精品解析：浙江省温州市十校联合体2024-2025学年高二下学期6月期末联考数学试题

2024学年第二学期温州十校联合体期末联考 高二年级数学学科试题 考生须知： 1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字. 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4．考试结束后，只需上交答题纸. 选择题部分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 展开式中的系数是（ ） A. 1 B. C. D. 3 3. 已知圆锥高为2，母线与底面所成角为，则该圆锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 4. 在中，，那么向量在上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 5. 设a，b，c，d是非零实数，，则“a，b，c，d成等比数列”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知的外接圆的半径为5，a是角A的对边，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的值域是，则m的值为（ ） A. 2 B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，且对任意实数x，y都有，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的周期是4 C. 是偶函数 D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为复数，则下列结论一定正确的是（ ） A. 如果，那么 B C. 方程表示在复平面内对应的点的轨迹是圆 D. 10. 已知函数在处的切线斜率为2，则下列命题正确的是（ ） A. B. 有且只有一个极小值，且极小值等于 C. 的值域是 D. 若，则恒成立 11. 用平面截如图放置正四面体ABCD，下列说法正确的是（ ） A. 当截面为平行四边形时，正四面体有两条棱所在的直线平行平面 B. 截面可能是直角梯形 C. 若平面分别与棱AB，AC，AD交于点E，F，G，，，，则平面与平面BCD夹角余弦值为 D. 设点F在棱AC上，点G在棱AD上（均包含端点），且，，其中．如果平面经过B，F，G三点，那么平面与平面BCD夹角的余弦值的取值范围为 非选择题部分 三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分.把答案填在题中的横线上. 12. 已知、为一次试验中两个事件，，，则________． 13. 在中，，边和上的两条中线和相交于点，那么的值为________． 14. 如图所示，已知双曲线的左右焦点分别为和，过和分别作两条互相平行的直线和，与双曲线的左支交于A、B两点（A在x轴上方），与双曲线的右支交于C、D两点（C在x轴上方），若，，则（e是双曲线的离心率）等于________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 鱼饼是温州十大名小吃之一，不但本地人喜欢，而且深受外来游客的赞赏小张从事鱼饼生产和批发多年，有着不少来自零售商和酒店的客户，小张把一年采购鱼饼的数量x（单位：箱）在的客户采购的数量制成下图及下表： 采购数x 客户数 10 10 5 20 5 （1）根据表格中数据求出频率分布直方图中的数据a，b，c，并估计客户采购数的第25百分位数； （2）为感谢新老客户的大力支持，小张要在国庆节开展促销活动．促销活动可以在门店内举行，也可以在门店外举行．已知在门店内的促销活动可以获得利润2千元；门店外的促销活动，如果不遇有雨天气可以获得利润8千元，如果遇到有雨天气则会带来经济损失3千元．9月30日气象台预报国庆节当地的降水概率是P．从利润期望的角度考虑，小张最终选择了在门店外进行促销活动，求降水概率P的取值范围． 16. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且． （1）求A； （2）如果且的面积为，求角B的大小． 17. 已知正方体棱长为1，点E为正方形内（含边界）一动点． （1）若，证明：面面； （2）若面面，求直线EB与平面ABCD所成角的正弦值的最大值． 18. 已知椭圆． （1）若M是椭圆C的焦点，求b的值； （2）若P为椭圆在第一象限上的点，A，B分别为椭圆的上顶点和右顶点，直线PA，PB分别与x轴和y轴交于点S和T．