2025-2026学年初升高衔接-四类不等式讲义

初高衔接2：四类不等式

一．一元二次不等式 

1.一元二次不等式的概念

 

2．二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系  (以下)

判别式
二次函数的图象
一元二次方程的根	有两个不相等的实数根	有两个相等实数根	没有实数根
一元二次不等式的解集

【注意】(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：

大于取两边，小于取中间．

（2）对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，应先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解．

 

3．解一元二次不等式的一般步骤  

（1）解不含参数的一元二次不等式（具体的）

①变形：将不等式化为一端为零且二次项系数为正

ax2＋bx＋c > 0 （≥0）或ax2＋bx＋c < 0 （≤0）

 ②解对应的一元二次方程（先看能否因式分解，如果不能，再看，然后求根）

③画图判断解集：画图或直接判断，写出解集

 

（2）解含参数的一元二次不等式

【注意】对参数分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式的解集，不能合并．

4．一元二次不等式的实际应用

解题步骤

（1）理解题意，搞清量与量之间的关系；

（2）建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题．

（3）解这个一元二次不等式，得到实际问题的解．

 

二．绝对值不等式   ∣a∣＞0

绝对值不等式的解法

（1）单绝对值不等式：

①

    ② 或

 

①

② 或

【总结】 ∣A∣< B ⇔ -B＜A＜B             

∣A∣＞B ⇔ A＜-B 或 A＞B

（2）双绝对值不等式：

①无其他项：平方法 

②有其他项：零点分段法讨论

 

二．分式不等式    ＞0

1. 一次分式不等式

【注】分式不等式化为整式不等式时，一定要注意所乘分母的符号，以判定不等号是否变方向

2. 高次分式不等式——“穿根法”/“穿针引线法”

解题步骤：

①将不等式化为)形式，并将各因式的系数化“+”；

②求根，并在数轴上表示出来；

③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点；

④大于零看数轴上方的部分，小于零看数轴下方部分的区域；

 

【注意】奇穿偶不穿

指当不等式中有因式,n是奇数时，曲线在处穿过数轴，当n是偶数时，曲线在处不穿过数轴。