暑假预习专题13 幂、指数与对数（6知识+10题型+提升练）-【暑假自学课】2025年新高一数学暑假提升精品讲义（沪教版2020）

暑假预习专题13 幂、指数与对数 指数幂 1． 的 次幂 如果 是一个实数， 是一个正整数，那么称 为的次幂. 正整数指数幂的运算性质： 对任意给定的实数, b及正整数s , t，有 （1） ； （2） ； （3） ． 2．整数指数冥 当 时，可以定义 这样,可以证明对任意给定的非零实数及整数，上述幂的运算性质(1)到(3)仍然成立 3.根式 （1）一般地，如果 为大于 1 的整数，且 ，那么 叫做 的 次方根．式子 叫做 的 次根式， 叫做根指数， 叫做被开方数. 4.有理数指数幂 幂的概念 、 、 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义 有理数指幂的运算性质 幂的运算性质 性质 对任意给定的正数及实数有 实数指数幂运算的注意事项 (1)实数指数幂的运算性质是由有理数指数幂、整数指数幂的运算性质推广而来的，有理数指数幂、整数指数幂的运算性质对于实数指数幂也同样适用. (2)在运算性质中,特别要注意幂的底数是正数的规定，若改变等式成立的条件，则等式有可能不成立. 幂的基本不等式 定理 无论给出的条件是 还是 ，我们都可以通过倒数 进行调整；无论给出的条件是 还是 ，我们都可以通过相反数 进行调整．将条件调整到底数大于 1 ，指数大于 0 ，进而应用幂的基本不等式． 对数 1.对数的定义 在 ，且 的条件下，唯一满足 的数 ，称为 以 为底的对数，并用符号 表示，而 称为真数 ＂log＂的含义 对于初学对数的同学们来说， ＂log＂这个符号似乎很难理解，但是如果将＂log＂类比成＂＂或者＂＂的运算来看，其实就不难理解．对数运算不过是将运算的符号写在数字的前面，是已知一个底数和它的幂求指数的运算． 2.常用对数与自然对数 名称 定义 符号 常用对数 以 10为底的对数 自然对数 以无理数(的值约为2.71828…) 为底的对数 3.对数与指数的关系 （1）只有符合 且 这三个条件的情况下，才有 ，如 不可转化为对数式． （2）两个式子是同一数量关系的满种不同表现形式，它们互为逆运算． 对数的运算性质 1．两个常用结论 （1）对数恒等式： 且 ． （2） 且 ． 2．对数的运算性质 性质1：当 时， ． 性质2：当 时， ． 性质 3：当 时，对任何给定的实数 ． 对数的换底 1.对数换底公式 当 时， ． （1）换底公式成立的条件是公式中的每一个对数式都有意义. （2）换底公式的意义在于改变对数式的底数，把不同底数问题转化为同底数问题进行化简、计算及证明. （3）换底公式在实际应用中应当根据已知的条件选择适当的“底”,一般换成以10或e为底的对数. 2.常用推论 推论 ，即 ． 推论 ． 相当于＂约分＂ 推论 3： 可看作运算性质 3 的推广 题型一、根式的化简求值 例1分数指数幂与根式运算的转化． （1） （，为正整数，） （2） （，，为正整数，）． 1-1（24-25高一上·上海·期末）当 时，化简: . 1-2（23-24高一上·上海·期中）化简： ． 1-3（24-25高一上·上海·期中）化简: . 1-4（24-25高一上·上海浦东新·期中）当时，化简 . 题型二、指数幂的运算 例2（24-25高一上·上海·期中）设，下列计算中正确的是（    ） A． B． C． D． 2-1（24-25高一上·上海闵行·期末）若，用有理数指数幂的形式表示 2-2（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，，则 2-3（24-25高一上·上海·期中）已知，化简式子： . 2-4（24-25高一上·上海·期中）若，则可以用有理数指数幂的形式表示: 2-5（24-25高一上·上海浦东新·期中）化简：. 题型三、分数指数幂与根式的互化 例3（24-25高一上·上海·期中）已知，化简 . 3-1（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）若，则 3-2（24-25高一上·上海·开学考试）化简：= . 3-3（23-24高一上·上海闵行·期末）用有理数指数幂的形式表示 .（其中） 题型四、指数幂的化简、求值 例4（24-25高一上·上海·期中）已知，则 . 