预习专题13 随机事件的独立性（2知识点+4题型+提升练）-【暑假自学课】2025年新高二数学暑假提升精品讲义（沪教版2020）

预习专题13 随机事件的独立性 1.通过具体事例，经历由对事件独立的直观判断到事件独立的严格定义的形成过程，理解随机事件独立性的含义，提升类比归纳的能力。（重点） 2.掌握独立事件的条件，会用两个事件相互独立的充要条件判断两个事件是否独立。（重点） 3.掌握随机事件独立性的性质，会利用事件的独立性解决较复杂的概率问题，提升逻辑推理、数学建模素养。（难点） 独立随机事件 1．两个事件相互独立的直观意义：如果两个随机事件A,B是否发生互相不影响，就认为它们是独立的。即事件 A 是否发生不影响事件 B 发生的概率；事件 B 是否发生也不影响事件 A 发生的概率. 2．事件相互独立的定义：两个事件与（相互）独立是指它们同时发生的概率等于它们各自发生概率的乘积，即 . 3．n个事件相互独立的含义 （1）对于n个事件 ，如果其中任意事件发生的概率不受其他事件的影响，则称n个事件 相互独立. （2）若事件相互独立，则. 4．相互独立事件的性质：如果两个事件A与B独立，那么A与与与也独. 独立随机事件 1.独立事件的判定：若 成立，则事件 、 相互独立. 2.相互独立事件与互斥事件的区别与联系 （1）区别： 判断方法：相互独立事件是一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响；互斥事件是两个事件不可能同时发生（即 ）. 概率公式：相互独立事件是若事件与相互独立，则；互斥事件是若事件与互斥，则（反之不成立）. （2）联系： 事件1：A、B 中至少有一个发生 表示： 若 A、B 互斥： 若 A、B 相互独立： 或 事件2：A、B 都发生 表示： 若、互斥： 0 若A、B 相互独立： 事件3：A、B 都不发生 表示： 若 A、B 互斥： 若 A、B 相互独立： 事件4：A、B 恰有一个发生 表示： 若 A、B 互斥： 若 A、B 相互独立：: 事件5：A、B 中至多有一个发生 表示： 若、互斥： 1 若 A、B 相互独立： 多个事件的两两独立 相互独立：两两独立不能推出相互独立；相互独立能推出两两独立。 题型一、独立事件的判断 例1 袋内有质地均匀且大小相同的3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用A表示“第一次摸得白球”，用B表示“第二次摸得白球”，则A与B是（    ） A．互斥事件 B．相互独立事件 C．对立事件 D．不相互独立事件 1-1掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现小于4的点”，“第二枚出现大于3的点”，则与的关系为（    ） A．互斥 B．互为对立 C．相互独立 D．相等 1-2抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚硬币正面朝上”，事件B=“第二枚硬币反面朝上”，则A与B的关系为（    ） A．互斥 B．相互对立 C．相互独立 D．相等 1-3掷两枚质地均匀的骰子，设A=“第一枚出现的点数大于2”，B=“第二枚出现的点数小于6”，则A与B的关系为（    ） A．互斥 B．互为对立 C．相互独立 D．相等 题型二、相互独立事件与互斥事件 例2 下列关于互斥事件、对立事件、独立事件（上述事件的概率都大于零）的说法中正确的是（    ） A．互斥事件一定是对立事件 B．对立事件一定是互斥事件 C．互斥事件一定是独立事件 D．独立事件一定是互斥事件 2-1下列说法正确的是（    ） A．若A，B为两个事件，则“A与B互斥”是“A与B相互对立”的充分不必要条件 B．若A，B为两个事件，且，则A与B互斥 C．若，，则事件A，B相互独立与事件A，B互斥可以同时成立 D．若事件A，B满足，则A与B相互对立 2-2已知事件与相互独立，且，则（    ） A．0.3 B．0.6 C．0.8 D．0.9 2-3已知事件，如果与互斥，那么；如果与相互独立，且，那么，则分别为（    ） A． B． C． D． 2-4设A，B是两个概率大于0的随机事件，则下列论述正确的是（    ） A．