江西省萍乡市2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷

准考证号。 姓名 绝密★启用前 (在此卷上答题无数) 萍乡市2024一2025学年度第二学期期末考试 高一数学 本试卷分第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第1卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，满 分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上，考生要认真核对答题 卡上粘贴条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人的准考证号、姓名是否一致. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答避卡上对应题目的答案标号涂黑.如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水签 字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效， 3.考试结束后，监考员将试题卷、答题卡一并收回。 第I卷 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 已知复数：=计，则：的虚部为 B. 1 2.已知集合4=tanx≥04，B=0,,开，3 4''4 ,,则(C0∩B= A0子 B. c停 D.0,,3a 4 3.已知a=(-1,1),6=(2,),则a在6方向上的投影数量为 A. 2 B.、 C.v D. 5 5 4.为了得到函数x)=cos2x的图象， 可以把函数g(x)=s2x-产)的图象上所有点 6 A.左移个单位 B.右移个单位 6 6 C.左移个单位 D.右移个单位 5.函数f()=snx的图象大致为 6.在三棱锥P-ABC中，PB⊥平面4BC,且PB=AB=2,BC=1,∠4BC=6O°，则该 三棱锥的外接球的体积为 4.25 B. 3 C.65 。 3 D. 3 7.如图，某东西走向的河道上建有两个水文观测站P,Q,在某时刻P站观测 到水位异常，将信号同时发给河流北面的A市与B市，已知A市收到信号的时 间是B市的5倍，MBl=305km,cs∠BPQ=4 7 cos∠4P0=25·则现测 站P到B市的距离为 A.5km B.10km C.15km D.25km 8.已知x表示不超过x的最大整数，如：[3.14=3，-3.14=-4，则函数fx)=[x]-x+cosx 在区间【-，上的零点个数为 A.2 B.3 C.4 D.5 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.己知空间中不同的平面口，B,不同的直线m,n,1,下列说法正确的是 A.若1∥a,1∥B,∩B=m,则1∥m B.若I⊥a,a⊥B,mCB,则1⊥m C,若m⊥n,m⊥a,则n∥ D.若m∥a,nCC,且m,n为异面直线，I⊥m,I⊥n,则I⊥a 10.已知函数f(x)=sin2x-V5cos2x,则 A.f(x)的最小正周期为π B.f)在0，上为增函数 4 c≤语 D.若f(x+)为奇函数，则间的最小值为 6 11,亚里士多德在《论机械》中提出了“车轮悖论”：车轮圆M滚动一圈，车轮底部的点P与 车轮内部的点O的位移相同，为什么点P转动 的大圆周长会比点转动的小圆周长要长呢？ 伽利略在解决该问题时指出点Q在小圆上转动 的同时自身还在朝前滑动，以点P为原点建立 如图直角坐标系，设MP=2Q=1,下列说法 正确的是 (参考数据：sin2=0.909,c0s2=-0.416)】 A.圆M沿x轴向右滚动时，Q点的轨迹是正弦曲线 B,圆M沿x轴向右滚动2个单位后，P点到y轴的距离约为1.091 C,圆M沿x轴向右滚动2个单位后，Q点到x轴的距离约为1208 D.设圆M沿x轴向右滚动的距离为t,则滚动后P点的坐标为(u-sint,1-cos) 萍乡市2024一2025学年度第二学期期末考试 高一数学 第卷 注意事项： 第Ⅱ卷共2页，须用05毫米的黑色墨水签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效， 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知a为单位向量，6=1，√5)，且a=(2>0,则a的坐标为 13.