第七讲 集合的关系与运算讲义-2025-2026学年高一上学期数学初高衔接

第七讲 集合的关系与运算 情境 1: 观察集合：E 为第一中学高二 (5) 班全体女生组成的集合，F 为这个班全体同学组成的集合． ♦问题：集合 F 都包含集合 E 的元素吗？ ♦设计意图：通过实际生活，体会集合关系中一个集合中的“任意一个元素”与另一集合中元素的关系。 情境 2 我们知道，实数可以比较大小，如1 < 2．类比实数比较大小，集合是否也可以“比较大小”呢？ ♦问题1: 数学中，我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为 Veen 图。集合 A = {1,2,3} ，B = {1,2,3} ,C = {1,2,3,4}，把 A、B、C 用韦恩图表示如下，你能说出集合 A 与 B，C 之间的关系吗？ 1 2 3 4 ♦问题 2: 已知集合 A = {x|x > 0} ,B = {x|x> -1}，尝试用数轴表示集合 A、B，你能说出集合 A 与集合 B 之间的关系吗？ ♦设计意图：让学生在观察过程中对集合关系与元素的关系有初步的感知。 1、 集合间的基本关系 子集：一般地，两个集合 A，B，若集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合 A 为集合 B 的子集，记作 A ⊆ B(或 B ⊇ A) 读作“A 含于 B”(或 B 包含 A)． 特别提醒：“A 是 B 的子集”含义是： A 的任何一个元素都是 B 的元素，即由任意的 x∈ A，能推出 x ∈ B． 当 A 不是 B 的子集时，我们记作“A⊈B(或B⊉A)”，读作：“A 不包含于 B”(或“B 不包含 A ”)． 符号 ⊆ 可以用≤来辅助记忆和理解。即 A ⊆ B 可以理解为 A 中元素范围比 B 中元素范围小。 集合相等：若集合A是集合B的子集 (A ⊆ B)，且集合B是集合A的子集 (B ⊆ A)，则此时两集合元素一样，那么就说集合A与集合B相等，记作A = B． 真子集：若A ⊆ B且 A ≠ B，就说集合 A 真包含于集合B(或集合B真包含集合A)，那么集合A是集合B的真子集，记作A ⊊ B或 (B ⊋ A)． 空集：不含任何元素的集合叫空集，用符号 ∅表示。 规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，空集本身没有真子集。 【例1-1】用适当的符号填空： (1) R ⊋ Q (2) 0 ∉ ∅ (3) 5 ∈ {1，3，5} (4) {0，2} = {x|x2 = 2x} (5) {x|1 < x < 5} ⊊ {x|1 < x < 9} (6) ∉ Q (7) {1，2，3} = {3，2，1} (8) ∅ ⊆ {0} (9) {3} ⊆ {x|2 < x < 4} (10) {x|x = 2n + 1，n ∈ Z} ⊇ {x|x = 4n + 1，n ∈ Z} 【例1-2】求 A= {x|x2 -x - 2 = 0} 的子集和真子集 解：解方程 x2 -x - 2 = 0 得，x = -1 或x = 2， 故 A = {-1，2}， 故集合 A 的子集为 ∅ , {-1}，{2}，{-1，2}； 真子集为：∅ , {-1}，{2}． 【练习1-1】集合 A = {1 - a，a2 - 2a - 1}，且 2 ∈ A； (1) 求实数a； (2) 写出 A 的所有真子集． 解：(1) ∵ 2 ∈ A，∴ 1 - a = 2 或a2 - 2a - 1 = 2， 当 1 - a = 2，即 a= -1 时，a2 - 2a - 1 = 2，不满足集合元素 的互异性， 当 a2 - 2a - 1 = 2 时，解得 a= -1(不满足集合元素互异性， 舍去) 或 3，故当 a = 3 时，1 - a= -2，A = {-2，2}，符合题 意，综上所述，实数 a = 3； (2) 由 (1) 得 A = {-2，2}， 故 A 的所有真子集为∅ , {-2}，{2}． 【例1-3】设 m 为实数，集合 A= {x|1 ≤ x ≤ 4}，B= {x|m ≤ x ≤ m + 2} ． 若 A ⊇ B，求 m 取值范围． 解：若 A ⊇ B，即集合 B 为集合 A 的子集， 则 {(( m (m)2 (1)≤ 4 ，解得 1 ≤ m ≤ 2， 故 m 的取值范围是 [1，2]． 我们知道，实数有加、减、乘、除等运算。集合是否也有类似的运算呢？ 观察下面的集合，类比实数的加法运算，你能说出集合 A 与集合 B 之间的关系吗？ (1) A = {1,3,5}，B = {1,3,4,6}，C = {1,3,4,5,6} (2) A = { x | x 是有理数}，B = { x | x 是无理数} , C = {x | x 是实数} 2、 并集运算 在上述两个问题中，集合 A，B 与集合 C 之间都具有这样一种关系： 集合 C 是由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的。 并集：一般地，由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合，称为集合 A 与 B 的并集, 记作 A ∪ B （读作“A 并 B”），即 A ∪ B= { x|x ∈ A 或 x ∈ B} 并集的性质： A ∪ A = A A ∪ ∅ = A A ∪ B = A → B ⊆ A A ∪ B = ∅ → x0 ∉ A 且 x0 ∉ B x ∈ (A ∪ B) → x ∈ A 或x ∈ B 【例2-1】若集合 M= {-2，-1，1}，集合 N= {0，1}，则 M ∪ N等于 ( A ) A. {-2，-1，0，1} B. {-2，-1，1} C. {-2，-1，0} D. {1} 解：∵ M= {-2，-1，1}，N = {0，1}，∴ M ∪ N= {-2，-1，0， 1} ．故选：A． 【例2-2】已知 A = {x|-2 < x ≤ 0}，B = {x|-1 < x< 2}，则 A ∪ B = ( A ) A. {x|-2 < x < 2} B. {x|-1 ≤ x < 2} C. {x|-1 ≤ x ≤ 0} D. {x|-1 < x < 0} 解：A = {x|-2 < x < 0}，B = {x|-1 < x < 2}， A ∪ B = {x|-2 < x < 2} ． 【例2-3】已知集合 M= {x|x > 2}，N = {x|x2 - 3x< 0}，则 M∪ N= ( D ) A. (3，+∞) B. (2，+∞) C. (2，3) D. (0，+∞) 解：M= {x|x > 2}，N= {x|x2 - 3x < 0} = {x|0 < x < 3}， 故 M ∪ N= {x|x > 0} ．故选：D． 【练习1-1】集合 A = {x|-4 ≤ 1 - x ≤ 3}，B = {x|2m- 4 < x < 3m + 4}，A ∪ B = B， 求 m 的取值范围． 实数 m 的取值范围为 ，1）． 3、 交集运算 交集：一般地，由属于集合 A 且属于集合 B 的元素组成的集合称为集合 A 与 B 的交集, 记作 A ∩ B（读作 “A 交 B”），即：A ∩ B= {x|x ∈ A 且 x ∈ B} 交集的性质： A ∩ A = A A ∩ ∅ = ∅ A ∩ B = A 等价于 A ⊆ B x ∈ (A ∩ B) → x ∈ A 且x ∈ B 【例3-1】集合 A = {-1，0，1，2}，B = {-1，0，3}，则 A ∩ B = ( A ) A. {-1，0} B. {-1，0，1，2，3} C. {2，3} D. {3，0} 解：集合 A = {-1，0，1，2}，B = {-1，0，3}， 则 A ∩ B= {-1，0} ．故选：A． 【例3-2】集合 A = {x|2x - 1 > 5}，B = {3，4，5，6}，则 A ∩ B = ( D ) A. ∅ B. {3} C. {3，4，5，6} D. {4，5，6} 解：由题意：∵ 集合 A = {x|2x - 1 > 5} = {x|x > 3}，B = {3， 4，5，6}，∴ A ∩ B = {4,5,6} ．故选：D． 【例3-3】已知集合 A = {x ∈ Z|-2 < x < 5}，B ={x ≥ 0}，则 A ∩ B = ( A ) A. {0，1，2，3} B. {3，4} C. {-1，0，1，2，3} D. (-1，3] 解：由题知 A = {x ∈ Z|-2 < x < 5} = {-1，0，1，2，3，4}，B = {x|-1 < x ≤ 3}， 所以 A ∩ B= {0，1，2，3} ．故选：A． 【练习3-1】设集合 A = {x|x < a}，集合 B = {-1，2}，若 A ∩ B = ∅,则实数 a 的取值范围是 ( A ) A. (-∞ , -1] B. (-∞ , -1) C. (-∞ , 2) D. (2，+∞) 解：因为 A= {x|x < a}，集合 B= {-1，2}且 A ∩ B = ∅ , 所以 a≤ -1，故选：A． 【练习3-2】已知集合 A = {x|x2 - 4x - 5 ≤ 0}，B= {x|a - 1 < x < 2a - 1}，其中 a ∈ R． (1) 若 A ∩ B = B，求 a 的取值范围； (2) 若 A ∩ B ≠ ∅,求 a 的取值范围． 解：(1) 集合 A = {x|x2 - 4x - 5 ≤ 0} = {x|-1 ≤ x ≤ 5}， ∵ A ∩ B = B，∴ B ⊆ A， 当 B = ∅时，a - 1 ≥ 2a - 1，解得 a ≤ 0， 综上所述，a 的取值范围为(-∞ , 3]； (2) ∵A ∩ B ≠ ∅ , ∴ {a - 1 < 5 ，解得 0 < a < 6， 2a - 1 > -1a - 1 < 2a - 1 故 a 的取值范围为 (0，6)． 4、 补集运算 全集：一般地，一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作 U． 补集：对于一个集合 A，由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合称为集合 A 相对于全集 U 的补集，简称为集合 A 的补集，记作 ∁UA，即: ∁ UA = { x|x ∈ U 且 x ∉A}。 【例4-1】集合 A = {x|1 < x ≤ 2}，∁RA = ( D ) A. (-∞ , 1) ∪ (2，+∞) B. (-∞ , 1] ∪ [2，+∞) C. (-∞,1) ∪ [2，+∞) D. (-∞ , 1] ∪ (2,+∞) 解：∵ 集合 A = {x|1 < x ≤ 2}，∴ ∁RA = (-∞ , 1] ∪ (2,+∞)． 故选：D． 【例4-2】设全集 U= {1，2，3，5，8}，集合 M满足 ∁ UM= {1，8}，则 ( C ) A. 1 ∈ M B. 2 ∉ M C. 3 ∈ M D. 5 ∉ M 解：∵ U= {1，2，3，5，8}，∁UM= {1，8}， ∴ M= {2，3，5}，∴ 3 ∈ M．故选：C． 【例4-3】已知集合 U= {x ∈ N|-2 < x < 5}，集合 A = {0，1，2}，则 ∁UA = ( D ) A. {0，2，3} B. {-1，0，2，3} C. {-1，3，4} D. {3，4} 解：由已知 U= {0，1，2，3，4}，所以 ∁UA = {3，4} ．故选：D． 【练习4】设全集 U = R，A = {x|3a < x < 2a + 5} ， B = {x|x2 + x - 2 ≤ 0}． (1) 求 ∁UB； (2) 若 A⊆ ∁UB，求实数 a 的取值范围． 解：(1) 全集 U = R，A = {x ∈ R|3a < x < 2a + 5}， B = {x ∈ R|x2 + x - 2 ≤ 0} = {x|-2 ≤ x ≤ 1} ， ∴ ∁UB = {x|x< -2 或 x > 1}． (2) ∵A ⊆ ∁UB， ∴ A = ∅时，3a ≥ 2a + 5，解得 a ≥ 5． A ≠ ∅时，{(2a + 5 ≤ -2 或 {(3a ≥ 1 ，(3a < 2a + 5 (3a < 2a + 5 解得 a ≤ - 或 ≤ a < 5， 综上，实数 a 的取值范围是 (-∞ , - ∪ , +∞(． 练习一： 1. A = {3，5，8}，B = {5，6，8}，A ∪ B = ( B ) A. {5，8} B. {3，5，6，8} C. {3，5，8} D. {5，6，8} 解： 因为集合 A = {3，5，8}，B = {5，6，8}， 则 A ∪ B = {3，5，6，8} ．故选：B． 2. 已知集合 A= {0，2}，∅表示空集，则下列结论错误的是 ( C ) A. ∅ ⊊ A B. 0 ∈ A C. {∅} ⊆ A D. A ⊆ {s|s ≥ 0} 3. 已知集合 U= {x|-4 < x < 3}，A = {x|-2≤ x < 1}，则 ∁UA = ( A ) A. (-4，-2) ∪ [1，3) B. [-2，1) C. (-4，-2] ∪ (1，3) D. (-2，1 ] 4. 已知集合 A = {x ∈ N|-5 < 2x - 1 < 3}，则集合 A 的子集的个数为 ( C ) A. 8 B. 7 C. 4 D. 3 解 ：集合 A = {x ∈ N|-5 < 2x - 1 < 3} = {0，1}，集合 A 的子集 ∅ , {0}，{1}，{0，1}，共 4 个． 5. 集合 A = {x|-1 < x < 6}，B = {x|2 < x <3}，则 ( D ) A. A ∈ B B. A ⊆ B C. A = B D. B ⊆ A 6. 已知集合 A= {x ∈ Z|0< -2x < 4}，B = {x∈ N|x2 - 4x < 0}，则 A ∪ B = ( B ) A. {-1，0，1，2，3} B. {-1，1，2，3} C. {-2，-1，0，1，2，3} D. {0，1，2，3} 解 ：∵ B = {x ∈ N|x2 - 4x < 0} = {x ∈ N|0 < x < 4} = {1，2， 3}， A = {x ∈ Z|0 < -2x < 4} = {x ∈ Z|-2 < x < 0} = {-1}， ∴ A ∪ B = {-1，1，2，3} 7. 