的值为或． 15. 如图，在中，是的中点，连接、，是的中点，连接交于点．若，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点F，连接，，延长，取，连接，证明四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，得出，，证明，得出，，证明为的中位线，得出，最后求出结果即可． 【详解】解：取的中点F，连接，，延长，取，连接，如图所示： ∵四边形为平行四边形， ∴，，，， ∵E为的中点，为的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形，四边形为平行四边形， ∴，， ∵、为的对角线，M为的中点， ∴为、的交点， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴为的中位线， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 三、解答题（共90分） 16. （1）解不等式组：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，解分式方程，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）分别求出两个不等式，然后求出不等式组的解集； （2）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对分式方程的解进行检验即可． 【详解】解：（1）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：； （2）， 去分母得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的解． 17. 先化简：，再将从，2，3中选取一个适当的数代入求值． 【答案】，5 【解析】 【分析】本题主要考查了分式化简求值，熟练掌握分式混合运算法则，分式有意义的条件，是解题的关键．先根据分式混合运算法则进行化简，然后再代入数据求值即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴，， 把代入得：原式． 18. 在平面直角坐标系中，如图所示，，，． （1）请画出关于原点O对称的； （2）将向右平移4个单位得到，请画出； （3）线段与关于点D成中心对称，请直接写出点D的坐标． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）点的坐标为 【解析】 【分析】本题考查作图—旋转变换、作图—平移变换，熟练掌握中心对称的性质、平移的性质是解答本题的关键． （1）根据中心对称的性质作图即可； （2）根据平移的性质作图即可； （3）连接相交于点，即可得出答案． 【小问1详解】 解：如图， 即所求； 【小问2详解】 解：如图， 即为所求； 【小问3详解】 解：连接 相交于点， ∴点的坐标为． 19. 暑假期间，两名家长计划带领若干名学生去旅游，他们联系了报价均为元的两家旅行社．经协商，甲旅行社的优惠条件是：两名家长全额收费，学生都按七折收费．乙旅行社的优惠条件是：家长学生都按八折收费．假设这两位家长带领名学生去旅游． （1）分别写出甲、乙旅行社的收费（元）、（元）关于的函数关系式． （2）他们应该选择哪家旅行社更合算？ 【答案】（1），； （2）当时，选择甲旅行社更合算；当时，两家旅行社收费相同；当时，选择乙旅行社更合算． 【解析】 【分析】（）根据题意写出（元）、（元）关于的函数关系式即可； （）分、和三种情况计算即可求解； 本题考查了一次函数的实际应用，根据题意，正确得出函数关系式是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意可得，， ； 【小问2详解】 解：当时，即， 解得； 当时，即， 解得； 当时，即， 解得； ∴当时，选择甲旅行社更合算；当时，两家旅行社收费相同；当时，选择乙旅行社更合算． 20. 如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO＝CO，点E在BD上，满足∠EAO＝∠DCO． （1）求证：四边形AECD是平行四边形； （2）若AB＝BC，CD＝5，AC＝8，求四边形AECD的面积． 【答案】（1）见解析；（2）24 【解析】 【分析】（1）根据题意可证明，得到OD＝OE，从而根据“对角线互相平分的四边形为平行四边形”证明即可； （2）根据AB=BC，AO=CO，可证明BD为AC 的中垂线，从而推出四边形AECD为菱形，然后根据条件求出DE的长度，即可利用菱形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：在△AOE 和△COD中， ∴． ∴OD＝OE． 又∵AO＝CO， ∴四边形AECD 是平行四边形． （2）∵AB＝BC，AO＝CO， ∴BO为AC的垂直平分线，． ∴平行四边形 AECD是菱形． ∵AC＝8， ． 在 Rt△COD 中，CD＝5， ， ∴， ， ∴四边形 AECD 的面积为24． 【点睛】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定与面积计算，掌握基本的判定方法，熟练掌握菱形的面积计算公式是解题关键． 21. 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计奖品兑换方案？ 素材1 某文具店销售某种钢笔与笔记本，已知钢笔的单价是笔记本的2倍，用120元购买笔记本的数量比用160元购买钢笔的数量多8件． 素材2 为奖励作文比赛的优胜选手，某年级购买了100支钢笔和90本笔记本，文具店随即也赠送了m张兑换券（如图）用于商品兑换．兑换后，笔记本与钢笔的总数量相等． 问题解决 任务1 探求商品单价 请运用分式方程，求出钢笔与笔记本的单价， 任务2 确定兑换方式 运用数学知识，直接确定符合条件的一种具体的兑换方式． 