记，面积分别为，若为定值，求椭圆C的标准方程． 19. 已知函数． （1）若，求函数的单调区间； （2）对任意，不等式恒成立，求a的取值范围； （3）对任意，不等式恒成立，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年第二学期温州十校联合体期末联考 高二年级数学学科试题 考生须知： 1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字. 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4．考试结束后，只需上交答题纸. 选择题部分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先化简求解集合、，再求即可. 【详解】因为集合，集合， 所以. 故选：C 2. 展开式中的系数是（ ） A. 1 B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】利用通项公式求解可得. 【详解】由通项公式，， 令，得， 可得项的系数为. 故选：D. 3. 已知圆锥高为2，母线与底面所成角为，则该圆锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题目条件求出圆锥的母线长和底面半径，进而根据圆锥表面积公式求出圆锥的表面积. 【详解】因为圆锥的高为2，母线与底面成角为45°， 所以母线长为.圆锥底面半径为2. 所以圆锥的表面积为. 故选：C. 4. 在中，，那么向量在上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得在方向上的投影向量为：，再求解计算即可. 【详解】中，∵，∴， 所以在方向上的投影向量为： . 故选：A. 5. 设a，b，c，d是非零实数，，则“a，b，c，d成等比数列”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合向量的数量积的性质和运算律判断. 【详解】由题意知，非零向量， 充分性：当a，b，c，d成等比数列时，则，所以，则，故充分性满足； 必要性：当时，则，取，显然，但a，b，c，d不成等比，故必要性不满足， 所以“a，b，c，d成等比数列”是“”的充分不必要条件，故A正确. 故选：A. 6. 已知的外接圆的半径为5，a是角A的对边，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，可求，再用倍角公式得到，根据外接圆的半径，利用正弦定理可得，接着代入计算即可. 【详解】，，， ， ，， 又的外接圆的半径为5，， . 故选：B. 7. 已知函数的值域是，则m的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对分段函数进行分析，分别求出两段的值域，再利用函数的值域为可求m的值. 【详解】，在单调递减，则值域为， 当时，，则函数的值域为， 又函数的值域是，所以， 当时代入上面值域，，不符合题意； 当时代入上面值域，，符合题意； 综上，. 故选：B. 8. 已知函数的定义域为，且对任意实数x，y都有，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的周期是4 C. 是偶函数 D. 【答案】D 【解析】 分析】利用赋值法求值可判断ABC错误，由题知，令，可得，进而可求，然后根据数列分组求和判断就可. 【详解】对于A，当时， ， 对任意实数x恒成立，所以，解得，故A错误； 对于B，时，， ， ，即的周期不可能为4，故B错误； 对于C，时，， 即，，故C错误； 对于D，由， 得， 令，则，又， 所以数列是首项为，公比为3的等比数列， ， ，故D正确； 故选：D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为复数，则下列结论一定正确的是（ ） A. 如果，那么 B. C. 方程表示在复平面内对应的点的轨迹是圆 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】复数不能比较大小可判断A；根据共轭复数概念及复数加法计算可判断B；根据复数模长的几何意义可判断C；根据复数模长的概念及复数的乘法计算可判断D. 【详解】对于A，复数不能比较大小，故A错误； 对于B，设， 则，， 所以成立，故B正确； 对于C，方程表示在复平面内对应的点的轨迹是圆，故C正确； 对于D，设， 则，， ，，， 所以成立，故D正确. 故选：BCD 10. 