2025-2026学年初升高衔接-数与式强化讲义

初高衔接1：数与式强化 知识梳理 1． 常用公式及应用 1、初中知识再现 （1）平方差公式：；注意公式的正逆应用. （2）完全平方公式： （3）高频变形方式： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 2、高中相关知识 （1）立方和公式： （2）立方差公式： （3）两数和立方公式： 推导过程： （4）两数差立方公式： 推导过程： （5）三数和平方公式： 推导过程： 典例剖析 【考点一 三类不等式的解法（不含参）】 【题型一 平方差、完全平方】 1.计算化简 （1） 【答案】 【解析】原式= = （2） 【答案】 【说明】此处用到了平方差公式和分式的错位相消 【解析】原式= = = = （3）． 【答案】 (3) 【详解】 （3）解：原式， ， ， ， ， ． 2.若，，则的值为______； 【答案】(1)12 【详解】（1）解： ，， ， ． 【变式】已知，，求下列各式的值： (1) ； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】运用完全平方公式进行运算、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查完全平方公式及其变形，熟练掌握该公式是解题的关键． （1）利用完全平方公式进行作答，即可求解． （2）由（1）得：，然后利用完全平方公式再求得，即可求解． 【详解】（1） 解：∵，， ∴①，②， ①②得：， 则； （2） 解：由（1）得①②得：， 则， 那么 ． 3.已知，则的值为 ． 【答案】6 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了完全平方公式变形运算，可得，两边平方得，即可求解；掌握、、三者之间的关系是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴， ∴， 故答案为：6． 【变式】已知，则等于________ 【答案】3 【解答】解：， ， 或（舍去） （二重根式的化简） ，要化简，则 4.化简根式： 【答案】 【解析】，故 （2） 【答案】 【解析】 【练习】化简 【答案】-3 【解析】 【题型二 三项平方和、立方差、立方和】 （三项平方和） 5．计算：（1） 【答案】 【解析】原式= （2）； 【答案】(1) 【详解】（1） = 6．已知，，则________ 【答案】8 【解答】 【变式】已知实数满足a,b,c满足求的值 7．已知实数a、b、c满足以下条件：，，且，求k的值． 【答案】 【详解】 解：（∵，， ∴运用公式可得：，， ∴， ∴等号两边同时乘2得：， 与相加得：， 即， 又∵， ∴， 解得： ． （立方和、立方差） 8．已知，求下列各式的值： (1) (2) (3) 【答案】(1)6 (2)14 (3)198 【详解】（1）==， ==； （2）===6； （3） ====14； （4）== ==198. 【变式】 【答案】 【解析】原式= 9．已知，求的值． 【答案】1 【分析】由立方和公式计算即可. 【详解】∵， ∴ ＝1﹣3xy+3xy＝1； 故答案为：1 【点睛】本题考查化简求值问题，解题的关键是明确题意，会利用公式进行问题的解答． 【变式】设，，求的值. 【答案】2702 【解析】直接计算可得， 故原式= [说明]注意综合使用完全平方公式与立方和公式． 10．已知，求 【答案】18 【解析】，故原式= 【变式】已知：，求下列各式的值： （1）；               （2）． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）本小题直接运用完全平方公式计算即可； （2）本小题直接运用完全平方公式与立方和公式计算即可. 【详解】解：（1） ， ，化简的：， ， （2）， ， 【点睛】本题考查完全平方公式与立方和公式，是简单题. 知识梳理 2． 因式分解的常用方法 1、公式法 （1）平方差公式：；注意公式的正逆应用. （2）完全平方公式： （3）立方和公式： （4）立方差公式： 2、十字相乘法 （1）型的因式分解 特征：① 二次项系数是1；②常数项是两个数之积；③一次项系数是常数项的两个因数之和． . 因此，. （2）一般二次三项式型的因式分解 大家知道，． 反过来，就得到： 我们发现，二次项系数分解成，常数项分解成，把写成，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到，那么就可以分解成． 这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法． 3、分组分解法 对于四项以上的多项式，如可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组． 