在△4C中，角4，B,C的对边分别为a,bc,已知a=5,b=1,4-子，则△BC的 面积为 14.已知函数fx)=(a-b)小sinx-1),xe0,2小，如果f(x)≥0恒成立，则a2+(b-1)月 的最小值为一 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) tan(a-B)+tan B sin 2a (1)求证：-ana-B))tanB1+cos2a (2)已知sina+Bm=2'anB 1 tana 5,求sin(a-)的值. 16.(本小题满分15分) 如图，在△ABC中，2BD=DC,E是AD的中点，设AB=a,AC=i. (1)试用a,b表示B正和CE: (2)若-=6，且<a,b>=60°，求E.CE. 17.(本小题满分15分) 在△4BC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且√2 csin B=bcosB,a2+b2=c2+√5ab (1)求角B的大小： (2)若△ABC的周长为2+√6+3V5,求边c的值. 18.(本小题满分17分】 如图，在多面体ABCDFE中，平面四边形ABCD是边长为4的正方形，平面ABEF∩平面 CDFE =EF. (1)求证：EF∥平面ABCD: (2)平面FAD⊥平面ABCD,，△FAD的边AD上的高FO=2,且EF=2, ①当AF=FD时，求该多面体的表面积： ②当DF=√5时，求平面ABEF与平面CDFE 的夹角的余弦值. 19.(本小题满分17分】 数学家在解决判别式△<0的二次方程时引入了虚数，例如x2+1=0解得：x=1,名=-1.实 际上高阶方程同样在复数线中有解，知父=1解得：有=名=-马5=-号 i 22 22 x=1解得：，=1，=i,x=-l,x,=-.数学家高斯发现对于一元n次多项式方程(n∈N) 在复数域内有且只有n个根（重根按重数计算，如x2=0解得：，=，=0），这就是著名的代 数基本定理。 (1)已知方程x=I(n≥2，neN,)的复数根在复平面内对应的点必然均分单位圆.试求解方 程x“=1在复数域中的所有解： (2)已知复数的乘方运算满足(cos0+isin)”=cos0+i:sin0,试求X=8i在复数域中的 所有解： (3)试证明：方程x”+1=0(n∈N,且n为偶数)在复数域内的所有解的和为0. 萍乡市2024一2025学年度第二学期期末考试 高一数学试题参考答案及评分标准 一、单项选择题(8×5=40分)：CBDCD:BBA. 【8解析】fx)=x]-x+cosx的零点实际上是g()=cosx与Mx)=x-在-，)上的交 点。绘制图象如图，可得有两个交点. AF 4 二，多项选择题(3×6=18分)：AD:ACD:BCD. 【说明：第9题全部选时得6分，选对1个得3分，有选错的得0分：第10、11题全部选对 得6分，选对1个得2分，选对2个得4分，有选错的得0分.】 【11解析如图，设圆滚动到D点，分别作PE⊥AMD,QF⊥MD 交AMD于E,F两点，圆M滚动2个单位后，PD=2, ∠PMD=P =2度)·P点到y抽的距离x,=OD-PE P =2-sin∠PME=2-sin∠PMD=2-0.909=1.091.Q点到x D2, 轴的距离，=MD+FM=1+ 2cas∠PME=1- os∠PD1-×(-0410=1208.然 当圆滚动的距离为1时，则滚动后P点的坐标为1-sm1,1-©0s),浪动后Q点的坐标为 (-n41-os小，即Q点的轨迹不是正弦鱼线」 2 三、填空题(3x5=15分)：2兮号)： 13.2: 【14解析】当x∈0，)时，(x-1)xe元0)，即s(x-1)x∈-l,0:当x∈，2]时， x-l)元∈(0，，即sinx-1)x∈0，J.所以当x∈0，)时，ar-b≤0：当x∈L,2时， 匹-b≥0，又函数y=瓜-b连续且单调，所以当x=1时，四-b0,即a=b≥0，令 go=d+6--2d-2a+1.go=对守号 四、解答题 15解：(1)等式左边■n《C一)+]=anC,…*+…2分 等式右边-2 sinacosa 2cos'a =n小…4分 即左边=右边，故等式成立。………一6分 11ama=5可得： (2)由sina+m=2amB naas+oainp-.