已知函数在处的切线斜率为2，则下列命题正确的是（ ） A. B. 有且只有一个极小值，且极小值等于 C. 的值域是 D. 若，则恒成立 【答案】ABD 【解析】 【分析】求导，根据导数的几何意义可判断A；分析函数的单调性，结合极值的定义可判断B；结合，和单调性可判断C；由可得时，，进而判断D. 【详解】由，则， 则，即，故A正确； 此时，， 令，得或；令，得， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 则时，取得极小值，故B正确； 又，， 所以的值域不是，故C错误； 因为， 则时，， 而，则恒成立，故D正确. 故选：ABD. 11. 用平面截如图放置的正四面体ABCD，下列说法正确的是（ ） A. 当截面为平行四边形时，正四面体有两条棱所在的直线平行平面 B. 截面可能是直角梯形 C. 若平面分别与棱AB，AC，AD交于点E，F，G，，，，则平面与平面BCD夹角的余弦值为 D. 设点F在棱AC上，点G在棱AD上（均包含端点），且，，其中．如果平面经过B，F，G三点，那么平面与平面BCD夹角的余弦值的取值范围为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据截面特征，结合平行关系的转化判断A，根据平行关系的转化，结合几何关系可得截面梯形为等腰梯形，判断B，利用坐标法，求平面夹角的余弦值，判断C，根据几何关系，确定平面的两个临界点，再求二面角的余弦值，判断D. 【详解】A.当截面为四边形，说明平面截正四面体的四个面，如图，平面为平面 因为，平面，平面，所以平面， 平面，平面平面，所以，平面，平面，所以， 同理，其他棱所在直线都与平面相交，故A正确； B.若，且，由A可知，，因为是正四面体，则，所以，则梯形为等腰梯形，不可能是直角梯形，故B错误； C. 如图，建立空间直角坐标系，设棱长为12，则，，，，则，，，， 设平面的一个法向量， ，令，则， 则， 平面的法向量为，所以， 所以平面与平面BCD夹角的余弦值为，故C错误； D.由，则平面与平面的夹角的取值范围，只需考虑两个临界值，一个是点分别是的中点时，另一个是点在处，点在处（或点在处，点在处，这两种情况两个平面的夹角一样） 设棱长为2，则 第一个临界情况，当点分别是的中点时，， ， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，， 所以平面的一个法向量为， 平面的一个法向量， ， 第二个临界情况不妨设点在处，点在处，这时平面与平面的夹角为平面和平面的夹角，如图，取的中点，连结， 则，，所以为平面与平面的夹角， ，，， 所以平面与平面BCD夹角的余弦值的取值范围为，故D正确. 故选：AD 非选择题部分 三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分.把答案填在题中的横线上. 12. 已知、为一次试验中的两个事件，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据并事件的概率公式可求得结果. 【详解】由题意可得 . 故答案为：. 13. 在中，，边和上的两条中线和相交于点，那么的值为________． 【答案】10 【解析】 【分析】根据三角形重心，结合向量基本定理可得，由向量数量积运算率计算即可求解. 【详解】因为边和上的两条中线和相交于点， 所以点为的重心， 则， 因为是边的中点， 所以，即， 所以. 故答案为：10 14. 如图所示，已知双曲线的左右焦点分别为和，过和分别作两条互相平行的直线和，与双曲线的左支交于A、B两点（A在x轴上方），与双曲线的右支交于C、D两点（C在x轴上方），若，，则（e是双曲线的离心率）等于________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可设，则，由，可得，作的角平分线，在和中，利用正弦定理建立方程可求，再在中，利用余弦定理即可求. 【详解】设的角平分线交与， ，，设， 则， 又，， 所以，， 又为的角平分线，所以， ，， 在中，， 在中，， 所以， 整理得，，解得（舍去）， 所以， 在中，， 又， 所以， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 鱼饼是温州十大名小吃之一，不但本地人喜欢，而且深受外来游客的赞赏小张从事鱼饼生产和批发多年，有着不少来自零售商和酒店的客户，小张把一年采购鱼饼的数量x（单位：箱）在的客户采购的数量制成下图及下表： 采购数x 客户数 10 10 5 20 5 （1）根据表格中的数据求出频率分布直方图中的数据a，b，c，并估计客户采购数的第25百分位数； （2）为感谢新老客户的大力支持，小张要在国庆节开展促销活动．