第14讲多面体与旋转体（4种题型）-【暑假预习】2023年新高二数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版2020必修第三册）

第14讲多面体与旋转体（4种题型） 【知识梳理】 旋转体（圆柱、圆锥、圆台） 旋转体的结构特征：一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；该定直线 叫做旋转体的轴；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体． 1．圆柱 ①定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱． 圆柱用轴字母表示，如下图圆柱可表示为圆柱OO′． ②认识圆柱 ③圆柱的特征及性质 圆柱与底面平行的截面是圆，与轴平行的截面是矩形． ④圆柱的体积和表面积公式 设圆柱底面的半径为r，高为h： 2．圆锥 ①定义：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥． 圆锥用轴字母表示，如下图圆锥可表示为圆锥SO． ②认识圆锥 ③圆锥的特征及性质 与圆锥底面平行的截面是圆，过圆锥的顶点的截面是等腰三角形，两个腰都是母线． 母线长l与底面半径r和高h的关系：l2＝h2+r2 ④圆锥的体积和表面积公式 设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l： 3．圆台 ①定义：以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而成的曲面所围成的几何体叫做圆台． 圆台用轴字母表示，如下图圆台可表示为圆台OO′． ②认识圆台 ③圆台的特征及性质 平行于底面的截面是圆，轴截面是等腰梯形． ④圆台的体积和表面积公式 设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，高为h，母线长为l： ． 【考点剖析】 题型一：多面体 例1.下列几何体不是多面体的是（ ） A． B． C． D． 【变式1】下列各组几何体中是多面体的一组是（ ） A．三棱柱､四棱台､球､圆锥 B．三棱柱､四棱台､正方体､圆台 C．圆锥､圆台､球､半球 D．三棱柱､四棱台､正方体､六棱锥 【变式2】指出图中所示多面体的顶点数、棱数、面数. 【变式3】是否存在既没有面对角线也没有体对角线的多面体？如果存在，请举出实例；如果不存在，请说明理由. 题型二：旋转体 例2.下列几何体不是旋转体的为（ ） A．圆柱 B．棱柱 C．球 D．圆台 【变式1】如图，若直角梯形及其内部各点绕边所在的直线旋转360°，则得到的旋转体是（ ）． A．圆锥 B．圆台 C．圆锥与圆台的组合体 D．圆锥与圆柱的组合体 【变式2】将直角梯形绕其一边所在的直线旋转一周，所得的几何体可能是（ ） A．棱锥 B．棱台 C．球 D．圆台 【变式3】能旋转形成如图所示的几何体的平面图形是 A． B． C． D． 题型三：求旋转体的体积 例3．（2022·上海·高二专题练习）平面直角坐标系内有点，将四边形绕轴旋转一周，所得到的几何体的体积为__________ 【变式1】（2022·上海·高二专题练习）在梯形中，，，.将梯形绕所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为______. 【变式2】（2022秋·上海徐汇·高二位育中学校考期末）如图所示的几何体是圆柱的一部分，它由矩形ABCD的边AB所在的直线为旋转轴旋转得到的，. (1) 求这个几何体的体积； (2) 这个几何体的表面积. 【变式3】（2023秋·上海浦东新·高二统考期末）如图，在直角中，，斜边，是中点，现将直角以直角边为轴旋转一周得到一个圆锥.点为圆锥底面圆周上一点，且. (1)求圆锥的体积与侧面积； (2)求直线与平面所成的角的正切值. 【变式4】（2022秋·上海浦东新·高二上海市建平中学校考阶段练习）如图，是圆柱的一条母线，过底面圆心，是圆上一点.已知，. (1)求二面角的大小； (2)将四面体绕母线所在的直线旋转一周，求的三边在旋转过程中所围成的几何体的体积. 题型四：求组合旋转体的表面积 例4．（2021春·上海浦东新·高二上海市实验学校校考期末）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为_______． 【变式1】（2019春·上海静安·高二校考期中）已知的三边分别是，以所在直线为轴将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积 【变式2】（2022·上海·高二专题练习）一个几何体由圆锥和圆柱组成，其尺寸如图所示． （1）求此几何体的表面积； （2）如果点在直观图中所示位置，为所在母线中点，为母线与底面圆的交点，求在几何体表面上，从点到点的最短路径长． 【过关检测】 一．选择题（共1小题） 1．（2022秋•浦东新区校级期中）若y＝|x|和y＝3围成的封闭平面图形绕y轴旋转一周，则所得体积与绕x轴旋转一周所得体积之比是（　　） A．1：4 B．4：1 C． D． 二．填空题（共16小题） 2．（2021秋•杨浦区校级期末）圆锥的母线长为2，母线所在直线与圆锥的轴所成角为30°，则该圆锥的侧面积大小为 　 　.（结果保留π） 3．（2022