若A，B是对立事件，则事件A，B满足P（A）＋P（B）＝1 B．事件A，B，C两两互斥，则P（A）＋P（B）＋P（C）＝1 C．若A和B互斥，则A和B一定相互独立 D．P（A＋B）＝P（A）＋P（B） 题型三、独立事件的乘法公式 例3 甲、乙两人独立地攻克一道难题，已知两人能攻克的概率分别是，，则该题被攻克的概率为（    ） A． B． C． D． 3-1 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为0.6，乙中靶的概率为0.7，且两人是否中靶相互独立，若甲、乙各射击一次，则（    ） A．两人都中靶的概率为0.12 B．两人都不中靶的概率为0.42 C．恰有一人中靶的概率为0.46 D．至少一人中靶的概率为0.74 3-2 甲乙两人下棋，每局两人获胜的可能性一样.某一天两人要进行一场五局三胜的比赛，最终胜者赢得1000元奖金.甲连胜两局后，因为有其他要事而中止比赛.甲应分 元奖金才公平. 3-3 已知事件A与事件B互相独立，且，，则 . 3-4 若事件与事件是独立的，，，则 . 3-5 某个比赛中甲乙两人通过初赛的概率分别为和，两人独立参加初赛，其中恰有一人通过的概率是 . 3-6 证明：如果两个事件A与B独立，那么事件A与也独立． 题型四、独立事件的实际应用 例4 某学生做两道选择题，已知每道题均有4个选项，其中有且只有一个正确答案．该学生随意填写两个答案，则两个答案都选错的概率为 ． 4-1 从装有3个红球和4个蓝球的袋中，每次不放回地随机摸出一球．记“第一次摸球时摸到红球”为A，“第二次摸球时摸到蓝球”为B，则 ． 4-2 为庆祝我国第39个教师节，某校举办教师联谊会，甲､乙两名数学老师组成“几何队”参加“成语猜猜猜”比赛，每轮比赛由甲､乙两人各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，则“几何队”在一轮比赛中至少猜对一个成语的概率为（    ） A． B． C． D． 4-3 如图，已知电路中有4个开关，每个开关独立工作，且闭合的概率为，则灯亮的概率为 ．    4-4 把分奖金问题的三局两胜改为五局三胜，问：在比分是的情况下，怎么分奖金公平？ 4-5 三人合作玩某游戏，用火箭筒射击一低空飞行的直升机，甲瞄准驾驶员、乙瞄准油箱、丙瞄准发动机主要部件，命中率分别为、、，个人的射击是相互独立的，任一人射中，直升机即被击落．求击落直升机的概率． 1．袋中有黑、白两种颜色的球，从中进行有放回地摸球，用表示第一次摸得黑球，表示第二次摸得黑球，则与是（    ） A．相互独立事件 B．不相互独立事件 C．互斥事件 D．对立事件 2．已知，，，则事件与的关系是（    ） A．与互斥不对立 B．与对立 C．与相互独立 D．与既互斥又独立 3．已知是两个概率大于0的随机事件，则下列说法错误的是（    ） A．若是对立事件，则是互斥事件 B．若事件相互独立，则与也相互独立 C．若事件相互独立，则与不互斥 D．若事件互斥，则与相互独立 4．甲乙两射手独立地射击同一目标，他们的命中率分别为0.8和0.6，则目标被甲乙同时击中的概率为 . 5．甲、乙两人下棋，每局甲获胜的概率为0.6，某一天两人要进行一场三局两胜的比赛，各局的胜负之间是独立的，最终胜者赢得100元奖金．第一局比赛甲胜，后因为有其他要事而中止比赛．按照两人最终获胜的可能性大小的比例来分配奖金，则甲能获得 元． 6．在高中学生军训表演中，学生甲的命中率为0.4，学生乙的命中率为0.3，甲乙两人的击互不影响，求： (1)甲乙同时射中目标的概率； (2)甲乙中至少有一人击中目标的概率. 7． 俞女士每次投篮的命中率只有0.2，她在某次投篮练习中决定只要连续两次命中就结束投篮练习，求她至多四次投篮就能结束的概率. 8．某类型题目需要从A，B，C，D四个选项中选出正确答案（四个选项中有两个或三个选项是正确的），其评分标准为全部选对则得6分，部分选对则得部分分数（两个答案的每个答案3分，三个答案的每个答案2分），有选错的得0分． (1)有一道考试题甲不会做，假设他随机选择两个或三个选项，且写下每种答案的可能性相等，若该题的正确的答案为ABD，求考生甲本题得4分的概率； (2)现有2道两个正确答案的多项选择题，根据训练经验，每道题考生乙得6分的概率为得3分的概率为；考生丙得6分的概率为，得3分的概率为．乙、丙二人答题互不影响，且两题答对与否也互不影响，求这2道多项选择题乙、丙两位考生总分刚好得18分的概率． 9．若事件满足，，同时成立，则称事件两两独立，现抛掷一枚质地均匀的骰子，观察面朝上的数字， 得到样本空间， 若事件， 事件， 则可以构造事件 (填一个满足条件的集合即可)， 使得成立， 但不满足事件两两独立. 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 预习专题13 随机事件的独立性 1.通过具体事例，经历由对事件独立的直观判断到事件独立的严格定义的形成过程，理解随机事件独立性的含义，提升类比归纳的能力。（重点） 2.掌握独立事件的条件，会用两个事件相互独立的充要条件判断两个事件是否独立。（重点） 3.掌握随机事件独立性的性质，会利用事件的独立性解决较复杂的概率问题，提升逻辑推理、数学建模素养。（难点） 独立随机事件 1．两个事件相互独立的直观意义：如果两个随机事件A,B是否发生互相不影响，就认为它们是独立的。即事件 A 是否发生不影响事件 B 发生的概率；事件 B 是否发生也不影响事件 A 发生的概率. 2．事件相互独立的定义：两个事件与（相互）独立是指它们同时发生的概率等于它们各自发生概率的乘积，即 . 3．n个事件相互独立的含义 （1）对于n个事件 ，如果其中任意事件发生的概率不受其他事件的影响，则称n个事件 相互独立. （2）若事件相互独立，则. 4．相互独立事件的性质：如果两个事件A与B独立，那么A与与与也独. 独立随机事件 1.独立事件的判定：若 成立，则事件 、 相互独立. 2.相互独立事件与互斥事件的区别与联系 （1）区别： 判断方法：相互独立事件是一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响；互斥事件是两个事件不可能同时发生（即 ）. 概率公式：相互独立事件是若事件与相互独立，则；互斥事件是若事件与互斥，则（反之不成立）. （2）联系： 事件1：A、B 中至少有一个发生 表示： 若 A、B 互斥： 若 A、B 相互独立： 或 事件2：A、B 都发生 表示： 若、互斥： 0 若A、B 相互独立： 事件3：A、B 都不发生 表示： 若 A、B 互斥： 若 A、B 相互独立： 事件4：A、B 恰有一个发生 表示： 若 A、B 互斥： 若 A、B 相互独立：: 事件5：A、B 中至多有一个发生 表示： 若、互斥： 1 若 A、B 相互独立： 多个事件的两两独立 相互独立：两两独立不能推出相互独立；相互独立能推出两两独立。 题型一、独立事件的判断 例1 袋内有质地均匀且大小相同的3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用A表示“第一次摸得白球”，用B表示“第二次摸得白球”，则A与B是（    ） A．互斥事件 B．相互独立事件 C．对立事件 D．不相互独立事件 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用互斥事件、相互独立事件的定义判断即得. 【详解】依题意，有放回地摸球，事件A与B可以同时发生，因此事件A与B不互斥，更不对立，AC错误； 显然，，因此A与B是相互独立事件，B正确，D错误. 故选：B 1-1掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现小于4的点”，“第二枚出现大于3的点”，则与的关系为（    ） A．互斥 B．互为对立 C．相互独立 D．相等 【答案】C 【分析】根据独立事件的概念进行判断. 【详解】对于该试验，第一枚骰子与第二枚骰子出现点数互不影响，故与相互独立. 故选：C 1-2抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚硬币正面朝上”，事件B=“第二枚硬币反面朝上”，则A与B的关系为（    ） A．互斥 B．相互对立 C．相互独立 D．相等 【答案】C 【分析】列举全部可能出现的结果，即可根据对立事件以及互斥事件以及相互独立事件的定义求解. 【详解】抛掷两枚质地均匀的硬币，按顺序共出现（正正）（正反）（反正）（反反）这4种情况， 事件A包括（正正）（正反），事件B包括（正反）（反反），故不相等，故D错误， 由于事件A与事件B能同时发生，所以不为互斥事件，也不为对立事件，故AB错误； 因为事件A是否发生与事件B无关，事件B是否发生也与事件A无关，故事件A和事件B相互独立，故C正确. 故选：C. 1-3掷两枚质地均匀的骰子，设A=“第一枚出现的点数大于2”，B=“第二枚出现的点数小于6”，则A与B的关系为（    ） A．互斥 B．互为对立 C．相互独立 D．相等 【答案】C 【分析】根据试验及事件的描述判断事件间独立性、互斥性、是否相等即可得答案. 【详解】对于该试验，第一枚骰子与第二枚骰子出现点数互不影响，而且事件A、B可以同时发生， 所以A、B相互独立，但不互斥，也不对立，更不相等. 故选：C 题型二、相互独立事件与互斥事件 例2 下列关于互斥事件、对立事件、独立事件（上述事件的概率都大于零）的说法中正确的是（    ） A．互斥事件一定是对立事件 B．对立事件一定是互斥事件 C．互斥事件一定是独立事件 D．独立事件一定是互斥事件 【答案】B 【分析】根据互斥事件、对立事件、独立事件的概念进行判断即可. 【详解】互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件，故A错误，B正确； 互斥事件一定不能同时发生，而独立事件可以同时发生，所以互斥事件一定不是独立事件，独立事件可能互斥也可能不互斥，故C，D均错误. 故选：B. 2-1下列说法正确的是（    ） A．若A，B为两个事件，则“A与B互斥”是“A与B相互对立”的充分不必要条件 B．若A，B为两个事件，且，则A与B互斥 C．若，，则事件A，B相互独立与事件A，B互斥可以同时成立 D．若事件A，B满足，则A与B相互对立 【答案】B 【分析】根据互斥事件、对立事件和独立事件的定义和性质逐个分析判断即可. 【详解】对于A，当事件A与B互斥时，A与B不一定相互对立，但A与B相互对立时，A与B一定互斥，故“A与B互斥”是“A与B相互对立”的必要不充分条件，故A错误； 对于B，若A，B为两个事件，因为，所以，故B正确； 对于C，因为，，若事件A，B相互独立，则，故事件A，B不互斥，若事件A，B互斥，则，，故事件A，B不独立，故C错误； 对于D，抛掷一枚均匀的骰子，所得的点数为偶数的概率是，抛掷一枚硬币，正面向上的概率是，满足，但是A与B不对立，故D错误． 故选：B． 2-2已知事件与相互独立，且，则（    ） A．0.3 B．0.6 C．0.8 D．0.9 【答案】C 【分析】根据题意，结合，即可求解. 【详解】由题意，事件与事件相互独立，且， 则. 故选：C. 2-3已知事件，如果与互斥，那么；如果与相互独立，且，那么，则分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据互斥事件的定义可求，根据独立事件的概率公式求，由此可判断结论. 【详解】如果事件与互斥，则，所以. 如果事件与相互独立，则事件与也相互独立， 所以， ，即. 故选：C. 2-4设A，B是两个概率大于0的随机事件，则下列论述正确的是（    ） A．若A，B是对立事件，则事件A，B满足P（A）＋P（B）＝1 B．事件A，B，C两两互斥，则P（A）＋P（B）＋P（C）＝1 C．若A和B互斥，则A和B一定相互独立 D．P（A＋B）＝P（A）＋P（B） 【答案】A 【分析】A.该选项正确；B. 事件A，B，C两两互斥，举例说明该选项错误；C. 若A和B互斥，则A和B一定不相互独立，所以该选项错误；D.只有当A和B互斥时， P（A＋B）＝P（A）＋P（B），所以该选项错误. 【详解】A. 若A，B是对立事件，则事件A，B满足P（A）＋P（B）＝1，所以该选项正确； B. 事件A，B，C两两互斥，如 : 投掷一枚均匀的骰子，设{向上的点数是1点}，{向上的点数是2点}，{向上的点数是3点}，则A，B，C两两互斥，, P（A）＋P（B）＋P（C）＜1,所以该选项错误； C. 若A和B互斥，则，则A和B一定不相互独立，所以该选项错误； D.只有当A和B互斥时， P（A＋B）＝P（A）＋P（B），所以该选项错误. 故选：A 题型三、独立事件的乘法公式 例3 甲、乙两人独立地攻克一道难题，已知两人能攻克的概率分别是，，则该题被攻克的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相互独立事件的概率公式求解. 【详解】因为该题未被攻克的概率为，所以该题被攻克的概率为. 故选：B 3-1 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为0.6，乙中靶的概率为0.7，且两人是否中靶相互独立，若甲、乙各射击一次，则（    ） A．两人都中靶的概率为0.12 B．两人都不中靶的概率为0.42 C．恰有一人中靶的概率为0.46 D．至少一人中靶的概率为0.74 【答案】C 【分析】设出事件，根据相互独立事件的概率计算公式计算即可. 【详解】设甲中靶为事件， 乙中靶为事件， 则两人都中靶的概率为， 两人都不中靶的概率为， 恰有一人中靶的概率为， 至少一人中靶的概率为. 故选：C 3-2 甲乙两人下棋，每局两人获胜的可能性一样.某一天两人要进行一场五局三胜的比赛，最终胜者赢得1000元奖金.甲连胜两局后，因为有其他要事而中止比赛.甲应分 元奖金才公平. 【答案】875 【分析】先算出甲赢的概率，再用这个概率乘以1000即可. 【详解】甲连胜两局后， 乙最后获胜的情况为后面三局必须乙胜，其概率为：， 即甲最终获胜的概率为，乙最终获胜的概率为， 故甲分得奖金元才公平. 故答案为：875. 3-3 已知事件A与事件B互相独立，且，，则 . 【答案】/ 【分析】根据独立事件和对立事件的概率公式结合已知条件求解即可. 【详解】因为事件A与事件B互相独立，且，， 则. 故答案为：. 3-4 若事件与事件是独立的，，，则 . 【答案】 【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式，即可结合对立事件的性质求解. 【详解】由于事件与事件是独立的，故事件与事件也相互独立， 故, 又，故， 进而可得， 故答案为： 3-5 某个比赛中甲乙两人通过初赛的概率分别为和，两人独立参加初赛，其中恰有一人通过的概率是 . 【答案】 【分析】根据相互独立事件与互斥事件的概率公式即可求解. 【详解】恰好有一人通过的概率为， 故答案为： 3-6 证明：如果两个事件A与B独立，那么事件A与也独立． 【答案】证明过程见解析 【分析】根据得，结合事件A与B独立，得到，从而得到. 【详解】因为， 根据互斥事件的概率加法公式，可得， 因为两个事件A与B独立，所以， 所以 ， 故事件A与独立. 题型四、独立事件的实际应用 例4 某学生做两道选择题，已知每道题均有4个选项，其中有且只有一个正确答案．该学生随意填写两个答案，则两个答案都选错的概率为 ． 【答案】/ 【分析】首先由题意抽象为独立事件同时发生的事件，再代入概率公式，即可求解. 【详解】设答错第一道选择题为事件，答错第二道选择题为事件,两事件相互独立， 且， 两个题都选错为事件，则. 故答案为： 4-1 从装有3个红球和4个蓝球的袋中，每次不放回地随机摸出一球．记“第一次摸球时摸到红球”为A，“第二次摸球时摸到蓝球”为B，则 ． 【答案】 【分析】根据独立事件概率乘法公式结合条件概率分析运算. 【详解】由题意可得：， 所以. 故答案为：. 4-2 为庆祝我国第39个教师节，某校举办教师联谊会，甲､乙两名数学老师组成“几何队”参加“成语猜猜猜”比赛，每轮比赛由甲､乙两人各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，则“几何队”在一轮比赛中至少猜对一个成语的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用事件的相互独立性求解.法一，所求事件转化为互斥事件的和事件，利用概率加法公式求解即可；法二，利用对立事件的概率和为，间接法可得. 【详解】设事件“甲猜对”，“乙猜对”，“几何队至少猜对一个成语”， 所以，则. 由题意知，事件相互独立，则与，与，与也相互独立， 法一：，且两两互互斥， 则 . 法二：事件的对立事件“几何队一个成语也没有猜对”，即， 则. 故选：B. 4-3 如图，已知电路中有4个开关，每个开关独立工作，且闭合的概率为，则灯亮的概率为 ．    【答案】/0.8125 【分析】先计算出灯不亮的概率，进而利用对立事件求概率公式进行计算. 【详解】记开关闭合为事件A，B，C，D， 因为开关断开且开关至少有一个断开时，线路才断开，导致灯不亮， 所以灯不亮的概率为, 所以灯亮的概率为. 故答案为： 4-4 把分奖金问题的三局两胜改为五局三胜，问：在比分是的情况下，怎么分奖金公平？ 【答案】A、B两人应按来分奖金. 【分析】根据互斥事件和相互独立事件的概率公式求出A最终获胜的概率，进而得B最终获胜的概率，再按获胜概率的比例分配奖金即可. 【详解】用事件“A最终获胜”，事件“接下去第一局A获胜”，“接下去第二局A获胜”， 则 由题意可知前三局A已经胜两局，根据五局三胜的规则，A最终获胜只需在最后两局中再胜一局， 所以，因为与是互斥的， 所以， 所以A最终获胜的概率是，B最终获胜的概率是， 所以A、B两人应按来分奖金. 4-5 三人合作玩某游戏，用火箭筒射击一低空飞行的直升机，甲瞄准驾驶员、乙瞄准油箱、丙瞄准发动机主要部件，命中率分别为、、，个人的射击是相互独立的，任一人射中，直升机即被击落．求击落直升机的概率． 【答案】 【分析】设事件A：甲命中驾驶员，事件B：乙命中油箱，事件C：丙命中发动机， 由，代入计算可得. 【详解】设事件A：甲命中驾驶员，事件B：乙命中油箱，事件C：丙命中发动机， 则, 所以 . 即击落直升机的概率为． 1．袋中有黑、白两种颜色的球，从中进行有放回地摸球，用表示第一次摸得黑球，表示第二次摸得黑球，则与是（    ） A．相互独立事件 B．不相互独立事件 C．互斥事件 D．对立事件 【答案】A 【分析】根据相互独立事件的含义即可判断. 【详解】由题意可得表示第二次摸到的不是黑球, 即表示第二次摸到的是白球,由于采用有放回地摸球, 故每次是否摸到白球互不影响,故事件与是相互独立事件， 由于与可能同时发生，故不是互斥事件也不是对立事件. 故选：A. 2．已知，，，则事件与的关系是（    ） A．与互斥不对立 B．与对立 C．与相互独立 D．与既互斥又独立 【答案】C 【分析】利用计算出，可得到则能得到与不互斥，不对立；再利用算出即可得到答案 【详解】由可得， 因为，则与不互斥，不对立， 由可得， 因为，所以与相互独立 故选：C 3．已知是两个概率大于0的随机事件，则下列说法错误的是（    ） A．若是对立事件，则是互斥事件 B．若事件相互独立，则与也相互独立 C．若事件相互独立，则与不互斥 D．若事件互斥，则与相互独立 【答案】D 【分析】根据互斥，对立事件的定义，以及事件的相互独立性，即可判断选项. 【详解】A.两个事件是对立事件，则一定是互斥事件，故A正确； B.若事件相互独立，则与也相互独立，故B正确； C.若事件相互独立，则与可以同时发生，不互斥，故C正确； D. 若事件互斥，则与不能同时发生，即事件是否发生，对另一个事件是有影响的，所以两个事件不相互独立，故D错误. 故选：D 4．甲乙两射手独立地射击同一目标，他们的命中率分别为0.8和0.6，则目标被甲乙同时击中的概率为 . 【答案】0.48/ 【分析】根据独立事件的概率公式计算即可. 【详解】记事件为甲击中目标，事件为乙击中目标， 由题意得，与相互独立，且，. 则目标被甲乙同时击中的概率. 故答案为：0.48. 5．甲、乙两人下棋，每局甲获胜的概率为0.6，某一天两人要进行一场三局两胜的比赛，各局的胜负之间是独立的，最终胜者赢得100元奖金．第一局比赛甲胜，后因为有其他要事而中止比赛．按照两人最终获胜的可能性大小的比例来分配奖金，则甲能获得 元． 【答案】84 【分析】分别求出甲、乙最终获胜的概率，即可求出答案. 【详解】乙最后获胜的情况为第二局、第三局必须乙胜，其概率为：， 即甲最终获胜的概率为，乙最终获胜的概率为， 故甲的奖金为元. 故答案为：. 6．在高中学生军训表演中，学生甲的命中率为0.4，学生乙的命中率为0.3，甲乙两人的击互不影响，求： (1)甲乙同时射中目标的概率； (2)甲乙中至少有一人击中目标的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出相应的事件，找出对应事件的概率，利用相互独立事件的概率求解即可， （2）利用对立事件性质求解即可. 【详解】（1）设“甲击中目标”为事件，“乙击中目标”为事件， 则，且事件，相互独立， 所以甲乙同时射中目标的概率为. （2）设“甲乙中至少有一人击中目标”为事件， 则它的对立事件为“甲乙都没有击中目标”记为：， 则. 7．俞女士每次投篮的命中率只有0.2，她在某次投篮练习中决定只要连续两次命中就结束投篮练习，求她至多四次投篮就能结束的概率. 【答案】 【分析】由题知，俞女士每次投篮结果互不影响，记俞女士每次投篮命中为事件，即，她至多四次投篮就能结束分篮次数为2次，篮次数为3次，篮次数为4次解决即可. 【详解】由题知，俞女士每次投篮的命中率只有0.2，每次投篮结果互不影响， 记俞女士每次投篮命中为事件，即， 因为连续两次命中就结束投篮练习， 所以 投篮次数为2次就能结束的概率为， 投篮次数为3次就能结束的概率为， 投篮次数为4次就能结束的概率为， 所以她至多四次投篮就能结束的概率为. 8．某类型题目需要从A，B，C，D四个选项中选出正确答案（四个选项中有两个或三个选项是正确的），其评分标准为全部选对则得6分，部分选对则得部分分数（两个答案的每个答案3分，三个答案的每个答案2分），有选错的得0分． (1)有一道考试题甲不会做，假设他随机选择两个或三个选项，且写下每种答案的可能性相等，若该题的正确的答案为ABD，求考生甲本题得4分的概率； (2)现有2道两个正确答案的多项选择题，根据训练经验，每道题考生乙得6分的概率为得3分的概率为；考生丙得6分的概率为，得3分的概率为．乙、丙二人答题互不影响，且两题答对与否也互不影响，求这2道多项选择题乙、丙两位考生总分刚好得18分的概率． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据题意，由古典概型的概率公式代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由相互独立事件的概率公式代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）由题意甲同学选择的所有可能答案构成的样本空间为共10个样本点： 设事件表示“考生甲猜对本题得4分”， 则有3个样本点， 所以． （2）由题意乙得0分的概率为，丙得0分的概率为， 乙、丙总分刚好得18分的情形有以下几种： 情形一记为事件：乙得12分有一种情况，丙得6分有三种情况， 则， 情形二记为事件：乙得9分有两种情况，丙得9分有两种情况， 则， 事件：乙得6分有三种情况，丙得12分有一种情况， 则， 所以乙、丙总分刚好得18分的概率. 9．若事件满足，，同时成立，则称事件两两独立，现抛掷一枚质地均匀的骰子，观察面朝上的数字， 得到样本空间， 若事件， 事件， 则可以构造事件 (填一个满足条件的集合即可)， 使得成立， 但不满足事件两两独立. 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据相互独立事件以及“两两相互”的定义对问题进行分析，先判断相互独立，确定构造事件，使“与”或“与”不相互独立，根据事件包含的基本事件的个数进行分类讨论，由此求得符合题意的时间. 【详解】元素或有且仅有一个属于C，剩余的中任选两个属于，都满足条件要求． 因为，，，则， 若不满足事件两两独立，只需构造事件， 使得和至少有一个成立， 设事件包含的基本事件个数为（且），（且）， 当成立时，有，得， 所以或． （i）若，则，， 此时，，满足， 又，，，； ，，，， 又因为，所以事件两两独立，不满足要求， （ii）若，则， 因为，，所以必有且、且两种情况． 当且时，，，， 所以，， 所以若事件两两独立，则存在事件使得且， 此时，，不符合题意，所以不可能两两独立． 所以构造集合使得，且均满足题意， 故满足要求的为：、、、、、． 当且时，同理符合要求的集合为：、、、、、． 故答案为：（答案不唯一） 【点睛】关键点点晴：本题的关键在于设事件包含的基本事件个数为（且），（且），根据题设得到或，再利用古典概率公式及条件，即可求解. 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$