已知集合 A = {1 ，a，b} ，B = {-1 ，a2 ，b2}，若 A = B，则 a•b = ( B ) A. 1 B. 0 C. - 1 D.0 或 1 解 ：∵ A = B，∴ a2 = 1 或 b2 = 1，当 a2 = 1 时，得 a = -1 或 a = 1(舍)，则 b = b2，得 b = 0 或 b = 1(舍去)，此时 A = {1，-1，0}，B = {-1，1，0} 符 合题意，故 a•b = (-1) × 0 = 0，当 b2 = 1 时，解得 b= -1 或 b = 1(舍去)， 则 a = a2，解得 a = 0 或 a = 1(舍去)，此时 A = {1，0，-1}，B = {-1，0， 1}，符合题意，故 a•b = 0 × (-1) =0，综上所述，a•b = 0．故选：B． 8. 已 知 集 合 A = {x|-1 < x < 2} ，B = {x|2a - 1 < x < 2a + 3}，C = {x|-3 < x < 4} ． 若 A ⊆ B ⊆ C，则 a 的取值范围是 ( D ) 9. 已知集合 A= {x|4 < x < 5}，B = {x|m +1 ≤ x ≤ 2m + 1}，C = {x|x ≤ 0 或 x ≥ 2}． (1) 若 A ∪ B = B，求实数 m 的取值范围； (2) 若 B ∩ C = B，求实数 m 的取值范围． (1) m 的取值范围为 2 ≤ m ≤ 3，即 m ∈ [2，3]． (2) ∵B ∩ C = B，∴ B ⊆ C． 当 B = ∅,即 m + 1 > 2m + 1，即 m < 0 当 B ≠ ∅时，2m + 1 ≥ m + 1，即 m ≥ 0， 此时 B ⊆ C，则有两种情况， ① 2m + 1 ≤ 0，解得 m ≤ - ，又 m ≥ 0， ∴ 无解： ② m + 1 ≥ 2，得 m ≥ 1． 综上，实数 m 的取值范围是 m < 0 或 m ≥ 1，即 m ∈ (-∞ , 0) ∪ [1，+∞)． 10. 已知集合 A = {x|2 - b ≤ ax ≤ 2b - 2} (a > 0)，B = {x|- ≤ x ≤ 2({(． (1) 求 ∁RB； (2) 是否存在实数a，b，使得 A = B，若存在，求a，b 出得值，若不存在，请说明理由． 解 ：(1) ∵B = {x|- ≤ x ≤ 2}， ∴ ∁RB = {x|x < - 或 x > 2}； (2) 假设存在实数a，b 满足条件， ∵ a > 0，由 2 -b ≤ ax ≤ 2b - 2，有 ≤ x ≤ , 解得 故存在 a = 2，b = 3，使得集合 A = B 11. 已知集合 A = {x|-2x2 + 7x - 3 > 0}，集 合 B = {x|x2 -bx + 4 < 0，b ∈ R}． (1) 若 A ∩ B = (1，3)，求 b； (2) 若 A ∪ B = B，求 b 的取值范围． 解 ：(1)A = {x|-2x2 + 7x - 3 > 0}= {x|(2x - 1) (x - 3) < 0} = {((x < x < 3}， ∵ A ∩ B = (1，3)，∴ x = 1 必为方程 x2 -bx + 4 = 0 的根， 故 12 -b + 4 = 0，解得 b = 5， 此时 B = {x|x2 - 5x + 4 < 0，b ∈ R} = (1，4)， 符合题意，所以 b = 5； (3) ∵A ∪ B = B，∴ A ⊆ B，∴ 原问题等价于：对任意的 x ∈ , 3)，x2 -bx + 4 < 0 恒成立， ∴ 令 y = x2 -bx + 4 在区间 ，3) 上的最大值不大于 0， ∴ {3( (3 (2)b-+b04 ≤ 0 ，解得 b (b) ，即 b ≥ ,所以实数 b 的取值范围为 ，+∞)． 12. 全集是 R，集合 A = {x|x2 - 2x - 3 > 0 { ， B = {x|1 - a < x < 2a + 3 {． (1) 若 a = 1，求 (∁RA)∩ B； (2) 问题：已知 ________，求实数 a 的取值范围。从下面的三个条件中选一个填在上面进行解答。 ① A ∩ B = B ② A ∪ B = R ③ A ∩ B = ∅ 解 ：(1)A = {(( x|x < -1 或 x > 3{， ∴ (∁RA( = {x|-1 ≤ x ≤ 3 { ．若 a = 1，则 B = {x|0 < x < 5 }， 所以 (∁RA)∩ B = {x|0 < x ≤ 3 }． (2) 选①：A ∩ B = B，则 B ⊆ A． 当 B = ∅时，则有 1 - a ≥ 2a + 3，即 a ≤ - ； 当 B ≠ ∅时，则有 {2 (1)a-a-1 (+)3 或 {1 (1) -- a (a)3 (2)a + 3 ，a 的取值范围是 (-∞,- ． 选②：A ∪ B = R，由于 B{x|1 - a < x < 2a + 3 { 有 {2 (1)a-3 (-1) ，得 a > 2，a 的取值范围 (2,+∞) ． 选③：A ∩ B = ∅ , B = {x|1 - a < x < 2a + 3 }， 当 B = ∅时，则有 1 - a ≥ 2a + 3，即 a ≤ - ； 得 - < a ≤ 0 综上述，所求实数 a 的取值范围是 (-∞,0」 ． 练习二： 1. 集合 A = {x|-1 < x < 2}，B = {x|0 < x <1}，则 ( C ) A. B ∈ A B. A ⊆ B C. B ⊆ A D. A = B 解 ：集合 A = {x|-1 < x < 2}，B = {x|0 < x < 1}， 则 B ⊆ A．故选：C． 2. 设集合 M= {x|-4 < x < 0}，N = {x|x2 <4}，则 M∪ N= ( D ) A. {x|-2 < x < 0} B. {x|-2 < x < 2} C. {x|-4 < x < 4} D. {x|-4 < x < 2} 解：根据题意，集合 M= {x|-4 < x < 0}，N= {x|x2 < 4} = {x|-2 < x < 2}，则 M ∪ N= {x|-4 < x < 2}，故选：D． 3. 已知集合 A= {x ∈ Z|-1 ≤ x ≤ 2}，B = {x|0≤ x ≤ 3}，则 A ∩ B = ( C ) A. {x|-1 ≤ x ≤ 3} B. {x|0 ≤ x ≤ 2} C. {0，1，2} D. {-1，0，1，2} 解：A = {x ∈ Z|-1 ≤ x ≤ 2} = {-1，0，1，2}，故 A ∩ B= {0，1，2} ．故选：C． 4. 已知集合 A = {1，3，4，5}，集合 B= {0，1，2，3}，则 A ∩ B 的真子集个数为 ( A ) A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 解 ：∵ 集合 A = {1，5，3，4}，B = {0，1，2，3}，∴ 集合 A ∩ B = {1，3}， ∴ A ∩ B 的真子集的个数为：22 - 1 = 4 - 1 = 3．故选：A． 5. 已 知 集 合 A = { x ≥ 2({( ，则 ∁ R A = ( B ) A. {x|x > 1} B. {x|x ≤ 0 或 x > 1} C. {x|0 < x < 1} D. {x|x < 0 或 x > 1} 解： 由 ≥ 2，得 - 2 = ≥ 0，解得 0 < x ≤ 1， 所以 A = {x|0 < x ≤ 1}，所以 ∁RA = {x|x ≤ 0 或 x > 1} ．故选：B． 6. A = {x|0 < x < m}，B = {x|1 < x < 3}． (1) 当 m = 2 时，求 A ∪ B； (2) 若 B ⊆ A，求实数 m 的取值范围． 解 ：(1) 当 m = 2 时，A = {x|0 < x < 2}，B = {x|1 < x < 3}， ∴ A ∪ B = {x|0 < x < 3}； (2) ∵B ⊆ A，∴ m ≥ 3， 故实数 m 的取值范围为：[3，+∞)． 7. 设全集 U = R，已知集合 A= {x|-1 + a ≤ x ≤ 1 + a}，B = {x > 0({(． (1) 若 a = 3，求 A ∪ B； (2) 若 A ∩ B = ∅,求实数 a 的取值范围． 解 ：(1) 当 a = 3 时，A = {x|2 ≤ x ≤ 4}， 由 > 0，得 (x - 4) (x - 1) > 0，即 B= {x|x < 1 或 x > 4}， ∴ A ∪ B = {x|x < 1 或 x ≥ 2}； (2) 已知 A = {x|-1 + a ≤ x ≤ 1 + a}， 由 (1)知 B= {x|x < 1 或 x > 4}， ∵ A ∩ B = ∅,且 B ≠ ∅ , ∴ -1 + a ≥ 1 且 1 + a ≤ 4，解得 2 ≤ a ≤ 3， ∴ 实数 a 的取值范围为 [2，3]． 8. 集合 A = {x|x2 - 6x + 5 > 0}，B = {x|2m- 2 < x < m + 1}． (1) 当 m = 1 时，求 A ∪ B； (2) 问题：已知 ，求 m 的取值范围． 从下面给出的三个条件中任选一个，补充到上面 的问题中，并进行解答． ① A ∩ B = B； ② A ∪ B = A； ③ A ∩ B = ∅ . 解 ：(1) 当 m = 1 时，A = {x|x2 - 6x + 5 > 0} = {x|x < 1 或 x > 5}， B = {x|2m - 2 < x < m + 1} = {x|0 < x < 2}． ∴ A ∪ B = {x|x < 2 或 x > 5}； (2) 若选①, m 的取值范围是 {m|m ≤ 0 或 m ≥ 3}； 若选②,m 的取值范围是 {m|m ≤ 0 或 m ≥ 3}； 若选③,m 的取值范围是 {m|m ≥ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第七讲 集合的关系与运算 情境 1: 观察集合：E 为第一中学高二 (5) 班全体女生组成的集合，F 为这个班全体同学组成的集合． ♦问题：集合 F 都包含集合 E 的元素吗？ ♦设计意图：通过实际生活，体会集合关系中一个集合中的“任意一个元素”与另一集合中元素的关系。 情境 2 我们知道，实数可以比较大小，如1 < 2．类比实数比较大小，集合是否也可以“比较大小”呢？ ♦问题1: 数学中，我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为 Veen 图。集合 A = {1,2,3} ，B = {1,2,3} ,C = {1,2,3,4}，把 A、B、C 用韦恩图表示如下，你能说出集合 A 与 B，C 之间的关系吗？ 1 2 3 4 ♦问题 2: 已知集合 A = {x|x > 0} ,B = {x|x> -1}，尝试用数轴表示集合 A、B，你能说出集合 A 与集合 B 之间的关系吗？ ♦设计意图：让学生在观察过程中对集合关系与元素的关系有初步的感知。 1、 集合间的基本关系 子集：一般地，两个集合 A，B，若集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合 A 为集合 B 的子集，记作 A ⊆ B(或 B ⊇ A) 读作“A 含于 B”(或 B 包含 A)． 特别提醒：“A 是 B 的子集”含义是： A 的任何一个元素都是 B 的元素，即由任意的 x∈ A，能推出 x ∈ B． 当 A 不是 B 的子集时，我们记作“A⊈B(或B⊉A)”，读作：“A 不包含于 B”(或“B 不包含 A ”)． 符号 ⊆ 可以用≤来辅助记忆和理解。即 A ⊆ B 可以理解为 A 中元素范围比 B 中元素范围小。 集合相等：若集合A是集合B的子集 (A ⊆ B)，且集合B是集合A的子集 (B ⊆ A)，则此时两集合元素一样，那么就说集合A与集合B相等，记作A = B． 真子集：若A ⊆ B且 A ≠ B，就说集合 A 真包含于集合B(或集合B真包含集合A)，那么集合A是集合B的真子集，记作A ⊊ B或 (B ⊋ A)． 空集：不含任何元素的集合叫空集，用符号 ∅表示。 规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，空集本身没有真子集。 【例1-1】用适当的符号填空： (1) R Q (2) 0 ∅ (3) 5 {1，3，5} (4) {0，2} {x|x2 = 2x} (5) {x|1 < x < 5} {x|1 < x < 9} (6) Q (7) {1，2，3} {3，2，1} (8) ∅ {0} (9) {3} {x|2 < x < 4} (10) {x|x = 2n + 1，n ∈ Z} {x|x = 4n + 1，n ∈ Z} 【例1-2】求 A= {x|x2 -x - 2 = 0} 的子集和真子集 【练习1-1】集合 A = {1 - a，a2 - 2a - 1}，且 2 ∈ A； (1) 求实数a； (2) 写出 A 的所有真子集． 【例1-3】设 m 为实数，集合 A= {x|1 ≤ x ≤ 4}，B= {x|m ≤ x ≤ m + 2} ． 若 A ⊇ B，求 m 取值范围． 我们知道，实数有加、减、乘、除等运算。集合是否也有类似的运算呢？ 观察下面的集合，类比实数的加法运算，你能说出集合 A 与集合 B 之间的关系吗？ (1) A = {1,3,5}，B = {1,3,4,6}，C = {1,3,4,5,6} (2) A = { x | x 是有理数}，B = { x | x 是无理数} , C = {x | x 是实数} 2、 并集运算 在上述两个问题中，集合 A，B 与集合 C 之间都具有这样一种关系： 集合 C 是由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的。 并集：一般地，由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合，称为集合 A 与 B 的并集, 记作 A ∪ B （读作“A 并 B”），即 A ∪ B= { x|x ∈ A 或 x ∈ B} 并集的性质： A ∪ A = A A ∪ ∅ = A A ∪ B = A → B ⊆ A A ∪ B = ∅ → x0 ∉ A 且 x0 ∉ B x ∈ (A ∪ B) → x ∈ A 或x ∈ B 【例2-1】若集合 M= {-2，-1，1}，集合 N= {0，1}，则 M ∪ N等于 ( ) A. {-2，-1，0，1} B. {-2，-1，1} C. {-2，-1，0} D. {1} 【例2-2】已知 A = {x|-2 < x ≤ 0}，B = {x|-1 < x< 2}，则 A ∪ B = ( ) A. {x|-2 < x < 2} B. {x|-1 ≤ x < 2} C. {x|-1 ≤ x ≤ 0} D. {x|-1 < x < 0} 【例2-3】已知集合 M= {x|x > 2}，N = {x|x2 - 3x< 0}，则 M∪ N= ( ) A. (3，+∞) B. (2，+∞) C. (2，3) D. (0，+∞) 3、 交集运算 交集：一般地，由属于集合 A 且属于集合 B 的元素组成的集合称为集合 A 与 B 的交集, 记作 A ∩ B（读作 “A 交 B”），即：A ∩ B= {x|x ∈ A 且 x ∈ B} 交集的性质： A ∩ A = A A ∩ ∅ = ∅ A ∩ B = A 等价于 A ⊆ B x ∈ (A ∩ B) → x ∈ A 且x ∈ B 【例3-1】集合 A = {-1，0，1，2}，B = {-1，0，3}，则 A ∩ B = ( ) A. {-1，0} B. {-1，0，1，2，3} C. {2，3} D. {3，0} 【例3-2】集合 A = {x|2x - 1 > 5}，B = {3，4，5，6}，则 A ∩ B = ( ) A. ∅ B. {3} C. {3，4，5，6} D. {4，5，6} 【例3-3】已知集合 A = {x ∈ Z|-2 < x < 5}，B ={x ≥ 0}，则 A ∩ B = ( ) A. {0，1，2，3} B. {3，4} C. {-1，0，1，2，3} D. (-1，3] 【练习3-1】设集合 A = {x|x < a}，集合 B = {-1，2}，若 A ∩ B = ∅,则实数 a 的取值范围是 ( ) A. (-∞ , -1] B. (-∞ , -1) C. (-∞ , 2) D. (2，+∞) 【练习3-2】已知集合 A = {x|x2 - 4x - 5 ≤ 0}，B= {x|a - 1 < x < 2a - 1}，其中 a ∈ R． (1) 若 A ∩ B = B，求 a 的取值范围； (2) 若 A ∩ B ≠ ∅,求 a 的取值范围． 4、 补集运算 全集：一般地，一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作 U． 补集：对于一个集合 A，由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合称为集合 A 相对于全集 U 的补集，简称为集合 A 的补集，记作 ∁UA，即: ∁ UA = { x|x ∈ U 且 x ∉A}。 【例4-1】集合 A = {x|1 < x ≤ 2}，∁RA = ( ) A. (-∞ , 1) ∪ (2，+∞) B. (-∞ , 1] ∪ [2，+∞) C. (-∞,1) ∪ [2，+∞) D. (-∞ , 1] ∪ (2,+∞) 【例4-2】设全集 U= {1，2，3，5，8}，集合 M满足 ∁ UM= {1，8}，则 ( ) A. 1 ∈ M B. 2 ∉ M C. 3 ∈ M D. 5 ∉ M 【例4-3】已知集合 U= {x ∈ N|-2 < x < 5}，集合 A = {0，1，2}，则 ∁UA = ( ) A. {0，2，3} B. {-1，0，2，3} C. {-1，3，4} D. {3，4} 【练习4】设全集 U = R，A = {x|3a < x < 2a + 5} ， B = {x|x2 + x - 2 ≤ 0}． (1) 求 ∁UB； (2) 若 A⊆ ∁UB，求实数 a 的取值范围． 练习一： 1. A = {3，5，8}，B = {5，6，8}，A ∪ B = ( ) A. {5，8} B. {3，5，6，8} C. {3，5，8} D. {5，6，8} 2. 已知集合 A= {0，2}，∅表示空集，则下列结论错误的是 ( ) A. ∅ ⊊ A B. 0 ∈ A C. {∅} ⊆ A D. A ⊆ {s|s ≥ 0} 3. 已知集合 U= {x|-4 < x < 3}，A = {x|-2≤ x < 1}，则 ∁UA = ( ) A. (-4，-2) ∪ [1，3) B. [-2，1) C. (-4，-2] ∪ (1，3) D. (-2，1 ] 4. 已知集合 A = {x ∈ N|-5 < 2x - 1 < 3}，则集合 A 的子集的个数为 ( ) A. 8 B. 7 C. 4 D. 3 5. 集合 A = {x|-1 < x < 6}，B = {x|2 < x <3}，则 ( ) A. A ∈ B B. A ⊆ B C. A = B D. B ⊆ A 6. 已知集合 A= {x ∈ Z|0< -2x < 4}，B = {x∈ N|x2 - 4x < 0}，则 A ∪ B = ( ) A. {-1，0，1，2，3} B. {-1，1，2，3} C. {-2，-1，0，1，2，3} D. {0，1，2，3} 7. 已知集合 A = {1 ，a，b} ，B = {-1 ，a2 ，b2}，若 A = B，则 a•b = ( ) A. 1 B. 0 C. - 1 D.0 或 1 8. 已 知 集 合 A = {x|-1 < x < 2} ，B = {x|2a - 1 < x < 2a + 3}，C = {x|-3 < x < 4} ． 若 A ⊆ B ⊆ C，则 a 的取值范围是 ( ) 9. 已知集合 A= {x|4 < x < 5}，B = {x|m +1 ≤ x ≤ 2m + 1}，C = {x|x ≤ 0 或 x ≥ 2}． (1) 若 A ∪ B = B，求实数 m 的取值范围； (2) 若 B ∩ C = B，求实数 m 的取值范围． 10. 已知集合 A = {x|2 - b ≤ ax ≤ 2b - 2} (a > 0)，B = {x|- ≤ x ≤ 2}． (1) 求 ∁RB； (2) 是否存在实数a，b，使得 A = B，若存在，求a，b 出得值，若不存在，请说明理由． 11. 已知集合 A = {x|-2x2 + 7x - 3 > 0}，集 合 B = {x|x2 -bx + 4 < 0，b ∈ R}． (1) 若 A ∩ B = (1，3)，求 b； (2) 若 A ∪ B = B，求 b 的取值范围． 12. 全集是 R，集合 A = {x|x2 - 2x - 3 > 0 { ， B = {x|1 - a < x < 2a + 3 {． (1) 若 a = 1，求 (∁RA)∩ B； (2) 问题：已知 ________，求实数 a 的取值范围。从下面的三个条件中选一个填在上面进行解答。 ① A ∩ B = B ② A ∪ B = R ③ A ∩ B = ∅ 练习二： 1. 集合 A = {x|-1 < x < 2}，B = {x|0 < x <1}，则 ( ) A. B ∈ A B. A ⊆ B C. B ⊆ A D. A = B 2. 设集合 M= {x|-4 < x < 0}，N = {x|x2 <4}，则 M∪ N= ( ) A. {x|-2 < x < 0} B. {x|-2 < x < 2} C. {x|-4 < x < 4} D. {x|-4 < x < 2} 3. 已知集合 A= {x ∈ Z|-1 ≤ x ≤ 2}，B = {x|0≤ x ≤ 3}，则 A ∩ B = ( ) A. {x|-1 ≤ x ≤ 3} B. {x|0 ≤ x ≤ 2} C. {0，1，2} D. {-1，0，1，2} 4. 已知集合 A = {1，3，4，5}，集合 B= {0，1，2，3}，则 A ∩ B 的真子集个数为 ( ) A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 5. 已 知 集 合 A = { x ≥ 2({( ，则 ∁ R A = ( ) A. {x|x > 1} B. {x|x ≤ 0 或 x > 1} C. {x|0 < x < 1} D. {x|x < 0 或 x > 1} 6. A = {x|0 < x < m}，B = {x|1 < x < 3}． (1) 当 m = 2 时，求 A ∪ B； (2) 若 B ⊆ A，求实数 m 的取值范围． 7. 设全集 U = R，已知集合 A= {x|-1 + a ≤ x ≤ 1 + a}，B = {x > 0}． (1) 若 a = 3，求 A ∪ B； (2) 若 A ∩ B = ∅,求实数 a 的取值范围． 8. 集合 A = {x|x2 - 6x + 5 > 0}，B = {x|2m- 2 < x < m + 1}． (1) 当 m = 1 时，求 A ∪ B； (2) 问题：已知 ，求 m 的取值范围． 从下面给出的三个条件中任选一个，补充到上面 的问题中，并进行解答． ① A ∩ B = B； ② A ∪ B = A； ③ A ∩ B = ∅ . 学科网（北京）股份有限公司 $$