月 sinacosB=5 …8分 cosasin B 解得sina cosB= 12-cosasin B= 1 …10分 2 sin(a-B)=sin acos B-cosa sin B= 511 2123 16解：(1)由E是4D的中点，所以花=而 …1分 X2BD=DC,2(AD-AB)=AC-AD, …2分 那=花-福=-2+花.-2五+名：…6分 36 压-c-c--6 ……8分 (2)因为同-月=6，<a,b>=60°，所以a-i-cos60'=18, 所以BECE=( 号+--号+6-8+1-52.5分 6 9a+ 36 17解：(1)由余弦定理得csC=+-d2-5 一2分 2ab 2 又0<C<元C= ………3分 6 又√反csin B=bcosB,可得，√反sin Csin B=sin Bcos B,即cosB= 小5分 2 0<B<元B= 1*时4时1,7分 41 (2)由(1)知A= 7 2，…448 六sn4=sin(B+C)=sn三cos 4…10分 6 4 由正弦定理 b sinA sinB"sinC=2R. a=2Rsin4=.b cR. 12分 2 a+6+e=246+35645R+R+R=2+5+35,解得R=2,13分 2 C=2.4小小44444444444444…44…15分 18解：(1)因为四边形ABCD为正方形，所以AB∥CD, 又ABE平面CDFE,CDS平面CDFE,AB∥平面CDFE, ……2分 又平面ABEF∩平面CDFE=EF,AB∥EF, ……3分 :EF红平面4 BCD,..EF∥平面ABCD,…5分 （2)@:D的边4D上商0=2，所以5.e号D-0=4,4F=FD=25, 取BC的中点为P,OP中点为Q,连接OP,EP,EQ, :平面FAD⊥平面ABCD,且相交于AD,AB⊥AD, .AB⊥平面FAD.AB⊥AF 又AB∥EF,四边形ABEF为直角梯形， Se=（4B+EF)AF=65,同理Sm=6N2, 2 :FO⊥平面ABCD,又AB∥EF∥OP而EF=OQ, ∴四边形OQEF为平行四边形，∴E0⊥平面ABCD,E0⊥OP,∴EP=√EQ+PQ=2N5, Se=亏EP,BC=4W2， ∴多面体的表面积S=SD+S+SE+S.ne+SE =16+62+6W2+4+4W2=20+16√5.4…10分 (2)②因为AB⊥AD,平面ABCD∩平面AFD=AD,平面FAD⊥平面ABCD,所以 AB⊥平面AFD: 因为EF∥平面ABCD,所以EF∥AB,所以EF⊥平面AFD,…12分 所以AF⊥EF,DF⊥EF, 所以∠AFD是平面ABEF与平面CDFE的夹角（或其补角），…13分 又DF=√5，OF=2,所以DO=1A0=3.AF=√仍，…l5分 记平面ABEF与平面CDFE的夹角为O, 则cs0cs∠AFD外5P±(i-45 44…17分 2×3×5 65 19。(1)x=1有解名=1， 又其余5个根在复平面内对应的点与x=1对应的点均分单位圆，所以复向量与x轴正方向夹 角分别为0号学学经 ++…2分 @》化筒e8得兮到=，多m-宁，即m=cos+1 π ,…5分 2 由题知，(cos0+isin9)=cos30+isin30,则m=cos+isi 6 6 4…6分 其余2个解与复向量m对应点均分单位圆，所以m,=c0s江+1s 5π ,m=co 3领+i.si 3π 6 6 2 2 即%=51， m=-5 +i,m3=-i，8分 22 22 综上，x3=8i在复数域中的所有解为x=√5+i,x=-√5+i,x=-2i。……9分 (3)对于方程x+1=0(neN,且n为偶数)，设该方程有解x,=cos0+i:sin0,方程的 n个解对应的点均分单位圆，则相邻两个解夹角为江，故所有解无，玉，X与x轴正方向的 夹角分别为0,0+2红.0+红，…，0+2n-1证 …12分 因为n为偶数，所以写=6os0+isin0,名=00+2马+1sim(0+2马，…， 专ca0+-马ia0-马.=m0+对rn0+动 1三6os0+++m0+4,,=c0s02马+i:sin0-红，-4分 n n 所以与50≤k≤兮keN)夹角相差不，即+ =0 ,+++…+*…+…小+…16分 所以当n∈N,,且n为偶数时，方程x+1=0在复数域内的所有解的和为0。+…17分 命题：刘小峰（莲花中学）严新勇（莲花中学）李诗豪（莲花中学） 审核：胡斌（市教研室）