精品解析：河南省漯河市临颍县2024-2025学年下学期期末质量检测八年级数学

2024~2025学年度下期期末学业质量监测 八年级数学 注意事项： 1．本试卷共4页，共三个大题，23小题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 下列各式中，为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，二次根式的性质，根据最简二次根式的定义（被开方数不含能开方的因数且不含分母），逐一分析各选项是否满足条件，即可作答． 【详解】解：A、，可化简为整数，不是最简二次根式， B、，可化简为绝对值形式，不是最简二次根式， C、被开方数的质因数分解为，不含平方数因数，无法化简，是最简二次根式， D、，含可开方的因数，不是最简二次根式． 故选：C 2. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的加减运算，根据二次根式的性质及运算法则逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A．，计算错误； B．与不能合并，，计算错误； C．3与不能合并，，计算错误； D．，计算正确； 故选：D． 3. 以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（ ） A. 2，2，2 B. 2，3，4 C. 3，5，6 D. 1，，2 【答案】D 【解析】 【分析】先分别求出两小边的平方和和最长边的平方，再看看是否相等即可． 【详解】解：A、∵，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； B、∵，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； C、∵，∴能构成直角三角形，故本选项符合题意； D、∵，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a、b、c满足，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键． 4. 如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，然后向左扭动框架，观察所得四边形的变化．下面判断错误的是（ ） A. 四边形由矩形变为平行四边形 B. 对角线的长度减小 C. 四边形的面积不变 D. 四边形的周长不变 【答案】C 【解析】 【分析】根据四边形的不稳定性、矩形的性质和平行四边形的性质，结合图形前后变化逐项判断即可． 【详解】解：A、因为矩形框架向左扭动，，，但不再为直角，所以四边形变成平行四边形，故A正确，不符合题意； B、向左扭动框架，的长度减小，故B正确，不符合题意； C、因为拉成平行四边形后，高变小了，但底边没变，所以面积变小了，故C错误，符合题意； D、因为四边形的每条边的长度没变，所以周长没变，故D正确，不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质和平行四边形的性质、四边形的不稳定性，弄清图形变化前后的变量和不变量是解答此题的关键． 5. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点A，B，C均为格点，以点A为圆心，长为半径作弧，交格线于点D．则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由勾股定理求出DE，即可得出CD的长． 【详解】解：连接AD，如图所示： ∵AD=AB=2， ∴DE==， ∴CD=， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理；由勾股定理求出DE是解决问题的关键． 6. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，，且，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形，等边三角形的知识，解题的关键是掌握矩形的性质，则，，根据，求出，根据题意，则，求出，得到是等边三角形，即可求出． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 7. 五名同学捐款数分别是5，3，6，5，10（单位：元），捐10元的同学后来又追加了10元．追加后的5个数据与之前的5个数据相比，集中趋势相同的是（ ） A. 只有平均数 B. 只有中位数 C. 只有众数 D. 中位数和众数 【答案】D 【解析】 【分析】分别计算前后数据的平均数、中位数、众数，比较即可得出答案． 【详解】解：追加前的平均数为：(5+3+6+5+10)=5.8； 从小到大排列为3，5，5，6，10，则中位数为5； 5出现次数最多，众数为5； 追加后的平均数为：(5+3+6+5+20)=7.8； 从小到大排列为3，5，5，6，20，则中位数为5； 5出现次数最多，众数为5； 综上，中位数和众数都没有改变， 故选：D． 【点睛】本题为统计题，考查了平均数、众数与中位数．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不只一个． 8. 