2.1 用字母表示数（教学课件）数学新教材沪教版五四制六年级上册

2.1用字母表示数 第2章 简单的代数式 沪教版五四制2024·六年级上册 章节导读 2.1用字母表示数 2.2 代数式 与代数式的值 2.3一次式 字母表示数 代数式的概念 代数式的值 一次式的同类项 一次式的加减 一次式的概念 数与一次式相乘 学 习 目 标 1 2 3 理解字母表示数的意义，能分析具体问题中的简单数量关系，并用字母或含有字母的式子表示． 知道用字母与数的和、差、积、商的规范书写方法，以及字母与字母相乘的书写方法 体会用数学的符号语言表示现实世界，发展抽象能力． 问题引入 问题思考1 我们知道2+3=3+2 ，2.1+(4.2)=(4.2)+2.1，…… 你能将满足加法交换律的所有数都列举完吗？ 列举不完！ 怎么解决这个问题呢？ 问题思考2 你能解释一下4a＋12a＝16a的运算依据吗？ a+b=b+a （a、b表示有理数） 一般地，加法的交换律表示为： 用字母可以表示运算律.这里的字母可以表示指定范围内的任意数 问题引入 问题思考3 我们还曾用字母表示过哪些运算律? …… 加法结合律： 乘法结合律： 乘法交换律： 归纳：运用字母表示数可以表示运算律. 除此以外还有哪些字母表示数的例子？ 公式！ 问题引入 问题思考4 举出用字母表示公式的例子 . ①三角形面积公式 如果三角形的底边长是a，底边上的高是h， 三角形的面积为S， 那么 . ②长方形周长公式 a b a a b h ③正方形周长公式 ④梯形周长公式 归纳：运用字母表示数可以表示公式. 新知探究 概念 1.字母可以表示指定范围内的任意数. 2.运用字母表示数可以表示运算律、公式、规律等，将数学的研究领域由特殊的数延拓至一般情况. 例1 如果a表示一个有理数. 那么它的相反数如何表示？有理数a的相反数一定是负数吗？ 典例分析 在用字母表示数的时候需要对字母的取值范围进行分类讨论！ 注意 解 有理数a的相反数可以用-a表示. 如果a是正数，那么- a表示的数是负数； 如果a是负数，那么- a表示的数是正数； 如果a是零，那么- a表示的数也是零. 所以- a不一定是负数. 例2 某文具店练习本的单价是a元，3本练习本的总价是多少元？ 典例分析 数与字母或字母与字母相乘时，乘号可以省略不写，数字写在字母的前面！ 注意 分析 =3a（元） 练习本的总价 练习本的单价 × 练习本的数量 数字写在字母前面 省略 a 3 例3 某文具店8本练习本的总价是n元 ，练习本的单价是多少元？ 典例分析 运算结果不出现除号，一般用分数形式表示. 注意 分析 练习本的单价 练习本的总价 ÷ 练习本的数量 n 8 除号用分数线表示 也可以写成 学习了用字母表示数，在书写上有哪些需要注意的呢？ 新知探究 概念 1.字母可以表示指定范围内的任意数. 2.运用字母表示数可以表示运算律、公式、规律等，将数学的研究领域由特殊的数延拓至一般情况. 3.用字母表示数的书写注意事项. ①数与字母或字母与字母相乘时，乘号可以用“·”表示或省略不写； 在省略乘号时，要把数字写在字母的前面； 当数字是1或﹣1时，“1”常省略不写； 当数字是带分数时，常写成假分数. ②运算结果不出现除号，一般用分数形式表示. 例4 正确书写下列式. 典例分析 （2）x·4 （1）a×b （3）-1a （4） （5） -a a·b或ab 4x 乘号用“·”表示或省略不写 数字写在字母前面 “1” 省略不写 “带分数” 写成“假分数” “除号” 写成“分数线” 注意 例5 如图，用大小相同的木棒搭正方形，搭1个正方形需要4根木棒.搭2个、3个、4个正方形分别需要几根木棒？搭10个正方形需要几根木棒？搭n个正方形需要几根木棒呢？ 典例分析 … 正方形的个数 木棒 根数 1 2 3 4 5 … n … 10 … … 4 7 10 13 ＋3 ＋3 ＋3 ＋3 16 ? 4+3×9 ＋2个3 ＋3个3 ＋4个3 ＋1个3 4+3×1 4+3×2 4+3×3 4+3×4 ＋9个3 ＋(n-1)个3 4+3×(n-1) 31 4+3×(n-1) 方法一 例5 如图，用大小相同的木棒搭正方形，搭1个正方形需要4根木棒.搭2个、3个、4个正方形分别需要几根木棒？搭10个正方形需要几根木棒？搭n个正方形需要几根木棒呢？ 典例分析 增加1个正方形 木棒增加3根 再增加1个正方形 木棒又增加3根 … 变化规律：每增加m个正方形，木棒的根数增加m个3. 方法二 例5 如图，用大小相同的木棒搭正方形，搭1个正方形需要4根木棒.搭2个、3个、4个正方形分别需要几根木棒？搭10个正方形需要几根木棒？搭n个正方形需要几根木棒呢？ 典例分析 … 解 搭2个正方形所需木棒的根数是4+1×3=7； 搭3个正方形所需木棒的根数是4+2×3=10 ； 搭4个正方形所需木棒的根数是4+3×3=13 ； 搭10个正方形所需木棒的根数是4+9×3=31 . 如果用字母n表示正方形的个数，那么搭n个正方形所需木棒的根数可以表示为4+3×(n-1). 字母表示数 题型一 题型探究 练习1 填空 1. 用字母表示平行四边形的面积计算公式. 2. 母亲的年龄比儿子大26岁，如果用x表示母亲的年龄，那么儿子的年龄为 岁. 3. 如图，搭1个三角形需要3根木棒，搭2个三角形需要5根木棒，以此类推， 用木棒搭3个三角形、4个三角形……当搭n个这样的三角形时，需要木棒 为 根. 1个三角形 2个三角形 3个三角形 4个三角形 … （x-26） 字母表示数 题型一 题型探究 练习1 填空 1. 用字母表示平行四边形的面积计算公式. a h 平形四边形的面积公式： 2. 母亲的年龄比儿子大26岁，如果用x表示母亲的年龄，那么儿子的年龄为 岁. 分析 儿子的年龄 母亲的年龄 - 26 = x ？ x-26 字母表示数 题型一 题型探究 练习1 填空 3. 如图搭1个三角形需要3根木棒，搭2个三角形需要5根木棒，以此类推，用木棒搭3个三角形、4个三角形……当搭n个这样的三角形时，需要木棒为 根. 1个三角形 2个三角形 3个三角形 4个三角形 … 分析 1个三角形3根 2个三角形5根 3个三角形7根 4个三角形9根 ＋2 ＋2 ＋2 3+2×(n-1) 3+2×1 3+2×2 3+2×3 =2n+1 字母表示数的应用 题型二 题型探究 练习2 甲、乙两地之间公路全长，汽车从甲地开往乙地，速度为． (1)汽车从甲地到乙地需要行驶多少小时？ (2)如果汽车的行驶速度增加，那么汽车从甲地到乙地需要行驶多少小时？汽车加快速度后可以早到多少小时？ 【分析】本题考查了列代数式，解题的关键是根据题中的等量关系来列代数式进行解答（1）根据路程、速度和时间三个量之间具有关系：时间路程速度，用代数式表示出汽车从甲地到乙地需要行驶的时间；（2）早到的时间原来需要行驶的时间一加快速度后需要行驶的时间，用代数式进行表示即可． （1）解：（小时）， 答：汽车从甲地到乙地需要行驶小时． （2）解：（小时）， 小时， 答：汽车从甲地到乙地需要行驶小时，汽车加快速度后可以早到小时． 字母表示数的应用 题型二 题型探究 练习3 对于密码L dp d vwxghqw，你能看出它代表什么意思吗？如果给你一把破译它的“钥匙”，联想英语字母表中字母的顺序，你再试试能不能解读它．英语字母表中字母是按以下顺序排列的：a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z如果规定a又接在z的后面，使26个字母排成圈，并能想到可以代表“把一个字母换成字母表中从它向前移动3位的字母”，按这个规律就有L dp d vwxghqw→I am a student.这样你就能解读它的意思了．为了保密，写和读密码的双方事先约定了 “钥匙”的式子的，就用一种保密方式通信了．你和同伴也利用数学式子来制定一种类似的“钥匙” ． 【分析】可以根据自己的喜好利用数学式子来制定一种类似的“钥匙”，比如说，然后写上一句话，比如“study well and make progress every day”，根据题干中的方式，自己先利用秘钥x+2将这句话变成密码文字“uvwfa ygnn cpf ocmg rtqitguu gxgta fca”，然后再让同伴破译． 字母表示数的应用 题型二 题型探究 练习3 对于密码L dp d vwxghqw，你能看出它代表什么意思吗？如果给你一把破译它的“钥匙”，联想英语字母表中字母的顺序，你再试试能不能解读它．英语字母表中字母是按以下顺序排列的：a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z如果规定a又接在z的后面，使26个字母排成圈，并能想到可以代表“把一个字母换成字母表中从它向前移动3位的字母”，按这个规律就有L dp d vwxghqw→I am a student.这样你就能解读它的意思了．为了保密，写和读密码的双方事先约定了 “钥匙”的式子的，就用一种保密方式通信了．你和同伴也利用数学式子来制定一种类似的“钥匙” ． 解：可设置秘钥， 密码为：uvwfa ygnn cpf ocmg rtqitguu gxgta fca， 破译后的文字为：study well and make progress every day． （学生可尝试自己制定，本题答案不唯一） 字母表示数的应用 题型二 题型探究 练习4 探究一，模型再现：m条直线最多可以把平面分割成多少个部分？ 如图1平面中画出1条直线时，会得到1＋1＝2个部分；所以，1条直线最多可以把平面分割成2个部分； 如图2平面中画出第2条直线时，新增一条直线与已知1条直线最多有1个交点，这个交点会把新增的这条直线分成2部分，从而多出2个部分，即会得到1＋1＋2＝4个部分，所以2条直线最多可把平面分割成4个部分； 如图3平面中画出第3条直线时，新增一条直线与已知的2条直线最多有2个交点，这2个交点会把新增这条直线分成3部分，从而多出3个部分，即会得到1＋1＋2＋3＝7个部分，所以3条直线最多可以把平面分割成7个部分； 平面中画出第4条直线时，新增一条直线与已知的3条直线最多有3个交点，这3个交点把新增这条直线分成4部分，从而多出4个部分，即得到1＋1＋2＋3＋4＝11个部分，所以4条直线最多可把平面分割成11个部分…… (1)5条直线最多可以把平面分割成______个部分； (2)m条直线最多可以把平面分割成______个部分（用m的代数式表示）； 【分析】（1）画出第5条直线时，新增的一条直线与已知的4条直线最多有4个交点，这4个交点会把新增的这条直线分成5部分，从而多出5个部分，据此解答；（2）寻找出规律得出结论，最后求和即可解答； 字母表示数的应用 题型二 题型探究 练习4 探究一，模型再现：m条直线最多可以把平面分割成多少个部分？ 如图1平面中画出1条直线时，会得到1＋1＝2个部分；所以，1条直线最多可以把平面分割成2个部分； 如图2平面中画出第2条直线时，新增一条直线与已知1条直线最多有1个交点，这个交点会把新增的这条直线分成2部分，从而多出2个部分，即会得到1＋1＋2＝4个部分，所以2条直线最多可把平面分割成4个部分； 如图3平面中画出第3条直线时，新增一条直线与已知的2条直线最多有2个交点，这2个交点会把新增这条直线分成3部分，从而多出3个部分，即会得到1＋1＋2＋3＝7个部分，所以3条直线最多可以把平面分割成7个部分； 平面中画出第4条直线时，新增一条直线与已知的3条直线最多有3个交点，这3个交点把新增这条直线分成4部分，从而多出4个部分，即得到1＋1＋2＋3＋4＝11个部分，所以4条直线最多可把平面分割成11个部分…… (1)5条直线最多可以把平面分割成______个部分； (2)m条直线最多可以把平面分割成______个部分（用m的代数式表示）； （1）解：根据规律得，平面中，画出第5条直线时，新增的一条直线与已知的4条直线最多有4个交点，这4个交点会把新增的这条直线分成5部分，从而多出5个部分， 即共会得到1+1+2+3+4+5=16个部分.所以，5条直线最多可以把平面分割成16个部分， （2）根据规律，m条直线最多可以把平面分割成1+1+2+3+4+…+m= 故答案为：； 字母表示数的应用 题型二 题型探究 练习4 类比迁移：n个圆最多可以把平面分割成多少个部分？ 如图4平面中画出1个圆时，会得到1＋1＝2个部分；所以，1个圆最多可以把平面分割成2个部分； 如图5平面中画出第2个圆时，新增的一个圆与已知的1个圆最多有2个交点，这2个交点会把新增的这个圆分成2部分，从而多出2个部分，即总共会得到1＋1＋2＝4个部分，所以，2个圆最多可以把平面分割成4个部分； 如图6，平面中画出第3个圆时，新增的一个圆与已知的2个圆最多有4个交点，这4个交点会把新增的这个圆分成4部分，从而多出4个部分，即总共会得到1＋1＋2＋4＝8个部分，…… (3)5个圆最多可以把平面分割成______个部分； (4)n个圆最多可以把平面分割成______个部分（用n的代数式表示）； (5)如果n个圆最多可以把平面分割成508个部分，求n的值； (6)5条直线和1个圆最多可以把平面分割成______个部分； (7)m条直线和n个圆最多可以把平面分割成______个部分（用m、n的代数式表示）． 【分析】（3）平面中画出第5个圆时，新增的一个圆与已知的4个圆最多有8个交点，这8个交点会把新增的这个圆分成8部分，从而多出8个部分，据此解答；（4）寻找出规律得出结论，最后求和即可解答； 字母表示数的应用 题型二 题型探究 练习4 类比迁移：n个圆最多可以把平面分割成多少个部分？ 如图4平面中画出1个圆时，会得到1＋1＝2个部分；所以，1个圆最多可以把平面分割成2个部分； 如图5平面中画出第2个圆时，新增的一个圆与已知的1个圆最多有2个交点，这2个交点会把新增的这个圆分成2部分，从而多出2个部分，即总共会得到1＋1＋2＝4个部分，所以，2个圆最多可以把平面分割成4个部分； 如图6，平面中画出第3个圆时，新增的一个圆与已知的2个圆最多有4个交点，这4个交点会把新增的这个圆分成4部分，从而多出4个部分，即总共会得到1＋1＋2＋4＝8个部分，…… (3)5个圆最多可以把平面分割成______个部分； (4)n个圆最多可以把平面分割成______个部分（用n的代数式表示） （3）平面中画出第5个圆时，新增的一个圆与已知的4个圆最多有8个交点，这8个交点会把新增的这个圆分成8部分，从而多出8个部分，即共会得到1+1+2+4+6+8=22个部分，故答案为：22； （4）解：根据规律得，n个圆最多可以把平面分割成1+1+2+4+…+2（n-1）=(n2-n+2)个部分 字母表示数的应用 题型二 题型探究 练习4 类比迁移：n个圆最多可以把平面分割成多少个部分？ 如图4平面中画出1个圆时，会得到1＋1＝2个部分；所以，1个圆最多可以把平面分割成2个部分； 如图5平面中画出第2个圆时，新增的一个圆与已知的1个圆最多有2个交点，这2个交点会把新增的这个圆分成2部分，从而多出2个部分，即总共会得到1＋1＋2＝4个部分，所以，2个圆最多可以把平面分割成4个部分； 如图6，平面中画出第3个圆时，新增的一个圆与已知的2个圆最多有4个交点，这4个交点会把新增的这个圆分成4部分，从而多出4个部分，即总共会得到1＋1＋2＋4＝8个部分，…… (5)如果n个圆最多可以把平面分割成508个部分，求n的值； (6)5条直线和1个圆最多可以把平面分割成______个部分； (7)m条直线和n个圆最多可以把平面分割成______个部分 【分析】（5）根据问题（4）中结论列方程求解； （6）1条直线和1个圆最多将平面分成2+2×1=4个部分，两条直线和一个圆最多将平面分成4+2×2=8部分，…，据此规律解答； （7）当m=0时，m条直线和n个圆最多可以把平面分割成(n2-n+2)个部分，当时，m条直线和n个圆最多可以把平面分割成个部分，据此解答． 字母表示数的应用 题型二 题型探究 练习4 类比迁移：n个圆最多可以把平面分割成多少个部分？ 如图4平面中画出1个圆时，会得到1＋1＝2个部分；所以，1个圆最多可以把平面分割成2个部分； 如图5平面中画出第2个圆时，新增的一个圆与已知的1个圆最多有2个交点，这2个交点会把新增的这个圆分成2部分，从而多出2个部分，即总共会得到1＋1＋2＝4个部分，所以，2个圆最多可以把平面分割成4个部分； 如图6，平面中画出第3个圆时，新增的一个圆与已知的2个圆最多有4个交点，这4个交点会把新增的这个圆分成4部分，从而多出4个部分，即总共会得到1＋1＋2＋4＝8个部分，…… (5)如果n个圆最多可以把平面分割成508个部分，求n的值； (6)5条直线和1个圆最多可以把平面分割成______个部分； (7)m条直线和n个圆最多可以把平面分割成______个部分 （5）根据问题（4）结论可得，n2-n+2=508，得n=23，或n=-22（舍去） （6）1条直线和1个圆最多将平面分成2+2×1=4个部分，两条直线和一个圆最多将平面分成4+2×2=8部分，…，5条直线和一个圆最多将平面分成16+2×5=26个部分，故答案为：26； （7）当m=0时，m条直线和n个圆最多可以把平面分割成(n2-n+2)个部分， 当时，m条直线和n个圆最多可以把平面分割成个部分， 课堂小结 想一想 1.本节课学了哪些新知识？ 2.之前学习的内容有怎样的关系？ 3.其中蕴含了什么样的数学思想？ 字母可以表示指定范围内的任意数.运用字母表示数可以表示运算律、公式、规律等，将数学的研究领域由特殊的数延拓至一般情况. 用字母表示数的书写注意事项. ①数与字母或字母与字母相乘时，乘号可以用“·”表示或省略不写； 在省略乘号时，要把数字写在字母的前面； 当数字是1或﹣1时，“1”常省略不写； 当数字是带分数时，常写成假分数. ②运算结果不出现除号，一般用分数形式表示. 感谢聆听! $$