第八讲 命题与逻辑用语讲义-2025-2026学年高一上学期数学初高衔接

第八讲 命题与逻辑用语 1、 命题 1. 命题：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。 判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题。 中学数学中的许多命题可以写成 “若 p，则 q”或 “如果 p，那么 q”等形式。 其中 p 称为命题的条件，q 称为命题的结论。 【例】 ：下列“若 p，则 q”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？ (1) 若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形 （ √ ） (2) 若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等 （ × ） (3) 若- 4x + 3 = 0，则 x =1 （ × ） (4) 若平面内两条直线 a 和 b 均垂直于直线 l，则 a ∥ b （ √ ） 在命题 (1) (4)中，由条件 p 通过推理可以得出结论 q，所以它们是真命题。在命题 (2) (3) 中，由条件 p 不能 得出结论 q，所以它们是假命题。 2. 逆命题：将命题 “若 p，则 q” 中的条件 p和结论 q互换，就得到一个新的命题 “若 q，则 p”，称这个命题为原命题的逆命题。 【例】 ：下列“若 p，则 q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？ (1) 若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等； (2) 若两个三角形全等，则两个三角形周长相等； (3) 若一元二次方程 ax2 ＋ bx ＋ c =0有两个不相等的实数根，则 ac < 0； (4) 若 A ∪ B 是空集，则 A 与 B 均是空集． 不难发现，上述命题中的命题 (1) (4) 和它们的逆命题都是真命题；命题 (2) 是真命题，但它的逆命题是假命题；命题 (3) 是假命题，但它的逆命题是真命题.如果“若 p，则 q”和它的逆命题“若 q，则 p”均是真命题，即既有 p ⇒ q，又有 q ⇒ p，就记作 p ⇔ q。 2、 充要条件 充分条件和必要条件：一般地，“若 p，则 q”为真命题，是指由 p 通过推理可以得出 q.这时，我们就说，由 p可以推出 q，记作 p → q，并且说，p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件。如果 “若 p，则 q”为假命题，那么由条件 p 不能推出结论 q，记作 p 书 q．此时，我们就说 p 不是 q 的充分条件，q 不是 p 的必要条件。 ◆唯一性：给定条件 p, 由 p 推出 q 成立时，q 推出的结果不唯一，则必要性不成立。 例：x = 1 → |x| = 1，|x| = 1 → x = ±1，则 x = 1 是 |x| = 1 的充分不必要条件。 ◆不等式推论：小范围不等式成立 → 大范围不等式成立，反之不成立 (小可推大，大不可推小) 【例1-1】：设 x ∈ R，则“x < 1”是“0 < x < 1”的 ( B ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解：“ {x|0 < x < 1} {x|x < 1}，: “x < 1”是“0 < x < 1”的必要不充分条件．故选：B． 【例1-2】：P：(x + 8) (x + 2) = 0 是 q：x = 2 的 ( C ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 解：若 (x + 8) (x + 2) = 0，解得 x = -8 或x = -2， 所以得不到 x = 2，即充分性不成立，当 x = 2 时，则 (x + 8) (x + 2) = (2 + 8) (2 + 2) ≠ 0，所以必要性不成立．故选：C． 【例1-3】：集合 M与 N，M ∈ N是 M ∩ N= M 的 ( C ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 解：M ∈ N，则 M ∩ N= M，故充分性成立， M ∩ N= M，则 M ∈ N，故必要性成立， 故 M ∈ N是 M ∩ N= M 的充要条件，故选：C． 【例1-4】：若 - x - 2 < 0 是 -2 < x < a 的充分不必要条件，则实数 a 的值可以是( BCD ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解：由 - x - 2 < 0，解得 -1 < x < 2.“x2 - x - 2 < 0 是 -2 < x < a 的充分不必要条件，: a ≥ 2. : 实数 a 的值可以是 2,3,4. 【练习1-1】：一元二次方程 ax2 + 2x + 1 = 0，(a ≠ 0) 有一个正根和一个负根的充分不必要条件是 ( C ) A. a < 0 B. a > 0 C. a < -1 D. a > 1 解：ax2 + 2x + 1 = 0，(a ≠ 0) 有一个正根和一个负根的充要条 件是 x1 × x2 = < 0，即 a < 0， 而 a < 0 的一个充分不必要条件是 a< -1 故选：C。 