2025-2026学年初升高衔接-四类不等式讲义

初高衔接2：四类不等式 知识梳理 1． 一元二次不等式 1.一元二次不等式的概念 定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式 一般形式 ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0， （a≠0，a，b，c均为常数） 2．二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系 (以下) 判别式 二次函数的图象   一元二次方程的根 有两个不相等的实数根 有两个相等实数根 没有实数根 一元二次不等式的解集 【注意】(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是： 大于取两边，小于取中间． （2）对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，应先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解． 3．解一元二次不等式的一般步骤 （1）解不含参数的一元二次不等式（具体的） ①变形：将不等式化为一端为零且二次项系数为正 ax2＋bx＋c > 0 （≥0）或ax2＋bx＋c < 0 （≤0） ②解对应的一元二次方程（先看能否因式分解，如果不能，再看，然后求根） ③画图判断解集：画图或直接判断，写出解集 （2）解含参数的一元二次不等式 【注意】对参数分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式的解集，不能合并． 4．一元二次不等式的实际应用 解题步骤 （1）理解题意，搞清量与量之间的关系； （2）建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题． （3）解这个一元二次不等式，得到实际问题的解． 二．绝对值不等式 ∣a∣＞0 绝对值不等式的解法 （1）单绝对值不等式： ① ② 或 ① ② 或 【总结】 ∣A∣< B ⇔ -B＜A＜B （B＞0） ∣A∣＞B ⇔ A＜-B 或 A＞B （2）双绝对值不等式： ①无其他项：平方法 ②有其他项：零点分段法讨论 二．分式不等式 ＞0 1. 一次分式不等式 类型 同解不等式 >0 (<0) 法一：依据符号分类讨论 或 法二：化简成整式不等式 f (x)·g (x) > 0 (<0) ≥0(≤0) 法一： 或 法二： >a 先移项，转化为上述两种形式 【注】分式不等式化为整式不等式时，一定要注意所乘分母的符号，以判定不等号是否变方向 2. 高次分式不等式——“穿根法”/“穿针引线法” 解题步骤： ①将不等式化为)形式，并将各因式的系数化“+”； ②求根，并在数轴上表示出来； ③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点； ④大于零看数轴上方的部分，小于零看数轴下方部分的区域； 【注意】奇穿偶不穿 指当不等式中有因式,n是奇数时，曲线在处穿过数轴，当n是偶数时，曲线在处不穿过数轴。 如：求的解集。 解：①先将所有因式的系数化“+”，变为 ②求根： ③把根按顺序依次标在数轴上，根据“奇穿偶不穿”，画出大致图象 ④根据图象，取数轴下方的部分， 所以解集为或 【注意】不等式若带“=”号，点画为实心，解集边界处应有等号；另外，线虽不穿2点，但x=2满足“=”的条件，不能漏掉． 典例剖析 【考点一 三类不等式的解法（不含参）】 【题型一 不含参的一元二次不等式的解法】 1．解下列不等式： （1）； （2） （3） （4） 【练习】求下列不等式的解集. （1） ； （2）； （3） （4）； 【题型二 不含参的绝对值不等式的解法】 2．解下列不等式（组） ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 3．解不等式： ① ② ③ ④ ＞4． 【题型三 不含参的分式不等式的解法】 4．解下列不等式 ① ② ≥ 0 ③ ④ ⑤ 【题型四 高次不等式的解法】 5．解下列不等式 ① ② ③ 【考点二 三类不等式的解法（含参）】 【题型一 含参一元二次不等式的解法】 6．解下列关于的不等式: 【变式】解关于的不等式 7．解关于的不等式：． 【变式】解关与x的不等式： 8．解下列关于的不等式． 【题型二 根据二次不等式的解集求参数】 9．（多选）已知关于的不等式的解集为，则下列说法中正确的有（    ） A． B． C． D． 【变式】已知不等式的解集为或，则不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 10．已知关于实数的函数，已知的解集为，求的值； 第 2 页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$