典例剖析 【考点二 因式分解】 【题型一 因式分解】 （公式法） 11．（1）． 【答案】 (2) 【详解】 （2）解： ． （2） 【答案】； 【详解】解：（1）；， 故答案为：；；． (3). 【答案】 (3) 【详解】 （3）原式. (4)； (5)． 【答案】(4) (5) 【分析】（4）根据立方和公式化简求解； （5）根据平方差公式及立方差公式求解. 【详解】（4）原式； （5）原式． （十字相乘法） 12．因式分解：(1) 【答案】(1) 【详解】（1）解：； （2） ． 【答案】 【分析】直接运用十字相乘法进行因式分解即可. 【详解】解：利用十字相乘法得： 故答案为： （3） 【答案】 【知识点】十字相乘法、提公因式法分解因式 【分析】先提取公因式3，再对余下的多项式利用十字相乘法继续分解． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了用提公因式法和十字相乘法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． （4）． 【答案】 【知识点】十字相乘法 【分析】本题考查的是因式分解，利用十字乘法分解因式即可． 【详解】解： ； （5） 【答案】 【详解】解： （6） 【答案】 13．111111（双十字相乘） （1） （2） （3）（2020新高考） （分组分解法） 14．（1） 【答案】 【知识点】分组分解法、平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式 【分析】本题考查了分组分解法分解因式．首先将前三项分组进而利用完全平方公式和平方差公式分解因式得出即可． 【详解】解： 32 故答案为：． （2） 【答案】 【知识点】十字相乘法、分组分解法 【分析】本题考查了用分组分解和十字相乘法因式分解，解本题的关键在熟练掌握十字相乘法． 先将因式分组分解，再通过十字相乘法，即可得出结果． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【题型二 高次方程的解法】 15．解方程：（1） 【答案】或 【解析】猜测并验证得出是方程的一个根，那么是方程的一个因式 故方程可以改写为 易得 ，则 解得或 （2） 【答案】或 【解析】猜测并验证得出是方程的一个根 （3） 【答案】或或 【解析】解：猜并且检验x=2是方程的一个根， 那么方程可以改写为 故 再次因式分解可得 原方程的根为或或 （4） 【详解】 （5） 知识梳理 三、一元二次方程的根的判别式 一元二次方程的根的判别式：. (1) 当时，方程有两个不相等的实数根： ； (2) 当时，方程有两个相等的实数根：； (3) 当时，方程没有实数根． 四、一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 一元二次方程的两个根为： . 所以：， . 定理：如果一元二次方程的两个根为，那么： . （前提是．） 典例剖析 【考点三 根的判别式与韦达定理】 16．已知关于的方程，求证：无论为何值，方程总有实数根． 【答案】见解析 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、一元二次方程的定义、根据判别式判断一元二次方程根的情况、判断是否是一元一次方程 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义和解法、一元二次方程的定义即判别式等知识，解题关键是分类讨论，避免遗漏．分和两种情况，结合一元一次方程的解法和一元二次方程的根的判别式，即可获得答案． 【详解】解：①当时，即， 代入方程得，解， ②当时，， ∵，此时方程总有实数根． 综上所述，无论为何值，方程总有实数根． 17． （24-25高一下·辽宁·开学考试）若关于的一元二次方程的两个实数根分别为和，求下列各式的值 （1） （2） （3） （4） 【变式】（24-25高一上·上海松江·期末）已知关于的一元二次方程的两个根为，其中，且 . (1)求实数的值； (2)求和的值. 【答案】(1)1； (2)3，. 【分析】（1）利用韦达定理及给定条件，建立方程求出. （2）由（1）求出，再借助因式分解计算即得. 【详解】（1）依题意，，由，得， 则，而，所以. （2）由（1）知，， 所以； . 18．（1）已知实数满足：，，且，求的取值范围； （2）设实数分别满足，，且，求的值． 【答案】 (1) (2) 【分析】（1）先根据一元二次方程有两个不等实根，可求的取值范围，再结合韦达定理，可求的取值范围. （2）先把，转化成方程的两解，再结合韦达定理可求值. 【详解】 （1）实数满足：，， 是方程的解.     ，. . ， ，， ， ， . （2）因为，. ，. 是方程的两解. ， ，， 1. 第 2 页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$