【练习1-2】：已知条件 p：集合 P = {x|x2 - 8x - 20 ≤ 0}，条件 q：非空集合 S= {x|1 -m ≤ x ≤ 1 + m} ． 若 p 是 q 的必要条件，求 m 的取值范围． 解：由 x2 - 8x - 20 ≤ 0，解得 -2 ≤ x ≤ 10， 则 P= {x|-2 ≤ x ≤ 10}， 由 p 是 q 的必要条件，知 S ∈ P， 故 m 的取值范围是 [0，3]． 3、 全称量词与存在量词 1. 全称量词与全称命题 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示.含有全称量词的命题，叫做全称 量词命题。即：全称命题 p：“∀x ∈ Μ, p(x) 成立”。 2.存在量词与特称命题 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示.含有存在量词的命题，叫做 存在量词命题。即：全称命题 p：“∃x0 ∈ Μ, p(x0) 成立”。 【例2-1】用全称量词“∀”或存在量词“∃”改写下列命题，并判断真假． (1) 任意实数的绝对值都是正数； 解：∀ x ∈ R，使得 |x| > 0，假命题； (2) 自然数的平方都大于零； 解：∀ x ∈ N，使得 x2 > 0，假命题； (3) 有些实数是整数； 解：∃ x ∈ R，x ∈ Z，真命题； (4) 非零实数的零次幂都是1； 解：∀ x ≠ 0，x0 = 1，真命题； (5) 某些无理数的平方仍是无理数； 解：∃ x 为无理数，x2 仍是无理数，真命题； (6) 所有矩形都是平行四边形； 解：∀ 矩形都是平行四边形，真命题； (7) 对于 k > 4，方程 x2 + 4x + k = 0 没有实数根． 解：∀ k > 4，方程 x2 + 4x + k = 0 没有实数根，真命题． 【例2-2】下列命题为真命题的是 ( B ) A. ∃ x0 ∈ R，使 x0 (2)< 0 B. ∀ x ∈ R，有 x2 ≥ 0 C. ∀ x ∈ R，有 x2 > 0 D. ∀ x ∈ R，有 x2 < 0 【例2-3】下列命题中真命题有 ( B ) ① p：∀ x ∈ R，x2 -x + ≥ 0； ② q：所有的正方形都是矩形； ③ r：∃ x ∈ R，x2 + 2x + 2 ≤ 0； ④ s：至少有一个实数 x，使 x2 + 1 = 0． A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D.4 个 【例2-4】已知命题“∀x ∈ R，x2 + 2ax - 3a > 0 ”为真命题，则实数 a 的取值范围是( B ) A. [-3，0] B. (-3，0) C. [-12，0] D. (-12，0) 【例2-4】若命题“∃x ∈ R，x2 + 2x + m ≤ 0”是真命题，则实数 m 的取值范围是( B ) A. m < 1 B. m ≤ 1 C. m > 1 D. m ≥ 1 练习一： 1. 集合 A = {x}，B = {x2 }，则“x = 1”是“A =B”的 ( A ) A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要 解 ：若 A = B，则 x = x2，∴ x = 0 或x = 1，∴ x = 1 是 A = B 的 充分不必要条件，故选：A． 2. “x > 1 ”是“ < 1”的 ( A ) A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要 3. (多选) 下列命题为真命题的是 ( ABD ) A. “ ∃ x ∈ Z，x4 < 0”是存在量词命题 B. ∀ x ∈ R，9x2 ≥ 0 C. ∃ x ∈ N，3x2 - 4x + 1 < 0 D. “全等三角形面积相等”是全称量词命题 解 ：“ ∃ x ∈ Z，x4 < 0”是存在量词命题，故 A 为真命题；∀ x ∈ R，9x2 ≥ 0，故 B 为真命题；因为由3x2 - 4x + 1 < 0 得 < x < 1，故 C 为假命题；“全等三角形面积相等”是全称量词命题，故 D 为真命题．故选：ABD． 4. “一元二次方程 x2 + x + m = 0”有实数解的一个充分不必要条件是 ( A ) A. m < - B. m ≤ C. m > D. m < 4 解 ：若一元二次方程 x2 + x + m = 0”有实数解，则判别式 △ = 1 - 4m ≥ 0，解得 m ≤ 。 ∴ “一元二次方程 x2 + x + m = 0 ” 有实数解的一个充分不必要条件是 m < - ，故选：A。 5. 命题“∃x ∈ R，x2 + x + m < 0”是真命题， 则实数 m 的取值范围是( B ) A. (-∞ , B. (-∞ , 6. “不等式 x2 -x + m > 0 在 R 上恒成立”的必要不充分条件是 ( A ) A. m > 0 B. m < C. m < 1 D. m > 7. 若 不 等 式 ax 2 + bx + c > 0 的 解 集 为 {x|- < x < 3} ， 则 x2 + x + < 0 成立的一 个必要不充分条件是 ( D ) A. - < x < 3 B. - < x < 0 C. - 3 < x < D. - 1 < x < 6 8. 用“∀”与“∃”表示含量词的命题，并判断真假 (1) 实数都能写成小数形式； 解 ：∀ x ∈ R，x 能写成小数形式，真命题； (2) 有的有理数没有倒数； 解： ∃ x0 ∈ Q，x0 没有倒数，真命题； (3) 存在一个实数 x，使 x2 + x + 4 ≤ 0． 解： ∃ x ∈ R，x2 + x + 4 ≤ 0，假命题． 9. 已知集合 A = {x|x2 - 8x + 7 ≤ 0}，B = {x|m + 1 ≤ x ≤ 2m - 1)． (1) 若 m = 3，求 A ∩ B； (2) 若“x ∈ A ”是“x ∈ B”的必要不充分条件，求 实数 m 的取值范围． 解 ：(1)A = {x|x2 - 8x + 7 ≤ 0} = {x|1 ≤ x ≤ 7}， 若 m = 3 则 B= {x|m + 1 ≤ x ≤ 2m - 1} = {x|4 ≤ x ≤ 5}， ∴ A ∩ B = {x|4 ≤ x ≤ 5}； (2) ∵ x ∈ A 是 x ∈ B 的必要不充分条件，∴ B ⊆ A， ①当 B = ∅时，则 m + 1 > 2m - 1，解得 m < 2， ②当 B ≠ ∅时， 综上，实数 m 的取值范围是 (-∞ , 4]． 练习二： 1. “x > 3”是“x > 1”成立的 ( A ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解 ：“x > 3”对应的集合 A = (3，+∞)，“x > 1”对应的集合 B= (1，+∞)，则 A ⊊ B， 所以“x > 3”是“x > 1”成立的充分不必要条件． 2. (多选) ★下列命题是真命题的是 ( ABD ) A. ∀ x ∈ R，|x| ≥ x B. ∃ x ∈ R，|x| ≤ -x C. ∀ x ∈ R，x2 - 2x - 3 > 0 D. ∃ x ∈ R，x2 - 2x - 3 > 0 解：对于 A，∀ x ∈ R，|x| ≥x，故 A 正确， 对于 B，当 x = 0 时，满足 |x| ≤ -x，故 B 正确， 对于 C，当 x = 0 时，x2 - 2x - 3= -3 < 0，故 C错误， 对于 D，当 x = 2 时，x2 - 2x - 3 > 0，故 D 正确．故选：ABD． 3. 设x ∈ R，则“x > ”是“(x + 1) (2x - 1) > 0”的 ( A ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解： 由 (x + 1) (2x - 1) > 0，解得 x< -1 或x > ，则“x > ”是“(x + 1) (2x - 1) > 0”的充分不必要条件．选：A． 4. 集合 A = {x|x ≥ 0}，B = {x|x - 2 > 0}，则x ∈ A 是 x ∈ B 的 ( B ) A. 充分不要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分他不要条件 解：A = {x|x ≥ 0}，B:x - 2 > 0，得 x > 2，即 B= (2,+∞) ． 因此“x ∈ A”是“x∈ B”的必要不充分条件． 5. 命题“∃x0 ∈ R，x2 + 2x + a = 0”是真命题，则实数 a 的取值范围是 ( A ) A. a ≤ 1 B. a ≥ 1 C. a < 1 D. a > 1 解：命题“∃x0 ∈ R，x2 + 2x + a = 0”是真命题，则 Δ = 22 - 4a ≥ 0，解得 a ≤ 1．故选：A． 6. 已知集合 A = {x | < 1} ，B = {x|(x- 1) (2x + m) < 0}． (1) 当 m = 1 时，求 A ∪ B； (2) 已知“x ∈ A”是“x ∈ B”的必要条件，求实数m 的取值范围． 解 ：(1) 由 < 1，得 < 0，得 -2 < x < 1． ∴ A = {x|-2 < x < 1}， 当 m = 1 时， B = {x|(x - 1) (2x + 1) < 0} = {x|- < x < 1}， ∴ A ∪ B = {x|-2 < x < 1}； (2) ∵ “x ∈ A”是“x ∈ B”的必要条件，∴ B ⊆ A， 若 - > 1，即 m< -2，此时不符合题意，舍去； 若 - = 1，即 m = -2，B = ∅,符合题意； 若 - < 1，即 m > -2，则 B = {x|- < x < 1}，∴ -2 ≤ - < 1，解得 -2 < m ≤ 4． 综上所述，m ∈ [-2，4]． 7. 已知集合 A = {x|a - 1 ≤ x ≤ 3 - 2a}，B = {x|x2 - 2x - 8 ≤ 0}． (1) 若 A ∪ B = B，求实数 a 的取值范围； (2) 若 x∈ B 是 x ∈ A 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围． 解 ：(1) 解 x2 - 2x - 8 ≤ 0 得 -2 ≤ x ≤ 4，知 B= {x|-2 ≤ x ≤ 4}， 由 A ∪ B = B，得 A ⊆ B ①当 A = ∅时，a - 1 > 3 - 2a，解得a > ； 综上，a ≥ - ，即实数 a 的取值范围为 [ - ，+∞)； (2) 由题意 x∈ B 是 x∈ A 的充分不必要条件，可知 B ⊊ A，解得 a≤ -1，经检验a = -1，符合题意， 故 a≤ -1，即实数 a 的取值范围是 (-∞ , -1]． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第八讲 命题与逻辑用语 1、 命题 1. 命题：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。 判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题。 中学数学中的许多命题可以写成 “若 p，则 q”或 “如果 p，那么 q”等形式。 其中 p 称为命题的条件，q 称为命题的结论。 【例】 ：下列“若 p，则 q”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？ (1) 若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形 （ ） (2) 若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等 （ ） (3) 若 x2 - 4x + 3 = 0，则 x =1 （ ） (4) 若平面内两条直线 a 和 b 均垂直于直线 l，则 a ∥ b （ ） 在命题 (1) (4)中，由条件 p 通过推理可以得出结论 q，所以它们是真命题。在命题 (2) (3) 中，由条件 p 不能 得出结论 q，所以它们是假命题。 2. 逆命题：将命题 “若 p，则 q” 中的条件 p和结论 q互换，就得到一个新的命题 “若 q，则 p”，称这个命题为原命题的逆命题。 【例】 ：下列“若 p，则 q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？ (1) 若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等； (2) 若两个三角形全等，则两个三角形周长相等； (3) 若一元二次方程 ax2 ＋ bx ＋ c =0有两个不相等的实数根，则 ac < 0； (4) 若 A ∪ B 是空集，则 A 与 B 均是空集． 不难发现，上述命题中的命题 (1) (4) 和它们的逆命题都是真命题；命题 (2) 是真命题，但它的逆命题是假命题；命题 (3) 是假命题，但它的逆命题是真命题.如果“若 p，则 q”和它的逆命题“若 q，则 p”均是真命题，即既有 p ⇒ q，又有 q ⇒ p，就记作 p ⇔ q。 2、 充要条件 充分条件和必要条件：一般地，“若 p，则 q”为真命题，是指由 p 通过推理可以得出 q.这时，我们就说，由 p可以推出 q，记作 p → q，并且说，p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件。如果 “若 p，则 q”为假命题，那么由条件 p 不能推出结论 q，记作 p 书 q．此时，我们就说 p 不是 q 的充分条件，q 不是 p 的必要条件。 ◆唯一性：给定条件 p, 由 p 推出 q 成立时，q 推出的结果不唯一，则必要性不成立。 例：x = 1 → |x| = 1，|x| = 1 → x = ±1，则 x = 1 是 |x| = 1 的充分不必要条件。 ◆不等式推论：小范围不等式成立 → 大范围不等式成立，反之不成立 (小可推大，大不可推小) 【例1-1】：设 x ∈ R，则“x < 1”是“0 < x < 1”的 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【例1-2】：P：(x + 8) (x + 2) = 0 是 q：x = 2 的 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 【例1-3】：集合 M与 N，M ∈ N是 M ∩ N= M 的 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【例1-4】：若 x2 - x - 2 < 0 是 -2 < x < a 的充分不必要条件，则实数 a 的值可以是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【练习1-1】：一元二次方程 ax2 + 2x + 1 = 0，(a ≠ 0) 有一个正根和一个负根的充分不必要条件是 ( ) A. a < 0 B. a > 0 C. a < -1 D. a > 1 【练习1-2】：已知条件 p：集合 P = {x|x2 - 8x - 20 ≤ 0}，条件 q：非空集合 S= {x|1 -m ≤ x ≤ 1 + m} ．若 p 是 q 的必要条件，求 m 的取值范围． 3、 全称量词与存在量词 1. 全称量词与全称命题 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示.含有全称量词的命题，叫做全称 量词命题。即：全称命题 p：“∀x ∈ Μ, p(x) 成立”。 2.存在量词与特称命题 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示.含有存在量词的命题，叫做 存在量词命题。即：全称命题 p：“∃x0 ∈ Μ, p(x0) 成立”。 