【答案】任务1：笔记本的单价为5元，钢笔的单价为10元；任务2：文具店赠送5张兑换券，其中有3张兑换券兑换钢笔，有2张兑换券兑换笔记本 【解析】 【分析】本题主要考查的是分式方程和二元一次方程的应用，不等式组的应用，从题目中找出等量关系，列出方程并求解是解题的关键． 任务1：设笔记本的单价为元，则钢笔的单价为元，根据题意，可列方程，求解即可； 任务2：设有张兑换券兑换钢笔，则有张兑换券兑换笔记本，根据题意，得，整理得：，根据，确定a的取值范围，根据，均为正整数，且为偶数的倍数），确定a的值即可． 【详解】解：任务1：设笔记本的单价为x元，则钢笔的单价为2x元， 根据题意，得， 解得：， 经检验，是原方程的根， 此时(元)， 答：笔记本的单价为5元，钢笔的单价为10元． 任务2：当购买钢笔的数量为100支，笔记本数量为90本时，设有张兑换券兑换钢笔，则有张兑换券兑换笔记本， 根据题意，得， 整理得：， ， ， ， ，均为正整数，且为偶数的倍数）， ∴，，则，成立； 文具店赠送5张兑换券，其中有3张兑换券兑换钢笔，有2张兑换券兑换笔记本． 22. 如图，在中，平分，于点，于点F，． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义和性质、平行线的性质、证明两直角三角形全等、以及“直角三角形中角所对的边等于斜边的一半”的性质．熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）由角平分线的性质定理可得，再根据证明，即可得． （2）由角平分线的定义和平行线的性质可得，．在中，可得，则可得．又由角平分线的性质定理可得，由此可得，即可得解． 【小问1详解】 证明：平分，，， ，． 又， ． ． 【小问2详解】 解：平分，， ，． ， ，， ， ． 在中，， ， ． 平分，，， ， ． 23. 阅读材料：对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有： 像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．利用“配方法”，解决下列问题： （1）因式分解：__________； （2）若三边长是a，b，c，满足，且为偶数，求的周长的最小值； （3）当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． 【答案】（1） （2）13 （3），9 【解析】 【分析】本题考查了配方法，三角形三边关系，分解因式的应用，解题的关键是正确理解题意给出的方法，本题属于基础题型． （1）根据题目中的例子，可以对题目中的式子配方后分解因式； （2）根据题目中的式子，利用配方法可以求得a、b的值，根据三角形三边关系确定c的值，由三角形周长可得结论； （3）根据配方法即可求出答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴，， 解得：，， ∵的三边长是a，b，c， ∴， 又∵c边的长为偶数， ∴，6，8， 当，，时，的周长最小，最小值是：； 【小问3详解】 解： ， ∴当时，多项式有最大值，最大值是9． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点A，C，经过点C的直线与轴交于点． （1）求直线的解析式； （2）若点G为线段上一动点，当时，求点G的坐标； （3）在（2）的条件下，平面内是否存在点D，使得以点A，B，G，D为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在；点坐标为或或 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求直线的解析式即可； （2）设，由题意可得，求出的值即可求点的坐标； （3）先求出，设，分三种情况讨论：当为平行四边形对角线时，当为平行四边形对角线时，当为平行四边形对角线时，根据中点坐标公式列出方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：把代入得， ， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：G为线段上一点，设， 把代入得， 解得：， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：存在点，使以点A，B，G，D为顶点的四边形为平行四边形，理由如下： 设点D的坐标为， 把代入得， 解得：， ∴， ∵， ①当为平行四边形对角线时，， 解得， ∴； ②当为平行四边形对角线时， 解得， ∴； ③当为平行四边形对角线时，， 解得， ∴； 综上所述：点坐标为或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图象及性质，平行四边形的性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，平行四边形的性质，采用分类讨论的思想解题，是解此题的关键． 25. 如图，在中，，将绕着C点顺时针旋转α角度（）得到，连接，延长交于F． （1）如图1，当E在上时，求证：； （2）在旋转过程中，线段与有什么样的数量关系？利用图2证明你的结论； （3）如图3，当时，若，求线段的长度． 【答案】（1）见解析 （2）；证明见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，熟练掌握相关的判定和性质，是解题的关键． （1）根据等边对等角得到，再由，即可证明结论； （2）作于N，交的延长线于M．证明，得到，再证明，得到，据此可得结论； （3）如图3，作于N，交的延长线于M．先利用勾股定理得到，，则，接着证明，得到，在中， ，则． 【小问1详解】 证明：由旋转的性质可得， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：，证明如下： 如图2，作于N，交的延长线于M． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图3，作于N，交的延长线于M． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 在中， ， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 达川区2025年春季学期教学质量检（监）测 八年级数学试卷 （满分：150分；时间：120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，每个小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列等式从左到右变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，B，C两地被池塘隔开，为了测量B，C间的距离，小明在池塘一侧的平地上选一点A，再分别找出线段的中点D，E，若小明测得的长是12米，则B，C间的距离为（ ）米． A. 48 B. 24 C. 12 D. 6 5. 如图，已知一次函数和的图象交于点，当时，则的取值范围是（ ） A B. C. D. 6. 用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做平面镶嵌问题．如图，利用相同边长的正三角形可以进行平面镶嵌．请问下列图形或图形组合无法进行平面镶嵌的是（ ） A. 全等三角形 B. 边长相等的正方形 C. 边长相等的正三角形 D. 边长相等的正五边形 7. 下列说法中，错误的是（ ） A. 如果两个三角形成中心对称，那么这两个三角形一定全等 B. 若等腰三角形的两边长分别为，则该等腰三角形的周长是或 C. 三角形的三边分别为a，b，c，如果满足，那么该三角形是直角三角形 D. 用反证法证明命题“三角形中，至少有一个内角大于或等于”时，第一步应假设“三角形中三个内角都小于” 8. 如图，将周长为12的沿方向平移3个单位长度得到，则四边形的周长为（ ） A. 18 B. 17 C. 16 D. 15 9. 如图，在中，对角线相交于点O，过点O作交于E，若，，，则的长为（ ） A. B. C. 8 D. 10. 如图，在正方形外取一点E，连接．过点B作交于点P．若，，下列结论： ①；②点C到直线的距离为；③P是的中点；④． 其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 11. 我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，如图1所示，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．图2是八角形窗户的示意图，它的一个外角的大小为____°． 12. 已知，，则的值为__________． 13. 如图，在中，，分别以点C，B为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线分别交于点D，E，连接相交于点P．若，则的大小为__________． 14. 若关于的方程无解，则的值为________． 15. 如图，在中，是的中点，连接、，是的中点，连接交于点．若，则的长为__________． 三、解答题（共90分） 16. （1）解不等式组：； （2）解方程：． 17. 先化简：，再将从，2，3中选取一个适当的数代入求值． 18. 平面直角坐标系中，如图所示，，，． （1）请画出关于原点O对称的； （2）将向右平移4个单位得到，请画出； （3）线段与关于点D成中心对称，请直接写出点D的坐标． 19. 暑假期间，两名家长计划带领若干名学生去旅游，他们联系了报价均为元的两家旅行社．经协商，甲旅行社的优惠条件是：两名家长全额收费，学生都按七折收费．乙旅行社的优惠条件是：家长学生都按八折收费．假设这两位家长带领名学生去旅游． （1）分别写出甲、乙旅行社的收费（元）、（元）关于的函数关系式． （2）他们应该选择哪家旅行社更合算？ 20. 如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO＝CO，点E在BD上，满足∠EAO＝∠DCO． （1）求证：四边形AECD是平行四边形； （2）若AB＝BC，CD＝5，AC＝8，求四边形AECD的面积． 21. 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计奖品兑换方案？ 素材1 某文具店销售某种钢笔与笔记本，已知钢笔的单价是笔记本的2倍，用120元购买笔记本的数量比用160元购买钢笔的数量多8件． 素材2 为奖励作文比赛的优胜选手，某年级购买了100支钢笔和90本笔记本，文具店随即也赠送了m张兑换券（如图）用于商品兑换．兑换后，笔记本与钢笔的总数量相等． 问题解决 任务1 探求商品单价 请运用分式方程，求出钢笔与笔记本的单价， 任务2 确定兑换方式 运用数学知识，直接确定符合条件的一种具体的兑换方式． 22. 如图，在中，平分，于点，于点F，． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 23. 阅读材料：对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有： 像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．利用“配方法”，解决下列问题： （1）因式分解：__________； （2）若的三边长是a，b，c，满足，且为偶数，求的周长的最小值； （3）当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点A，C，经过点C直线与轴交于点． （1）求直线的解析式； （2）若点G为线段上一动点，当时，求点G的坐标； （3）在（2）的条件下，平面内是否存在点D，使得以点A，B，G，D为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 25. 如图，在中，，将绕着C点顺时针旋转α角度（）得到，连接，延长交于F． （1）如图1，当E在上时，求证：； （2）在旋转过程中，线段与有什么样的数量关系？利用图2证明你的结论； （3）如图3，当时，若，求线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$