专题01 三角形（专项训练）数学苏科版2024八年级上册

专题01 三角形（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、三角形的三边关系 1 题型二、三角形的边角关系 3 题型三、三角形的中线 11 题型四、三角形的高 15 题型五、三角形的角平分线 18 题型六、全等三角形的性质 21 题型七、全等三角形的判定方法 23 题型八、全等三角形性质与判定综合 26 题型九、等腰三角形的性质与判定 33 题型十、含30度角的直角三角形 39 B 综合攻坚·能力提升 题型一、三角形的三边关系 1．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）下面每组中的三条线段，能围成三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题考查了三角形三边关系，根据三角形三边关系定理，任意两边之和必须大于第三边，对各选项逐一验证即可． 【详解】解：A、最大边为9，，不满足两边之和大于第三边，不能构成三角形； B、最大边为7，，满足两边之和大于第三边，能构成三角形； C、最大边为9，，不满足两边之和大于第三边，不能构成三角形； D、最大边为10，，不满足两边之和大于第三边，不能构成三角形； 故选：B 2．（24-25八年级下·四川达州·期中）在下列长度的三条线段中，首尾连接能组成三角形的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟知：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；是解本题的关键． 根据三角形的三边关系进行判断即可． 【详解】解：A、，不能构成三角形，不符合题意； B、，不能构成三角形，不符合题意； C、，不能构成三角形，不符合题意； D、，可以构成三角形，符合题意； 故选：D． 3．（2025·江苏连云港·中考真题）下列长度（单位：）的3根小木棒能搭成三角形的是（   ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，5，8 D．4，5，10 【答案】B 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题考查的是三角形的三边关系的应用，根据三角形三边关系定理，任意两边之和必须大于第三边．只需验证每组数中较小的两数之和是否大于最大数即可． 【详解】A． 1、2、3：，不满足两边之和大于第三边，不符合题意； B． 2、3、4：，满足条件，能构成三角形，符合题意； C． 3、5、8：，不满足两边之和大于第三边，不符合题意； D． 4、5、10：，不满足条件，不符合题意； 故选：B． 4．（2025·海南海口·二模）若某三角形的三边长分别为3，5，m，则m的值可以是（     ） A．2 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解答的关键．根据三角形的三边关系求解即可． 【详解】解：根据三角形三边关系可得：， 即， 符合要求的值为7， 故选：B． 5．（2025·贵州贵阳·二模）坡屋顶，又叫斜屋顶，在建筑中应用较广，主要有单坡式、双坡式、四坡式和折腰式等．如图是一座双坡式房屋的剖面图，其中段与段长度相等，经测量，段的长为，则段的长可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】此题考查了三角形三边关系，根据三角形两边之和大于第三边得到，进而求解即可． 【详解】解：根据题意得， ∵ ∴ ∴ ∴段的长可能为． 故选：D． 题型二、三角形的边角关系 6．（24-25八年级下·上海长宁·期末）如图，已知：与相交于点，求证：．把以下证明过程补充完整． 证明：在中， ， ______________________（___________） （___________）， _____________________， ， ______________________， （___________） 【答案】；在三角形中，大边对大角；对顶角相等；；；在三角形中，大角对大边 【知识点】不等式的性质、大（小）边对大（小）角定理 【分析】本题考查三角形中大边对大角，大角对大边，不等式的性质，根据三角形中大边对大角，大角对大边，不等式的性质解答即可． 【详解】证明：在中， （在三角形中，大边对大角） （对顶角相等） （在三角形中，大角对大边） 7．（24-25八年级上·河南濮阳·期末）综合实践课中，李老师带领同学们探究了这样的问题： 【课本回顾】 学习等腰三角形时，学习了定理：在一个三角形中，等边对等角．反之，等角对等边． 【问题探究】 （1）在一个三角形中，如果边不等，那么所对的角有什么关系呢？同学们猜测：大边对大角． 如图1，中，，求证：．    经同学们的讨论，李欣同学提出可以利用对称思想解决． 由此，以下三位同学给出了自己的解决方法： 李欣 张晶 王皓 思路与辅助线 分析：作的平分线，交于D，在上截取，连接． 分析：作的平分线，交于D，在的延长线上截取，连接． 分析：作于D，在上截取，连接． 图形          请你用上述同学的思路方法，完整写出其中一个证明． 证明： 【知识应用】 （2）如果一个三角形最大边所对的角是锐角，那么这个三角形是（    ） A．锐角三角形        B．钝角三角形        C．直角三角形        D．不能确定 （3）在中，已知：，用“”连接、、应为 ； 【问题拓展】 （4）如果把“在一个三角形中，如果边大，那么边所对的角大”作定理． ①写出这个定理的逆定理： ； ②证明这个逆定理（要求：画出图形，依照图形写出完整证明过程）． 【答案】（1）见解析；（2）A；（3）；（4）①在一个三角形中，如果角大，那么这个角所对的边长；②见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、线段垂直平分线的性质、等边对等角、根据等角对等边证明边相等 【分析】（1）选择李欣的思路：作的平分线，交于D，在上截取，连接，首先由角平分线的概念得到，然后证明出，得到，然后根据三角形外角的性质求解即可； 选择张晶的思路：作的平分线，交于D，在的延长线上截取，连接，首先由角平分线的概念得到，然后证明出，得到，然后根据三角形外角的性质求解即可； 选择王皓的思路：作于D，在上截取，连接，首先根据垂直平分线的性质得到，然后利用等边对等角得到，然后利用三角形外角的性质求解即可； （2）根据题意得到这个三角形所有的角都是锐角，进而求解即可； （3）根据大边对大角求解即可； （4）①根据逆定理的概念求解即可； ②在内部，以C为顶点，以为一边作，另一边与交于点D，首先由等角对等边得到，然后等量代换得到，然后根据三角形三边关系得到，进而得到． 【详解】（1）选择李欣的思路 证明：作的平分线，交于D，在上截取，连接． ∵平分 ∴ 在和中， ∴ ∴ ∵是的外角 ∴ ∴； 选择张晶的思路： 证明：作的平分线，交于D，在的延长线上截取，连接， ∵平分 ∴ ∵， ∴ ∴ ∵是的外角 ∴ ∴； 选择王皓的思路： 证明：作于D，在上截取，连接 ∵， ∴ ∴ ∵是的外角 ∴ ∴； （2）∵如果一个三角形最大边所对的角是锐角， ∴这个三角形所有的角都是锐角， ∴这个三角形是锐角三角形 故选：A； （3）∵在中，， ∴； （4）①这个定理的逆定理：在一个三角形中，如果角大，那么这个角所对的边长； ②已知：如图，在中，， 求证： 证明：如图，在内部，以C为顶点，以为一边作，另一边与交于点D    ∵ ∴ ∵ ∴ 在中， ∴． 【点睛】此题考查了等边对等角，等角对等边，全等三角形的性质和判定，三角形三边关系等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 8．（2025·江苏南京·三模）证明“大角对大边”．已知：如图，在中，．求证：． 【答案】见解析． 【知识点】三角形三边关系的应用、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的三边关系，掌握相关知识点是解题关键．作的垂直平分线，连接，则，进而得到，从而推出点D落在边上，再利用三角形的三边关系求解即可． 【详解】证明：如图，作的垂直平分线，连接， ， ． ． ． 点D落在边上． 在中，． ． ． 9．（24-25八年级上·北京·期中）《几何原本》在其第一卷中记载了这样一个命题：“在任意三角形中，大边对大角．” (1)请补全上述命题的证明． 已知：如图，在中，． 求证： 证明：如图，过点作边的垂线，垂足为，以为圆心，长为半径在线段边上截取，连接．（用无刻度的直尺和圆规补全图形，保留作图痕迹） ∵， ∴垂直平分， ∴，（__________________）（填推理的依据） ∴， ∵是的外角， ∴，（__________________）（填推理的依据） ∴， ∴． (2)请再设计一种证明的方法，画出图形（不要求尺规作图），并简要说明理由． 【答案】(1)线段垂直平分线上的点线段两端的距离相等；；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和 (2)见解析 【知识点】三角形的外角的定义及性质、线段垂直平分线的性质、根据等边对等角证明 【分析】本题考查作图应用与设计，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据文字题目的要求写出已知，求证，利用等腰三角形的性质以及三角形的我觉得性质解决问题即可； （2）以为圆心，长为半径作弧，交的延长线于点，连接．再利用等腰三角形的性质及外角的性质证明即可． 【详解】（1）证明：如图，过点作边的垂线，垂足为，以为圆心，长为半径在线段边上截取，连接．（用无刻度的直尺和圆规补全图形，保留作图痕迹） ∵， ∴垂直平分， ∴，（线段垂直平分线上的点线段两端的距离相等）（填推理的依据） ∴， ∵是的外角， ∴，（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和）（填推理的依据） ∴， ∴． 故答案为：线段垂直平分线上的点线段两端的距离相等；；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和; （2）证明：如图，由于，以为圆心，长为半径作弧，交的延长线于点，连接． ， ， 是的外角， ．， ， ． 10．（24-25八年级上·江苏·期中）【问题回顾】我们知道：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）．其证明方法：如图1，在中，，作顶角的平分线，交边于点，利用“”可以证明，可得．其本质是利用了图形的轴对称性． 【类比探究】某数学兴趣小组在三角形“等角对等边”定理的基础上，提出猜想：在三角形中，大的内角所对的边也大，即“大角对大边”．转化成数学符号语言为： （1）已知：在中，． 求证：． 数学兴趣小组学生发现，该命题也可利用轴对称证明．作的垂直平分线，交于点，交于点，连接（如图2），请你帮助数学兴趣小组完成证明． 【知识应用】 请利用在三角形中，大的内角所对的边也大，即“大角对大边”这一结论完成下列问题： （2）已知，中，，，且，则边的取值范围为______； （3）已知，如图3，在中，平分，点为边上任意一点（不与点，点重合），连接交于点． 求证：． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，线段垂直平分线的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由三角形三边关系可得出结论； （2）由三角形三边关系可得出，证出，则可得出结论； （3）在上截取，连接，证明，得出，，证出，则可得出结论． 【详解】（1）证明：是的垂直平分线， ， 在中，， ， ； （2）解：，， ， ， ， ， ， 故答案为：； （3）证明：在上截取，连接， 平分，， 又， ， ，， ， ， ， ， ． 题型三、三角形的中线 11．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）中，是边的中线，且的长度为奇数，，则等于（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】B 【知识点】求不等式组的解集、确定第三边的取值范围、根据三角形中线求长度、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】延长至点，使得，连接，证明，再根据三角形的三边关系即可求解． 【详解】解：延长至点，使得，连接， ∵是边的中线， ∴， ∵， ∴, ∴， 在中，由 得：， ∴, ∵的长度为奇数， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的中线，三角形的三边关系，解一元一次不等式组，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 12．（22-23八年级上·山东泰安·期末）等腰三角形一腰上的中线把三角形周长分为 和 两部分,则此三角形的底边长为 (    ) A． B． C．或 D．无法确定 【答案】C 【知识点】构成三角形的条件、根据三角形中线求长度、等腰三角形的定义 【分析】根据题意作出图形，设，然后分两种情况列出方程组求解，再根据三角形的三边关系判断即可求解． 【详解】解：如图所示， 根据等腰三角形的定义和三角形中线的性质得：． 可设， ∴． 由题意得： 或， 解得：或． 当时，即此时等腰三角形的三边为，，， ，符合三角形的三边关系， 此情况成立； 当时，即此时等腰三角形的三边为，，， ，符合三角形的三边关系， 此情况成立． 综上可知这个等腰三角形的底边长是或． 故选：C． 【点睛】本题考查三角形三边关系，等腰三角形的定义，三角形中线的性质．利用分类讨论的思想是解题关键． 13．（24-25八年级上·甘肃陇南·期末）如图，在中，分别是边上的高和中线．若，则的面积是      【答案】 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求面积 【分析】本题主要考查了三角形中线和高的定义．根据三角形中线的定义得到，再根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵是的高，且， ∴， 故答案为：10． 14．（21-22八年级上·四川甘孜·期末）如图，是中边上的中线，，分别是，的中点．若的面积为6，则的面积为 ． 【答案】48 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】由于F是的中点，，那么和可看作等底同高的两个三角形，根据三角形的面积公式，得出和的面积相等，进而得出的面积等于的面积的2倍，同理由于E是的中点，得出的面等于面积2倍，由于是边上的中线，得出的面积等于面积的2倍，代入求解即可． 【详解】∵F是的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， 同理， 故答案为：48． 【点睛】本题考查了三角形的面积公式，掌握三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分是解题的关键． 15．（21-22八年级上·陕西西安·期中）如图，在中，是边上一点，且，点是边的中点，连接、，若，则 . 【答案】6 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】先根据三角形中线平分三角形面积得到，再推出，即可利用同高三角形面积之比等于底边之比得到答案． 【详解】解；∵点是边的中点，， ∴， ∵是边上一点，且， ∴， ∴， 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了三角形中线的性质，三角形面积，熟知三角形中线平分三角形面积是解题的关键． 题型四、三角形的高 16．（24-25八年级下·广东深圳·期中）下列能表示的边上的高的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】画三角形的高 【分析】本题考查了画三角形的高，熟练掌握高的定义是解题的关键． 从所对的顶点A向或的延长线作垂线段即可． 【详解】解：A．不是任何边上的高，故不符合题意； B．是的边上的高，故符合题意； C．是的边上的高，故不符合题意； D．不是任何边上的高，故不符合题意； 故选B． 17．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在中，边上的高是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】画三角形的高 【分析】本题主要考查了三角形的高，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．根据三角形的高的定义判断即可． 【详解】解：，交的延长线于， 为中边上的高． 故选：D． 18．（24-25八年级上·河南省直辖县级单位·期中）如图，在锐角三角形中，的面积， 平分交于点，若、分别是、上的动点，则的最小值为 【答案】 【知识点】垂线段最短、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查三角形中的最短路径，垂线段最短，三角形高的定义，过点作于点，解题的关键是理解的长度即为最小值． 【详解】解：过点作于点，交于点，过点作于， 平分，于点，于， ， 当点与重合，点与 重合时，的最小值． 三角形的面积为，， ， ． 即的最小值为． 故答案为：． 19．（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在中，，，边上的高，点为上一点，且，．则的值为 ． 【答案】 【知识点】与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查了三角形的高，三角形的面积，连接，利用即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 20．（24-25八年级上·河北沧州·阶段练习）如图，中，为的高线，，，． (1)画出中边上的高线． (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】画三角形的高、与三角形的高有关的计算问题 【分析】此题考查了三角形高的定义，三角形面积公式，根据三角形的高求三角形面积是解决本题关键． （1）根据三角形高的定义，过点C作交延长线于点E即可； （2）根据三角形面积公式得到的面积，然后代数求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：∵为的高线，，，， ∴的面积， ∴， ∴． 题型五、三角形的角平分线 21．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，在中，是高，是角平分线，是中线．则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求长度、根据三角形中线求面积、三角形角平分线的定义 【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的概念判断． 本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，掌握它们的概念是解题的关键． 【详解】∵是的中线， ∴，A说法正确，不符合题意； ∵是角平分线， ∴，B说法正确，不符合题意； ∵是高， ∴， ∴，C说法正确，不符合题意； ∵， ∴，D说法错误，符合题意． 故选：D． 22．（10-11八年级上·安徽铜陵·期中）如图所示，在中，，为的平分线，，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三角形角平分线的定义 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．利用角平分线的定义得，再结合，，得，可求得，再利用线段和差即可求解． 【详解】解：∵为的平分线， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 23．（22-23八年级下·宁夏石嘴山·期末）如图所示，是的角平分线，是的角平分线．若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形角平分线的定义 【分析】根据，是的角平分线，得出，根据是的角平分线，即可得出． 【详解】解：∵，是的角平分线， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角形的角平分线，解题的关键是掌握三角形的角平分线将三角形的内角平均分为两份． 24．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，在中，角平分线，相交于点，连接，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．平分 D． 【答案】C 【知识点】三角形角平分线的定义 【分析】根据三角形的三条角平分线相交于同一点可知平分，从而得解． 【详解】解：∵角平分线，相交于点， ∴平分． 故选：C． 【点睛】本题考查角平分线的性质，掌握三条角平分线相交于同一点是解题的关键． 25．（21-22八年级下·上海静安·期中）下列判断错误的是（    ） A．三角形的三条高的交点在三角形内 B．三角形的三条中线交于三角形内一点 C．直角三角形的三条高的交点在直角顶点 D．三角形的三条角平分线交于三角形内一点 【答案】A 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、重心的概念、三角形角平分线的定义 【分析】根据三角形的高线、角平分线、中线的定义对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解．A．三角形的三条高所在的直线交于一点，三条高的交点不一定在三角形内，说法错误，符合题意； B．三角形的三条中线交于三角形内一点，说法正确，不符合题意； C．直角三角形的三条高的交点在直角顶点，说法正确，不符合题意； D．三角形的三条角平分线交于一点，是三角形的内心，说法正确，不符合题意． 故选：A． 【点睛】此题考查了三角形的角平分线、中线和高，解题的关键是掌握各性质定义． 题型六、全等三角形的性质 26．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）如图，将沿所在直线向左平移得到，则下列说法错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用平移的性质求解、全等三角形的性质 【分析】本题考查的知识点是平移的性质、全等三角形的性质，解题关键是熟练掌握平移的性质． 由平移性质可得，，则可排除、选项；根据全等三角形性质可证，可排除选项． 【详解】解：根据平移性质可得：，， 、选项说法正确，不符合题意； ， ， 即， 选项说法正确，不符合题意； 如果，则可证， 但题中未给该条件，无法证明， 选项说法错误，符合题意． 故选：． 27．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，，，则∠C的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，由全等三角形的性质求得，即可求得结论． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 28．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，与相交于点，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质．根据全等三角形的性质可得． 【详解】解：由全等三角形的性质可得． 故选：A． 29．（24-25八年级下·陕西渭南·期中）如图，，连接，与交于点，，，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质、平行线的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键． （1）先根据全等三角形的性质可得，再根据角的和差可得，由此即可得； （2）先根据平行线的性质可得，，再根据全等三角形的性质可得，然后根据三角形的内角和定理可得，最后根据求解即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由（1）已得：， ∴． 30．（24-25八年级上·江西宜春·期末）如图，，点在上，，，求的度数． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质、等边对等角 【分析】本题考查三角形全等的性质，三角形内角和定理：根据三角形全等得到，，从而得到，结合三角形内角和定理求解即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型七、全等三角形的判定方法 31．（24-25八年级下·陕西榆林·期中）如图，在与中，于点E，于点D，，，则可判定的理由是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用HL证全等（HL） 【分析】本题考查全等三角形判定．根据题意利用判定即可得到本题答案． 【详解】证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴． 故选：C． 32．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在的两边上，分别取，再分别过点M、N作的垂线，交点为P，画射线，则平分的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用HL证全等（HL） 【分析】本题考查了全等三角形的应用以及基本作图，利用判定方法“”证明和全等，进而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是的平分线． 故选：D． 33．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，已知，，欲证，需补充的条件是（） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查三角形全等的判定定理，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 本题可根据三角形全等的判定定理，结合已知条件分析补充条件，逐项判断即可． 【详解】解:A．，结合，，是“”，不能判定全等，故本选项不符合题意； B．，结合，，是“”，不能判定全等，故本选项不符合题意； C．，则，即，结合，，用“”可判定，故本选项符合题意； D．，这是同一个角，无法补充有效条件判定全等，故本选项不符合题意； 故选：C． 34．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图所示，已知，若添加一个条件使，则可添加 ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理即可求解，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：添加， ∵，，， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 35．（24-25八年级下·福建三明·期中）如图，已知，在线段上，相交于点，且．求证：． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：．由，得到，即可证明． 【详解】证明： ， ， ， 又，， ． 题型八、全等三角形性质与判定综合 36．（2025·贵州毕节·三模）在中，，将沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【知识点】全等三角形综合问题 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，三角形外角的性质，A、B两个选项都可以利用证明全等，C选项中，先证明，再利用即可证明两个三角形全等，D选项中，根据现有条件不能证明两个三角形全等． 【详解】解：A、如图所示，∵， ∴，故A不符合题意； B、如图所示，∵， ∴，故B不符合题意； C、如图所示，∵，， ∴， 又∵， ∴，故C不符合题意； D、如图所示，同理可得，但是不是对应边，故不能证明两个三角形全等，故D符合题意； 故选：D． 37．（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，在中， ， ，点D为的中点，点P在线段上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为 厘米/秒时，能够在某一时刻使与全等． 【答案】4或6 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、全等三角形综合问题 【分析】首先求出的长，要使与全等，必须或，得出方程或，求出方程的解解答即可． 本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定的应用；熟练掌握全等三角形的判定和性质，根据题意得出方程是解决问题的关键． 【详解】解：设经过x秒后，使与全等， ∵， ，点D为的中点， ∴厘米， ∵， ∴， ∴要使与全等，必须或， 即或， 解得：或， 时，，故点Q的速度为：； 时，，故点Q的速度为：； 即点Q的运动速度是4或6， 故答案为：4或6． 38．（24-25八年级下·山东青岛·期中）已知：如图①，，，点C是上一点，且． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)如图②，若把沿直线向左移动，使的顶点C与B重合，与交于点F，此时与的位置关系怎样？请说明理由； (3)图②中，若，，求四边形的面积． 【答案】(1)，理由见解析； (2)，理由见解析； (3)9． 【知识点】全等三角形综合问题 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由全等三角形的性质可得，，求出，即可得解； （2）由全等三角形的性质可得，，求出，即可得解； （3）由题意可得，由全等三角形的性质可得，由此即可得解． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积为． 39．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在中，，将绕点逆时针旋转角得到，连接，设交于点，分别交，于点，．在图中不再添加其他任何线段的情况下，请你找出一对全等的三角形，并加以证明．（与全等除外） 【答案】或或，理由见解析． 【知识点】全等三角形综合问题、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，根据旋转的性质和全等三角形的判定与性质即可求解，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：由旋转性质，得，， ∴，， ∵， ∴，， 又∵，， ∴； ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴． 40．（24-25八年级下·四川成都·期中）（1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，，求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明和科技兴趣小组的同学制作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高，延长交于点．设的面积为，的面积为，请猜想，大小关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析  （2）；证明见解析  （3）；理由见解析 【知识点】全等三角形综合问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是根据不同图形条件，准确找到全等三角形的对应角和对应边，利用 AAS 等判定定理证明全等，进而推导边的关系和面积关系。 （1）根据垂直定义得，则，再根据得，由此得，进而可依据判定和全等； （2）根据三角形外角性质得，再根据得，进而可依据判定和全等得，，由此可得出，，的数量关系； （3）过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，则，进而得，再根据得，由此得，进而可依据判定和全等，则，同理可证明得，则，然后再根据三角形的面积公式即可得出，大小关系． 【详解】（1）证明：∵直线l，直线l， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：，，的数量关系是：，证明如下： ∵是的外角， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （3），大小关系是：，理由如下： 过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证明：， ∴， ∴， ∵，， ∴． 题型九、等腰三角形的性质与判定 41．（24-25八年级·广东佛山·期中）在中，，过点作，垂足为点，下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三线合一、等边对等角 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 根据等腰三角形的性质逐项判断即可． 【详解】解：在中，，， ，，， 故选项A.B.C正确，不符合题意； 不能证明， 故选项D不正确，符合题意； 故：D． 42．（24-25八年级·河南郑州·期中）如图，在中，，，的面积为18，的垂直平分线交于点，若为边的中点，是线段上一动点，则周长的最小值为（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的性质、三线合一、两点之间线段最短 【分析】此题考查了轴对称——最短路线问题，同时涉及等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．连接、，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，从而可得周长的最小值． 【详解】解：连接、 是等腰三角形，点是边的中点， ,， 的面积为18， ， 解得， 是线段的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点， ， 、、三点共线时，最小，且最小值为， 的周长最小值， 故选：C． 43．（24-25八年级·重庆大渡口·期末）在中，，点是边上一点，连接． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若点是的中点，点是边上一点，且，求证：； (3)如图3，若平分，点是上一动点，点是上一动点，连接，若的面积为10，，请直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)见详解 (3) 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、三角形的外角的定义及性质、角平分线的性质定理 【分析】（1）根据题意得，结合三角形的外角有即可； （2）延长至点H，使得，交于点G，有，可证明，得和，设，则、和，进一步证明得到，可证明，有即可； （3）过点C作于点M，CM交BD于点，过点作于点，则，根据角平分线的性质得，当点P位于点，的最小值为，结合三角形面积公式求得即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）证明：延长至点H，使得，交于点G，如图， ∵点是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 设， ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 则； （3）解：过点C作于点M，CM交BD于点，过点作于点，如图， 则， ∵平分， ∴， 当点P位于点，，此时，的最小值， ∵的面积为10，， ∴，解得． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形外角、全等三角形的判定和性质和角平分线的性质，解题的关键是熟悉中线倍长和全等三角形的性质． 44．（24-25八年级·陕西榆林·期中）如图，在中，，，是的平分线，交于点，是的中点，连接并延长，交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)请问是等腰三角形吗？并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)是等腰三角形，理由见解析 【知识点】线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，解决问题的关键是综合运用等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质． （1）依据，，可得，再根据是的平分线，即可得到，由，可得，依据是的中点，即可得到． （2）依据，，可得垂直平分，进而得出，依据，即可得到，再根据，可得，进而得到． 【详解】（1）证明：，， ， 又是的平分线， ， ， ， 又是的中点， ，即． （2）解：是等腰三角形，理由如下： ，， 垂直平分， ， ， 又， ， 又， ， ， ，即为等腰三角形． 45．（24-25八年级·河南平顶山·期中）如图，是等边三角形，E，F分别是边上的点，且且交于点P，且垂足为G． (1)求证：； (2)若求的长度． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含角的直角三角形等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由等边三角形的性质得到，再证明，即可得出结论； （2）求出，得到，即可求解． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， 在与中， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴在中， ， ∵， ∴． 题型十、含30度角的直角三角形 46．（2025·山东东营·中考真题）如图，在中，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【知识点】垂线段最短、含30度角的直角三角形、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质，含角的直角三角形，垂线段最短，解题的关键是正确作出辅助线． 作于点，根据垂线段最短可知，的最小值是线段的长度，根据解含角的直角三角形即可． 【详解】解：如图，作于点， ∵平分， 作点关于的对称点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：． 47．（24-25八年级·黑龙江绥化·期中）某校在一块如图所示的三角形空地ABC上种植草皮美化环境，已知，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮需要 元． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、列代数式 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，涉及到三角形的面积公式，含30度角的直角三角形的性质，关键在于作出边上的高，根据相关的性质推出高的长度，正确的计算出的面积．作边的高，设与的延长线交于点，则，由，即可求出，然后根据三角形的面积公式即可推出的面积为，最后根据每平方米的售价即可推出结果． 【详解】解：如图，作边的高，设与的延长线交于点， ， ， ，， ， ， ， 每平方米售价元， 购买这种草皮的价格：元． 故答案为：． 48．（24-25八年级·山东枣庄·阶段练习）如图，为的角平分线，于点E，于点F，连接于点E，交于点O． (1)求证：垂直平分； (2)若，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)6 【知识点】用HL证全等（HL）、含30度角的直角三角形、角平分线的性质定理、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）证明得，可证垂直平分； （2）根据线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质解答即可． 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，灵活运用全等三角形的判定是本题的关键． 【详解】（1）证明：∵为的角平分线，于点E，于点F， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴点A、D都在的垂直平分线上， ∴垂直平分． （2）解：∵，为角平分线，， ∴，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 49．（23-24八年级·广东揭阳·阶段练习）如图，在直角中，． (1)尺规作图：作的平分线，交于点，在上截取，连接（只保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【知识点】等腰三角形的性质和判定、作线段(尺规作图)、含30度角的直角三角形、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题考查作角平分线，作线段，涉及含的直角三角形的性质，等角对等边等，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据尺规作一个角的平分线，作线段的方法，进行作图即可； （2）求出，再由是的平分线，可得，继而得， ，即可解答． 【详解】（1）解：作图如图所示： （2）∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ， ∴， ∴． 50．（24-25八年级·河北邯郸·期中）定义：如果一个三角形中有两个内角满足，那么我们称这个三角形为“近直角三角形”． (1)在中，，则___________“近直角三角形”（填“是”或“不是”）； (2)如图①，若是“近直角三角形”，，，则___________； (3)如图②，在中，，在的延长线上是否存在点，使得是“近直角三角形”？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)是 (2) (3)存在，的长为3 【知识点】等边对等角、含30度角的直角三角形、三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题是三角形的综合题，主要考查了直角三角形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的判定和性质等知识，正确的理解“近直角三角形”是解题的关键． （1）先根据三角形的内角和定理可得，再根据“近直角三角形”即可作判断； （2）根据“近直角三角形”的定义列等式即可解答； （3）根据是“近直角三角形”，由新定义可得两种情况：或，即可求解． 【详解】（1）解： ，， ， ， 三角形是“近直角三角形”； 故答案为：是； （2）解：， 不可能是或， 当时，，，不成立； 当时，，，则， ； 故答案为：； （3）解：存在， 如图， ，，， ，，， 是“近直角三角形”， 或， ①当时，， ， ， ， ； ②当时，， ， ， ， ； 综上，． 1．如图，为了估计池塘两岸，之间的距离，明明在池塘一侧选取了一点，测得，，则池塘两岸之间的距离不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】本题主要考查了三角形三边的关系，熟知三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键．根据三角形三边的关系求出的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由三角形三边的关系可得， ∵，， ∴，即， ∴四个选项中，只有D选项中的符合题意， 故选：D． 2．如图，在中，，．若中线，且，则的面积为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了三角形中线的性质，根据三角形中线将三角形面积分成相等的两部分，根据已知求出，由是中线可得． 【详解】解：∵，． ， ∴， ∵是中线， ∴， ∴ 故选：C． 3．如图，借助直角三角板作的边上的高，下列直角三角板的位置摆放正确（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】画三角形的高 【分析】本题考查了三角形的高，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键． 根据高线的定义即可得出答案． 【详解】解：从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高， 借助直角三角板作的边上的高，直角三角板的位置摆放正确的是， 故选：A． 4．如图，在四边形中，，，，，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向点D匀速运动，若与在某一时刻全等，则点Q运动速度为（   ） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，设点P运动时间为t秒，点运动速度为，则，，根据，可得或，再根据全等三角形的性质，即可求解． 【详解】解：设点P运动时间为t秒，点运动速度为，则，， ∴， ∵， ∴或， 当时，，， ∴，解得：， ∴， 解得：； 当时，， ∴，解得：； 综上所述，点运动速度为或． 故选：A． 5．如图，在与中，于点E，于点D，，，则可判定的理由是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用HL证全等（HL） 【分析】本题考查全等三角形判定．根据题意利用判定即可得到本题答案． 【详解】证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴． 故选：C． 二、填空题 6．在三角形中，，，，，点是边上的一个动点，则线段最短为 ． 【答案】 【知识点】垂线段最短、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题主要考查了垂线段最短，三角形面积公式，掌握垂线段最短是解题的关键． 根据垂线段最短可得当时，线段最短，再由面积法求解即可． 【详解】解：如图，当时，线段最短， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 7．如图是高空秋千的示意图，小明从起始位置点A处绕着点O经过最低点B．最终荡到最高点C处，若，米，水平距离米，则点C与点B的高度差为 米． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质. 作于F，于G，根据可证，根据全等三角形的性质可得米，根据线段的和差关系和等量关系可求点C与点B的高度差． 【详解】解：作于F，于G， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴（）， ∴米， 则（米）． 故答案为：． 三、解答题 8．如图，在四边形中，，是上的一点，且，连接，，． 求证： (1)． (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、垂线的定义理解 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定定理． （1）根据证明直角三角形全等的“”定理，证明即可． （2）根据全等三角形的性质得，然后求出即可． 【详解】（1）解：， 和均为直角三角形． 在和中， ， ． （2）， ∴， ， ， ， ， ∴． 9．如图①，在中，，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当________时，的面积等于面积的一半； (2)如图②，在中，，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点Q的运动速度． 【答案】(1)或 (2)点Q的运动速度为或 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、根据三角形中线求面积、全等三角形的性质 【分析】本题考查三角形面积的求法，三角形中线的性质，全等三角形的性质，一元一次方程的应用．理解题意，利用分类讨论和数形结合的思想是解题关键． （1）根据题意可求出，分类讨论：①当点P在上时；②当点P在上时；③当点P在上时，分别列方程求解即可； （2）分类讨论：①当点P位于，点Q位于上时；②当点Q位于，点P位于上时，结合全等三角形的性质分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， ∴． 分类讨论：①当点P在上时，不存在； ②当点P在上时，此时，如图， ∴， ∴； ③当点P在上时，此时，如图， ∵的面积等于面积的一半， ∴， ∴， ∴． 综上可知当或时，的面积等于面积的一半； （2）解：∵， ∴只存在两种情况：①当点P位于，点Q位于上时；②当点Q位于，点P位于上时． 设点Q的运动速度为， ①当点P位于，点Q位于上时，此时，，如图， ∵， ∴，， ∴，， 解得：，， ∴此时点Q的运动速度为； ②当点Q位于，点P位于上时，此时，，如图， ∵， ∴，， ∴，， 解得：，， ∴此时点Q的运动速度为． 综上可知点Q的运动速度为或． 10．【发现问题】 （1）数学活动课上，马老师提出了如下问题：如图1，在中，，．是的中线，求的取值范围． 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：①延长到E，使得；②连接，通过三角形全等把、、转化在中；③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是________； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形 【问题解决】 （2）如图2，是的中线，是的中线，，下列四个选项中：直接写出所有正确选项的序号是________． ①；②；③；④ 【问题拓展】 （3）如图3，，，与互补，连接、，E是的中点，试说明：； （4）如图4，在（3）的条件下，若，延长交于点F，，，则的面积是________． 【答案】（1）；（2）②④；（3）见解析；（4） 【知识点】确定第三边的取值范围、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、根据平行线判定与性质证明、根据三角形中线求面积 【分析】（1）由“”可证，可得，由三角形的三边关系可求解； （2）由“”可证，可得，，由“”可证，可得，，即可求解； （3）由“”可证，可得，，由“”可证，可得，可得结论； （4）由全等三角形的性质可得，，，由三角形的面积公式可求解． 【详解】（1）解：如图1中，延长至点，使． 在和中， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图2，延长至，使，连接， 是中线， ， 又，， ， ，， ，， ， 为中线， ， ， ， 又， ， ，， ， ∴正确选项的序号是：②④； （3）证明：如图3，延长至，使，连接， 是的中点， ， 又，， ， ，， ， ， 与互补， ， ， 又，， ， ， ； （4），， ，，， ， ， ， ， ， ，， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，中点的性质，平行线的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 29 / 55 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 三角形（原卷版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、三角形的三边关系 1 题型二、三角形的边角关系 2 题型三、三角形的中线 4 题型四、三角形的高 5 题型五、三角形的角平分线 6 题型六、全等三角形的性质 7 题型七、全等三角形的判定方法 9 题型八、全等三角形性质与判定综合 10 题型九、等腰三角形的性质与判定 12 题型十、含30度角的直角三角形 14 B 综合攻坚・能力提升 题型一、三角形的三边关系 1．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）下面每组中的三条线段，能围成三角形的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·四川达州·期中）在下列长度的三条线段中，首尾连接能组成三角形的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．（2025·江苏连云港·中考真题）下列长度（单位：）的3根小木棒能搭成三角形的是（   ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，5，8 D．4，5，10 4．（2025·海南海口·二模）若某三角形的三边长分别为3，5，m，则m的值可以是（     ） A．2 B．7 C．8 D．9 5．（2025·贵州贵阳·二模）坡屋顶，又叫斜屋顶，在建筑中应用较广，主要有单坡式、双坡式、四坡式和折腰式等．如图是一座双坡式房屋的剖面图，其中段与段长度相等，经测量，段的长为，则段的长可能为（   ） A． B． C． D． 题型二、三角形的边角关系 6．（24-25八年级下·上海长宁·期末）如图，已知：与相交于点，求证：．把以下证明过程补充完整． 证明：在中， ， ______________________（___________） （___________）， _____________________， ， ______________________， （___________） 7．（24-25八年级上·河南濮阳·期末）综合实践课中，李老师带领同学们探究了这样的问题： 【课本回顾】 学习等腰三角形时，学习了定理：在一个三角形中，等边对等角．反之，等角对等边． 【问题探究】 （1）在一个三角形中，如果边不等，那么所对的角有什么关系呢？同学们猜测：大边对大角． 如图1，中，，求证：． 经同学们的讨论，李欣同学提出可以利用对称思想解决． 由此，以下三位同学给出了自己的解决方法： 李欣 张晶 王皓 思路与辅助线 分析：作的平分线，交于D，在上截取，连接． 分析：作的平分线，交于D，在的延长线上截取，连接． 分析：作于D，在上截取，连接． 图形 请你用上述同学的思路方法，完整写出其中一个证明． 证明： 【知识应用】 （2）如果一个三角形最大边所对的角是锐角，那么这个三角形是（    ） A．锐角三角形        B．钝角三角形        C．直角三角形        D．不能确定 （3）在中，已知：，用“”连接、、应为 ； 【问题拓展】 （4）如果把“在一个三角形中，如果边大，那么边所对的角大”作定理． ①写出这个定理的逆定理： ； ②证明这个逆定理（要求：画出图形，依照图形写出完整证明过程）． 8．（2025·江苏南京·三模）证明“大角对大边”．已知：如图，在中，．求证：． 9．（24-25八年级上·北京·期中）《几何原本》在其第一卷中记载了这样一个命题：“在任意三角形中，大边对大角．” (1)请补全上述命题的证明． 已知：如图，在中，． 求证： 证明：如图，过点作边的垂线，垂足为，以为圆心，长为半径在线段边上截取，连接．（用无刻度的直尺和圆规补全图形，保留作图痕迹） ∵， ∴垂直平分， ∴，（__________________）（填推理的依据） ∴， ∵是的外角， ∴，（__________________）（填推理的依据） ∴， ∴． (2)请再设计一种证明的方法，画出图形（不要求尺规作图），并简要说明理由． 10．（24-25八年级上·江苏·期中）【问题回顾】我们知道：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）．其证明方法：如图1，在中，，作顶角的平分线，交边于点，利用“”可以证明，可得．其本质是利用了图形的轴对称性． 【类比探究】某数学兴趣小组在三角形“等角对等边”定理的基础上，提出猜想：在三角形中，大的内角所对的边也大，即“大角对大边”．转化成数学符号语言为： （1）已知：在中，． 求证：． 数学兴趣小组学生发现，该命题也可利用轴对称证明．作的垂直平分线，交于点，交于点，连接（如图2），请你帮助数学兴趣小组完成证明． 【知识应用】 请利用在三角形中，大的内角所对的边也大，即“大角对大边”这一结论完成下列问题： （2）已知，中，，，且，则边的取值范围为______； （3）已知，如图3，在中，平分，点为边上任意一点（不与点，点重合），连接交于点． 求证：． 题型三、三角形的中线 11．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）中，是边的中线，且的长度为奇数，，则等于（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 12．（22-23八年级上·山东泰安·期末）等腰三角形一腰上的中线把三角形周长分为 和 两部分,则此三角形的底边长为 (    ) A． B． C．或 D．无法确定 13．（24-25八年级上·甘肃陇南·期末）如图，在中，分别是边上的高和中线．若，则的面积是 14．（21-22八年级上·四川甘孜·期末）如图，是中边上的中线，，分别是，的中点．若的面积为6，则的面积为 ． 15．（21-22八年级上·陕西西安·期中）如图，在中，是边上一点，且，点是边的中点，连接、，若，则 . 题型四、三角形的高 16．（24-25八年级下·广东深圳·期中）下列能表示的边上的高的是（   ） A．B．C． D． 17．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在中，边上的高是（    ） A． B． C． D． 18．（24-25八年级上·河南省直辖县级单位·期中）如图，在锐角三角形中，的面积， 平分交于点，若、分别是、上的动点，则的最小值为 19．（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在中，，，边上的高，点为上一点，且，．则的值为 ． 20．（24-25八年级上·河北沧州·阶段练习）如图，中，为的高线，，，． (1)画出中边上的高线． (2)求的长． 题型五、三角形的角平分线 21．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，在中，是高，是角平分线，是中线．则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 22．（10-11八年级上·安徽铜陵·期中）如图所示，在中，，为的平分线，，，，则等于（    ） A． B． C． D． 23．（22-23八年级下·宁夏石嘴山·期末）如图所示，是的角平分线，是的角平分线．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 24．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，在中，角平分线，相交于点，连接，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．平分 D． 25．（21-22八年级下·上海静安·期中）下列判断错误的是（    ） A．三角形的三条高的交点在三角形内 B．三角形的三条中线交于三角形内一点 C．直角三角形的三条高的交点在直角顶点 D．三角形的三条角平分线交于三角形内一点 题型六、全等三角形的性质 26．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）如图，将沿所在直线向左平移得到，则下列说法错误的是（　　） A． B． C． D． 27．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，，，则∠C的度数为（   ） A． B． C． D． 28．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，与相交于点，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 29．（24-25八年级下·陕西渭南·期中）如图，，连接，与交于点，，，． (1)求的度数； (2)求的度数． 30．（24-25八年级上·江西宜春·期末）如图，，点在上，，，求的度数． 题型七、全等三角形的判定方法 31．（24-25八年级下·陕西榆林·期中）如图，在与中，于点E，于点D，，，则可判定的理由是（   ） A． B． C． D． 32．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在的两边上，分别取，再分别过点M、N作的垂线，交点为P，画射线，则平分的依据是（   ） A． B． C． D． 33．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，已知，，欲证，需补充的条件是（） A． B． C． D． 34．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图所示，已知，若添加一个条件使，则可添加 ． 35．（24-25八年级下·福建三明·期中）如图，已知，在线段上，相交于点，且．求证：． 题型八、全等三角形性质与判定综合 36．（2025·贵州毕节·三模）在中，，将沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是（   ） A．B．C． D． 37．（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，在中， ， ，点D为的中点，点P在线段上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为 厘米/秒时，能够在某一时刻使与全等． 38．（24-25八年级·山东青岛·期中）已知：如图①，，，点C是上一点，且． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)如图②，若把沿直线向左移动，使的顶点C与B重合，与交于点F，此时与的位置关系怎样？请说明理由； (3)图②中，若，，求四边形的面积． 39．（2025八年级·全国·专题练习）如图，在中，，将绕点逆时针旋转角得到，连接，设交于点，分别交，于点，．在图中不再添加其他任何线段的情况下，请你找出一对全等的三角形，并加以证明．（与全等除外） 40．（24-25八年级·四川成都·期中）（1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，，求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明和科技兴趣小组的同学制作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高，延长交于点．设的面积为，的面积为，请猜想，大小关系，并说明理由． 题型九、等腰三角形的性质与判定 41．（24-25八年级·广东佛山·期中）在中，，过点作，垂足为点，下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 42．（24-25八年级·河南郑州·期中）如图，在中，，，的面积为18，的垂直平分线交于点，若为边的中点，是线段上一动点，则周长的最小值为（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 43．（24-25八年级·重庆大渡口）在中，，点是边上一点，连接． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若点是的中点，点是边上一点，且，求证：； (3)如图3，若平分，点是上一动点，点是上一动点，连接，若的面积为10，，请直接写出的最小值． 44．（24-25八年级下·陕西榆林·期中）如图，在中，，，是的平分线，交于点，是的中点，连接并延长，交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)请问是等腰三角形吗？并说明理由． 45．（24-25八年级·河南平顶山·期中）如图，是等边三角形，E，F分别是边上的点，且且交于点P，且垂足为G． (1)求证：； (2)若求的长度． 题型十、含30度角的直角三角形 46．（2025·山东东营·中考真题）如图，在中，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是 ． 47．（24-25八年级·黑龙江绥化·期中）某校在一块如图所示的三角形空地ABC上种植草皮美化环境，已知，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮需要 元． 48．（24-25八年级·山东枣庄·阶段练习）如图，为的角平分线，于点E，于点F，连接于点E，交于点O． (1)求证：垂直平分； (2)若，求的长度． 49．（23-24八年级·广东揭阳·阶段练习）如图，在直角中，． (1)尺规作图：作的平分线，交于点，在上截取，连接（只保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若，，求的长． 50．（24-25八年级·河北邯郸·期中）定义：如果一个三角形中有两个内角满足，那么我们称这个三角形为“近直角三角形”． (1)在中，，则___________“近直角三角形”（填“是”或“不是”）； (2)如图①，若是“近直角三角形”，，，则___________； (3)如图②，在中，，在的延长线上是否存在点，使得是“近直角三角形”？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 1．如图，为了估计池塘两岸，之间的距离，明明在池塘一侧选取了一点，测得，，则池塘两岸之间的距离不可能是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，．若中线，且，则的面积为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 3．如图，借助直角三角板作的边上的高，下列直角三角板的位置摆放正确（    ） A．B．C． D． 4．如图，在四边形中，，，，，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向点D匀速运动，若与在某一时刻全等，则点Q运动速度为（   ） A．或 B． C．或 D． 5．如图，在与中，于点E，于点D，，，则可判定的理由是（   ） A． B． C． D． 6．在三角形中，，，，，点是边上的一个动点，则线段最短为 ． 7．如图是高空秋千的示意图，小明从起始位置点A处绕着点O经过最低点B．最终荡到最高点C处，若，米，水平距离米，则点C与点B的高度差为 米． 8．如图，在四边形中，，是上的一点，且，连接，，． 求证： (1)． (2)． 9．如图①，在中，，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当________时，的面积等于面积的一半； (2)如图②，在中，，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点Q的运动速度． 10．【发现问题】 （1）数学活动课上，马老师提出了如下问题：如图1，在中，，．是的中线，求的取值范围． 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：①延长到E，使得；②连接，通过三角形全等把、、转化在中；③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是________； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形 【问题解决】 （2）如图2，是的中线，是的中线，，下列四个选项中：直接写出所有正确选项的序号是________． ①；②；③；④ 【问题拓展】 （3）如图3，，，与互补，连接、，E是的中点，试说明：； （4）如图4，在（3）的条件下，若，延长交于点F，，，则的面积是________． 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$