【例2-1】用全称量词“∀”或存在量词“∃”改写下列命题，并判断真假． (1) 任意实数的绝对值都是正数； (2) 自然数的平方都大于零； (3) 有些实数是整数； (4) 非零实数的零次幂都是1； (5) 某些无理数的平方仍是无理数； (6) 所有矩形都是平行四边形； (7) 对于 k > 4，方程 x2 + 4x + k = 0 没有实数根． 【例2-2】下列命题为真命题的是 ( ) A. ∃ x0 ∈ R，使 x0 (2)< 0 B. ∀ x ∈ R，有 x2 ≥ 0 C. ∀ x ∈ R，有 x2 > 0 D. ∀ x ∈ R，有 x2 < 0 【例2-3】下列命题中真命题有 ( ) ① p：∀ x ∈ R，x2 -x + ≥ 0； ② q：所有的正方形都是矩形； ③ r：∃ x ∈ R，x2 + 2x + 2 ≤ 0； ④ s：至少有一个实数 x，使 x2 + 1 = 0． A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D.4 个 【例2-4】已知命题“∀x ∈ R，x2 + 2ax - 3a > 0 ”为真命题，则实数 a 的取值范围是( ) A. [-3，0] B. (-3，0) C. [-12，0] D. (-12，0) 【例2-4】若命题“∃x ∈ R，x2 + 2x + m ≤ 0”是真命题，则实数 m 的取值范围是( ) A. m < 1 B. m ≤ 1 C. m > 1 D. m ≥ 1 练习一： 1. 集合 A = {x}，B = {x2 }，则“x = 1”是“A =B”的 ( ) A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要 2. “x > 1 ”是“ < 1”的 ( ) A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要 3. (多选) 下列命题为真命题的是 ( ) A. “ ∃ x ∈ Z，x4 < 0”是存在量词命题 B. ∀ x ∈ R，9x2 ≥ 0 C. ∃ x ∈ N，3x2 - 4x + 1 < 0 D. “全等三角形面积相等”是全称量词命题 4. “一元二次方程 x2 + x + m = 0”有实数解的一个充分不必要条件是 ( ) A. m < - B. m ≤ C. m > D. m < 4 5. 命题“∃x ∈ R，x2 + x + m < 0”是真命题， 则实数 m 的取值范围是 ( ) A. (-∞ , B. (-∞ , 6. “不等式 x2 -x + m > 0 在 R 上恒成立”的必要不充分条件是 ( ) A. m > 0 B. m < C. m < 1 D. m > 7. 若 不 等 式 ax 2 + bx + c > 0 的 解 集 为 {x|- < x < 3} ， 则 x2 + x + < 0 成立的一 个必要不充分条件是 ( ) A. - < x < 3 B. - < x < 0 C. - 3 < x < D. - 1 < x < 6 8. 用“∀”与“∃”表示含量词的命题，并判断真假 (1) 实数都能写成小数形式； (2) 有的有理数没有倒数； (3) 存在一个实数 x，使 x2 + x + 4 ≤ 0． 9. 已知集合 A = {x|x2 - 8x + 7 ≤ 0}，B = {x|m + 1 ≤ x ≤ 2m - 1)． (1) 若 m = 3，求 A ∩ B； (2) 若“x ∈ A ”是“x ∈ B”的必要不充分条件，求 实数 m 的取值范围． 练习二： 1. “x > 3”是“x > 1”成立的 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. (多选) 下列命题是真命题的是 ( ) A. ∀ x ∈ R，|x| ≥ x B. ∃ x ∈ R，|x| ≤ -x C. ∀ x ∈ R，x2 - 2x - 3 > 0 D. ∃ x ∈ R，x2 - 2x - 3 > 0 3. 设x ∈ R，则“x > ”是“(x + 1) (2x - 1) > 0”的 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 集合 A = {x|x ≥ 0}，B = {x|x - 2 > 0}，则x ∈ A 是 x ∈ B 的 ( ) A. 充分不要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分他不要条件 5. 命题“∃x0 ∈ R，x2 + 2x + a = 0”是真命题，则实数 a 的取值范围是 ( ) A. a ≤ 1 B. a ≥ 1 C. a < 1 D. a > 1 6. 已知集合 A = {x | < 1} ，B = {x|(x- 1) (2x + m) < 0}． (1) 当 m = 1 时，求 A ∪ B； (2) 已知“x ∈ A”是“x ∈ B”的必要条件，求实数m 的取值范围． 7. 已知集合 A = {x|a - 1 ≤ x ≤ 3 - 2a}，B = {x|x2 - 2x - 8 ≤ 0}． (1) 若 A ∪ B = B，求实数 a 的取值范围； (2) 若 x∈ B 是 x ∈ A 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$