精品解析：四川省眉山市东坡区东坡中学共同体2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

共同体八年级期中定时训练 数学试题 第I卷（选择题 共 48 分） 一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每个小题给出的四个选项中， 只有一项是正确的，请在答题卡上把相应题目的正确选项涂黑． 1. 对于，，，，，，其中分式有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2. 随着西方国家对芯片技术的封锁，华为集团立足本土，发扬中华民族不畏艰险，艰苦奋斗的精神，攻克芯片技术，自主研发的麒麟9020芯片已达到7纳米水平，已知7纳米就是0.000000007米，数据0.000000007用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 若，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 若把分式中的和都扩大倍，那么该分式的值（ ） A. 扩大为原来的倍 B. 缩小为原来的 C. 缩小为原来的 D. 不变 5. 若分式与的值互为相反数，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，是平面直角坐标系上的两个点，轴，且点B在点A的右侧．若，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 将一次函数的图象向下平移2个单位长度，且平移后的函数图象经过点，则平移后的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 9. 已知，函数与在同一个平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是A→D→C→B→A,设P点经过的路程为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y.则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是( ) A. B. C. D. 11. 如图，点是直线在第一象限上的一点，线段在轴上，且是等边三角形，直线上存在一动点，已知的最大值为，则点的横坐标是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，正方形的顶点、在轴的负半轴上，反比例函数在第二象限的图象经过正方形顶点和边上的点，过点的直线交轴于点，交轴于点，则点的坐标是（   ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共 102 分） 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．请将正确答案直接填在答题卡相应的位置上． 13. 若，则＝_____． 14. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______． 15. 在平面直角坐标系中，已知，，则线段的中点的坐标为___________． 16. 若关于x的方程有增根，则m的值是________． 17. 若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程有整数解，则满足条件的整数a的值为__________． 18. 如图，在平面直角坐标系中，点均在反比例函数的图象上，点均在一次函数的图象上，且轴于点C，连接，若点A的坐标为，则的面积为_______． 三、解答题：本大题共 8 个小题，共 78 分． 19. 计算：． 20. 解方程： 21. 先化简，然后从，0，1，3中选一个合适的数作为a的值代入求值． 22. 在如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1．格点三角形ABC（顶点是网格线交点的三角形）的顶点A，C的坐标分别是(−4，6)，(−1，4)． （1）请在图中的网格平面内建立平面直角坐标系； （2）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1； （3）求△ABC的面积． 23. 如图，已知直线与双曲线交于A，两点，且点A的横坐标为． （1）求的值； （2）直接写出使一次函数的值小于反比例函数的值时，的取值范围； （3）若双曲线上一点的纵坐标为，求的面积． 24. 某网店购进水果后再销售．甲种水果的进价比乙种水果每件多，花500元购进甲种水果的件数比花450元购进乙种水果的件数少5件． （1）求甲、乙两种水果每件的进货价格； （2）若该网店购进甲、乙两种水果共100件，且购买的总费用不超过4200元．甲种水果售价60元，乙种水果按进价的2倍标价后再打六折销售，请你帮网店设计利润最大的进货方案，并求出最大利润． 25. 阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可以化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如． 解决下列问题： （1）分式是　　（填“真分式”或“假分式”）； （2）将假分式化为带分式； （3）先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 26. 直线分别与x，y轴交于A，B两点、过点B的直线交x 轴正半轴于点C，且． （1）直接写出点A、B、C 的坐标； （2）在线段上存在点P， 使点P到B，C的距离相等，求出点P的坐标： （3）在第一象限内是否存在一点E，使得为等腰直角三角形，若存在，直接写出E点坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 共同体八年级期中定时训练 数学试题 第I卷（选择题 共 48 分） 一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每个小题给出的四个选项中， 只有一项是正确的，请在答题卡上把相应题目的正确选项涂黑． 1. 对于，，，，，，其中分式有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式的定义即可求出答案． 【详解】，，，是分式，共4个； 故答案为：D． 【点睛】本题考查分式的定义，解题的关键是正确理解分式的定义． 