促销活动可以在门店内举行，也可以在门店外举行．已知在门店内的促销活动可以获得利润2千元；门店外的促销活动，如果不遇有雨天气可以获得利润8千元，如果遇到有雨天气则会带来经济损失3千元．9月30日气象台预报国庆节当地的降水概率是P．从利润期望的角度考虑，小张最终选择了在门店外进行促销活动，求降水概率P的取值范围． 【答案】（1），125 （2） 【解析】 【分析】（1）根据百分位数定义列式计算求解； （2）先写出利润的分布列，再计算数学期望列不等式求解. 【小问1详解】 第25百分位数落在区间内， 设第25百分位数为x， 由 得到． 【小问2详解】 设在门店内促销的利润为X千元， 设在门店内促销的利润为Y千元, Y的分布列为 Y 8 P p 由题意得，即. 16. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且． （1）求A； （2）如果且的面积为，求角B的大小． 【答案】（1） （2）或． 【解析】 【分析】（1）由两角和差正弦及正弦定理化简计算即可； （2）法一：由正弦定理及三角形面积公式结合三角恒等变换化简计算即可求解；法二：由三角形面积公式及余弦定理列方程计算即可求解. 【小问1详解】 由两角和差公式， 由正弦定理 又在中，， 则 进而 因为， 所以，即． 因为，所以，即． 【小问2详解】 方法一：根据正弦定理，, 所以的面积为 ． 由, 可得,， 因为， 所以或，所以或． 方法二：根据三角形面积公式，， 可得, 结合, 可得或者． 当时，，所以； 当时，，所以； 因此或． 17. 已知正方体棱长为1，点E为正方形内（含边界）一动点． （1）若，证明：面面； （2）若面面，求直线EB与平面ABCD所成角的正弦值的最大值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的判断定理证明即可； （2）方法一：作出线面角所成平面角，计算即可；方法二：建立空间直角坐标系，运用线面角向量法计算即可. 【小问1详解】 因为，所以三点共线， 所以，又因为，所以． 因为面ABCD，面ABCD，所以． 因为面面，所以面． 又因为面，所以面面． 【小问2详解】 方法一： 由 可知． 从而． 又因为， 所以E在线段上． 过E做平面ABCD的垂线且交于F，则F在直线AC上，连BF，BE 则即为直线EB与平面ABCD所成角 ． 取最短时，取最大， 在中，， 为中点时，，此时最短， ． 方法二： 以D为原点，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系． 那么，设． 由， 可得面的一个法向量为， 由， 可得面的一个法向量为． 于是由可得． 所以．面ABCD的一个法向量为． 设直线EB与平面ABCD所成角为，那么 ． 因此当时取到最大值． 18. 已知椭圆． （1）若M是椭圆C的焦点，求b的值； （2）若P为椭圆在第一象限上的点，A，B分别为椭圆的上顶点和右顶点，直线PA，PB分别与x轴和y轴交于点S和T．记，面积分别为，若为定值，求椭圆C的标准方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由给定方程及焦点坐标求出. （2）设出点的坐标，由直线的点斜式方程求出点的坐标，进而求出三角形面积差得解. 【小问1详解】 由M是椭圆C的焦点，得半焦距，所以. 【小问2详解】 设点，由为椭圆在第一象限上的点，得， 依题意，，直线，直线 ， 于， ，解得， 所以椭圆C的标准方程为. 19. 已知函数． （1）若，求函数的单调区间； （2）对任意，不等式恒成立，求a的取值范围； （3）对任意，不等式恒成立，求a的取值范围． 【答案】（1）增区间是，减区间是 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）首先求函数的导数，根据导数的正负，求解函数的单调性； （2）首先不等式变形为，再设函数，利用导数判断函数的单调性，转化为隐零点问题，求函数的最值，即可求的取值范围； （3）首先不等式变形，并且同构为函数，根据函数的单调性，得到恒成立，转化为求函数的最值问题. 【小问1详解】 此时，从而 所以当时，当时 因此的增区间是，的减区间是 【小问2详解】 得 则在上单增 唯一，得 当时，单减 当时，单增， 又 得 因为关于递减，而且当时 所以，进而 【小问3详解】 得 在上单增，则得恒成立 得 当时，单增 当时，单减 因为，则 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$