4-1（24-25高一上·上海·期中）已知，那么等于 . 4-2（24-25高一上·广西玉林·开学考试）已知，则的值为 . 4-3（25-26高一上·上海·单元测试）已知，化简 ． 题型五、对数的概念判断与求值 例5（22-23高一上·上海·期中）若，则关于的首数与尾数的叙述中正确的是（    ） A．首数为，尾数为 B．首数为，尾数为 C．首数为，尾数为 D．首数为，尾数为 5-1（22-23高一上·上海松江·期中）对数中的实数的取值范围与下列哪个不等式的解相同（    ） A． B． C． D． 5-2（24-25高一上·上海·期中）关于的方程的解集为 ． 5-3（23-24高一上·上海奉贤·期中）对数式中的取值范围为 ． 5-4（22-23高一上·上海浦东新·期中）若，则 . 题型六、指数式与对数式的互化 例6（24-25高一上·上海·期中）指数式化成对数式为 ． 6-1（24-25高一上·上海·期中）已知，则实数 . 6-2将下列指数式与对数式互化： （1），指数式为 ； （2），指数式为 ； （3），对数式为 ； （4），对数式为 ． 题型七、对数的运算 例7若，是方程的两个实根，则ab的值等于（    ） A．2 B． C．100 D． 7-1（24-25高一上·上海长宁·期末）已知，则用表示为 ． 7-2（24-25高一上·上海·期中）已知，，用表示. 7-3计算下列各式： (1)； (2)； (3)． 题型八、对数的运算性质的应用 例8已知，则（    ） A． B． C． D． 8-1标准的围棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有种不同的情况；而我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中，也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即，下列数据最接近的是（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 8-2（24-25高一上·上海奉贤·期中）数学上将形如（p为素数）的素数称为“梅森素数”，试估计“梅森素数”的位数为（   ）． A．607 B．608 C．609 D．610 8-3（24-25高一上·上海·期中）设a是不等于1的正数，M，N是任意给定的正数，c是任意给定的实数，则下列性质中错误的是（   ） A． B． C． D． 8-4（24-25高一上·上海·期中）成立”是“成立”的（    ）条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．既非充分也非必要 D．充要 8-5（24-25高一上·上海·期中）已知，用的代数式表示 ． 题型九、运用换底公式化简计算 例9（24-25高一上·上海闵行·期中）已知，则= ． 9-1（24-25高一上·上海徐汇·期末）已知，则用表示 . 9-2（24-25高一上·上海·期中）设，是方程的两根，则 ． 9-3（24-25高一上·上海·期中）已知e是自然对数的底，求值： ． 9-4（23-24高一上·上海浦东新·期中）若方程的两个解为，，求的值为 ． 9-5（24-25高一上·上海·期中）若，则用来表示是 . 题型十、运用换底公式证明恒等式 例10（24-25高一上·上海·单元测试）已知a、b、c为正实数，且a、b、c均不等于1， (1)求证：； (2)设，，，为正实数且（且），请把（1）中结论进行推广，并证明． 10-1已知在中，，角A，B，C所对应的三条边长分别为a，b，c．求证：． 10-2已知，求证：. 10-3（23-24高一上·上海青浦·期中）已知为正实数， (1)若，求证:； (2)若，不等式，对任意实数均成立，求实数的取值范围. 1．（24-25高一上·上海·期中）当时，式子的值是 . 2．（24-25高一上·上海浦东新·期中）计算 3．（24-25高一上·上海·期中）代数式化成分数指数幂为 ． 4．（24-25高一上·上海·期中）若，且，则的值为 ． 5．（22-23高一上·上海静安·期中）在中，x的取值范围是 6．将下列指数式与对数式互化： （1），对数式为 ； （2），对数式为 ； （3），指数式为 ； （4），指数式为 ． 7．（24-25高一上·上海奉贤·期中）已知，则 ．（用a和b表示） 1．（24-25高一上·上海金山·期中）“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明《增广贤文》是勉励人们专心学习的.  假设初始值为，如果每天的“进步率”都是，那么一年后是；如果每天的“退步率”都是，那么一年后是.  一年后“进步者”是“退步者”的倍.  照此计算，大约经过（    ）天，“进步者”是“退步者”的倍（近似取计算）. A．33 B．35 C．37 D．39 2.已知，则实数的取值范围是 . 3.设实数a、b、c满足a≥1，b≥1，c≥1，且abc＝10，alga•blgb•clgc≥10，则a+b+c＝ 4.若实数x，y满足，且，则的最小值为 . 5.（1）利用关系式证明换底公式：； （2）利用（1）中的换底公式求值：； （3）利用（1）中的换底公式证明：． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 暑假预习专题13 幂、指数与对数 指数幂 1． 的 次幂 如果 是一个实数， 是一个正整数，那么称 为的次幂. 正整数指数幂的运算性质： 对任意给定的实数, b及正整数s , t，有 （1） ； （2） ； （3） ． 2．整数指数冥 当 时，可以定义 这样,可以证明对任意给定的非零实数及整数，上述幂的运算性质(1)到(3)仍然成立 3.根式 （1）一般地，如果 为大于 1 的整数，且 ，那么 叫做 的 次方根．式子 叫做 的 次根式， 叫做根指数， 叫做被开方数. 4.有理数指数幂 幂的概念 、 、 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义 有理数指幂的运算性质 幂的运算性质 性质 对任意给定的正数及实数有 实数指数幂运算的注意事项 (1)实数指数幂的运算性质是由有理数指数幂、整数指数幂的运算性质推广而来的，有理数指数幂、整数指数幂的运算性质对于实数指数幂也同样适用. (2)在运算性质中,特别要注意幂的底数是正数的规定，若改变等式成立的条件，则等式有可能不成立. 幂的基本不等式 定理 无论给出的条件是 还是 ，我们都可以通过倒数 进行调整；无论给出的条件是 还是 ，我们都可以通过相反数 进行调整．将条件调整到底数大于 1 ，指数大于 0 ，进而应用幂的基本不等式． 对数 1.对数的定义 在 ，且 的条件下，唯一满足 的数 ，称为 以 为底的对数，并用符号 表示，而 称为真数 ＂log＂的含义 对于初学对数的同学们来说， ＂log＂这个符号似乎很难理解，但是如果将＂log＂类比成＂＂或者＂＂的运算来看，其实就不难理解．对数运算不过是将运算的符号写在数字的前面，是已知一个底数和它的幂求指数的运算． 2.常用对数与自然对数 名称 定义 符号 常用对数 以 10为底的对数 自然对数 以无理数(的值约为2.71828…) 为底的对数 3.对数与指数的关系 （1）只有符合 且 这三个条件的情况下，才有 ，如 不可转化为对数式． （2）两个式子是同一数量关系的满种不同表现形式，它们互为逆运算． 对数的运算性质 1．两个常用结论 （1）对数恒等式： 且 ． （2） 且 ． 2．对数的运算性质 性质1：当 时， ． 性质2：当 时， ． 性质 3：当 时，对任何给定的实数 ． 对数的换底 1.对数换底公式 当 时， ． （1）换底公式成立的条件是公式中的每一个对数式都有意义. （2）换底公式的意义在于改变对数式的底数，把不同底数问题转化为同底数问题进行化简、计算及证明. （3）换底公式在实际应用中应当根据已知的条件选择适当的“底”,一般换成以10或e为底的对数. 2.常用推论 推论 ，即 ． 推论 ． 相当于＂约分＂ 推论 3： 可看作运算性质 3 的推广 题型一、根式的化简求值 例1分数指数幂与根式运算的转化． （1） （，为正整数，） （2） （，，为正整数，）． 【答案】 【分析】根据题意，结合指数幂的运算法则与运算性质，即可求解. 【详解】解：（1）由指数幂的运算法则与运算性质，可得； （2）由指数幂的运算法则与运算性质，可得. 故答案为：；. 1-1（24-25高一上·上海·期末）当 时，化简: . 【答案】 【分析】利用根式化简计算即可； 【详解】因为 所以， 故答案为： 1-2（23-24高一上·上海·期中）化简： ． 【答案】 【分析】由根式的计算求解即可. 【详解】， 故答案为：. 1-3（24-25高一上·上海·期中）化简: . 【答案】 【分析】利用根式和分数指数幂的运算求解. 【详解】解：， 故答案为： 1-4（24-25高一上·上海浦东新·期中）当时，化简 . 【答案】4 【分析】将根式里面进行配方，结合的范围即可化简. 【详解】因为,所以, 所以, 故答案为：4. 题型二、指数幂的运算 例2（24-25高一上·上海·期中）设，下列计算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数幂的运算法则，对各个选项逐一计算判断即可得解. 【详解】对于选项A，，故选项A错误， 对于选项B，，故选项B正确， 对于选项C，，故选项C错误， 对于选项D，，故选项D错误， 故选：B. 2-1（24-25高一上·上海闵行·期末）若，用有理数指数幂的形式表示 【答案】 【分析】，结合指数幂运算法则进行求解. 【详解】，. 故答案为： 2-2（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，，则 【答案】/ 【分析】应用指数幂的运算性质计算即可. 【详解】解：因为，，所以. 故答案为： 2-3（24-25高一上·上海·期中）已知，化简式子： . 【答案】 【分析】根据指数幂的运算法则计算化简即可. 【详解】, 故答案为： 2-4（24-25高一上·上海·期中）若，则可以用有理数指数幂的形式表示: 【答案】 【分析】根据根式与有理数指数幂的关系及有理数指数幂的运算化简即可. 【详解】由，则. 故答案为： 2-5（24-25高一上·上海浦东新·期中）化简：. 【答案】 【分析】根据幂的运算法则计算． 【详解】. 题型三、分数指数幂与根式的互化 例3（24-25高一上·上海·期中）已知，化简 . 【答案】a 【分析】根据根式与指数幂的互化与指数幂的运算公式化简可得解. 【详解】因为， 故答案为：. 3-1（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）若，则 【答案】± 【分析】根据题意，利用指数幂的运算法则，以及根式的互化，准确计算，即可求解. 【详解】由，可得，即，所以. 故答案为：. 3-2（24-25高一上·上海·开学考试）化简：= . 【答案】1 【分析】根据指数幂的运算法则计算即可. 【详解】解:由题意可知， 所以. 故答案为：1 3-3（23-24高一上·上海闵行·期末）用有理数指数幂的形式表示 .（其中） 【答案】 【分析】先将根式化为分数指数幂，再根据指数幂的运算求解. 【详解】由题意可得：. 故答案为：. 题型四、指数幂的化简、求值 例4（24-25高一上·上海·期中）已知，则 . 【答案】/ 【分析】条件等式两边平方可求，结合立方和公式求，由此可得结论. 【详解】因为， 所以，故， 故， 又， 所以， 所以. 故答案为：. 4-1（24-25高一上·上海·期中）已知，那么等于 . 【答案】 【分析】根据，再结合时，则，即可求解. 【详解】由， 因为，则， 故，即得. 故答案为：. 4-2（24-25高一上·广西玉林·开学考试）已知，则的值为 . 【答案】1或 【分析】根据题意，先求，即可得解. 【详解】根据题意，， 所以， 则或. 故答案为：1或. 4-3（25-26高一上·上海·单元测试）已知，化简 ． 【答案】 【分析】根据已知条件化简求得解. 【详解】. 故答案为： 题型五、对数的概念判断与求值 例5（22-23高一上·上海·期中）若，则关于的首数与尾数的叙述中正确的是（    ） A．首数为，尾数为 B．首数为，尾数为 C．首数为，尾数为 D．首数为，尾数为 【答案】C 【分析】利用首数与尾数的概念求解即可. 【详解】 ，首数为，尾数为 故选：C． 5-1（22-23高一上·上海松江·期中）对数中的实数的取值范围与下列哪个不等式的解相同（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数中底数的取值要求进行求解判断即可. 【详解】对数中的实数的取值要求为：且， A：本选项显然不符合题意； B：，显然不符合题意； C：，或，显然不符合题意； D：且，所以有且，显然符合题意， 故选：D 5-2（24-25高一上·上海·期中）关于的方程的解集为 ． 【答案】 【分析】整理可得，结合对数解方程即可. 【详解】因为，可得， 所以方程的解集为. 故答案为：. 5-3（23-24高一上·上海奉贤·期中）对数式中的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据题意，由条件列出不等式，即可得到结果. 【详解】由题意可得，，解得，所以的取值范围为. 故答案为： 5-4（22-23高一上·上海浦东新·期中）若，则 . 【答案】 【分析】由对数的概念运算求解即可. 【详解】由对数运算的定义，有 ∵， ∴， ∴， ∴. 故答案为：. 题型六、指数式与对数式的互化 例6（24-25高一上·上海·期中）指数式化成对数式为 ． 【答案】 【分析】根据指数式与对数式互化关系即可求解. 【详解】因为，所以. 故答案为： 6-1（24-25高一上·上海·期中）已知，则实数 . 【答案】 【分析】根据指数式与对数式的互化得解. 【详解】因为， 所以，解得或（由底数为正数，舍去）， 故答案为： 6-2将下列指数式与对数式互化： （1），指数式为 ； （2），指数式为 ； （3），对数式为 ； （4），对数式为 ． 【答案】 ； ； ； . 【分析】运用指对互化规则，“底不变，其他换”即可解题. 【详解】运用指对互化规则，“底不变，其他换”得到. （1），指数式为； （2），指数式为； （3），对数式为； （4），对数式为. 故答案为：；；；. 题型七、对数的运算 例7若，是方程的两个实根，则ab的值等于（    ） A．2 B． C．100 D． 【答案】C 【分析】依题意，由韦达定理得，解等式即可. 【详解】因为是方程的两个实根 所以 即 所以 故选：C 7-1（24-25高一上·上海长宁·期末）已知，则用表示为 ． 【答案】 【分析】由换底公式和对数的计算公式即可得到结果. 【详解】. 故答案为：. 7-2（24-25高一上·上海·期中）已知，，用表示. 【答案】 【分析】根据条件，利用对数的运算，即可求解. 【详解】因为，又，， 所以. 7-3计算下列各式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)320 (2)6 (3)3 【分析】由指数和对数运算计算即可. 【详解】（1）原式． （2）原式． （3）原式 题型八、对数的运算性质的应用 例8已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用对数运算律结合已知计算求解. 【详解】因为，则， 则， 则. 故选：D. 8-1标准的围棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有种不同的情况；而我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中，也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即，下列数据最接近的是（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对取对数，利用对数的运算求解即可得. 【详解】， 所以，分析选项知C中与其最接近． 故选：C． 8-2（24-25高一上·上海奉贤·期中）数学上将形如（p为素数）的素数称为“梅森素数”，试估计“梅森素数”的位数为（   ）． A．607 B．608 C．609 D．610 【答案】B 【分析】由题意求出的近似值，可将写成的形式，即可得到结果. 【详解】因为，则， 即，所以的位数为. 故选：B. 8-3（24-25高一上·上海·期中）设a是不等于1的正数，M，N是任意给定的正数，c是任意给定的实数，则下列性质中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于ABC：根据对数的定义和运算性质分析判断即可；对于D：举反例说明即可. 【详解】因为a是不等于1的正数，M，N是任意给定的正数，c是任意给定的实数， 对于选项A：，故A正确； 对于选项B：，故B正确； 对于选项C：，故C正确； 对于选项D：例如， 则， 此时，故D错误； 故选：D. 8-4（24-25高一上·上海·期中）成立”是“成立”的（    ）条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．既非充分也非必要 D．充要 【答案】B 【分析】根据对数函数的性质将对数进行转化，注意使对数有意义的条件，然后根据充分、必要条件的定义作出判断即可 【详解】成立，则，分为或两种情况， 若，则成立，能推出成立， 但，则成立，不能推出， 而成立一定能推出成立， 所以“成立”是“成立”的必要而不充分条件， 故选：B 8-5（24-25高一上·上海·期中）已知，用的代数式表示 ． 【答案】； 【分析】应用对数运算律计算化简即可. 【详解】因为，则 所以． 故答案为：. 题型九、运用换底公式化简计算 例9（24-25高一上·上海闵行·期中）已知，则= ． 【答案】 【分析】先利用对数的定义可得，，代入利用对数的换底公式计算即可求值. 【详解】因为，所以，， ，所以． 故答案为：. 9-1（24-25高一上·上海徐汇·期末）已知，则用表示 . 【答案】 【分析】利用换底公式和对数运算性质即可. 【详解】因为，所以. 故答案为：. 9-2（24-25高一上·上海·期中）设，是方程的两根，则 ． 【答案】 【分析】先由韦达定理得，，然后化简求解即可. 【详解】因为，是方程的两根， 所以由韦达定理可知，. 则 . 故答案为：. 9-3（24-25高一上·上海·期中）已知e是自然对数的底，求值： ． 【答案】/ 【分析】利用对数的换底公式求解. 【详解】解：， 故答案为： 9-4（23-24高一上·上海浦东新·期中）若方程的两个解为，，求的值为 ． 【答案】 【分析】利用换底公式，得到，再结合韦达定理求值. 【详解】由题意：， 又． 故答案为：． 9-5（24-25高一上·上海·期中）若，则用来表示是 . 【答案】 【分析】根据题意利用换底公式以及对数的运算性质求解. 【详解】若，所以. 故答案为：. 题型十、运用换底公式证明恒等式 例10（24-25高一上·上海·单元测试）已知a、b、c为正实数，且a、b、c均不等于1， (1)求证：； (2)设，，，为正实数且（且），请把（1）中结论进行推广，并证明． 【答案】(1)证明见解析； (2)推广：，证明见解析． 【分析】（1）利用换底公式通过计算证明； （2）类比推理进行推广，再利用换底公式通过计算证明． 【详解】（1），得证； （2）推广： 证明：． 10-1已知在中，，角A，B，C所对应的三条边长分别为a，b，c．求证：． 【答案】见解析 【分析】利用直角三角形的勾股定理、对数的运算性质以及对数的运算法则可以证明等式成立. 【详解】证明：在中，因为，所以， 因为 ， 所以. 【点睛】本题考查了等式的证明，考查了对数的运算性质、对数的运算法则，属于基础题. 10-2已知，求证：. 【答案】证明见解析； 【分析】先令，根据指数式与对数式的互化，以及换底公式，即可证明结论成立. 【详解】令， 则，，， 所以. 【点睛】本题主要考查换底公式的应用，熟记公式即可，属于常考题型. 10-3（23-24高一上·上海青浦·期中）已知为正实数， (1)若，求证:； (2)若，不等式，对任意实数均成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取对数表示，利用换底公式及对数运算法则证明即可； （2）利用均值不等式求出的最小值，解不等式即可求解. 【详解】（1）令且， 则，，， 所以， ， 故成立. （2）由（1）知，，即， 所以， 当且仅当时，即时等号成立， 由恒成立知，成立， 即，解得. 1．（24-25高一上·上海·期中）当时，式子的值是 . 【答案】0 【分析】利用根式的运算性质化简即可. 【详解】因为，所以. 故答案为：0. 2．（24-25高一上·上海浦东新·期中）计算 【答案】9 【分析】运用分数指数幂和根式之间转化计算即可. 【详解】. 故答案为：9. 3．（24-25高一上·上海·期中）代数式化成分数指数幂为 ． 【答案】 【分析】先将根式化为分数指数幂，再化成负分数指数幂即可求解. 【详解】 故答案为：. 4．（24-25高一上·上海·期中）若，且，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】利用指数幂的运算求解. 【详解】解：因为，且，所以， 所以， 故答案为： 5．（22-23高一上·上海静安·期中）在中，x的取值范围是 【答案】 【分析】根据底数和真数的范围，列出不等式，求解即可. 【详解】要使得有意义，则，且，解得. 故答案为：. 6．将下列指数式与对数式互化： （1），对数式为 ； （2），对数式为 ； （3），指数式为 ； （4），指数式为 ． 【答案】 ； ； ； . 【分析】运用指对互化规则，“底不变，其他换”，即可转化. 【详解】运用指对互化规则，“底不变，其他换”得到. （1），对数式为； （2），对数式为； （3），指数式为； （4），指数式为. 故答案为：；；；. 7．（24-25高一上·上海奉贤·期中）已知，则 ．（用a和b表示） 【答案】 【分析】由题意可得，利用换底公式结合对数运算求解. 【详解】因为，则， 所以. 故答案为：. 1．（24-25高一上·上海金山·期中）“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明《增广贤文》是勉励人们专心学习的.  假设初始值为，如果每天的“进步率”都是，那么一年后是；如果每天的“退步率”都是，那么一年后是.  一年后“进步者”是“退步者”的倍.  照此计算，大约经过（    ）天，“进步者”是“退步者”的倍（近似取计算）. A．33 B．35 C．37 D．39 【答案】B 【分析】列出方程，并根据已知数据求解即可. 【详解】设经过天后“进步者”是“退步者”的倍，则. 故，根据已知条件有， 所以（天）. 故选：B. 2.已知，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】化简方程可得，变形并结合对数真数大于0，可利用均值不等式求解. 【详解】易得， 故. 由得，故， 所以，当且仅当，即时等号成立. 故答案为： 【点睛】本题主要考查了基本不等式求最值，转化思想，属于中档题. 3.设实数a、b、c满足a≥1，b≥1，c≥1，且abc＝10，alga•blgb•clgc≥10，则a+b+c＝ 【答案】12 【解析】由已知可得0≤lga≤1，0≤lgb≤1，0≤lgc≤1，得到lg2a≤lga，lg2b≤lgb，lg2c≤lgc，进而得出lg2a+lg2b+lg2c≥lga+lgb+lgc，从而得到lg2a＝lga，lg2b＝lgb，lg2c＝lgc，由此得到a，b，c的值，则答案可求． 【详解】由a≥1，b≥1，c≥1，且abc＝10，可得0≤lga≤1，0≤lgb≤1，0≤lgc≤1． 可得lg2a≤lga，lg2b≤lgb，lg2c≤lgc， 又由alga•blgb•clgc≥10，可得lg（alga•blgb•clgc）≥lg10， 可得lg2a+lg2b+lg2c≥1 又由lgabc＝lga+lgb+lgc =lg10=1，可得lg2a+lg2b+lg2c≥lga+lgb+lgc， 所以lg2a＝lga，lg2b＝lgb，lg2c＝lgc， 则a＝10或1，b＝10或1，c＝10或1， 由对称思想，不妨a＝10，则b＝1，c＝1， 所以a+b+c＝12． 故答案为：12． 【点睛】本题主要考查了对数的运算性质及其应用，其中解答中熟记对数的运算性质，准确运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于中档试题. 4.若实数x，y满足，且，则的最小值为 . 【答案】8 【分析】由给定条件可得，再变形配凑借助均值不等式计算作答. 【详解】由得：，又实数x，y满足， 则，当且仅当，即时取“=”， 由解得：， 所以当时，取最小值8. 故答案为：8 【点睛】思路点睛：在运用基本不等式时，要特别注意“拆”、“拼”、“凑”等技巧，使用其满足基本不等式的“一正”、“二定”、“三相等”的条件. 5.（1）利用关系式证明换底公式：； （2）利用（1）中的换底公式求值：； （3）利用（1）中的换底公式证明：． 【答案】（1）证明见解析；（2）8；（3）证明见解析； 【分析】（1）由题设条件结合对数的运算证明即可； （2）利用换底公式证明即可； （3）利用换底公式证明即可. 【详解】解答：（1）证明： 设，则，化为， 又，所以； （2）解：； （3）证明： ． 所以． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$