直线经过二、三、四象限，则直线的图象只能是图中的（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，根据直线经过二、三、四象限，可以得到和的正负情况，从而可以得到直线的图象经过哪几个象限，本题得以解决，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． 【详解】解：直线经过二、三、四象限， ，， ，， 直线的图象经过第一、二、三象限， 故选：B． 9. 如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=10，点A、B的坐标分别为（2，0）、（8，0），将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=x﹣5上时，线段BC扫过的面积为（ ）． A. 80 B. 88 C. 96 D. 100 【答案】B 【解析】 【详解】∵点A、B的坐标分别为（2，0）、（8，0）， ∴AB=6， ∵∠CAB=90°，BC=10， ∴CA= =8， ∴C点纵坐标为：8， ∵将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=x﹣5上时， ∴y=8时，8=x﹣5，解得：x=13，即A点向右平移13﹣2=11个单位， ∴线段BC扫过的面积为：11×8=88． 故选B． 10. 如图1，菱形中，连接，动点从顶点出发，沿匀速运动，到点后停止．设点的运动路程为，线段的长度为，则与的函数图象如图2所示，其中为曲线部分的最低点，则菱形的面积是（ ） A. 20 B. 24 C. 40 D. 48 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，菱形的性质，勾股定理，连接交于O，由菱形的性质得到，再由函数图象可得，且当点P运动到上，且时，，据此可得的长，再根据菱形面积等于其对角线乘积的一半求解即可． 【详解】解：如图所示，连接交于O， ∵四边形是菱形， ∴， 由函数图象可知，，且当点P运动到上，且时，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了代数式有意义时字母的取值范围，代数式有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当代数式是整式时，字母可取全体实数；②当代数式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当代数式是二次根式时，被开方数为非负数．根据被开方数且分母不为零列式求解即可． 【详解】解：由题意，得 且， 解得且． 故答案为：且． 12. 将直线向下平移6个单位长度后，正好经过点，则k的值为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】直线向下平移6个单位长度后得到新解析式为，把代入解析式解答即可． 本题考查了一次函数的平移，图象过点求解析式，熟练掌握平移规律是解题的关键． 【详解】解：直线向下平移6个单位长度后得到新解析式为， 把代入解析式得， 解得． 故答案为：6． 13. 某校学生期末操行评定奉行五育并举，德、智、体、美、劳五方面按确定最终成绩．王林同学本学期五方面得分如图所示，则王林期末操行最终得分为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查加权平均数，解题的关键是明确加权平均数的计算方法．据此解答即可． 【详解】解：（分）， ∴小明期末操行最终得分为分． 故答案为：． 14. 如图，一次函数的图象与坐标轴的交点坐标分别为A（0，2），B（-3，0），下列说法：①随的增大而减小；②；③关于的方程的解为；④关于的不等式的解集．其中说法正确的有_____________． 【答案】④ 【解析】 【分析】根据一次函数的性质，一次函数与一元一次方程的关系对各个说法分析判断即可得解． 【详解】解：把，，代入中，可得：， 解得：，所以解析式为：； ①随的增大而增大，故①说法错误； ②，故②说法错误； ③关于的方程的解为，故③说法错误； ④关于的不等式的解集，故④说法正确． 故答案是：④． 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，以及一次函数与一元一次方程，解题的关键是：利用数形结合求解． 15. 如图，在中，，点，，分别是，，中点，连接，，若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形中位线性质，由直角三角形斜边上的中线长等于斜边的一半可得，则，再根据三角形中位线性质即可求解． 【详解】解：∵，是的中点， ∴， ∴， ∵点，分别是，的中点， ∴是中位线， ∴， 故答案为：． 16. 如图，已知矩形的两条边，点E是对角线、的交点，点P是边上一个动点，作点D关于直线的对称点，当与矩形一条边垂直时，的长是__________． 【答案】5或10 【解析】 【分析】根据折叠的性质可得，从而可得，，再根据矩形的性质，，，，再由平行线的性质和三角形中位线定理可得，当时，，，，利用勾股定理求得，从而求得，设，则，利用勾股定理可得，再求解即可；当时，，由平行线的性质可得，再由折叠的性质可得是的角平分线，，从而可得，再根据等腰三角形的判定即可求解． 【详解】解：∵点D关于直线的对称点， ∴， ∴，， ∵四边形是矩形，， ∴，，，，，， 当时，， ∵， ∴，， 在中，， ∴， 设，则， 在中，， 解得，， ∴， 当时，， ∴， ∵点D关于直线的对称点， ∴是的角平分线，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：5或10． 【点睛】本题考查矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、勾股定理及三角形中位线定理、解一元一次方程，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 三、解答题（共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练计算是解题的关键． （1）先计算乘除，然后合并同类二次根式； （2）先利用完全平方公式和平方差计算，再加减求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. “三农”问题是关系国计民生的根本问题，实施乡村振兴战略是建设美丽中国的关键举措．如图，某村有一块三角形空地，现计划将这块三角形空地进行新的规划，点D是边上的一点，过点D作垂直于的小路．经测量，米，米，米，米． （1）求的长； （2）求小路的长． 【答案】（1）； （2）米． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与逆定理，解题的关键是∶ （1）利用勾股定理的逆定理判定，然后在中，利用勾股定理求解即可； （2）利用等面积法求解即可． 【小问1详解】 解：∵米，米，米， ∴， ∴， ∴， ∵米， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴（米）， 故小路的长为米． 19. 蓬勃发展的快递业，为全国各地的新鲜水果及时走进千家万户提供了极大便利．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势．樱桃种植户小丽经过初步了解，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，小丽收集了10家樱桃种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下： a．配送速度得分（满分10分）： 甲：6 6 7 7 7 8 9 9 9 10 乙：6 7 7 8 8 8 8 9 9 10 b．服务质量得分统计图（满分10分）： c．配送速度和服务质量得分统计表： 项目 统计量 快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 平均数 方差 甲 7.8 m 7 乙 8 8 7 根据以上信息，回答下列问题： （1）表格中的______；______（填“>”“=”或“<”）． （2）综合上表中的统计量，你认为小丽应选择哪家公司？请说明理由． （3）为了从甲、乙两家公司中选出更合适的公司，你认为还应收集什么信息（列出一条即可）？ 【答案】（1）7.5； （2）甲公司，理由见解析 （3）还应收集甲、乙两家公司的收费情况．（答案不唯一，言之有理即可） 【解析】 【分析】（1）根据中位数和方差的概念求解即可； （2）通过比较平均数，中位数和方差求解即可； （3）根据题意求解即可． 小问1详解】 由题意可得，， ， ∴， 故答案为：7.5；； 【小问2详解】 ∵配送速度得分甲和乙的得分相差不大， 服务质量得分甲和乙的平均数相同，但是甲的方差明显小于乙的方差， ∴甲更稳定， ∴小丽应选择甲公司； 【小问3详解】 还应收集甲、乙两家公司的收费情况．（答案不唯一，言之有理即可） 【点睛】本题考查中位数、平均数、方差的定义，掌握中位数、平均数、方差的定义是解题的关键． 20. 如图，在中，是斜边上的中线，交的延长线于点E． （1）请用无刻度的直尺和圆规作，使，且射线交于点F（保留作图痕迹，不写作法）． （2）证明（1）中得到四边形是菱形 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，菱形的判定，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是： （1）根据作一个角等于已知角的方法作图即可； （2）先证明四边形是平行四边形，然后利用直角三角形斜边中线的性质得出，最后根据菱形的判定即可得证． 【小问1详解】 解：如图， ； 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵在中，是斜边上的中线， ∴， ∴平行四边形是菱形． 21. 已知直线l1：y1＝2x﹣3与l2：y2＝﹣x+2相交于A点． （1）求A点坐标； （2）观察图象，直接写出y1≤y2时x的取值范围； （3）过l2上一点P（m，n）作y轴的平行线交l1于Q点，若PQ≤3，求m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）联立两直线解析式，解方程组即可求解； （2）根据图象，直接写出y1≤y2时x的取值范围； （3）根据题意可得，解不等式组即可求解． 【小问1详解】 依题意，联立， 解得 ， ∴， 【小问2详解】 根据图象，当y1≤y2时，； 【小问3详解】 过l2上一点P（m，n）作y轴的平行线交l1于Q点，则， 根据题意可得， 解得． 【点睛】本题考查了求量直线交点坐标，根据函数图象交点求不等式的解析，求平行于坐标轴的线段长度，数形结合是解题的关键． 22. 某服装店同时购进甲、乙两种款式的运动服共300套，进价和售价如表中所示，设购进甲款运动服x套（x为正整数），该服装店售完全部甲、乙两款运动服获得的总利润为y元． 运动服款式 甲款 乙款 进价（元/套） 60 80 售价（元/套） 100 150 （1）求y与x的函数关系式； （2）该服装店计划投入2万元购进这两款运动服，则至少购进多少套甲款运动服？若售完全部的甲、乙两款运动服，则服装店可获得的最大利润是多少元？ （3）在（2）的条件下，若服装店购进甲款运动服的进价降低a元（其中），且最多购进240套甲款运动服，若服装店保持这两款运动服的售价不变，则购进甲款运动服多少件使该服装店获利最大（直接写出结果）． 【答案】（1） （2）200套，15000元 （3）240套 【解析】 【分析】（1）根据利润=每件利润件数，可分别求出甲款运动服利润和乙款运动服的利润，最后二者相加即可求出，将其进行化简即可求出与关系式． （2）根据题意首先表示出购进甲款运动服的费用为元，购进乙款运动服的费用为元，据此进一步列出不等式，求出的范围即可得出至少购进甲款运动服的数量，然后利用一次函数的图像性质进一步求出最大利润即可． （3）根据题意列出，化简，然后再利用的取值范围即可求出最大值． 【小问1详解】 解：根据题意得； 即． 故答案为：． 【小问2详解】 解：由题意得，，解得， 至少要购进甲款运动服200套． 又，， y随x的增大而减小， 当时，y有最大值，， 若售完全部的甲、乙两款运动服，则服装店可获得的最大利润是15000元． 故答案为：200套；15000元． 小问3详解】 解：由题意得，，其中， 化简得，， ，则：，y随x的增大而增大， 当时，y有最大利润，则服装店应购进甲款运动服240套、乙款运动服60套，获利最大． 故答案为：240套． 【点睛】本题考查了一次函数与不等式的综合运用，根据题意长出正确的等量关系式解题的关键． 23. 问题情景：在数学活动课上：老师出示了这样一个问题：如图①，在正方形中，，分别是射线，上的点，且，点在射线上，且满足． 数学思考： （1）如图①，当点，，分别在线段，，上时，线段与的数量关系为________；位置关系为________； 猜想证明： （2）如图②，当点，，分别在线段，，的延长线上时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； 拓展延伸： （3）若，当时，请直接写出线段的长度． 【答案】（1），；（2），，依然成立，证明见解析；（3）3或27 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）过点作于点，设交于点，证明，可得，，进而证明，即可； （2）过点作于点，延长交于点，根据（1）的方法进行证明即可求解； （3）根据（1）（2）的结论，结合图形分类讨论即可求解． 【详解】解：（1）如图所示，过点作于点，设交于点， ∵ ∴， ∵四边形是正方形， ∴,， 又∵， ∴ ∴，， 又 又 ， 又∵， ， ； （2），，依然成立，证明如下， 如图所示，过点作于点，延长交于点， ∵ ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴ ∴，， 又 又 又∵， ， ； （3）当点，，分别在线段，，上时，同（1）可得 ∴， ∵正方形，，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴； 当点，，分别在线段，，的延长线上时，由（2）可得 ∴， ∵正方形，，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴． 综上：线段的长度 3或27． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度下期期末学业质量监测 八年级数学 注意事项： 1．本试卷共4页，共三个大题，23小题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 下列各式中，为最简二次根式的是（ ） A B. C. D. 2. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（ ） A. 2，2，2 B. 2，3，4 C. 3，5，6 D. 1，，2 4. 如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，然后向左扭动框架，观察所得四边形的变化．下面判断错误的是（ ） A. 四边形由矩形变为平行四边形 B. 对角线的长度减小 C. 四边形的面积不变 D. 四边形的周长不变 5. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点A，B，C均为格点，以点A为圆心，长为半径作弧，交格线于点D．则的长为（ ） A B. C. D. 6. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，，且，则为（ ） A. B. C. D. 7. 五名同学捐款数分别是5，3，6，5，10（单位：元），捐10元的同学后来又追加了10元．追加后的5个数据与之前的5个数据相比，集中趋势相同的是（ ） A. 只有平均数 B. 只有中位数 C. 只有众数 D. 中位数和众数 8. 直线经过二、三、四象限，则直线的图象只能是图中的（ ） A. B. C. D. 9. 如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=10，点A、B的坐标分别为（2，0）、（8，0），将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=x﹣5上时，线段BC扫过的面积为（ ）． A. 80 B. 88 C. 96 D. 100 10. 如图1，菱形中，连接，动点从顶点出发，沿匀速运动，到点后停止．设点的运动路程为，线段的长度为，则与的函数图象如图2所示，其中为曲线部分的最低点，则菱形的面积是（ ） A. 20 B. 24 C. 40 D. 48 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 12. 将直线向下平移6个单位长度后，正好经过点，则k的值为_____． 13. 某校学生期末操行评定奉行五育并举，德、智、体、美、劳五方面按确定最终成绩．王林同学本学期五方面得分如图所示，则王林期末操行最终得分为______． 14. 如图，一次函数的图象与坐标轴的交点坐标分别为A（0，2），B（-3，0），下列说法：①随的增大而减小；②；③关于的方程的解为；④关于的不等式的解集．其中说法正确的有_____________． 15. 如图，在中，，点，，分别是，，的中点，连接，，若，则的长为______． 16. 如图，已知矩形的两条边，点E是对角线、的交点，点P是边上一个动点，作点D关于直线的对称点，当与矩形一条边垂直时，的长是__________． 三、解答题（共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. “三农”问题是关系国计民生根本问题，实施乡村振兴战略是建设美丽中国的关键举措．如图，某村有一块三角形空地，现计划将这块三角形空地进行新的规划，点D是边上的一点，过点D作垂直于的小路．经测量，米，米，米，米． （1）求的长； （2）求小路的长． 19. 蓬勃发展的快递业，为全国各地的新鲜水果及时走进千家万户提供了极大便利．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势．樱桃种植户小丽经过初步了解，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，小丽收集了10家樱桃种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下： a．配送速度得分（满分10分）： 甲：6 6 7 7 7 8 9 9 9 10 乙：6 7 7 8 8 8 8 9 9 10 b．服务质量得分统计图（满分10分）： c．配送速度和服务质量得分统计表： 项目 统计量 快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 平均数 方差 甲 7.8 m 7 乙 8 8 7 根据以上信息，回答下列问题： （1）表格中的______；______（填“>”“=”或“<”）． （2）综合上表中的统计量，你认为小丽应选择哪家公司？请说明理由． （3）为了从甲、乙两家公司中选出更合适的公司，你认为还应收集什么信息（列出一条即可）？ 20. 如图，在中，是斜边上的中线，交的延长线于点E． （1）请用无刻度的直尺和圆规作，使，且射线交于点F（保留作图痕迹，不写作法）． （2）证明（1）中得到的四边形是菱形 21 已知直线l1：y1＝2x﹣3与l2：y2＝﹣x+2相交于A点． （1）求A点坐标； （2）观察图象，直接写出y1≤y2时x的取值范围； （3）过l2上一点P（m，n）作y轴的平行线交l1于Q点，若PQ≤3，求m的取值范围． 22. 某服装店同时购进甲、乙两种款式的运动服共300套，进价和售价如表中所示，设购进甲款运动服x套（x为正整数），该服装店售完全部甲、乙两款运动服获得的总利润为y元． 运动服款式 甲款 乙款 进价（元/套） 60 80 售价（元/套） 100 150 （1）求y与x的函数关系式； （2）该服装店计划投入2万元购进这两款运动服，则至少购进多少套甲款运动服？若售完全部的甲、乙两款运动服，则服装店可获得的最大利润是多少元？ （3）在（2）的条件下，若服装店购进甲款运动服的进价降低a元（其中），且最多购进240套甲款运动服，若服装店保持这两款运动服的售价不变，则购进甲款运动服多少件使该服装店获利最大（直接写出结果）． 23. 问题情景：在数学活动课上：老师出示了这样一个问题：如图①，在正方形中，，分别是射线，上点，且，点在射线上，且满足． 数学思考： （1）如图①，当点，，分别在线段，，上时，线段与的数量关系为________；位置关系为________； 猜想证明： （2）如图②，当点，，分别在线段，，的延长线上时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； 拓展延伸： （3）若，当时，请直接写出线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$