专题07有理数的除法-2025年小升初数学暑假自学课（人教版）

2025年小升初数学暑假自学课 专题07 有理数的除法 一、思维导图 二、知识点梳理 知识点一：有理数的除法运算 有理数的除法法则 法则一：除以一个数等于乘上这个数的倒数，即a÷b=a· （b≠0） 法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； 0除以任何一个不等于零的数都得0。 【典例分析01】计算： (1)；(2)；(3)；(4) 【变式训练01】下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练02】计算= ． 【变式训练03】若，且，异号，则的符号为（ ） A．大于 B．小于 C．大于等于 D．小于等于 【变式训练04】算式______中的横线内应填（    ） A． B． C． D． 【变式训练05】计算： (1) ；(2)；(3)；(4)． 知识点二：有理数除法的应用 【典例分析02】有一批食品罐头，标准质量为每听，现抽取10听样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的用负数表示，这10听罐头与标准质量差值结果如下表： 听号 质量 (1)这听罐头与标准质量差值的和是多少？ (2)抽取的这听罐头平均每听质量是多少？ 【变式训练01】某班抽查了10名同学的期中数学成绩，以85分为基准，超出的部分记为正数，不足的部分记为负数，记录的结果如下：，0，． (1)这10名同学期中数学成绩的最高分是多少分？最低分是多少分？ (2)这10名同学期中数学成绩的平均成绩是多少分？ 【变式训练02】有一个水库某天的水位为米（以警戒线为基准，记高于警戒线的水位为正），在以后的6个时刻测得的水位升降情况如下（记上升为正，单位：米）：，，0，，，． (1)经这6次水位升降后，水库的水位超过警戒线了吗？ (2)现在由于下暴雨，水库水位以米/小时速度上升，指挥部要求水位降至警戒线1米以下（含1米），现在水库匀速泄水，可使静态水位按米/小时速度下降，为达到指挥部最低要求，求水库需放水的时间． 知识点三：有理数的四则混合算 【典例分析03】计算： (1)；(2) (3) 【变式训练01】计算： (1)．(2)． 【变式训练02】下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练03】计算： (1)；(2)． (3)(4) 知识点四：有关有理数除法的简算 【典例分析04】阅读下列材料，完成后面任务． 计算： 解法①：原式 解法②：原式 解法③：原式的倒数为 故原式 任务： (1)上述三种解法得出的结果不同，肯定有解法是错误的，你认为解法 是错误的．（填序号） (2)在正确的解法中，你认为解法 比较简便．（填序号） (3)请你进行简便计算：． 【变式训练01】简便运算能使学生思维的灵活性得到充分锻炼，对提高学生的计算能力起到非常大的作用．阅读下列相关材料． 材料一，计算：． 分析：利用通分计算的结果很麻烦，可以采用以下方法进行计算． 解：． ． 材料二，下列算式是一类两个两位数相乘的一种特殊计算方法． ； ； 根据以上材料，完成下列问题： (1)请你根据对材料一的理解，计算：； (2)请你根据对材料二的理解，计算：． 知识点五：根据点在数轴上的位置判断式子的正负 【典例分析05】有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列各式的符号为正的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练01】如图，数轴上，两点表示的数分别为，，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练02】若有理数a、b在数轴上表示的点的位置如图所示．下列结论： ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥． 其中正确结论的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式训练03】有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列结论中：①；②；③；④；⑤； ⑥．正确的有（    ）    A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 知识点六：数轴上的翻折问题 【典例分析06】已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面． (1)若2表示的点与表示的点重合，则表示的点与哪个数表示的点重合； (2)若表示的点与2表示的点重合，回答以下问题： ①1表示的点与哪个数表示的点重合； ②若数轴上、两点之间的距离为5（在的左侧），且、两点经折叠后重合，求、两点表示的数是多少？ 【变式训练01】在白纸上画一数轴，折叠数轴，使数轴上数对应的点与数4对应的点重合． (1)求数轴上与数8对应的点重合的点对应的数； (2)若数轴上两点，（点在的左侧），折叠前，两点间的距离为50，折叠后，两点间的距离为5，求点表示的数． 三、课后巩固 1．计算的结果是（ ） A． B． C． D．1 2．计算： . 3．将转化为乘法运算正确的是（　　） A． B． C． D． 4．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．实数a与b在数轴上的位置如图所示，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 6．某同学在计算时，误将“”看成“”而算得结果是，则的正确结果是（    ） A．3 B．2 C． D． 7．要使算式的运算结果最大，则“□”内应填入的运算符号为（    ） A．+ B．- C．× D．÷ 8．已知有理数a、b满足，则 ． 9．下列说法中，正确的有（　　） ①任何数乘以0，其积为零；②0除以任何一个数，其商为零；③任何有理数的绝对值都是正数；④两个有理数相比较，绝对值大的反而小． A．2个 B．3个 C．4个 D．1个 10．如图，数轴上点A、B、C分别表示数a、b、c．有下列结论：①；②；③；④；则其中结论正确的序号是（　　） A．①② B．②③ C．②③④ D．①③④ 11．用简便方法计算：． 12．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 13．如图是一个计算程序框图，若输入的值为，则输出的结果为（　　）    A． B． C． D．3 14．阅读下面的解题过程： 计算：． 解：原式    （第一步）         （第二步）         （第三步） 回答： (1)上面解题过程中有两处错误，第一处是第二步，错误的原因是______，第二处是第三步，错误的原因是 ． (2)把正确的解题过程写出来． 15．小康水平的一个指标是年人均收入1000美元．2008年对某地进行随机抽样调查，得出10户年人均收入，若以人均1000美元以上为达到小康指标，超过1000美元的 美元数用正数表示，不足1000美元的美元数用负数表示，此10户的年人均收入如下（单位：美元）： 0 (1)请你算一下这10户有百分之多少达到了小康指标？ (2)10户年平均收入为多少美元？ 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 【典例分析01】(1)0 (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的除法运算，解题关键在于熟知除以一个数等于乘以它的倒数． （1）0除以任何数都为0； （2）根据有理数的除法法则计算； （3）根据有理数的除法法则进行计算； （4）换算成小数进行计算． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【变式训练01】B 【分析】根据有理数的除法法则进行判断便可． 【详解】解：A、，故此选项错误，不符合题意； B、，故此选项正确，符合题意； C、，故此选项错误，不符合题意； D、，故此选项错误，不符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数除法，熟记有理数除法法则是解题的关键． 【变式训练02】 【分析】根据有理数除法运算法则进行计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了有理数的除法运算，熟练掌握除法运算法则是解题的关键． 【变式训练03】A 【分析】根据同号得正，异号得负判断即可． 【详解】解：∵，异号， ∴， 又∵， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了有理数的乘法，除法，熟记同号得正，异号得负是解题的关键． 【变式训练04】D 【分析】本题考查有理数的除法运算，解题的关键是熟知运算法则．根据有理数的除法法则即可求解． 【详解】解：括号内应填÷（-3）=． 故选：． 【变式训练05】(1) (2)0 (3) (4) 【分析】同号得正，异号得负，再绝对值相除；除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数，据此作答即可． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）． 【点睛】本题主要考查了有理数的除法运算，掌握相应的运算法则是解答本题的关键． 【典例分析02】(1)； (2) 【分析】此题主要考查正负数在实际生活中的应用，有理数的混合运算的应用． （1）根据正负数的意义，将表中数据相加，即可求解； （2）将表格数据相加除以再加上，即可求解． 【详解】（1）解：这听罐头与标准质量差值的和是， （2）解： ∴抽取的这听罐头平均每听质量是， 答：抽取的这听罐头平均每听质量是． 【变式训练01】(1)最高分为97分，最低分为75分 (2)85分 【分析】本题考查正数和负数，求平均数，解题的关键是明确正数和负数在题目中表示的含义． （1）根据题目中给出的数据可以计算出最高分与最低分分别是多少； （2）将题目中的10个数据相加的和除以10再与85相加，即可解答本题． 【详解】（1）这10名同学期中数学成绩的最高分是：（分）； 最低分是：（分）． （2）（分）， 所以这10名同学期中数学成绩的平均成绩是：（分）． 【变式训练02】(1)未超过 (2)5小时 【分析】（1）求得上述各数的和，然后根据结果与0的大小关系即可作出判断； （2）根据题意列式求解． 【详解】（1）解：， 答：水库的水位未超过警戒线． （2）（小时）， 答：水库需放水小时． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算及正负数在实际生活中的应用，根据题意列出算式是解题的关键． 【典例分析03】(1) (2)1 (3)30 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是熟练掌握有理数的运算律 （1）直接利用乘法的分配律进行简便运算即可； （2）先把除法化为乘法，再计算即可； （3）逆用乘法的分配律，进行简便运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： 【变式训练01】(1)1 (2) 【分析】本题考查了有理数的乘除法，熟练掌握有理数的乘除法法则是解题的关键． （1）先根据有理数的除法法则计算，再根据有理数的乘法法则计算即可； （2）先根据有理数的除法法则计算，再根据有理数的乘法法则计算即可． 【详解】（1） ； （2） ． 【变式训练02】C 【分析】本题考查有理数乘除混合运算，熟练掌握有理数乘除混合法则是解题的关键． 根据有理数乘除混合法则逐项计算并判定即可． 【详解】解：A、，原计算错误，故此选项不符合题意； B、，原计算错误，故此选项不符合题意； C、，计算正确，故此选项符合题意； D、，原计算错误，故此选项不符合题意； 故选：C． 【变式训练04】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟记有理数的运算顺序是解题的关键． （1）根据有理数的乘除法则计算即可； （2）根据有理数的乘除法则计算即可． （3）先计算乘除法，再计算加法即可． （4）利用有理数的加减乘除混合运算法则计算求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 【典例分析04】(1)① (2)③ (3) 【分析】本题考查有理数的计算，熟练掌握有理数的混合运算是解题的关键． （1）根据有理数的混合运算法则即可判断解法的正确性； （2）运用有理数的除法运算法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数，运算是最简便的，只有解法三符合这种运算法则， （3）参照解法③进行简便计算． 【详解】（1）解：解法①是错误的． 故答案为：①； （2）解：在正确的解法中，解法③运用了有理数的除法的运算法则，乘法的分配律，比较简便． 故答案为：③； （3）解：原式的倒数为： ， 故原式． 【变式训练01】(1) (2) 【分析】本题以材料题为背景，介绍了有理数运算中的简便运算．正确理解题意加以运用是解题关键． （1）利用材料一所给方法，先计算即可求解； （2）利用材料二所给方法即可计算． 【详解】（1）解： ， ∴； （2）解： ． 【典例分析05】D 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，有理数的四则运算，先根据数轴得到，，再根据有理数的四则运算法则求解即可． 【详解】解；由题意得，，， ∴， ∴四个选项中只有D选项中的式子符号为正， 故选：D． 【变式训练01】B 【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负．根据点、两点表示的数，得出，，再逐项分析即可求解． 【详解】解：根据数轴可得：，， 即，， ∵，∴，A选项不符合题意； ∵，，∴，B选项符合题意； ∵，，∴，C选项不符合题意； ∵，∴，D选项不符合题意； 故选：B． 【变式训练02】C 【分析】本题考查了数轴，以及比较有理数的大小，根据数轴可以确定a、b的正负和它们的绝对值的大小，从而判断题目中各式子是否正确． 【详解】解：由图可知：，，， ，则①正确； ，则②错误； ，则③正确； ，则④正确； ，则⑤错误； ，则⑥正确； 综上所述，正确的结论有①③④⑥，共个， 故选：C． 【变式训练03】D 【分析】本题主要考查了数轴，有理数的加减乘除运算．观察数轴可得，且，再根据有理数的加减乘除运算判断，即可求解． 【详解】解：观察数轴得：，且， ∴，，，，，， 故①②③④⑤⑥正确； 故选：D 【典例分析06】(1)3 (2)①，②、两点表示的数分别是、． 【分析】 本题考查了数轴，主要利用了数轴的对称性，读懂题目信息，分别求出对称中心是解题的关键． （1）先根据数轴判断出对称中心，然后解答即可； （2）先根据数轴判断出对称中心，①根据对称中心列式求解即可； ②求出的一半，再根据对称中心分别列式计算即可得解． 【详解】（1） 解：（1）表示的点与表示的点重合， 对称中心为0， 表示的点与数3表示的点重合； （2）表示的点与2表示的点重合， 对称中心为， ①， 表示的点与数表示的点重合； ②，两点之间的距离为5， 的一半为， 在的左侧， 点表示， 点表示． 、两点表示的数分别是、． 【变式训练01】(1) (2)或 【分析】本题考查折叠的性质，数轴上两点间的距离，掌握两点间距离的计算方法是解题的关键． （1）设与数8对应的点重合的点对应的数为，根据题意得到，即可解题． （2）设折叠处为点C，根据折叠前A、B两点间的距离为，折叠后A，B两点间的距离为，得到，再分类讨论，①，②，根据上述两种情况分析，即可得到点A表示的数． 【详解】（1）解：设与数8对应的点重合的点对应的数为， 则， 解得：， ∴与数8对应的点重合的点对应的数为； （2）解：解：设折叠处为点C， 折叠前A、B两点间的距离为，折叠后A，B两点间的距离为， ①当时， 由题知， 由上面两式整理可得，解得， 点C表示的数为， ∵点A在B的左侧， ∴点A表示的数为， ②当时， 由题知， 由上面两式整理可得，解得， 点C表示的数为， ∵点A在B的左侧， 点A表示的数为， 综上所述，点A表示的数为或． 三、课后巩固 1．A 【分析】本题考查有理数乘除混合运算，根据有理数乘除运算法则和混合运算顺序，依次计算即可 【详解】解： ． 故选：A． 2． 【分析】本题考查有理数的除法，掌握除以一个数等于乘以这个数的倒数是解题的关键. 【详解】解：， 故答案为：. 3．C 【分析】此题考查了有理数的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式利用除法法则变形即可得到结果． 【详解】解： 故选：C． 4．C 【分析】本题考查了有理数的运算以及化简绝对值，熟记相关运算法则即可． 【详解】解：，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误； 故选：C． 5．C 【分析】本题考查的是利用数轴比较有理数的大小，有理数的乘法法则的含义，根据数轴可得，，再进一步求解即可． 【详解】解：由题中数轴知：，， ∴，，， ∴C正确； 故C符合题意， 故选：C． 6．B 【分析】本题考查一元一次方程的计算．根据题意先计算出的值，再将结果代入得出本题答案． 【详解】解：∵计算时，误将“”看成“”而算得结果是， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 7．A 【分析】将各选项的运算符号代入计算即可得． 【详解】解：， ， ， ， 因为， 所以要使运算结果最大，应填入的运算符号为， 故选：A． 【点睛】本题考查有理数的加减乘除运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 8． 【分析】本题考查绝对值与平方的非负性，有理数的除法等知识，掌握相关知识是解题关键． 首先根据绝对值与平方的非负性得到，，然后代数求解即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 9．D 【分析】本题考查了有理数的乘法法则，有理数的除法法则，绝对值的性质，有理数的大小比较法则等知识点，能熟记知识点是解此题的关键，①0乘以任何数都等于0，0除以任何一个不等于0的数都得0，③两个负数比较大小，其绝对值大的反而小，④正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值等于0.根据有理数的乘法法则即可判断①；根据有理数的除法法则即可判断②；根据绝对值的性质即可判断③；根据有理数的大小比较法则即可判断④． 【详解】解：任何数乘以0，其积为零，故①正确； 0除以任何一个不等于0的数，其商为零，故②错误； 0的绝对值是0，不是正数，故③错误； 如， ∵， ∴，即两个有理数比较大小，绝对值大的反而小不对，故④错误； 所以正确的有1个， 故选：D 10．C 【分析】本题主要考查了数轴，有理数的混合运算；根据数轴可得，且，再根据有理数的加减乘除运算法则，可以逐项判断得出正确答案． 【详解】解：①∵，， ∴， 故①错误； ②∵， ∴， 故②正确； ③∵， ∴， 故③正确； ④∵，， ∴， 故④正确． 综上所述，正确的有②③④． 故选：C． 11． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，先将除法转化为乘法，然后根据乘法分配律进行计算即可求解． 【详解】解： ． 12．(1) (2)30 (3)14 (4) (5) 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ． 【点睛】本题考查了有理数的四则混合运算，运算遵循：先算乘除，再算加减，如果有括号，先计算括号里面的，熟练掌握运算法则和运算顺序是关键． 13．B 【分析】本题主要考查了程序流程图与有理数计算，有理数四则混合运算，有理数大小比较等知识点，理解题意，弄清程序流程图的计算步骤与判断逻辑是解题的关键． 先将输入的值按照程序框图的计算步骤计算一遍，然后根据判断结果确定是否再次进入循环或者跳出循环进行输出，最终即可得出答案． 【详解】解：由程序框图可知： ， ， 需要再循环一次， ， ， 输出的结果为， 故选：． 14．(1)运算顺序错误；符号错误 (2)见解析 【分析】此题主要考查了有理数除法的运算方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数． （1）从第一步到第二步，先计算除法，再计算乘法，所以第1处是第二步，错误原因是运算顺序错误；然后根据有理数除法的运算方法，可得第2处是第三步，错误原因是符号错误． （2）根据有理数除法、乘法的运算方法，从左向右，求出算式的值是多少即可． 【详解】（1）解：上面解题过程中有两处错误，第一处是第二步，错误的原因是运算顺序错误，第二处是第三步，错误的原因是符号错误， 故答案为：运算顺序错误；符号错误． （2）解： ． 15．(1) (2)10户年平均收入为1170美元 【分析】本题主要考查了正负数在生活中的应用以及有理数的混合运算在生活中的应用，以及求百分数. （1）根据正负数的意义找出达到小康指标的户数，然后即可得解； （2）先求出用正负数表示的所有数的和，再除以10然后加上1000即可． 【详解】（1）解：由表格数据可知，超过1000美元的户数有，，，，，共6户， ∴， 故这10户有达到了小康指标． （2） (美元) 故10户年平均收入为1170美元． 12 1 学科网（北京）股份有限公司 $$