第1章 三角形（复习讲义）数学苏科版2024八年级上册

第一章 三角形（复习讲义） ①理解三角形的三边关系、边角关系，并能用该关系解决相关问题； ②知道并会画出三角形中三条重要线段：三角形的中线、三角形的高、三角形的交平分线； ③掌握全等三角形的定义、性质和判定方法； ④掌握线段垂直平分线、角平分线的性质和判定方法； ⑤掌握等腰三角形、等边三角形的定义、性质和判定方法； ⑥掌握含30度角的直角三角形的性质。 知识点 重点归纳 常见易错点 三角形的 三边关系 三角形的任意两边之和大于第三边； 三角形的任意两边之差小于第三边。 判断三条线段能否构成三角形，只需要判断两条较短的线段之和是否大于第三边即可。 三角形的 边角关系 在同一个三角形中较大的边所对的角也比较大，可以简称为“大边对大角”； 在同一个三角形中，较大的角所对的边也比较大，可以简称为“大角对大边”。 “大边对大角”的使用有一个前提条件：必须在同一个三角形中 三角形的中线 在三角形中连接一个顶点与它的对边中点的线段叫做三角形的中线。 1.三角形的中线是线段； 2.三条中线的交点，一定在三角形的内部； 3.三角形的中线平分三角形的面积。 三角形的高 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线做垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称为三角形高。 1.三角形的高线是线段； 2.三条高线交于一点，该点可能在三角形的内部，也可能在三角形的外部，也可能在顶点处。 三角形的 角平分线 三角形中一个内角的平分线与这个角对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 1.三角形的角平分线是线段； 2. 三条角平分线交于一点，该交点一定在三角形的内部。 全等三角形 1.全等三角形的定义: 两个能够重合的三角形叫做全等三角形。 2. 全等三角形的性质: 全等三角等三角应边相等，对应角相等。 3. 全等三角形的判定方法: 边角边、角边角、角角边、边边边、HL 4. 三角形的稳定性 全等三角形的所有对应元都相等； 全等三角形的周长相等、面积相等。 线段 垂直平分线 1.性质定理: 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 2.判定定理: 到现在两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 线段垂直平分线的性质定理和判定定理是互为逆命题的。 角平分线 1.性质定理: 角平分线上的点到角两边的距离相等。 2.判定定理: 到角两边距离相等的点在角的平分线上。 这里的角平分线与三角形的角平分线是不同的。三角形的角平分线是一条线段，此处的角平分线是一条射线。 等腰三角形 1. 定义 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 2. 性质 ①等边对等角； ②三线合一:顶角平分线、底边中线、底边上的高三线合一 ③等腰三角形是轴对称图形； 3. 判定 ①等角对等边； ②两条边相等； 三角形是轴对称图形，它的对称轴可能是一条，也可能是三条。当等腰三角形是底和腰不相等的时候，它只有一条对称轴；当底和腰相等的时候，也就是等边三角形的时候。它有三条对称轴。所以我们说等腰三角形有一条对称轴是不准确的。 等边三角形 1. 定义 有三条边相等的三角形叫做等边三角形。 2. 性质 ①三条边相等； ②三个角相等都等于60度； ③三线合一：顶角平分线、底边中线、底边上的高三线合一； ④是轴对称图形，有三条对称轴； 3. 判定 ①三条边相等的三角形是等边三角形； ②三个角相等的三角形是等边三角形； ③一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。 等边三角形具有等腰三角形所有的性质。是一种特殊的等腰三角形。 含30º角 直角三角形 30º角所对的直角边等于斜边的一半。 该性质有一个前提：直角三角形。 题型一 三角形的边角关系 【例1】下列各组长度的线段中，能组成三角形的是（　　） A．2，3，5 B．3、5、9 C．3，6，9 D．3、7、9 【变式1-1】如图，已知，小明以点B为圆心，为半径画弧线，又以点A为圆心，m为半径画弧线，两弧交于点C，然后连接，，得到，则m的值不可能是（   ） A．1 B．2 C．6 D．10 【变式1-2】综合与实践： 【回归教材】 八年级上册教材中探究了“三角形中边与角之间的不等关系”，部分内容如下： 如图1，在中，如果，那么我们可以将折叠，折边落在上，点C落在上的为D点，折线交于点E，则，， 这说明在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等． 大边所对的角越大． 从上面的过程可以看出，通过轴对称的性质或“截长补短”构建全等三角形的方法将陌生问题转化为已学习的问题，这是研究几何问题时常用的方法． 类比探究“在三角形中，大角对大边”． （1）如图2，在中，，判断： ______（填“>”、“=”或“<”）． 【进阶思考】 （2）如图3，在中，，、分别为、的角平分线，求证：． 【拓展运用】 （3）如图4，在中，D为上一点，且，比较和的大小关系，并说明理由． 题型二 三角形的中线、高、角平分线 【例2】如图，在中，是高，是角平分线，是中线，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，在中，中线和中线相交于点，若的面积为36，则四边形的面积为 ． 【变式2-2】已知：如图，在中，，分别是斜边上的高和中线，是的平分线，某同学想直接得到点B到直线的距离，那么他应该测量线段 的长度． 题型三 全等三角形的性质 【例3】如图，，若的面积为3，的面积为2，则的面积为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【变式3-1】如图，，若，，，则的周长等于 ． 【变式3-2】如图，，若的面积为，的面积为2，则的面积为 ． 题型四 全等三角形的判定 【例4】已知：如图，点，，在同一条直线上，，，， (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式4-1】如图，在中，，、分别是、的平分线，、交于点，过点作交的延长线于点、交于点． (1)求证：； (2)、、之间有怎样的数量关系，请说明理由． 【变式4-2】（1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，，求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明和科技兴趣小组的同学制作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高，延长交于点．设的面积为，的面积为，请猜想，大小关系，并说明理由． 题型五 线段的垂直平分线 【例5】如图，在中，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线交于点D，连接，若，，则的周长为（   ） A．17 B．16 C．18 D．20 【变式5-1】我们把两组邻边分别相等的四边形称之为“筝形”．在四边形中，对角线交于点O．下列条件中，不能判断四边形是筝形的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【变式5-2】如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接．若，则的长为 ． 题型六 角平分线 【例6】如图，在中，边的垂直平分线与的外角平分线交于点P，过点P作于点D，于点E．若，．则的长度是 ． 【变式6-1】如图，在锐角三角形中，是边上的高，在，上分别截取线段，，使；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点P，作射线，交于点M，过点M作于点N．若，则 ． 【变式6-2】如图，在中，，平分，于，下列结论：①；②；③；④；⑤与的面积之比即与的长度之比．其中正确的是 ． 题型七 线段的垂直平分线角平分线综合 【例7】如图，在中，点E、F分别在上，是的垂直平分线，，，交于点G． (1)求证：平分； (2)若，求证：． 【变式7-1】如图，在中，，，是的垂直平分线，垂足为点，交于点，连接． (1)求证：平分； (2)若，求的长． 【变式7-2】如图，中，，的平分线与边的垂直平分线相交于D，交的延长线于E，于F，现有下列结论：①；②；③；④；其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型八 等腰三角形的性质和判定 【例8】如图，将绕点逆时针旋转得到，点在上．已知，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】小明在学习“等腰三角形两底角相等”时，他猜想“等腰三角形底角的平分线相等”．请补全已知、求证，并进行证明，验证小明的猜想． 已知：如图，在中，__________ 求证：__________ 证明： 【变式8-2】如图，在中，，D为射线上一动点（不与点B、C重合），在的右侧作，使得，连接． (1)若，则______． (2)当点D在线段上时，求证：； (3)若点D运动到线段上某一点时，恰好有，问：线段与线段有什么位置关系并说明理由． 题型九 等边三角形的性质和判定 【例9】如图，是等边三角形，E，F分别是边上的点，且且交于点P，且垂足为G． (1)求证：； (2)若求的长度． 【变式9-1】已知：如图，分别以的两条直角边为边作等边三角形和等边三角形，连接，且点在线段上． (1)求证：； (2)求证：． 【变式9-2】如图，在等边中，为边上一点，为上一点，且，连接与相交于点． (1)与的数量关系是，与构成的锐角夹角的度数是；并说明理由． (2)深入探究，将图中的延长至点，使，连接，，如图所示．求证：平分（第一问的结论，本问可直接使用） 题型十 含30度角的直角三角形 【例10】如图，中，，点D在上，，延长至点E，使，过点E作于点F，交于点G，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【变式10-1】如图，是等边三角形，点D是的中点，于点E，若，则的长为（    ） A．12 B．9 C．8 D．6 【变式10-2】如图，等边三角形的边长为9，为边上一动点，为延长线上一动点，交于点，点为中点．若，则长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 基础巩固通关测 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列每组数分别是三根小木棒的长度，它们首尾顺次相接能摆成三角形的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，小华为了估计池塘两岸间的距离（即的长），在池塘的一侧选取一点，测得，，则池塘两岸间的距离可能是（    ）． A． B． C． D． 3．如图，在中，已知点D、E、F分别为、、的中点，若阴影部分的面积为3，则的面积为（    ） A．12 B．16 C．18 D．20 4．如图，在中，是高，是角平分线，是中线，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，已知，，和全等，则下列表示正确的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，将沿所在直线向左平移得到，则下列说法错误的是（　　） A． B． C． D． 7．下列说法中，错误的是（   ） A．两角对应相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 B．两边对应相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等 C．两边对应相等且其中一组等边上的中线相等的两个三角形全等 D．两角对应相等且其中一组等角的平分线相等的两个三角形全等 8．如图，在的两边上，分别取，再分别过点M、N作的垂线，交点为P，画射线，则平分的依据是（   ） A． B． C． D． 9．如图，在中， 垂直平分边，若的周长为，，则的长为（   ） A． B． C． D． 10．如图，在中，的平分线交于点D，过点D作，分别交于点E、F．若，则的周长是（   ） A．15 B．18 C．20 D．22 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 11．已知三角形的三边长分别为3，，8．则正整数的值可以是 ． 12．在中，，E是上的一点，且与相交于点F，．若的面积为1，则的面积为 ． 13．如图，已知，其中，则的度数是 ． 14．如图，，，，，则的长为 ． 15．如图，已知点、、、在同一直线上，，，如果要运用“”来证明，可以添加的条件是 ．（只需写出一种情况） 16．如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，请根据所学的三角形全等的有关知识，说明得出的依据是 ． 17．如图，，若和分别垂直平分和，则的周长为 ． 18．如图，是内一点，于点，于点，于点，且，若，则 . 19．如图，在中，，，垂直平分，垂足是点，若，则的长是 ． 20．如图，在中，，将绕点A按顺时针方向旋转到的位置，点B、C的对应点分别为点、，连接、，则的度数是 °． 三、解答题（本大题共5小题，共40分） 21．（本题6分）如图方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点，点，点在小正方形的顶点上． (1)画出中边上的高； (2)画出中边上的中线； (3)直接写出的面积为______． 22．（本题8分）如图，，连接，与交于点，，，． (1)求的度数； (2)求的度数． 23．（本题8分）如图，已知，，与交于点，试探究与有怎样的大小关系和位置关系，并说明理由． 24．（本题8分）如图，为的角平分线，于点E，于点F，连接于点E，交于点O． (1)求证：垂直平分； (2)若，求的长度． 25．（本题10分）如图为等边三角形，点在的延长线上，点在边上，且．求证：． 能力提升进阶练 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（2025·湖北武汉·模拟预测）现有长为的铁丝，要截成小段（），每段的长度不小于，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则的最大值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 2．（2025·云南·模拟预测）某校准备在如图所示的三角形空地上种植花卉，需将其分成面积相等的两块分别种植牡丹和芍药，小敏作出线段来划分，那么是的（   ） A．角平分线 B．中线 C．高线 D．以上都不是 3．（2025·山东淄博·一模）如图，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·贵州铜仁·二模）如图，在与中，若，则，这个结论的理由是（　　） A． B． C． D． 5．（2025·贵州毕节·三模）在中，，将沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是（   ） A．B．C． D． 6．（21-22八年级下·湖南株洲·期末）如图，是的高，，，，则∠DBE=（    ） A．20° B．25° C．30° D．35° 7．（24-25八年级·上海闵行·期末）已知：如图，点E、A、D、B在同一直线上，交于点O，，增加下列条件不能推导出的是（    ） A． B． C． D． 8．（2025·河南信阳·模拟预测）如图，在四边形中，，E为的中点，且，延长交的延长线于点F．若，，则的长为（       ） A．11 B．12 C．13 D．14 9．（2025·北京东城·二模）如图，在中，，．分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，，作直线交于点，连接．下列说法中，错误的是（   ） A． B．是的平分线 C． D． 10．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，等腰直角三角形中，，将绕点B顺时针旋转（），得到，连接，点H在射线上，则的度数（    ） A．随着的增大而增大 B．随着的增大而减小 C．不变 D．随着的增大，先增大后减小 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 11．（22-23八年级上·江苏无锡·期中）若等腰三角形的周长为12，其中一边长为2，则腰长为 ． 12．（22-23八年级上·湖北咸宁·期中）如图，在中，，，，P、Q是边AC、BC上的两个动点，于点D，于点E．设点P、Q运动的时间是t秒（）．若点P从C点出发沿CA以每秒3个单位的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回到点C停止运动；点Q从点B出发沿BC以每秒1个单位的速度向点C匀速运动，到达点C后停止运动，当 秒时，和全等． 13．（20-21八年级上·重庆云阳·期末）如图，在中，，为边中点，为边上一点，将沿着翻折，得到，连接．当时，的度数为 ． 14．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，在锐角三角形中，是边上的高，在，上分别截取线段，，使；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点P，作射线，交于点M，过点M作于点N．若，则 ． 15．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在中，分别以A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于D，E两点；分别以A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于F，G两点；且分别与相交于M，N两点，连接、，若，则 ． 16．（24-25八年级上·山西临汾·期中）如图，在长方形中，，，点是延长线上一点，且，连接，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点运动．设点运动的时间为，则当和全等时，的值为 ． 17．（22-23八年级上·全国·期中）如图，AD是的中线，，，，点E、F为垂足，，则BC的长为 cm． 18．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，，点分别在射线上，，是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称的点为，点在直线上运动时，当的面积最小值为时，则的面积为 ． 19．（2025·山东东营·中考真题）如图，在中，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是 ． 20．（24-25八年级下·贵州毕节·期中）如图，已知：，点、、…在射线上，点、、…在射线上，…均为等边三角形，若，则的边长为 ． 三、解答题（本大题共5小题，共40分） 21．（24-25八年级·山东烟台·阶段检测）如图，的面积为18，平分，于点D，求的面积． 22．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图①，在中，，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当________时，的面积等于面积的一半； (2)如图②，在中，，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点Q的运动速度． 23．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，在中，点、分别在边、上，连接、交于点，且． (1)求证：是等腰直角三角形； (2)若，，求四边形的面积． 24．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图所示，已知四边形中，． (1)求证：； (2)请直接写出图中所有的全等三角形． 25．（24-25八年级·四川成都·期中）（1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，，求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明和科技兴趣小组的同学制作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高，延长交于点．设的面积为，的面积为，请猜想，大小关系，并说明理由． 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 三角形（复习讲义） ①理解三角形的三边关系、边角关系，并能用该关系解决相关问题； ②知道并会画出三角形中三条重要线段：三角形的中线、三角形的高、三角形的交平分线； ③掌握全等三角形的定义、性质和判定方法； ④掌握线段垂直平分线、角平分线的性质和判定方法； ⑤掌握等腰三角形、等边三角形的定义、性质和判定方法； ⑥掌握含30度角的直角三角形的性质。 知识点 重点归纳 常见易错点 三角形的 三边关系 三角形的任意两边之和大于第三边； 三角形的任意两边之差小于第三边。 判断三条线段能否构成三角形，只需要判断两条较短的线段之和是否大于第三边即可。 三角形的 边角关系 在同一个三角形中较大的边所对的角也比较大，可以简称为“大边对大角”； 在同一个三角形中，较大的角所对的边也比较大，可以简称为“大角对大边”。 “大边对大角”的使用有一个前提条件：必须在同一个三角形中 三角形的中线 在三角形中连接一个顶点与它的对边中点的线段叫做三角形的中线。 1.三角形的中线是线段； 2.三条中线的交点，一定在三角形的内部； 3.三角形的中线平分三角形的面积。 三角形的高 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线做垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称为三角形高。 1.三角形的高线是线段； 2.三条高线交于一点，该点可能在三角形的内部，也可能在三角形的外部，也可能在顶点处。 三角形的 角平分线 三角形中一个内角的平分线与这个角对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 1.三角形的角平分线是线段； 2. 三条角平分线交于一点，该交点一定在三角形的内部。 全等三角形 1.全等三角形的定义: 两个能够重合的三角形叫做全等三角形。 2. 全等三角形的性质: 全等三角等三角应边相等，对应角相等。 3. 全等三角形的判定方法: 边角边、角边角、角角边、边边边、HL 4. 三角形的稳定性 全等三角形的所有对应元都相等； 全等三角形的周长相等、面积相等。 线段 垂直平分线 1.性质定理: 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 2.判定定理: 到现在两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 线段垂直平分线的性质定理和判定定理是互为逆命题的。 角平分线 1.性质定理: 角平分线上的点到角两边的距离相等。 2.判定定理: 到角两边距离相等的点在角的平分线上。 这里的角平分线与三角形的角平分线是不同的。三角形的角平分线是一条线段，此处的角平分线是一条射线。 等腰三角形 1. 定义 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 2. 性质 ①等边对等角； ②三线合一:顶角平分线、底边中线、底边上的高三线合一 ③等腰三角形是轴对称图形； 3. 判定 ①等角对等边； ②两条边相等； 三角形是轴对称图形，它的对称轴可能是一条，也可能是三条。当等腰三角形是底和腰不相等的时候，它只有一条对称轴；当底和腰相等的时候，也就是等边三角形的时候。它有三条对称轴。所以我们说等腰三角形有一条对称轴是不准确的。 等边三角形 1. 定义 有三条边相等的三角形叫做等边三角形。 2. 性质 ①三条边相等； ②三个角相等都等于60度； ③三线合一：顶角平分线、底边中线、底边上的高三线合一； ④是轴对称图形，有三条对称轴； 3. 判定 ①三条边相等的三角形是等边三角形； ②三个角相等的三角形是等边三角形； ③一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。 等边三角形具有等腰三角形所有的性质。是一种特殊的等腰三角形。 含30º角 直角三角形 30º角所对的直角边等于斜边的一半。 该性质有一个前提：直角三角形。 题型一 三角形的边角关系 【例1】下列各组长度的线段中，能组成三角形的是（　　） A．2，3，5 B．3、5、9 C．3，6，9 D．3、7、9 【答案】D 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题考查了三角形三边关系，解题的关键是掌握“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”． 根据三角形三边关系定理，任意两边之和大于第三边．只需验证每组中最小的两边之和是否大于最大边即可． 【详解】A．2，3，5：最小两边和为，等于最大边5，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形； B．3，5，9：最小两边和为，小于最大边9，不满足条件，不能组成三角形； C．3，6，9：最小两边和为，等于最大边9，不满足条件，不能组成三角形； D．3，7，9：最小两边和为，大于最大边9，满足条件，能组成三角形． 故选D． 【变式1-1】如图，已知，小明以点B为圆心，为半径画弧线，又以点A为圆心，m为半径画弧线，两弧交于点C，然后连接，，得到，则m的值不可能是（   ） A．1 B．2 C．6 D．10 【答案】A 【知识点】作线段(尺规作图)、确定第三边的取值范围 【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三边关系求出的范围，进行判断即可． 【详解】解：由作图可知：， ∵， ∴，即：； ∴m的值不可能是1， 故选A． 【变式1-2】综合与实践： 【回归教材】 八年级上册教材中探究了“三角形中边与角之间的不等关系”，部分内容如下： 如图1，在中，如果，那么我们可以将折叠，折边落在上，点C落在上的为D点，折线交于点E，则，， 这说明在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等． 大边所对的角越大． 从上面的过程可以看出，通过轴对称的性质或“截长补短”构建全等三角形的方法将陌生问题转化为已学习的问题，这是研究几何问题时常用的方法． 类比探究“在三角形中，大角对大边”． （1）如图2，在中，，判断： ______（填“>”、“=”或“<”）． 【进阶思考】 （2）如图3，在中，，、分别为、的角平分线，求证：． 【答案】（1）>；（2）见解析； 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定和性质、等边对等角．相似三角形的判定和性质，“截长补短”或通过轴对称构造全等三角形，是将未知转化成可用已有知识求解的常见策略． （1）在内作，交于点，根据等角对等边可得，由三角形两边之和大于第三边即可得出结论； （2）延长到点，使，连接，可得，由等角对等边易得，即可得，再证明，可得，由此证明结论． 【详解】解：（1）如图2，在内作，交于点， ∴， ∴ ∵， ∴； （2）如图3，延长到点，使，连接， ∴，， 又∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ∴ ∴， ∴． 题型二 三角形的中线、高、角平分线 【例2】如图，在中，是高，是角平分线，是中线，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求面积、三角形角平分线的定义 【分析】本题考查了中线、角平分线和中线的定义，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．分别根据三角形的中线意义和性质可判断B和D；根据三角形高的定义，直角三角形两锐角互余判断A；根据三角形角平分线的意义可判断C． 【详解】解：∵是中线， ∴，故D选项不正确，不符合题意； ∴，故B选项正确，符合题意； ∵是高， ∴， ∴，故A选项不正确，不符合题意； ∵是角平分线， ∴，故C选项不正确，不符合题意； 故选：B． 【变式2-1】如图，在中，中线和中线相交于点，若的面积为36，则四边形的面积为 ． 【答案】12 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了三角形的面积，熟记三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形是解题的关键． 根据等底等高的三角形的面积相等可知三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形，然后表示出，得出，再由中线的性质得出即可求解． 【详解】解：∵、是的中线， ∴， ∵，， ∴， 连接并延长交于点K，如图所示： ∴为中线， ∴， ∵， ∴， 同理得：， ∴， ∵的面积为36， ∴， ∴四边形的面积为， 故答案为：12． 【变式2-2】已知：如图，在中，，分别是斜边上的高和中线，是的平分线，某同学想直接得到点B到直线的距离，那么他应该测量线段 的长度． 【答案】 【知识点】点到直线的距离、画三角形的高、根据三角形中线求长度、三角形角平分线的定义 【分析】本题考查点到直线的距离，根据点到直线的距离为垂线段的长，进行作答即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴点B到直线的距离为线段的长， 故他应该测量线段的长； 故答案为：． 题型三 全等三角形的性质 【例3】如图，，若的面积为3，的面积为2，则的面积为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【知识点】根据三角形中线求面积、全等三角形的性质 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，三角形中线的性质，先计算出，再根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分得到接着根据全等三角形的性质得到，然后计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【变式3-1】如图，，若，，，则的周长等于 ． 【答案】13 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形性质的运用，运用全等三角形的性质，找对对应边，即可得三边边长，然后根据三角形的周长公式求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，，， ∴的周长为． 故答案为：13． 【变式3-2】如图，，若的面积为，的面积为2，则的面积为 ． 【答案】7 【知识点】根据三角形中线求面积、全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质、与三角形中线有关的面积的计算，由全等三角形的性质可得，，求出，即可得解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 题型四 全等三角形的判定 【例4】已知：如图，点，，在同一条直线上，，，， (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、两直线平行内错角相等 【分析】此题考查了平行线的性质，全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先由得到，然后证明出，即可得到； （2）首先由全等三角形的性质得到，，然后求解即可． 【详解】（1）∵ ∴ ∵，， ∴ ∴； （2）∵ ∴， ∴． 【变式4-1】如图，在中，，、分别是、的平分线，、交于点，过点作交的延长线于点、交于点． (1)求证：； (2)、、之间有怎样的数量关系，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键。 （1）由角平分线的定义得到，由垂线的性质可得．导角证明，则可利用证明． （2）由全等三角形的性质得到，证明，得到，再由线段的和差关系可得结论． 【详解】（1）证明：分别是的平分线， ． ， ． 又， ． 同理，． ． 在和中， ． （2）解：，理由如下： 由（1）得， ∴， 在和中， ， ． ． ， ． 【变式4-2】（1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，，求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明和科技兴趣小组的同学制作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高，延长交于点．设的面积为，的面积为，请猜想，大小关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析  （2）；证明见解析  （3）；理由见解析 【知识点】全等三角形综合问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是根据不同图形条件，准确找到全等三角形的对应角和对应边，利用 AAS 等判定定理证明全等，进而推导边的关系和面积关系。 （1）根据垂直定义得，则，再根据得，由此得，进而可依据判定和全等； （2）根据三角形外角性质得，再根据得，进而可依据判定和全等得，，由此可得出，，的数量关系； （3）过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，则，进而得，再根据得，由此得，进而可依据判定和全等，则，同理可证明得，则，然后再根据三角形的面积公式即可得出，大小关系． 【详解】（1）证明：∵直线l，直线l， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：，，的数量关系是：，证明如下： ∵是的外角， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （3），大小关系是：，理由如下： 过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证明：， ∴， ∴， ∵，， ∴． 题型五 线段的垂直平分线 【例5】如图，在中，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线交于点D，连接，若，，则的周长为（   ） A．17 B．16 C．18 D．20 【答案】D 【知识点】线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图) 【分析】本题考查作图，线段垂直平分线、线段垂直平分线的性质．由题意可得垂直且平分，根据垂直平分线的性质可得，从而可得，求解即可． 【详解】解：由作图痕迹可得，垂直且平分， ， ， 故选：D． 【变式5-1】我们把两组邻边分别相等的四边形称之为“筝形”．在四边形中，对角线交于点O．下列条件中，不能判断四边形是筝形的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【知识点】全等三角形综合问题、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定和性质以及全等三角形的判定与性质等知识； 根据线段垂直平分线的判定和性质可判断A选项，证明可判断B、C选项，由，不能判断，即可判断D选项，进而可得答案. 【详解】解：A、∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴四边形是筝形； B、∵，，， ∴， ∴， ∴四边形是筝形； C、∵，，， ∴， ∴，， ∴四边形是筝形； D、由，不能判断，，故不能判断四边形是筝形； 故选：D. 【变式5-2】如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接．若，则的长为 ． 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查垂直平分线的性质，根据是的垂直平分线，可得，进而得到即可求解． 【详解】解：∵，，是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 题型六 角平分线 【例6】如图，在中，边的垂直平分线与的外角平分线交于点P，过点P作于点D，于点E．若，．则的长度是 ． 【答案】2 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了角平分线的性质、垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到角两边距离相等，垂直平分线上的点到线段两端距离相等． 连接，通过证明，得出，再证明，得出，即可解答． 【详解】解：连接， ∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 整理得：， ∴， 故答案为：2． 【变式6-1】如图，在锐角三角形中，是边上的高，在，上分别截取线段，，使；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点P，作射线，交于点M，过点M作于点N．若，则 ． 【答案】9 【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题考查了尺规作图-作已知角的平分线，角平分线的性质，根据作图步骤可判断平分，根据角平分线的性质可得出，结合已知即可求解． 【详解】解∶由作图知∶ 平分， ∵，，， ∴， 又， ∴， ∴， 故答案为∶9． 【变式6-2】如图，在中，，平分，于，下列结论：①；②；③；④；⑤与的面积之比即与的长度之比．其中正确的是 ． 【答案】①②③ 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理 【分析】根据角平分线的性质，即可判断①；通过证明即可得到，即可判断②；根据直角三角形的两个锐角互余即可判断③；根据已知条件无法证明即可判断④；根据两个三角形的高相等，面积比就等于底的比即可判断⑤． 【详解】解：①∵，平分，， ∴，故①正确； ②在和中， ， ∴， ∴， ∴，故②正确； ③在中，在中， ∴，故③正确； ④无法证明，故④错误； ∵和中， ∴， ∵， ∴与的面积之比不等于与的长度之比，故⑤错误； 综上分析可知：正确的有①②③． 故答案为：①②③． 题型七 线段的垂直平分线角平分线综合 【例7】如图，在中，点E、F分别在上，是的垂直平分线，，，交于点G． (1)求证：平分； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】角平分线的性质定理、线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，根据角平分线的性质即可得到结论； （2）根据线段垂直平分线的性质得到，根据含30度角的直角三角形的性质得出，，即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵是的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴平分； （2）解：∵， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【变式7-1】如图，在中，，，是的垂直平分线，垂足为点，交于点，连接． (1)求证：平分； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)6 【知识点】角平分线的性质定理、线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形、等边对等角 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，等边对等角，直角三角形两锐角互余，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）先根据线段垂直平分线的性质得到，则，再根据直角三角形两锐角互余求出，即可得到，从而证明结论； （2）先根据角平分线的性质得到，再根据含度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵是的垂直平分线， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴平分． （2）解：∵平分，，， ∴． ∵，， ∴． ∵，， ∴． 【变式7-2】如图，中，，的平分线与边的垂直平分线相交于D，交的延长线于E，于F，现有下列结论：①；②；③；④；其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理、线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形 【分析】由角平分线的性质可知①正确；②由题意可知，故此可知，，从而可证明②正确；连接，然后证明，从而得到，从而可证明③④． 【详解】解：如图所示：连接． ①∵平分，，， ∴，∴①正确． ②∵，平分， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，∴②正确． ∵是的垂直平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴，故③④正确． 故选：D． 题型八 等腰三角形的性质和判定 【例8】如图，将绕点逆时针旋转得到，点在上．已知，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】等边对等角、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查的是旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握“旋转前后的对应角相等与等边对等角”是解本题的关键．先由旋转的性质证明，，再利用等边对等角证明，从而可得答案． 【详解】解：将绕点逆时针旋转得到，点在上， ，， ， ， ，， ， 故选：C． 【变式8-1】小明在学习“等腰三角形两底角相等”时，他猜想“等腰三角形底角的平分线相等”．请补全已知、求证，并进行证明，验证小明的猜想． 已知：如图，在中，__________ 求证：__________ 证明： 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边对等角 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，由等腰三角形的性质可得，进而由角平分线的定义可得，再根据可证，据此即可求证，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】已知：如图，在中，，，平分和交，于点F，E， 求证： 证明：∵， ∴， 又∵，平分和， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【变式8-2】如图，在中，，D为射线上一动点（不与点B、C重合），在的右侧作，使得，连接． (1)若，则______． (2)当点D在线段上时，求证：； (3)若点D运动到线段上某一点时，恰好有，问：线段与线段有什么位置关系并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)．理由见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边对等角、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键： （1）等边对等角，求出，进而得到的度数，再根据等边对等角进行求解即可； （2）利用证明，即可； （3）根据，得到，推出为等边三角形，进而推出，进而得到即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：， ， ． 在和中． ， ； （3）．理由如下： 由（2）知， ． ， ． ， ． 为等边三角形， ， ， ， ． 题型九 等边三角形的性质和判定 【例9】如图，是等边三角形，E，F分别是边上的点，且且交于点P，且垂足为G． (1)求证：； (2)若求的长度． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、等边三角形的性质 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含角的直角三角形等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由等边三角形的性质得到，再证明，即可得出结论； （2）求出，得到，即可求解． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， 在与中， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴在中， ， ∵， ∴． 【变式9-1】已知：如图，分别以的两条直角边为边作等边三角形和等边三角形，连接，且点在线段上． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、线段垂直平分线的判定、等边三角形的性质 【分析】本题考查等边三角形的性质及全等三角形的判定，掌握等边三角形的性质及全等三角形的判定是解题关键． （1）根据等边三角形的性质得出，，进而证明，即可得证； （2）根据等边三角形的性质以及三角形内角和定理得出，即可证明，根据等边三角形的性质可得，即可证明垂直平分，即可得证． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∴ ∴ ∴； （2）∵是直角三角形，为直角边， ∴ ∵是等边三角形，则， ∴， 由（1）可得 ∴ ∵是等边三角形， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴垂直平分 ∴． 【变式9-2】如图，在等边中，为边上一点，为上一点，且，连接与相交于点． (1)与的数量关系是，与构成的锐角夹角的度数是；并说明理由． (2)深入探究，将图中的延长至点，使，连接，，如图所示．求证：平分（第一问的结论，本问可直接使用） 【答案】(1)， (2)见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、角平分线的判定定理、等边三角形的性质、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，角平分线的判定与性质等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质和等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）证．得，，再由三角形的外角性质得即可； （2）证是等边三角形，得，，再证，得，即可解决问题． 【详解】（1）∵是等边三角形， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：，； （2）证明：由（1）可知，， ， ， ∴是等边三角形， ， ∵是等边三角形， ， ， ， 即， ， ， ， ， 平分． 题型十 含30度角的直角三角形 【例10】如图，中，，点D在上，，延长至点E，使，过点E作于点F，交于点G，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，由“”可证，可得，由直角三角形的性质可得，，由线段的数量关系可求解，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于， ，，， ， 在和中， ， ， ， ，，， ， ，， ， ， ， ， ， 故选：D． 【变式10-1】如图，是等边三角形，点D是的中点，于点E，若，则的长为（    ） A．12 B．9 C．8 D．6 【答案】A 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的性质 【分析】本题考查等边三角形的性质，掌握等边三角形的性质和含角的直角三角形的性质是解题的关键． 由等边三角形的性质及中点的定义得，，再根据直角三角形两锐角互余得，最后根据含角的直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：∵是等边三角形，点是的中点， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 故选：A． 【变式10-2】如图，等边三角形的边长为9，为边上一动点，为延长线上一动点，交于点，点为中点．若，则长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、含30度角的直角三角形、等边三角形的性质 【分析】过点D作，交于F，先证是等边三角形，再证，得，设，则，最后根据在直角三角形中，的角所对的边是斜边的一半，计算，即可． 【详解】解：如下图，过点D作，交于F，   是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形， ， 点P为中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， 解得：， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，在直角三角形中，的角所对的边是斜边的一半，解题的关键是作辅助线证明． 基础巩固通关测 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列每组数分别是三根小木棒的长度，它们首尾顺次相接能摆成三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】构成三角形的条件 【分析】此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数． 根据三角形三边关系定理，即任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，逐一验证各选项即可． 【详解】解：∵，，满足三边关系，构成三角形， ∴符合题意； ∵，构不成三角形， ∴不符合题意； ∵，构不成三角形， ∴不符合题意； ∵，与两边之和大于第三边矛盾， ∴D不符合题意； 故选：． 2．如图，小华为了估计池塘两岸间的距离（即的长），在池塘的一侧选取一点，测得，，则池塘两岸间的距离可能是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了三角形的三边关系定理，能根据三角形的三边关系定理得出不等式是解此题的关键． 根据三角形的三边关系定理得出不等式，即可得出选项． 【详解】解：设， ∵，， ∴由三角形三边关系定理得：， ∴， ∴、间的距离可能是， 故选：B． 3．如图，在中，已知点D、E、F分别为、、的中点，若阴影部分的面积为3，则的面积为（    ） A．12 B．16 C．18 D．20 【答案】A 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了求有关三角形中线的面积问题，由三角形的面积得，，，即可求解；掌握三角形中线将三角形面积平分是解题的关键． 【详解】解：点D、E、F分别为、、的中点， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 4．如图，在中，是高，是角平分线，是中线，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求面积、三角形角平分线的定义 【分析】本题考查了中线、角平分线和中线的定义，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．分别根据三角形的中线意义和性质可判断B和D；根据三角形高的定义，直角三角形两锐角互余判断A；根据三角形角平分线的意义可判断C． 【详解】解：∵是中线， ∴，故D选项不正确，不符合题意； ∴，故B选项正确，符合题意； ∵是高， ∴， ∴，故A选项不正确，不符合题意； ∵是角平分线， ∴，故C选项不正确，不符合题意； 故选：B． 5．如图，已知，，和全等，则下列表示正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】全等三角形的概念 【分析】本题考查全等三角形对应点的确认，解题的关键在于熟练掌握三角形全等的定义．根据题意找出对应点，即可解题． 【详解】解：， 与相对应， ， 与相对应， ， 故选：D． 6．如图，将沿所在直线向左平移得到，则下列说法错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用平移的性质求解、全等三角形的性质 【分析】本题考查的知识点是平移的性质、全等三角形的性质，解题关键是熟练掌握平移的性质． 由平移性质可得，，则可排除、选项；根据全等三角形性质可证，可排除选项． 【详解】解：根据平移性质可得：，， 、选项说法正确，不符合题意； ， ， 即， 选项说法正确，不符合题意； 如果，则可证， 但题中未给该条件，无法证明， 选项说法错误，符合题意． 故选：． 7．下列说法中，错误的是（   ） A．两角对应相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 B．两边对应相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等 C．两边对应相等且其中一组等边上的中线相等的两个三角形全等 D．两角对应相等且其中一组等角的平分线相等的两个三角形全等 【答案】B 【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查全等三角形的判定，需逐一分析各选项是否符合全等条件． 【详解】解：A．两角对应相等，且其中一组等角的对边相等，符合全等判定，正确，不符合题意； B．两边对应相等，但其中一组等边的对角相等，属于条件，无法唯一确定三角形（存在歧义情况），不能保证全等，错误，符合题意； C．两边分别相等且其中一组等边上的中线也相等的两个三角形全等，正确，不符合题意； D．两角对应相等，且一组等角的平分线相等，通过角平分线定理可推第三边相等，符合或全等判定，正确． 故选：B． 8．如图，在的两边上，分别取，再分别过点M、N作的垂线，交点为P，画射线，则平分的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用HL证全等（HL） 【分析】本题考查了全等三角形的应用以及基本作图，利用判定方法“”证明和全等，进而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是的平分线． 故选：D． 9．如图，在中， 垂直平分边，若的周长为，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题主要考查垂直平分线的性质，熟练掌握性质是关键. 根据垂直平分线的性质得出，再进行等量代换后计算即可. 【详解】解：∵ 垂直平分， ∴， ∴ 的周长， ∵， ∴ 故选：A． 10．如图，在中，的平分线交于点D，过点D作，分别交于点E、F．若，则的周长是（   ） A．15 B．18 C．20 D．22 【答案】C 【知识点】两直线平行内错角相等、根据等角对等边证明等腰三角形 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，掌握相关知识是解题的关键．由平行线的性质得到，由角平分线的性质得到，得出，得到，即可求解； 【详解】解：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴的周长， 故选：C． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 11．已知三角形的三边长分别为3，，8．则正整数的值可以是 ． 【答案】4或5 【知识点】三角形三边关系的应用、求不等式组的解集 【分析】本题考查了三角形的三边关系，解不等式组，解题的关键是熟练掌握三角形的三边关系． 根据三角形的三边关系为两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，列出不等式即可求出a的取值范围． 【详解】三角形的三边长分别为3，，8， ， 即， 故答案为：4或5． 12．在中，，E是上的一点，且与相交于点F，．若的面积为1，则的面积为 ． 【答案】 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查三角形面积计算， 三角形中线的性质，解题关键是同高三角形面积比等于底的比，三角形中线分得的两个三角形面积相等． 根据高相等的三角形，面积比等于底的比得到，再根据三角形中线分得的三角形面积相等得到，，从而得到，两式相减，得到，由，、上的高相等，所以，从而即可求解． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∵D是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13．如图，已知，其中，则的度数是 ． 【答案】 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查全等三角形的性质，掌握知识点是解题的关键． 根据，可得，继而推导出，则，即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 14．如图，，，，，则的长为 ． 【答案】 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质． 根据全等三角形的性质，即可得出的长． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ 故答案为：． 15．如图，已知点、、、在同一直线上，，，如果要运用“”来证明，可以添加的条件是 ．（只需写出一种情况） 【答案】（或等） 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS）、添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了三角形全等的判定定理，解题的关键是掌握三角形全等的判定定理；要运用“”来证明三角全等，根据条件，添加的条件需要使得三条边对应相等即可． 【详解】解：，， 要运用“”来证明， 可以添加的条件需要使得即可， 故添加的条件是：， 故答案为：． 16．如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，请根据所学的三角形全等的有关知识，说明得出的依据是 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、尺规作一个角等于已知角 【分析】本题考查了作图-基本作图，全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是正确解答本题的关键． 由作法易得，依据定理得到，由全等三角形的对应角相等得到． 【详解】解：由作图方法可知， 在与中， ， ∴， ∴（全等三角形的对应角相等）． 故答案为：． 17．如图，，若和分别垂直平分和，则的周长为 ． 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键．由线段垂直平分线的性质可得，，再根据三角形的周长公式计算即可得解． 【详解】解：∵和分别垂直平分和， ∴，， ∴的周长， 故答案为：． 18．如图，是内一点，于点，于点，于点，且，若，则 . 【答案】/度 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、角平分线的判定定理 【分析】本题考查了角平分线的判定，三角形内角和定理的应用；根据题意可得平分，平分，进而根据三角形的内角和定理，即可求解． 【详解】，，，且， 平分，平分 ∴， ， ， ， ． 故答案为：． 19．如图，在中，，，垂直平分，垂足是点，若，则的长是 ． 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形、等边对等角 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等边对等角，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 由垂直平分线的性质得到，由等边对等角得，进而根据三角形外角结合含30度角的直角三角形的性质作答即可． 【详解】∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ 故答案为：． 20．如图，在中，，将绕点A按顺时针方向旋转到的位置，点B、C的对应点分别为点、，连接、，则的度数是 °． 【答案】135 【知识点】用SSS间接证明三角形全等（SSS）、等边对等角、等边三角形的判定和性质、根据旋转的性质求解 【分析】由旋转的性质得是等边三角形，则有；由等腰三角形的性质得，从而；证明，得，由三角形内角和即可求解． 【详解】解：由旋转的性质得，， ∴是等边三角形， ∴，； ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴由旋转得； ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：135． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，灵活运用这些知识是关键． 三、解答题（本大题共5小题，共40分） 21．（本题6分）如图方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点，点，点在小正方形的顶点上． (1)画出中边上的高； (2)画出中边上的中线； (3)直接写出的面积为______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】根据三角形中线求长度、利用网格求三角形面积、画三角形的高 【分析】本题主要考查了三角形高，中线的作法，以及三角形面积求法，掌握概念是解本题的关键． （1）结合网格信息，连接的网格对角线交于点，即可作出上的高； （2）结合网格信息，根据中线的定义可得点，连接即可得到答案； （3）根据三角形面积公式的求法，结合网格信息，即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求， （3）解：． 故答案为：． 22．（本题8分）如图，，连接，与交于点，，，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质、平行线的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键． （1）先根据全等三角形的性质可得，再根据角的和差可得，由此即可得； （2）先根据平行线的性质可得，，再根据全等三角形的性质可得，然后根据三角形的内角和定理可得，最后根据求解即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由（1）已得：， ∴． 23．（本题8分）如图，已知，，与交于点，试探究与有怎样的大小关系和位置关系，并说明理由． 【答案】且，理由见详解 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、全等三角形的性质 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，垂直的定义和余角等相关知识，熟知相关知识是解题的关键． 根据全等三角形的性质得到对应角相等，根据垂直的定义得出互余的角，最后根据角即可得出结果． 【详解】解：且，理由如下： ， ， 设与交于点， ， ， ，， ， ， 即． 24．（本题8分）如图，为的角平分线，于点E，于点F，连接于点E，交于点O． (1)求证：垂直平分； (2)若，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)6 【知识点】用HL证全等（HL）、角平分线的性质定理、含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）证明得，可证垂直平分； （2）根据线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质解答即可． 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，灵活运用全等三角形的判定是本题的关键． 【详解】（1）证明：∵为的角平分线，于点E，于点F， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴点A、D都在的垂直平分线上， ∴垂直平分． （2）解：∵，为角平分线，， ∴，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 25．（本题10分）如图为等边三角形，点在的延长线上，点在边上，且．求证：． 【答案】证明见详解 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的判定和性质 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质等知识． 作交于．可得是等边三角形，再证明，即可得到结论． 【详解】证明：作交于． ∵是等边三角形， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，． ∵， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴． 在与中， ∴， ∴， ∴． 能力提升进阶练 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（2025·湖北武汉·模拟预测）现有长为的铁丝，要截成小段（），每段的长度不小于，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则的最大值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【知识点】三角形三边关系的应用、构成三角形的条件 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，即三角形的两边之和大于第三边，理解题意、列出每段铁丝的长度是解题关键． 根据三角形的三边关系，设最小的长度为，又因任意三小段都不能拼成三角形，得每段长度是，，，，，，，，，，，依此类推，总和不大于即可求解． 【详解】解：段之和为， 若要尽可能的大，则每段的长度尽可能的小， 每段的长度不小于，且其中任意三小段都不能拼成三角形， 这些小段的长度只可能分别是，，，，，，，，，，， ， ， 小段的长度分别为，，，，，，，，，， 的最大值为． 故选：B． 2．（2025·云南·模拟预测）某校准备在如图所示的三角形空地上种植花卉，需将其分成面积相等的两块分别种植牡丹和芍药，小敏作出线段来划分，那么是的（   ） A．角平分线 B．中线 C．高线 D．以上都不是 【答案】B 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，根据三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分，即可解题． 【详解】解：将三角形空地分成面积相等的两部分， 是的中线； 故选：B． 3．（2025·山东淄博·一模）如图，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，掌握全等三角形对应角相等是解题的关键． 先根据全等三角形对应角相等得到，再由三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 4．（2025·贵州铜仁·二模）如图，在与中，若，则，这个结论的理由是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS） 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定的应用，注意判定两三角形的全等方法有，，，，，选用适当的方法证明两三角形全等是解题的关键． 利用证明，即可求解． 【详解】解：在与中， ∵， ∴． 故选：C 5．（2025·贵州毕节·三模）在中，，将沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】全等三角形综合问题 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，三角形外角的性质，A、B两个选项都可以利用证明全等，C选项中，先证明，再利用即可证明两个三角形全等，D选项中，根据现有条件不能证明两个三角形全等． 【详解】解：A、如图所示，∵， ∴，故A不符合题意； B、如图所示，∵， ∴，故B不符合题意； C、如图所示，∵，， ∴， 又∵， ∴，故C不符合题意； D、如图所示，同理可得，但是不是对应边，故不能证明两个三角形全等，故D符合题意； 故选：D． 6．（21-22八年级下·湖南株洲·期末）如图，是的高，，，，则∠DBE=（    ） A．20° B．25° C．30° D．35° 【答案】B 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、等边对等角 【分析】证明Rt△BDE≌Rt△ADC，根据全等三角形的性质得到∠DBE＝∠DAC，根据等腰直角三角形的性质求出∠DAB＝∠DBA＝45°，计算即可． 【详解】解：∵AD是△ABC的高， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， 在Rt△BDE和Rt△ADC中， ， ∴Rt△BDE≌Rt△ADC（HL）， ∴∠DBE＝∠DAC， 在Rt△ADB中，AD＝BD， ∴∠DAB＝∠DBA＝45°， ∵∠BAC＝70°， ∴∠DAC＝70°−45°＝25°， ∴∠DBE＝∠DAC°＝25°， 故选：B． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 7．（24-25七年级下·上海闵行·期末）已知：如图，点E、A、D、B在同一直线上，交于点O，，增加下列条件不能推导出的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，等边对等角，根据题意可证明，，再结合全等三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 添加条件，则，即，则可利用证明，故A不符合题意； 添加条件，则可利用证明，故B不符合题意； 添加条件，不可以利用证明，故C符合题意； 添加条件，则可利用证明，故D不符合题意； 故选：C． 8．（2025·河南信阳·模拟预测）如图，在四边形中，，E为的中点，且，延长交的延长线于点F．若，，则的长为（       ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，以及垂直平分线的判定与性质，准确推导出全等三角形并理解线段垂直平分线的性质是解题关键．由“”可证，可得，，由线段垂直平分线的性质可得． 【详解】解：为的中点， ， ， ，， 在与中， ， ， ，， ， ，， ， 故选：C． 9．（2025·北京东城·二模）如图，在中，，．分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，，作直线交于点，连接．下列说法中，错误的是（   ） A． B．是的平分线 C． D． 【答案】D 【知识点】三角形角平分线的定义、含30度角的直角三角形、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了作垂直平分线，线段垂直平分线的性质，角的直角三角形的性质，先根据垂直平分线的性质判断A选项；然后利用等边对等角得到，即可判断B选项；根据角的直角三角形的性质判断C选项；然后根据高相等的两三角形的面积比等于底的比判断D选项解答即可． 【详解】解：由作图可得垂直平分， ∴，故A选项正确，不符合题意； ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，是的平分线，故B、C选项正确，不符合题意； ∴，故D选项错误，符合题意； 故选：D． 10．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，等腰直角三角形中，，将绕点B顺时针旋转（），得到，连接，点H在射线上，则的度数（    ） A．随着的增大而增大 B．随着的增大而减小 C．不变 D．随着的增大，先增大后减小 【答案】C 【知识点】根据旋转的性质求解、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 由旋转的性质可得，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求，由外角的性质可求，即可求解． 【详解】解：过点A作于点M，如图 ∵将绕点B顺时针旋转θ（），得到， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ 即的度数是定值， 故选C． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 11．（22-23八年级上·江苏无锡·期中）若等腰三角形的周长为12，其中一边长为2，则腰长为 ． 【答案】5 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】要确定等腰三角形的另外两边长，可根据已知边的长，结合周长公式求解，由于长为2的边已知没有明确是腰还是底边，要分类进行讨论． 【详解】解：∵等腰三角形的周长为12， ∴当2为腰时，它的底长，，不能构成等腰三角形； 当2为底时，它的腰长，能构成等腰三角形， 即腰长为5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；难点在于要分情况讨论并利用三角形的三边关系判定是否能组成三角形． 12．（22-23八年级上·湖北咸宁·期中）如图，在中，，，，P、Q是边AC、BC上的两个动点，于点D，于点E．设点P、Q运动的时间是t秒（）．若点P从C点出发沿CA以每秒3个单位的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回到点C停止运动；点Q从点B出发沿BC以每秒1个单位的速度向点C匀速运动，到达点C后停止运动，当 秒时，和全等． 【答案】3或6/6或3 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、全等三角形的性质 【分析】分两种情况：①时，点P从C到A运动，则，求得，②时，点P从A到C运动，则，求得． 【详解】解：①时，点P从C到A运动，则， 当时， 则， 即，解得：， ②时，点P从A到C运动，则， 当时， 则， 即， 解得：， 综上所述：当秒或6秒时，． 故答案为：3或6． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是正确进行分类讨论，不要漏解． 13．（20-21八年级上·重庆云阳·期末）如图，在中，，为边中点，为边上一点，将沿着翻折，得到，连接．当时，的度数为 ． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形折叠中的角度问题、全等三角形的性质、等边三角形的判定和性质 【分析】根据折叠的性质可得，根据及折叠的性质可得为等边三角形，再根据三角形的外角性质求解即可 【详解】在中，，将沿着翻折，交于点,得到，如图； ∴ ∴, ∵，为边中点， ∴,为等边三角形， ∴， ∴， ∵ 即 ∴. 故答案为： 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，等边三角形的性质，三角形外角的性质等知识点，解题的关键是根据折叠找到对应的边角关系 14．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，在锐角三角形中，是边上的高，在，上分别截取线段，，使；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点P，作射线，交于点M，过点M作于点N．若，则 ． 【答案】9 【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题考查了尺规作图-作已知角的平分线，角平分线的性质，根据作图步骤可判断平分，根据角平分线的性质可得出，结合已知即可求解． 【详解】解∶由作图知∶ 平分， ∵，，， ∴， 又， ∴， ∴， 故答案为∶9． 15．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在中，分别以A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于D，E两点；分别以A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于F，G两点；且分别与相交于M，N两点，连接、，若，则 ． 【答案】/115度 【知识点】三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图)、等边对等角 【分析】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握尺规作图和等腰三角形的性质是解题关键．先得出垂直平分，垂直平分，则，再根据等腰三角形的性质可得，，然后根据三角形的内角和定理可得，根据三角形的内角和定理求解即可得． 【详解】解：由题意得：垂直平分，垂直平分， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16．（24-25八年级上·山西临汾·期中）如图，在长方形中，，，点是延长线上一点，且，连接，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点运动．设点运动的时间为，则当和全等时，的值为 ． 【答案】或 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质，由题意得，，然后分当时和当时两种情况分析即可，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 如图，当时， ∴， ∴， ∴； 如图，当时， ∴， ∴， ∴； ∴当的值为或秒时，和全等， 故答案为：或秒． 17．（22-23八年级上·全国·期中）如图，AD是的中线，，，，点E、F为垂足，，则BC的长为 cm． 【答案】12 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、含30度角的直角三角形 【分析】先证明△CDE≌△BDF（AAS），得出DE=DF=EF=3cm，再由，，求得，从而求出∠DCE=30°，由直角三角形的性质得出CD=2DE=6cm，即可由BC=2CD求解． 【详解】解：∵AD是的中线， ∴． ∵，， ∴， 在和中， ， ∴(AAS)． ∴． ∵，， ∴， ∴ ∴， ∴． 故答案为：12． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 18．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，，点分别在射线上，，是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称的点为，点在直线上运动时，当的面积最小值为时，则的面积为 ． 【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】连接，过点作于，根据轴对称的性质可得，，，即得，得到为等腰直角三角形，即得，可知当的面积最小时，点在点位置，即，可得，最后根据三角形面积公式计算即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点作于， 由轴对称可得，，，，， ∴，，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 当的面积最小时，点在点位置，即， 解得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短，三角形的面积，正确作出辅助线是解题的关键． 19．（2025·山东东营·中考真题）如图，在中，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【知识点】垂线段最短、含30度角的直角三角形、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质，含角的直角三角形，垂线段最短，解题的关键是正确作出辅助线． 作于点，根据垂线段最短可知，的最小值是线段的长度，根据解含角的直角三角形即可． 【详解】解：如图，作于点， ∵平分， 作点关于的对称点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：． 20．（24-25八年级下·贵州毕节·期中）如图，已知：，点、、…在射线上，点、、…在射线上，…均为等边三角形，若，则的边长为 ． 【答案】 【知识点】等边三角形的性质、含30度角的直角三角形、两直线平行同位角相等 【分析】考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出进而发现规律是解题关键． 根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出，以及，得出…进而得出答案． 【详解】解：如图所示： ∵是等边三角形， ∴， ∴， ， ∴， 又∵， ， ∵， ， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴，，， 以此类推：． 故答案是：． 三、解答题（本大题共5小题，共40分） 21．（24-25八年级·山东烟台·阶段检测）如图，的面积为18，平分，于点D，求的面积． 【答案】9 【知识点】根据三角形中线求面积、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，三角形中线的性质，掌握以上知识是解题的关键．延长交于点，则可得：，可得： 则，，可得出，从而可得答案． 【详解】解：如图，延长交于点，   平分，， ，， 在和中， ， ， ， ，， ， ． 22．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图①，在中，，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当________时，的面积等于面积的一半； (2)如图②，在中，，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点Q的运动速度． 【答案】(1)或 (2)点Q的运动速度为或 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、根据三角形中线求面积、全等三角形的性质 【分析】本题考查三角形面积的求法，三角形中线的性质，全等三角形的性质，一元一次方程的应用．理解题意，利用分类讨论和数形结合的思想是解题关键． （1）根据题意可求出，分类讨论：①当点P在上时；②当点P在上时；③当点P在上时，分别列方程求解即可； （2）分类讨论：①当点P位于，点Q位于上时；②当点Q位于，点P位于上时，结合全等三角形的性质分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， ∴． 分类讨论：①当点P在上时，不存在； ②当点P在上时，此时，如图， ∴， ∴； ③当点P在上时，此时，如图， ∵的面积等于面积的一半， ∴， ∴， ∴． 综上可知当或时，的面积等于面积的一半； （2）解：∵， ∴只存在两种情况：①当点P位于，点Q位于上时；②当点Q位于，点P位于上时． 设点Q的运动速度为， ①当点P位于，点Q位于上时，此时，，如图， ∵， ∴，， ∴，， 解得：，， ∴此时点Q的运动速度为； ②当点Q位于，点P位于上时，此时，，如图， ∵， ∴，， ∴，， 解得：，， ∴此时点Q的运动速度为． 综上可知点Q的运动速度为或． 23．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，在中，点、分别在边、上，连接、交于点，且． (1)求证：是等腰直角三角形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)6 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质可知，，结合，即可证明； （2）根据题意可知，再由全等三角形的性质可得到，最后由四边形的面积即可求得答案． 【详解】（1）证明：， ，， ， ， 是等腰直角三角形； （2）解：，， ， ， ， 四边形的面积． 24．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图所示，已知四边形中，． (1)求证：； (2)请直接写出图中所有的全等三角形． 【答案】(1)见解析 (2)、、 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、全等三角形综合问题 【分析】本题考查平行线的性质，全等三角形的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． （1）由得到，结合，得到，从而，即可证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）根据全等三角形的判定及性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴． （2）解：在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴． 由（1）有， 综上，图中全等三角形有：、、． 25．（24-25八年级·四川成都·期中）（1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，，求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明和科技兴趣小组的同学制作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高，延长交于点．设的面积为，的面积为，请猜想，大小关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析  （2）；证明见解析  （3）；理由见解析 【知识点】全等三角形综合问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是根据不同图形条件，准确找到全等三角形的对应角和对应边，利用 AAS 等判定定理证明全等，进而推导边的关系和面积关系。 （1）根据垂直定义得，则，再根据得，由此得，进而可依据判定和全等； （2）根据三角形外角性质得，再根据得，进而可依据判定和全等得，，由此可得出，，的数量关系； （3）过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，则，进而得，再根据得，由此得，进而可依据判定和全等，则，同理可证明得，则，然后再根据三角形的面积公式即可得出，大小关系． 【详解】（1）证明：∵直线l，直线l， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：，，的数量关系是：，证明如下： ∵是的外角， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （3），大小关系是：，理由如下： 过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证明：， ∴， ∴， ∵，， ∴． 2 / 82 学科网（北京）股份有限公司 $$