第1章 三角形（单元测试·提升卷）数学苏科版2024八年级上册

2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第一章 三角形·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D A C D D D B C C B 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．10 12． 13．12 14．（或或） 15． 16． 三、解答题（共9小题，共72分） 17．（本题6分） 【详解】（1）解：如图1所示． …………………………2分 （2）解：如图2所示， …………………………4分 （3）解：如图3所示，为所求． …………………………6分 18．（本题6分） 【详解】（1）解：当顶角为时，则底角为，即另两个角的度数分别为，； 当底角为时，则顶角为，即另两个角的度数分别为，；…………2分 （2）解：设底边长为时，则腰长为， 则， 解得，， ∴， 即底边长为，腰长为；……………………4分 （3）解：由题意可得， ， 解得，…………………………………………5分 ∴或； 当时，三边长，不能构成三角形， 当时，三边长，能构成三角形， 周长为， 即，周长为．…………………………………………6分 19．（本题8分） 【详解】（1）解：， 和均为直角三角形．…………………………………1分 在和中， ，…………………………………2分 ．…………………………………3分 （2）， ∴，…………………………………5分 ， ，…………………………………6分 ， ，…………………………………7分 ∴．…………………………………8分 20．（本题8分） 【详解】（1）解：点在的垂直平分线上，理由如下： 如图所示，连接，，， ∵，分别是，的垂直平分线， ∴，，…………………………………2分 ∴，…………………………………3分 ∴点在的垂直平分线上；…………………………………4分 （2）解：∵，分别垂直平分，， ∴，均为轴对称图形， ∴，，…………………………………5分 ∵，， ∴，…………………………………6分 ∵， ∴，…………………………………7分 ∴．…………………………………8分 21．（本题8分） 【详解】（1）解：与都是等边三角形， ，，，………………1分 ， 在和中， ，………………2分 ，………………3分 ， ；………………4分 （2）证明：连接，作，于点，，如图所示： ， ，，………………5分 ，………………6分 ，………………7分 平分．………………8分 22．（本题8分） 【详解】（1）证明：∵平分，，， ∴，………………1分 在和中， ，………………2分 ∴，………………3分 ∴；………………4分 （2）∵，， ∴，………………5分 由（1）得， ∵， ∴，………………6分 ∴，………………7分 由（1）得， ∴， ∴， ∴．………………8分 23．（本题8分） 【详解】解：（1）如图，过A点作于D， ∴， 在和中， ∴， ∴；…………………………2分 （2）∵， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴． ∴．…………………………4分 （3）∵E是中点， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∴C在线段的垂直平分线上． ∵， ∴A在线段的垂直平分线上． ∴是线段．…………………………6分 （4），理由如下， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴．…………………………8分 24．（本题8分） 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，…………………………1分 在与中， …………………………2分 ∴，…………………………3分 ∴；…………………………4分 （2）解：∵， ∴，…………………………5分 ∵，即， ∴， ∴在中， ，…………………………6分 ∵， ∴．…………………………8分 25．（本题12分） 【详解】（1）解： 理由：延长至点，使得，连接， ∵将沿着斜边翻折得到， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：；…………………………4分 （2）解：在上截取，连接， ∵将沿着斜边翻折得到， ， ∴， ∴， ∴， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴； 故答案为： ；…………………………8分 （3）当点在线段上时， 如图， 的周长为： ； …………………………10分 当点在线段的延长线上时，如图， 的周长为：， 故答案为：或 ．…………………………12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第一章 三角形·能力提升 建议用时：90分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．已知三角形的周长是，则以下哪个长度不可能是该三角形的边长（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．如图，借助直角三角板作的边上的高，下列直角三角板的位置摆放正确（    ） A．B． C． D． 3．已知：如图，点E、A、D、B在同一直线上，交于点O，，增加下列条件不能推导出的是（    ） A． B． C． D． 第3题 第4题 4．如图，，若，，则的长度为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 5．在元旦联欢会上，3名小朋友分别站在三角形三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子游戏，谁先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放在三角形的（　　） A．三条角平分线的交点 B．三条中线的交点 C．三条高的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 6．如图，在中，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线交于点D，连接，若，，则的周长为（   ） A．17 B．16 C．18 D．20 7．如图，在四边形中，是它的对角线，，若平分，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 第7题 第8题 8．如图，已知的面积为12，平分，且于点，则的面积是（  ） A．10 B．8 C．6 D．4 9．如图，和都是等边三角形且点，，在一条直线上，，相交于点，与相交于点，与相交于点，连接，则①；②；③；④平分．正确的是（   ） A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④ 第9题 第10题 10．如图，AB＝AD，AC＝AE，，AH⊥BC于H，HA的延长线交DE于G，下列结论：①DG＝EG；②BC＝2AG；③AH＝AG；④，其中正确的结论为（ ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知一个等腰三角形的两边长分别为3和10，则该三角形的第三边的长为 ． 12．已知中，，，则中线的取值范围是 ． 13．某数学兴趣小组探究三角形的平移变化引出新的思考．现将两个全等的和重叠在一起，固定不变，将沿射线平移．若的周长为8，平移的距离为2，则四边形的周长 ． 第13题 第14题 14．如图，已知，要使，还需添加一个条件，这个条件可以是 ．（写出一个即可） 15．如图，在中，分别以A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于D，E两点；分别以A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于F，G两点；且分别与相交于M，N两点，连接、，若，则 ． 第15题 第16题 16．如图，在中，是边上的高，过点A作，并且使，F是上一点，连接，使，交于G，H两点，若，则 三、解答题（共9小题，共72分） 17．（本题6分）无刻度直尺作图（不写作法，保留作图痕迹）如图，在的正方形网格中，点A，B，C均为小正方形的顶点． (1)在图1中，作与全等（点与点不重合）； (2)在图2中，作的高； (3)在图3中，作的中线． 18．（本题6分）用一条细绳围成一个三角形， (1)若围成一个等腰三角形且有一个角为，求另两个角的度数； (2)若围成一个等腰三角形且周长为，腰长比底边长大，求腰长和底边长； (3)若围成的三角形三边长均为整数，且分别为，，，求x和周长． 19．（本题8分）如图，在四边形中，，是上的一点，且，连接，，． 求证： (1)． (2)． 20．（本题8分）如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点M，D，边的垂直平分线分别交，于点，，，的延长线交于点O． (1)试判断点O是否在的垂直平分线上，并说明理由； (2)若，求的度数． 21．（本题8分）如图，与都是等边三角形，若与相交于点． (1)求的度数； (2)连接，求证：平分． 22．（本题8分）如图，在四边形中，平分，交的延长线于点M，于点N． (1)请说明的理由； (2)若，，，求的长． 23．（本题8分）操作实验： 如图，把等腰三角形沿顶角平分线对折并展开，发现被折痕分成的两个三角形成轴对称． 所以，所以． 归纳结论：如果一个三角形有两条边相等，那么这两条边所对的角也相等． 根据上述内容，回答下列问题： 思考验证： （1）如图（4），在中，．试说明的理由； 探究应用：如图（5），，垂足为B，，垂足为A，E为的中点，，． （2）与是否相等，为什么？ （3）小明认为是线段的垂直平分线，你认为对吗？说说你的理由； （4）探究与的数量关系，并说明理由． 24．（本题8分）如图，是等边三角形，E，F分别是边上的点，且且交于点P，且垂足为G． (1)求证：； (2)若求的长度． 25．（本题12分）如图，在中，，将沿着斜边翻折得到，点E、F分别是射线、射线上的点，且． (1)初步探索：如图1，点在线段上，试探究线段、、之间的数量关系． 小华同学探究此问题的思路是：延长至点，使得，连接，先证明，再证明，请你根据该思路探究、、之间的数量关系，并说明理由； (2)探索延伸：如图2，点在线段的延长线上，、、之间的数量关系是 ． (3)灵活运用：在中，若，，，，则的周长为 ． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第一章 三角形·能力提升 建议用时：90分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．已知三角形的周长是，则以下哪个长度不可能是该三角形的边长（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．如图，借助直角三角板作的边上的高，下列直角三角板的位置摆放正确（    ） A．B． C． D． 3．已知：如图，点E、A、D、B在同一直线上，交于点O，，增加下列条件不能推导出的是（    ） A． B． C． D． 第3题 第4题 4．如图，，若，，则的长度为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 5．在元旦联欢会上，3名小朋友分别站在三角形三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子游戏，谁先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放在三角形的（　　） A．三条角平分线的交点 B．三条中线的交点 C．三条高的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 6．如图，在中，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线交于点D，连接，若，，则的周长为（   ） A．17 B．16 C．18 D．20 7．如图，在四边形中，是它的对角线，，若平分，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 第7题 第8题 8．如图，已知的面积为12，平分，且于点，则的面积是（  ） A．10 B．8 C．6 D．4 9．如图，和都是等边三角形且点，，在一条直线上，，相交于点，与相交于点，与相交于点，连接，则①；②；③；④平分．正确的是（   ） A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④ 第9题 第10题 10．如图，AB＝AD，AC＝AE，，AH⊥BC于H，HA的延长线交DE于G，下列结论：①DG＝EG；②BC＝2AG；③AH＝AG；④，其中正确的结论为（ ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知一个等腰三角形的两边长分别为3和10，则该三角形的第三边的长为 ． 12．已知中，，，则中线的取值范围是 ． 13．某数学兴趣小组探究三角形的平移变化引出新的思考．现将两个全等的和重叠在一起，固定不变，将沿射线平移．若的周长为8，平移的距离为2，则四边形的周长 ． 第13题 第14题 14．如图，已知，要使，还需添加一个条件，这个条件可以是 ．（写出一个即可） 15．如图，在中，分别以A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于D，E两点；分别以A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于F，G两点；且分别与相交于M，N两点，连接、，若，则 ． 第15题 第16题 16．如图，在中，是边上的高，过点A作，并且使，F是上一点，连接，使，交于G，H两点，若，则 三、解答题（共9小题，共72分） 17．（本题6分）无刻度直尺作图（不写作法，保留作图痕迹）如图，在的正方形网格中，点A，B，C均为小正方形的顶点． (1)在图1中，作与全等（点与点不重合）； (2)在图2中，作的高； (3)在图3中，作的中线． 18．（本题6分）用一条细绳围成一个三角形， (1)若围成一个等腰三角形且有一个角为，求另两个角的度数； (2)若围成一个等腰三角形且周长为，腰长比底边长大，求腰长和底边长； (3)若围成的三角形三边长均为整数，且分别为，，，求x和周长． 19．（本题8分）如图，在四边形中，，是上的一点，且，连接，，． 求证： (1)． (2)． 20．（本题8分）如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点M，D，边的垂直平分线分别交，于点，，，的延长线交于点O． (1)试判断点O是否在的垂直平分线上，并说明理由； (2)若，求的度数． 21．（本题8分）如图，与都是等边三角形，若与相交于点． (1)求的度数； (2)连接，求证：平分． 22．（本题8分）如图，在四边形中，平分，交的延长线于点M，于点N． (1)请说明的理由； (2)若，，，求的长． 23．（本题8分）操作实验： 如图，把等腰三角形沿顶角平分线对折并展开，发现被折痕分成的两个三角形成轴对称． 所以，所以． 归纳结论：如果一个三角形有两条边相等，那么这两条边所对的角也相等． 根据上述内容，回答下列问题： 思考验证： （1）如图（4），在中，．试说明的理由； 探究应用：如图（5），，垂足为B，，垂足为A，E为的中点，，． （2）与是否相等，为什么？ （3）小明认为是线段的垂直平分线，你认为对吗？说说你的理由； （4）探究与的数量关系，并说明理由． 24．（本题8分）如图，是等边三角形，E，F分别是边上的点，且且交于点P，且垂足为G． (1)求证：； (2)若求的长度． 25．（本题12分）如图，在中，，将沿着斜边翻折得到，点E、F分别是射线、射线上的点，且． (1)初步探索：如图1，点在线段上，试探究线段、、之间的数量关系． 小华同学探究此问题的思路是：延长至点，使得，连接，先证明，再证明，请你根据该思路探究、、之间的数量关系，并说明理由； (2)探索延伸：如图2，点在线段的延长线上，、、之间的数量关系是 ． (3)灵活运用：在中，若，，，，则的周长为 ． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第一章 三角形·能力提升 建议用时：90分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．已知三角形的周长是，则以下哪个长度不可能是该三角形的边长（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形任意两边之和大于第三边是解题的关键． 先计算出另外两边之和，再根据三角形任意两边之和大于第三边即可求解． 【详解】解：A．若三角形的一边长为4，则三角形另外两边之和为：，能构成三角形，故本选项不符合题意； B．若三角形的一边长为5，则三角形另外两边之和为：，能构成三角形，故本选项不符合题意； C．若三角形的一边长为6，则三角形另外两边之和为：，能构成三角形，故本选项不符合题意； D．若三角形的一边长为7，则三角形另外两边之和为：，不能构成三角形，故本选项符合题意． 故选：D． 2．如图，借助直角三角板作的边上的高，下列直角三角板的位置摆放正确（    ） A．B． C． D． 【答案】A 【知识点】画三角形的高 【分析】本题考查了三角形的高，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键． 根据高线的定义即可得出答案． 【详解】解：从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高， 借助直角三角板作的边上的高，直角三角板的位置摆放正确的是， 故选：A． 3．已知：如图，点E、A、D、B在同一直线上，交于点O，，增加下列条件不能推导出的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，等边对等角，根据题意可证明，，再结合全等三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 添加条件，则，即，则可利用证明，故A不符合题意； 添加条件，则可利用证明，故B不符合题意； 添加条件，不可以利用证明，故C符合题意； 添加条件，则可利用证明，故D不符合题意； 故选：C． 4．如图，，若，，则的长度为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质“对应边相等”是关键． 根据全等三角形的性质得到，由即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， 故选：D ． 5．在元旦联欢会上，3名小朋友分别站在三角形三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子游戏，谁先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放在三角形的（　　） A．三条角平分线的交点 B．三条中线的交点 C．三条高的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 【答案】D 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了三角形各特殊交点的性质，需找到到三个顶点距离相等的点以保证游戏公平．游戏公平要求凳子到三名小朋友（位于三角形顶点）的距离相等．根据垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．因此，三角形三边垂直平分线的交点（外心）到三个顶点的距离相等；而角平分线交点（内心）到三边距离相等，中线交点（重心）到顶点距离与到对边中点距离成比例，高的交点（垂心）位置不固定，均不满足到顶点等距． 【详解】解：A选项：根据 角平分线上的点到角两边的距离相等，可知：三角形三条角平分线的交点到三角形三边的距离相等，到三角形三个顶点的距离不一定相等，故A选项不符合题意； B选项：三角形三条中线的交点到三角形三边的距离不一定相等，故B选项不符合题意； C选项：三角形三条高的交点的位置与三角形的形状有关，到三角形三个顶点的距离不一定相等，故C选项不符合题意； D选项：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可知：三角形三条边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，为使游戏公平，凳子应放在三角形的三条边的垂直平分线的交点 上，故D选项符合题意． 故选：D． 6．如图，在中，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线交于点D，连接，若，，则的周长为（   ） A．17 B．16 C．18 D．20 【答案】D 【知识点】线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图) 【分析】本题考查作图，线段垂直平分线、线段垂直平分线的性质．由题意可得垂直且平分，根据垂直平分线的性质可得，从而可得，求解即可． 【详解】解：由作图痕迹可得，垂直且平分， ， ， 故选：D． 7．如图，在四边形中，是它的对角线，，若平分，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理等知识，熟练掌握角平分线的性质定理是关键．过点作，垂足分别为，证明，即可得到答案． 【详解】解：过点作，垂足分别为， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B 8．如图，已知的面积为12，平分，且于点，则的面积是（  ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】C 【知识点】根据三角形中线求面积、三线合一 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形的面积，主要利用了等底等高的三角形的面积相等，作辅助线构造出等腰三角形是解题的关键．延长交于，根据已知条件证得，根据全等三角形的性质得到，得出，，推出． 【详解】解：延长交于， 平分， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 故选：． 9．如图，和都是等边三角形且点，，在一条直线上，，相交于点，与相交于点，与相交于点，连接，则①；②；③；④平分．正确的是（   ） A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④ 【答案】C 【知识点】全等三角形综合问题、角平分线的判定定理、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了等边三角形判定和的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 根据全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质，结合角平分线依次判断即可． 【详解】解：和都是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ，故①正确； ． 又， ，故②正确； ∵和都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ， ，故③正确； 过点分别作，于点，两点， 如图所示： ，， ， 在和中， ， ， ， 又在的内部， 平分， 故④错误； 故选：C． 10．如图，AB＝AD，AC＝AE，，AH⊥BC于H，HA的延长线交DE于G，下列结论：①DG＝EG；②BC＝2AG；③AH＝AG；④，其中正确的结论为（ ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【知识点】全等三角形的性质 【分析】①如图，过点分别作的垂线交及的延长线于点，证明，，即可得结论；②延长至，使，连接证明，取的中点，连接并延长至，使得，可得，证明，，则可得，即，；③由①可知，故不一定等于；④，由②可知，，则，由可得即可得 【详解】解：①如图，过点分别作的垂线交及的延长线于点， AB＝AD，AC＝AE，，AH⊥BC 同理可得 又 故①正确 ②如图，延长至，使，连接 ， 如图，取的中点，连接并延长至，使得， 是的中点， ， ， 又 ③如图，由①可知，故不一定等于 故③不正确 ④如图，由②可知， 故④正确 综上所述，故正确的有①②④ 故选B 【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知一个等腰三角形的两边长分别为3和10，则该三角形的第三边的长为 ． 【答案】10 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，分两种情况：当等腰三角形的腰长为3，底边长为10时；当等腰三角形的腰长为10，底边长为3时；然后分别进行计算即可解答．分两种情况讨论是解题的关键． 【详解】解：分两种情况： 当等腰三角形的腰长为3，底边长为10时， ， 不能组成三角形； 当等腰三角形的腰长为10，底边长为3时， ， 能组成三角形； 综上所述：第三边长是10， 故答案为：10． 12．已知中，，，则中线的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】三角形三边关系的应用、平行四边形性质和判定的应用 【分析】延长至点，使，可证得四边形为平行四边形，根据三角形三边关系即可得到的取值范围． 【详解】如图所示，延长至点，使．    根据题意可知， ∴四边形为平行四边形． ∴． ∴，即． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定及性质、三角形的三边关系，根据题意构建辅助线是解题的关键． 13．某数学兴趣小组探究三角形的平移变化引出新的思考．现将两个全等的和重叠在一起，固定不变，将沿射线平移．若的周长为8，平移的距离为2，则四边形的周长 ． 【答案】12 【知识点】全等三角形的性质、利用平移的性质求解 【分析】本题考查平移性质，根据平移性质得到，进而可求解． 【详解】解：∵沿方向平移的距离为2， ∴，， ∵的周长为8，即， ∴ ∴四边形的周长为， 故答案为：12． 14．如图，已知，要使，还需添加一个条件，这个条件可以是 ．（写出一个即可） 【答案】（或或） 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴即 又∵ 当时， 当时， 当时， 故答案为：或或． 15．如图，在中，分别以A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于D，E两点；分别以A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于F，G两点；且分别与相交于M，N两点，连接、，若，则 ． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图)、等边对等角 【分析】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握尺规作图和等腰三角形的性质是解题关键．先得出垂直平分，垂直平分，则，再根据等腰三角形的性质可得，，然后根据三角形的内角和定理可得，根据三角形的内角和定理求解即可得． 【详解】解：由题意得：垂直平分，垂直平分， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16．如图，在中，是边上的高，过点A作，并且使，F是上一点，连接，使，交于G，H两点，若，则 【答案】 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、三线合一 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．延长至点M，使，证明，推出，，由等腰三角形三线合一的性质，可得，结合，推出，可得． 【详解】解：如图，延长至点M，使， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 是边上的高， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 三、解答题（共9小题，共72分） 17．（本题6分）无刻度直尺作图（不写作法，保留作图痕迹）如图，在的正方形网格中，点A，B，C均为小正方形的顶点． (1)在图1中，作与全等（点与点不重合）； (2)在图2中，作的高； (3)在图3中，作的中线． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【知识点】画三角形的高、全等三角形综合问题、网格问题 【分析】（1）利用三角形全等的判定（边边边），如图1，点即为所求； （2）取格点，连接交于点，则即为所求； （3）利用网格的特点，如图3，取格点，连接交于点，点即为的中点，连接交于点，连接并延长交于点，则即为所求． 【详解】（1）解：如图1所示，为所求． ， ∴． （2）解：如图2所示，为所求的的边上的高． ， ∴． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为所求的的边上的高． （3）解：如图3所示，为所求． 18．（本题6分）用一条细绳围成一个三角形， (1)若围成一个等腰三角形且有一个角为，求另两个角的度数； (2)若围成一个等腰三角形且周长为，腰长比底边长大，求腰长和底边长； (3)若围成的三角形三边长均为整数，且分别为，，，求x和周长． 【答案】(1)，或，； (2)腰长为，底边长为； (3)，周长为． 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、求不等式组的解集、三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】此题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形三边关系、一元一次方程的应用等知识． （1）根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质进行求解即可； （2）设底边长为时，则腰长为，根据周长列方程解答即可； （3）根据三角形三边关系列不等式组，解不等式组求出整数解，再根据三角形三边关系进行求解即可． 【详解】（1）解：当顶角为时，则底角为，即另两个角的度数分别为，； 当底角为时，则顶角为，即另两个角的度数分别为，； （2）解：设底边长为时，则腰长为， 则， 解得，， ∴， 即底边长为，腰长为； （3）解：由题意可得， ， 解得， ∴或； 当时，三边长，不能构成三角形， 当时，三边长，能构成三角形， 周长为， 即，周长为． 19．（本题8分）如图，在四边形中，，是上的一点，且，连接，，． 求证： (1)． (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】垂线的定义理解、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定定理． （1）根据证明直角三角形全等的“”定理，证明即可． （2）根据全等三角形的性质得，然后求出即可． 【详解】（1）解：， 和均为直角三角形． 在和中， ， ． （2）， ∴， ， ， ， ， ∴． 20．（本题8分）如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点M，D，边的垂直平分线分别交，于点，，，的延长线交于点O． (1)试判断点O是否在的垂直平分线上，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)点O在BC的垂直平分线上，理由见解析. (2) 【知识点】线段垂直平分线的性质、线段垂直平分线的判定、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查了轴对称的性质，垂直平分线的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （1）连接，，，根据垂直平分线的性质可得出，，则，从而即可求解； （2）由四边形内角和可得的度数，根据题意得即可求解；. 【详解】（1）解：点在的垂直平分线上，理由如下： 如图所示，连接，，， ∵，分别是，的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴点在的垂直平分线上； （2）解：∵，分别垂直平分，， ∴，均为轴对称图形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 21．（本题8分）如图，与都是等边三角形，若与相交于点． (1)求的度数； (2)连接，求证：平分． 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、角平分线的判定定理、等边三角形的性质 【分析】（1）根据与都是等边三角形，证明，进而可求的度数； （2）连接，作，于点，，根据，可得，根据全等三角形的面积相等，底相等，可得高相等，再根据角平分线的判定即可得结论． 【详解】（1）解：与都是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ， ， ； （2）证明：连接，作，于点，，如图所示： ， ，， ， ， 平分． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、三角形面积公式及角平分线的判定，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质． 22．（本题8分）如图，在四边形中，平分，交的延长线于点M，于点N． (1)请说明的理由； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，熟练运用全等三角形的判定是解题的关键． （1）根据角平分线的性质可得，利用“”可得结论； （2）根据全等三角形的判定得出，得出，结合图形及线段间的数量关系即可求解 【详解】（1）证明：∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， 由（1）得， ∵， ∴， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴． 23．（本题8分）操作实验： 如图，把等腰三角形沿顶角平分线对折并展开，发现被折痕分成的两个三角形成轴对称． 所以，所以． 归纳结论：如果一个三角形有两条边相等，那么这两条边所对的角也相等． 根据上述内容，回答下列问题： 思考验证： （1）如图（4），在中，．试说明的理由； 探究应用：如图（5），，垂足为B，，垂足为A，E为的中点，，． （2）与是否相等，为什么？ （3）小明认为是线段的垂直平分线，你认为对吗？说说你的理由； （4）探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）理由见解析；（2）相等，理由见解析；（3）对，理由见解析；（4），理由见解析． 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、线段垂直平分线的判定 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）过A点作于D，证明即可求解； （2）先证明，再根据证明即可求解； （3）可证点A，C在线段的垂直平分线上，进而可说明垂直并且平分线段； （4）由得，等量代换得，从而可证． 【详解】解：（1）如图，过A点作于D， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴． ∴． （3）∵E是中点， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∴C在线段的垂直平分线上． ∵， ∴A在线段的垂直平分线上． ∴是线段． （4），理由如下， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 24．（本题8分）如图，是等边三角形，E，F分别是边上的点，且且交于点P，且垂足为G． (1)求证：； (2)若求的长度． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含角的直角三角形等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由等边三角形的性质得到，再证明，即可得出结论； （2）求出，得到，即可求解． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， 在与中， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴在中， ， ∵， ∴． 25．（本题12分）如图，在中，，将沿着斜边翻折得到，点E、F分别是射线、射线上的点，且． (1)初步探索：如图1，点在线段上，试探究线段、、之间的数量关系． 小华同学探究此问题的思路是：延长至点，使得，连接，先证明，再证明，请你根据该思路探究、、之间的数量关系，并说明理由； (2)探索延伸：如图2，点在线段的延长线上，、、之间的数量关系是 ． (3)灵活运用：在中，若，，，，则的周长为 ． 【答案】(1)，见解析 (2) (3)16或 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定与性质，折叠的性质，三角形的周长，解决本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质. （1）延长至点， 使得， 连接，证明，得出， ， 证明， 得出； （2）在上截取， 连接， 证明，得出， ， 证明， 得出； （3）分两种情况，由（1）（2）的结论可得出答案． 【详解】（1）解： 理由：延长至点，使得，连接， ∵将沿着斜边翻折得到， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：在上截取，连接， ∵将沿着斜边翻折得到， ， ∴， ∴， ∴， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴； 故答案为： ； （3）当点在线段上时， 如图， 的周长为： ； 当点在线段的延长线上时，如图， 的周长为：， 故答案为：或 ． 学科网（北京）股份有限公司2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$