2. 随着西方国家对芯片技术的封锁，华为集团立足本土，发扬中华民族不畏艰险，艰苦奋斗的精神，攻克芯片技术，自主研发的麒麟9020芯片已达到7纳米水平，已知7纳米就是0.000000007米，数据0.000000007用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：． 故选：D． 3. 若，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，零指数幂，负整数指数幂等知识，根据零指数幂的意义，负整数指数幂的意义，乘方法则计算各数，然后比较即可． 【详解】解：，，， ∵， ∴， 故选：C． 4. 若把分式中的和都扩大倍，那么该分式的值（ ） A. 扩大为原来的倍 B. 缩小为原来的 C. 缩小为原来的 D. 不变 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质．分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变，通过分式的基本性质可对变形后的分式进行化简．先根据题意对分式进行变形，再依据分式的性质进行化简，将化简后的分式与原分式进行对比即可． 【详解】解：分式中，和都扩大倍，则分式的值为：， 即该分式的值缩小为原来的 故选：C． 5. 若分式与的值互为相反数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由分式与的值互为相反数，可得再去分母，解方程并检验即可得到答案． 【详解】解： 分式与的值互为相反数， 去分母得： 整理得： 经检验：是原方程的根， 所以原方程的解是 所以分式与的值互为相反数，则 故选： 【点睛】本题考查的是分式方程的应用，掌握列分式方程与解分式方程是解题的关键． 6. 已知，是平面直角坐标系上的两个点，轴，且点B在点A的右侧．若，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，点到坐标轴的距离以及数轴上两点的距离，由轴可知，、两点纵坐标相同，即可得到的值，再利用数轴上两点的距离公式，即可求出的值． 【详解】解：，是平面直角坐标系上的两个点，且轴， ， 点B在点A的右侧，且， ， ， 故选：B． 7. 若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的图像和性质，熟练掌握反比例函数的图像和性质是解题的关键．根据反比例的函数图像进行求解即可． 【详解】解：，图像在二、四象限， 故随的增大而增大， ， 故选B． 8. 将一次函数的图象向下平移2个单位长度，且平移后的函数图象经过点，则平移后的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移问题，求一次函数解析式，先根据“上加下减，左减右加”的平移规律求出平移后的直线解析式，再利用待定系数法求解即可． 【详解】解：将一次函数的图象向下平移2个单位长度后的一次函数解析式为， ∵平移后的函数图象经过点， ∴， ∴， ∴平移后的直线解析式为， 故选：B． 9. 已知，函数与在同一个平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数图象所经过的象限来判定k的符号；然后由k的符号来确定反比例函数图象所经过的象限． 【详解】解：A、因为函数的图象经过，故A不符合题意； B、因为函数的图象经过，故B不符合题意； C、由一次函数的图象可知，由反比例函数的图象可知，两结论矛盾，故C不符合题意； D、由一次函数的图象可知，由反比例函数的图象可知，故D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查的是一次函数和反比例函数的图象的性质，掌握一次函数和反比例函数的图象的性质是解题的关键． 10. 如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是A→D→C→B→A,设P点经过的路程为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y.则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据特殊点和三角形的面积公式解答即可． 【详解】解：由题意可知，P点在AD段时面积为零，在DC段时面积y由0逐渐增大到8，在CB段因为底和高不变所以面积y不变，在BA段时面积y逐渐减小为0， 故选：B． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象识别，根据动点P的位置正确得出三角形的面积变化情况是解答的关键． 11. 如图，点是直线在第一象限上的一点，线段在轴上，且是等边三角形，直线上存在一动点，已知的最大值为，则点的横坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，一次函数的性质，勾股定理，由，当点三点共线时有最大值为，则，过作于点，则，由等边三角形的性质得，，然后由勾股定理求出，然后代入一次函数解析式即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由， ∴当点三点共线时有最大值为， ∵的最大值为， ∴， 过作于点，则， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴由勾股定理得：， ∴当时，，解得：， ∴点的横坐标是， 故选：． 12. 如图，正方形的顶点、在轴的负半轴上，反比例函数在第二象限的图象经过正方形顶点和边上的点，过点的直线交轴于点，交轴于点，则点的坐标是（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由得到正方形的边长为，则，则，根据反比例函数图象上点的坐标特征得到，解得，则，然后利用待定系数法确定直线的解析式为，再求时对应自变量的值，从而得到点的坐标． 【详解】解：∵是正方形的顶点， ∴正方形的边长为，， ∴， ∵点在边上， ∴， ∵反比例函数在第二象限的图象经过点和点， ∴， 解得：， ∴， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得：， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，正方形的性质，坐标与图形，待定系数法确定函数的解析式，函数图象上点的坐标特征等知识点．结合正方形的性质确定是解题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题 共 102 分） 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．请将正确答案直接填在答题卡相应的位置上． 13. 若，则＝_____． 【答案】2 【解析】 【分析】若，则x＝3y，代入所求式子即可求解． 【详解】解：∵ ∴x＝3y． ∴＝＝2． 故答案为：2. 【点睛】在解决本题时，根据已知中的比值，把x，y这两个未知数用一个未知数表示出来，解题的关键是掌握消元的基本思想． 14. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______． 【答案】x≠ 【解析】 【详解】分析：根据列式计算即可. 详解：根据题意得： 解得： 故答案为 点睛：考查零次幂成立的条件，熟记是解题的关键. 15. 在平面直角坐标系中，已知，，则线段的中点的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了中点坐标公式，写出直角坐标系中点的坐标等知识点，熟练掌握中点坐标公式是解题的关键：若已知点，，则线段的中点的坐标为． 由中点坐标公式即可直接得出答案． 【详解】解：，， 线段的中点的坐标为，即， 故答案为：． 16. 若关于x的方程有增根，则m的值是________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的解，增根问题可按如下步骤进行：①根据最简公分母确定增根的值；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，那么最简公分母为0，所以增根是，把增根代入化为整式方程的解，即可求出m的值． 【详解】解：， 方程两边都乘得：， 解得：， ∵原方程有增根， ∴， 解得：， 故答案为：2． 17. 若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程有整数解，则满足条件的整数a的值为__________． 【答案】2或3或7 【解析】 【分析】本题考查了不等式组的无解、分式方程的整数解，解决本题的关键是根据不等式组的无解及分式方程的整数解确定a的取值范围．根据不等式组无解确定a的取值范围，再根据分式方程的整数解确定a的取值范围，从而求出符合条件的所有整数即可得结论． 【详解】解：∵ ， 解不等式①得：； 解不等式②得：， ∵不等式组无解， ∴， 解得； ∵ 去分母得：， 整理，得， ∵方程有整数解， ∴，，， 解得，，， ∵， ∴符合题意的整数a的值为， ∵是增根， 此时， 解得， ∴符合条件的所有整数a为． 故答案为：2或3或7． 18. 如图，在平面直角坐标系中，点均在反比例函数的图象上，点均在一次函数的图象上，且轴于点C，连接，若点A的坐标为，则的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，先利用待定系数法求出一次函数解析式和反比例函数解析式，再根据题意得到，则点B和点D的纵坐标都为1，据此求出B、D的坐标，再根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：把代入中得：，解得， ∴反比例函数解析式为， 把代入中得：，解得， ∴一次函数解析式为， ∵， ∴， ∵轴于点C， ∴点B和点D的纵坐标都为1， 在中，当时，， 在中，当，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题：本大题共 8 个小题，共 78 分． 19. 计算：． 【答案】3﹣． 【解析】 【分析】直接利用有理数的乘方运算法则、负整数幂的性质、绝对值的性质、立方根的定义分别化简得出答案． 【详解】解：原式＝﹣1﹣2+2﹣+4 ＝3﹣． 【点睛】本题主要考查实数运算，掌握相关的运算法则是解题的关键． 20. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】按照分式方程的求解步骤求解即可. 【详解】方程两边同乘以，得 移项、合并同类项，得 两边同除以2，得 经检验，是方程的解 【点睛】此题主要考查分式方程的求解,熟练掌握,即可解题. 21. 先化简，然后从，0，1，3中选一个合适的数作为a的值代入求值． 【答案】2a-6，当a=0时，原式=-6；当a=1时，原式=-4． 【解析】 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再根据分式有意义的条件确定a的值，继而代入计算可得答案． 【详解】 = = = = =2a-6， ∵a≠3且a≠-1， ∴a=0，a=1， 当a=0时，原式=2×0-6=-6； 当a=1时，原式=2×1-6=-4． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 22. 在如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1．格点三角形ABC（顶点是网格线交点的三角形）的顶点A，C的坐标分别是(−4，6)，(−1，4)． （1）请在图中的网格平面内建立平面直角坐标系； （2）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1； （3）求△ABC的面积． 【答案】（1）解：平面直角坐标系如图所示； （2）解：如图所示，△A1B1C1即为所求． （3）4 【解析】 【分析】（1）根据A、C两点坐标根据平面直角坐标系即可； （2）画出A、B、C关于x轴对称的A1、B1、C1即可； （3）根据割补法计算三角形面积解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：S△ABC=3×4-×3×2-×2×4-×1×2=4． 【点睛】本题考查了作图-轴对称变换，解题的关键是熟练掌握轴对称变换的定义和性质及其平面直角坐标系的概念． 23. 如图，已知直线与双曲线交于A，两点，且点A的横坐标为． （1）求的值； （2）直接写出使一次函数的值小于反比例函数的值时，的取值范围； （3）若双曲线上一点的纵坐标为，求的面积． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据正比例函数先求出点A的坐标，从而求出了值为； （2）通过解方程组求得的坐标，根据图象即可求得使一次函数的值小于反比例函数的值时的取值范围； （3）过A、点分别作轴、轴的垂线，垂足为、，两垂线交于点，则四边形是矩形，根据的纵坐标求得的坐标，然后根据计算即可． 【小问1详解】 解：∵直线过点A，点A横坐标为， ∴， 点A的坐标为， 点A是直线与双曲线的交点， ； 【小问2详解】 解：∵， 双曲线解析式为， 联立， 解得：或， ∴，， 根据图象可知：当一次函数的值小于反比例函数的值时，的取值范围是或； 【小问3详解】 解：如图，过A、点分别作轴、轴的垂线，垂足为、，两垂线交于点，则四边形是矩形， 点在双曲线上，点的纵坐标为， ∴，解得， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积等，求得交点坐标是解题的关键． 24. 某网店购进水果后再销售．甲种水果的进价比乙种水果每件多，花500元购进甲种水果的件数比花450元购进乙种水果的件数少5件． （1）求甲、乙两种水果每件的进货价格； （2）若该网店购进甲、乙两种水果共100件，且购买的总费用不超过4200元．甲种水果售价60元，乙种水果按进价的2倍标价后再打六折销售，请你帮网店设计利润最大的进货方案，并求出最大利润． 【答案】（1）甲种水果每件的进货单价为50元，乙种水果每件的进货单价为30元 （2）利润最大的进货方案为：购进甲种水果60件，乙种水果40件，最大利润为840元 【解析】 【分析】此题考查一次函数的应用和分式方程的应用，熟练掌握一元一次不等式的求解是解题的关键． （1）设乙种水果每件的进货单价为x元，则甲种水果每件的进货单价为元，利用数量总价单价，结合花元购进甲种水果的件数比花元购进乙种水果的件数少5件，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出乙种水果每件的进货单价，再将其代入中，即可求出甲种水果每件的进货单价； （2）利润最大的进货方案为：购进甲种水果60件，乙种水果40件，最大利润为840元，设购进甲种水果m件，则购进乙种水果件，利用进货总价进货单价进货数量，结合进货总价不超过4200元，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设购进的两种水果全部售出后获得的总利润为w元，利用总利润每件的销售利润销售数量（进货数量），可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【小问1详解】 解：设乙种水果每件的进货单价为x元，则甲种水果每件的进货单价为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴． 答：甲种水果每件的进货单价为50元，乙种水果每件的进货单价为30元； 【小问2详解】 解：设购进甲种水果m件，则购进乙种水果件， 根据题意得：， 解得：， 设购进的两种水果全部售出后获得的总利润为w元， 则， 即， ∵， ∴w随m的增大而增大， ∴当时，w取得最大值，最大值，此时， ∴利润最大的进货方案为：购进甲种水果60件，乙种水果40件，最大利润为840元． 25. 阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可以化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如． 解决下列问题： （1）分式是　　（填“真分式”或“假分式”）； （2）将假分式化为带分式； （3）先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 【答案】（1）真分式 （2） （3）化简得；当时，该式的值为整数． 【解析】 【分析】本题考查分式的化简及分式的分离整数法，理解材料并掌握分式的运算是解题关键． （1）根据真分式的定义判断即可； （2）根据材料给出的方法运算即可； （3）先化简，再将分式化为带分式，最后再求解，注意分式有意义的条件． 【小问1详解】 解：因为分式的分子次数0小于分母次数1， 所以分式是真分式， 故答案为：真分式； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ， ∵是整数， ∴， 解得：或， ∵，，或3时，原分式无意义， ∴， 即当时，该式的值为整数． 26. 直线分别与x，y轴交于A，B两点、过点B的直线交x 轴正半轴于点C，且． （1）直接写出点A、B、C 的坐标； （2）在线段上存在点P， 使点P到B，C的距离相等，求出点P的坐标： （3）在第一象限内是否存在一点E，使得为等腰直角三角形，若存在，直接写出E点坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1），， （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）把代入求出x的值，即可得出点A的坐标； 把代入求出y的值，即可求出B的坐标；根据，求出，即可求出点C的坐标； （2）连接，设，则，在中，根据勾股定理可得：，据此列出方程求出x的值，进而得出，即可求出点P的坐标； （3）根据题意进行分类讨论：①当时，过点E作轴于点F，通过证明，得出，即可得出点E的坐标；②当时，过点E作轴于点G，和①同理可证：，，即可求出点E坐标；③当时，过点E作轴于点N，过点E作轴于点M，通过证明，设，则，根据勾股定理列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：把代入得：， 解得：， ∴， 把代入得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：连接， ∵点P到B，C的距离相等， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：①当时，过点E作轴于点F， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴； ②当时，过点E作轴于点G， 和①同理可证：， ∴， ∴ ③当时，过点E作轴于点N，过点E作轴于点M， ∵，， ∴， 根据勾股定理可得：， 解得：， ∵轴，轴，， ∴四边形为矩形， ∴，， 则， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴或（舍）， ∴； 综上：或或． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确画出辅助线，构造全等三角形和直角三角形求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $