精品解析：福建省福州屏东中学2024-2025学年下学期八年级数学期末考试

2024-2025学年福州屏东中学第二学期八年级数学期末考试 一、单选题 1. 要使二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式，熟练掌握知识点是解决本题的关键． 根据二次根式有意义的条件得到，再解不等式即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：B． 2. 下列各组数据中能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. B. 1， C. 4，5，6 D. 1，1， 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，据此先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可． 【详解】解：A、∵， ∴不可以作为直角三角形的三边长，故此选项不符合题意； B、∵， ∴1，可以作为直角三角形的三边长，故此选项符合题意； C、∵， ∴4，5，6不可以作为直角三角形的三边长，故此选项不符合题意； D、∵， ∴1，1，不可以作为直角三角形的三边长，故此选项不符合题意； 故选：B． 3. 在中，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 故选：A． 4. 一次函数的图象与y轴的交点是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点问题．令，求出y值，即可得解． 【详解】解：令， ， 一次函数的图象与y轴的交点是， 故选：C． 5. 下列运算正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的二次根式的运算，掌握“二次根式运算法则”是解本题的关键． 根据同类二次根式的定义及合并同类二次根式的法则可判断A，根据算术平方根判断B，由二次根式的除法运算可判断C，由二次根式的乘法运算可判断D，从而可得答案． 【详解】解：A．，不是同类二次根式，不能合并，故A不符合题意； B．，故B不符合题意； C．，故C不符合题意； D．，计算正确，故D符合题意； 故选：D． 6. 抛物线中，与的部分对应值如表： x … 1 3 4 5 7 … y … 4 5 4 … 下列结论中，不正确的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 对称轴是直线 C. 当时，随的增大而减小 D. 顶点坐标为 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，根据当时和当时的函数值相同，可得对称轴是直线，进而根据表格数据可得顶点坐标为，再由对称轴处的函数值大于其他位置的函数值可知抛物线开口向下，则当时，随的增大而减小，据此可得答案． 【详解】解：∵当时和当时的函数值相同， ∴对称轴为直线， ∴顶点坐标为， ∵， ∴该抛物线有最大值，即抛物线开口向下， ∴当时，随的增大而减小， ∴四个选项中，只有A选项说法错误，符合题意； 故选A． 7. 如图，正方形的对角线相交于点，点是的中点，点在上，连接．若，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得点F是线段的中点，从而是中位线，则有，从而得，由相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， 即点F是线段的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的性质，三角形中位线定理，等腰三角形的判定，利用三角形中位线定理是解题的关键． 8. 已知，点均在二次函数的图象上，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与性质，求得抛物线对称轴为，再根据二次函数的性质解答即可求解． 【详解】解：在二次函数的图象上，对称轴为直线， ∴关于对称轴的对称点为 ∵， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵点均在二次函数的图象上，且， ∴． 故选：A 9. 甲、乙两车从地出发，匀速驶往地．乙车出发后，甲车才沿相同的路线开始行驶．甲车先到达地并停留分钟后，又以原速按原路线返回，直至与乙车相遇．图中的折线段表示从开始到相遇止，两车之间的距离与甲车行驶的时间的函数关系的图象，则（ ） A. 甲车速度是 B. A、两地的距离是 C. 乙车出发时甲车到达地 D. 甲车出发最终与乙车相遇 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查从函数图象中获得信息，相遇问题． 分析两车之间的距离与甲车行驶的时间的函数关系的图象，从图中找到关键信息点进行求解． 【详解】解：点中可知，乙1小时行驶了， ∴乙的速度， 点中可知，后，甲追上乙， ∴甲的速度为， 由点可知，甲到地，且甲乙相差，则： ， 点可知，休息分钟， ∴，； 点可知，甲乙再次相遇，； A．甲车的速度是，故A错误，不符合题意； B．由以上分析已知甲出发后到达B地，且甲速度为，所以A，B两地为，故B错误，不符合题意； C．甲车到达B地，乙车比甲车早出发，所以乙车出发时甲车到达地，故C正确，符合题意； D．从图中和可知，甲出发和与乙车相遇，故D错误，不符合题意． 故选：C． 10. 如图，矩形边，，E为与点D不重合的动点，以DE一边作矩形，且，设，点F、G与点C的距离分别为、，则的最小值是（ ） A. B. 2 C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，最短路线问题．连接、、、，证，得，则，故当点、、、在同一直线上时，最小，最小值为线段长，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，连接、、、， 在矩形和矩形中，，，， ，， ， ， ， ， 当点、、、在同一直线上时（此时点与点重合），最小，最小值为线段长， 在中，， 的最小值为． 故选：D． 二、填空题 11. 函数是正比例函数，那么a的值是______． 【答案】##0.5 【解析】 【详解】本题主要考查的是正比例函数的定义，根据正比例函数的定义可知，从而可求得的值． 【解答】解：是正比例函数， ． 解得：． 故答案为：． 12. 某厂今年一月份的总产量为500吨，三月份的总产量为720吨，平均每月增长率是，列方程___________． 【答案】 【解析】 【分析】设平均每月增长率是，根据增长后的量增长前的量（增长率），即可列出方程． 【详解】解：设平均每月增长率是， 一月份的总产量为500吨， 二月份的总产量为， 三月份的总产量为， 三月份的总产量为720吨， 可列方程为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意，找准等量关系，正确列出方程是解此题的关键． 13. 若一元二次方程的两根为m，n，则的值为__________. 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了利用根与系数的关系求代数式的值，先将一元二次方程化为一般形式，写出两根的和与积的值，再将所求式子进行变形；如，等，本题是常考题型，利用完全平方公式进行转化．先由根与系数的关系得：两根和与两根积，再将进行变形，化成和或积的形式，代入即可． 【详解】解：一元二次方程的两根为m，n， 由根与系数的关系得：，， ． 故答案为：5． 14. 如图，已知四边形是菱形，从①，②，③中选择一个作为条件后，使四边形成为正方形，则应该选择的是_____（仅填序号）． 【答案】③ 【解析】 【分析】根据菱形的性质和正方形的判定进行逐一判断即可．本题主要考查了菱形的性质，正方形的判定，熟知正方形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：依题意，由四边形是菱形加上条件不能证明四边形成为正方形； 由四边形是菱形加上条件不能证明四边形成为正方形； 当四边形是菱形加上条件，则证明过程如下： ∵四边形是菱形， ∴，， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴四边形是正方形； 故答案为：③． 15. 如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接．若，菱形的面积为54，则的长为 ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识点，根据菱形的性质求得是解题的关键．由菱形的性质可得，由菱形的面积得可得，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可解答． 【详解】解：∵是菱形，， ∴，，， 又∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 16. 已知二次函数，对于该二次函数图象上的两点，，设，当时，恒成立，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数的性质． 利用分类讨论的方法求解，根据二次函数的对称性和增减性可以求得m的取值范围． 【详解】解：∵二次函数， ∴该二次函数图象的对称轴是直线， ∵点、是该二次函数图象上的两点，且，， ∴点在对称轴的右侧，点关于对称轴的对称点为， ∵， ∴， 当时，该函数的图象开口向上，对称轴为直线，对称轴右侧y随x的增大而增大， ∵对于该二次函数图象上的两点、， ∴设，当时，恒成立， ∴且， 解得； 当时，该函数的图象开口向下，对称轴为直线， 对称轴右侧y随x的增大而减小， 无法保证，当时，恒成立， 故答案为：． 三、解答题 17. 计算： （1）； （2）解一元二次方程：． 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程配方法，二次根式的加减法、负整数指数幂、零指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键； （1）先把二次根式化成最简二次根式，对负整数指数幂、零指数幂进行计算，然后再进行计算即可解答； （2）利用解一元二次方程配方法，进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解： ， ， ． 18. 如图，在中，点分别在上，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，由平行四边形的性质得，，，即可证，即得，，进而得，即可求证，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键． 【详解】略 19. 《西江月》中描述：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地．翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺），此时踏板升高，离地五尺（尺），求秋千绳索的长度． 【答案】14.5尺 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，设尺，则尺，在中，利用勾股定理列方程求得x值即可． 【详解】解：设尺， 尺，尺， （尺），则尺． 在中，尺，尺，尺， 根据勾股定理，得， 解得． 答：秋千绳索的长度为14.5尺． 20. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若是一元二次方程的解，求该方程的另一个解． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． （1）根据根的判别式得出，解不等式即可； （2）根据是方程的解，得出，求出，得出一元二次方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：方程有两个不相等的实数根， ， 解得：； 【小问2详解】 解：是方程的解， ， ． 方程为． 解得． 方程的另一个解为． 21. 如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器，将发石车置于山坡底部处，以点为原点，水平方向为轴方向，建立如图所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分，山坡上有一堵防御墙，其竖直截面为，墙宽米，与轴平行，点与点的水平距离为米、垂直距离为米． （1）若发射石块在空中飞行的最大高度为米， ①求抛物线的解析式； ②试通过计算说明石块能否飞越防御墙； （2）若要使石块恰好落在防御墙顶部上（包括端点、），求的取值范围， 【答案】（1）；②石块能飞越防御墙； （2） 【解析】 【分析】（1）①根据题意得抛物线解析式为：，待定系数法求解析式即可求解； ②根据题意，得出，将代入解析式计算，即可求解． （2）依题意得出，进而根据以及原点分别待定系数法求解析式即可求解． 【小问1详解】 解：①∵发射石块在空中飞行的最大高度为米， ∴抛物线解析式为：， 将点代入得，， 解得：， ∴抛物线解析式为， ∴， ②∵点与点的水平距离为米、垂直距离为米． ∴， 当时，， 当时，， ∴石块能飞越防御墙； 【小问2详解】 ∵，， ∴ 当经过点，时， ，解得：. 当经过点，时， ，解得： ∴要使石块恰好落在防御墙顶部上（包括端点、），的取值范围为 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键． 22. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D． （1）在BC边上求作点E，使△ACE∽△BCD；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接DE，若AB＝6，DE＝2，求DC的长． 【答案】（1） 如图，作AE⊥BC于点E， （2） 【解析】 【分析】（1）作AE⊥BC于点E，根据两个角对应相等可判定两个三角形相似； （2）由AC＝AB＝6，AE⊥BC ，得E是BC的中点，再证, ，再根据△ACE∽△BCD即可求解． 【小问1详解】 解：∵BD⊥AC，AE⊥BC ∴ 又∵ ∴△ACE∽△BCD ∴E点即为所作． 【小问2详解】 如图所示，连接DE， ∵AC＝AB＝6，AE⊥BC ， ∴E是BC的中点 又∵BD⊥AC，DE＝2， ∴, ∵△ACE∽△BCD ∴，即， 解得： 即DC的长为． 【点睛】本题考查作图与相似变换．解题的关键是掌握等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质． 23. 某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值． 销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 … 销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 … （1）求y与x的函数表达式； （2）糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ （3）若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求m的值． 【答案】（1） （2）糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元 （3）2 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是： （1）利用待定系数法求解即可； （2）设日销售利润为w元，根据利润=单件利润×销售量求出w关于x的函数表达式，然后利用二次函数的性质求解即可； （3）设日销售利润为w元，根据利润=单件利润×销售量-m×销售量求出w关于x的函数表达式，然后利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解∶设y与x的函数表达式为， 把，；，代入，得， 解得， ∴y与x的函数表达式为； 【小问2详解】 解：设日销售利润为w元， 根据题意，得 ， ∴当时，有最大值为450， ∴糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元； 【小问3详解】 解：设日销售利润为w元， 根据题意，得 ， ∴当时，有最大值为， ∵糖果日销售获得的最大利润为392元， ∴， 化简得 解得， 当时，, 则每盒的利润为：,舍去， ∴m的值为2． 24. 二次函数（为常数，）的图象记为． （1）若，，求图象的顶点坐标； （2）若，点，在图象上，当时，恒成立，求的取值范围． （3）在（1）的条件下，点，点分别为抛物线与轴和轴的交点，点在抛物线上，且在线段下方，当面积最大时，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）把a，b代入函数即可求解； （2）把代入函数得，对称轴，分，和，根据函数的性质列出不等式即可求解； （3）如图所示，过点P作轴交于点E，交x轴于点F，求出所在直线表达式为，设，则，然后表示出的面积，然后利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 若，，则 ∴ ∴图象L的顶点坐标为； 【小问2详解】 若，则，图象的对称轴为直线 ∵当时，恒成立， ∴当时，，解得； 当时，，解得． 故的取值范围为或． 【小问3详解】 如图所示，过点P作轴交于点E，交x轴于点F ∵ ∴当时， ∴ 令，则 解得或 ∴ ∴设所在直线表达式为 ∴ ∴ ∴所在直线表达式为 ∵点在抛物线上， 设，则 ∴ ∴面积 ∵ ∴当时，面积有最大值． 【点睛】此题主要考查二次函数的图像与性质，三角形面积最值问题，解题的关键是熟知二次函数的图像与性质． 25. 【尝试发现】（1）如图1，把矩形对折得到折痕，再一次对折，使点落在上的点处，并使折痕经过点，得到新折痕，把纸片展平．这个折纸的过程实际上就是把（ ） A． 二等分 B． 三等分 C． 四等分 【类比探究】（2）类似的，通过折纸了可以折出矩形一边的三等分点．如图2，把矩形对折两次，对角线与折痕相交于点，沿直线再次折叠，折痕交于点，此时有．补充下列证明过程： 证明：如图2，在矩形中，， 由折叠可知，，， ∴，∴（_______________________） ∵，∴（__________________________）， ，即． （3）如图3，先把矩形沿对折，再沿折叠，折痕交对角线于点，过点折叠矩形，使得点落在上，得到折痕．请判断点是否为边的“三等分点”？并证明你的结论． 【拓展应用】（4）如图4，将矩形对折，使点和点重合，展开铺平，折痕为，将沿翻折得到，过点折叠矩形，使折痕．若点为边的三等分点，请求出的值． 【答案】（）； （2），，； （3）点是边的“三等分点”，证明：在矩形中，，， 由折叠可得， ，，四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即点是否为边的“三等分点”； （4） 【解析】 【分析】（）利用折叠的性质和锐角三角函数可得，即得，进而可得，即可求解； （）根据题意补全证明过程即可； （）由可得，进而由得，即得，即可求证； （）设，则有，，，通过证明四边形是矩形得到，利用勾股定理求出，设，则，再证明，得到，得到，即可求出的值． 【详解】（）解：由折叠可得，，，，， ∴， 在中，， ∴， ∴, ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴这个折纸的过程实际上就是把分成了三等分 ， 故选：； （）证明：如图，在矩形中，， 由折叠可知，，， ， ， ， ， ， 即， 故答案为：，，，； （）略 （）由折叠得，， 点为边的三等分点， ， 设，则， ，， ， 由折叠性质得，， ， ， ， 四边形是矩形， ， ∴， 设，则， ， ， 又， ， 又， ， ，即， ， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，解三角形，勾股定理等，根据题意，掌握折叠的性质并运用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年福州屏东中学第二学期八年级数学期末考试 一、单选题 1. 要使二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数据中能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. B. 1， C. 4，5，6 D. 1，1， 3. 在中，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 一次函数的图象与y轴的交点是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（    ） A. B. C. D. 6. 抛物线中，与的部分对应值如表： x … 1 3 4 5 7 … y … 4 5 4 … 下列结论中，不正确的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 对称轴是直线 C. 当时，随的增大而减小 D. 顶点坐标为 7. 如图，正方形的对角线相交于点，点是的中点，点在上，连接．若，则的值为（　　） A. B. C. D. 8. 已知，点均在二次函数的图象上，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 9. 甲、乙两车从地出发，匀速驶往地．乙车出发后，甲车才沿相同的路线开始行驶．甲车先到达地并停留分钟后，又以原速按原路线返回，直至与乙车相遇．图中的折线段表示从开始到相遇止，两车之间的距离与甲车行驶的时间的函数关系的图象，则（ ） A. 甲车速度是 B. A、两地的距离是 C. 乙车出发时甲车到达地 D. 甲车出发最终与乙车相遇 10. 如图，矩形边，，E为与点D不重合的动点，以DE一边作矩形，且，设，点F、G与点C的距离分别为、，则的最小值是（ ） A. B. 2 C. 3 D. 二、填空题 11. 函数是正比例函数，那么a的值是______． 12. 某厂今年一月份的总产量为500吨，三月份的总产量为720吨，平均每月增长率是，列方程___________． 13. 若一元二次方程的两根为m，n，则的值为__________. 14. 如图，已知四边形是菱形，从①，②，③中选择一个作为条件后，使四边形成为正方形，则应该选择的是_____（仅填序号）． 15. 如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接．若，菱形的面积为54，则的长为 ________． 16. 已知二次函数，对于该二次函数图象上的两点，，设，当时，恒成立，则的取值范围是______． 三、解答题 17. 计算： （1）； （2）解一元二次方程：． 18. 如图，在中，点分别在上，且．求证：四边形是平行四边形． 19. 《西江月》中描述：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地．翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺），此时踏板升高，离地五尺（尺），求秋千绳索的长度． 20. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若是一元二次方程的解，求该方程的另一个解． 21. 如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器，将发石车置于山坡底部处，以点为原点，水平方向为轴方向，建立如图所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分，山坡上有一堵防御墙，其竖直截面为，墙宽米，与轴平行，点与点的水平距离为米、垂直距离为米． （1）若发射石块在空中飞行的最大高度为米， ①求抛物线的解析式； ②试通过计算说明石块能否飞越防御墙； （2）若要使石块恰好落在防御墙顶部上（包括端点、），求的取值范围， 22. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D． （1）在BC边上求作点E，使△ACE∽△BCD；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接DE，若AB＝6，DE＝2，求DC的长． 23. 某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值． 销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 … 销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 … （1）求y与x的函数表达式； （2）糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ （3）若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求m的值． 24. 二次函数（为常数，）的图象记为． （1）若，，求图象的顶点坐标； （2）若，点，在图象上，当时，恒成立，求的取值范围． （3）在（1）的条件下，点，点分别为抛物线与轴和轴的交点，点在抛物线上，且在线段下方，当面积最大时，求点的坐标． 25. 【尝试发现】（1）如图1，把矩形对折得到折痕，再一次对折，使点落在上的点处，并使折痕经过点，得到新折痕，把纸片展平．这个折纸的过程实际上就是把（ ） A． 二等分 B． 三等分 C． 四等分 【类比探究】（2）类似的，通过折纸了可以折出矩形一边的三等分点．如图2，把矩形对折两次，对角线与折痕相交于点，沿直线再次折叠，折痕交于点，此时有．补充下列证明过程： 证明：如图2，在矩形中，， 由折叠可知，，， ∴，∴（_______________________） ∵，∴（__________________________）， ，即． （3）如图3，先把矩形沿对折，再沿折叠，折痕交对角线于点，过点折叠矩形，使得点落在上，得到折痕．请判断点是否为边的“三等分点”？并证明你的结论． 【拓展应用】（4）如图4，将矩形对折，使点和点重合，展开铺平，折痕为，将沿翻折得到，过点折叠矩形，使折痕．若点为边的三等分点，请求出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $