专题03 中考压轴题思维培Ⅱ-相似三角形（高效培优专项训练）数学沪教版五四制九年级上册

专题03 中考压轴题思维培Ⅱ-相似三角形 题型一：辅助线—常用连接两点 题型二：辅助线—常用作垂线 题型三：辅助线—平行线类（Ⅰ） 题型四：梯形综合 题型五：辅助线—平行线类（Ⅱ） 题型六：分类讨论—给出数量（关系） 题型七：分类讨论—特殊三角形、相似三角形 题型八：与其他几何性质综合分析 注：共16题；学习背景—三角形一边的平行线+综合分析法解相似三角形综合、强化 题型一：辅助线—常用连接两点 1．已知，在中，，的顶点D在边上，交于点F（点F在点D的右侧），．    (1)求证：； (2)当时，求的长； (3)若，连接，写出与的位置关系，并证明结论． 题型二：辅助线—常用作垂线 2．如图，已知等腰中，，点D在的反向延长线上，且，点E在边的延长线上，且． (1)求线段的长； (2)求证：； (3)当平分时，求线段的长． 3．若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形． (1)已知是比例三角形，，请直接写出所有满足条件的的长； (2)如图1，在四边形中，，对角线平分．求证：是比例三角形； (3)如图2，在（2）的条件下，当时，求出的值． 题型三：辅助线—平行线类（Ⅰ） 4．在中，．点D是射线上一点（不与A、C重合），点F在线段上，直线交直线于点E，． (1)如图，如果点D在的延长线上 ①求证：； ②联结，如果，，求的长． (2)如果，求：的值． 5．在中，，，点为直线上一个动点（点不与点，重合），连接，将线段绕点逆时针旋转得线段，连接，    (1)如图1，若点在线段上， ①依题意补全图1； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明 (2)若点在线段的延长线上，且，设，，直接写出的长（用含，的式子表示）； 题型四：梯形综合 6．如图，在梯形中，，，是腰上的一点，连接． (1)如果，求的度数； (2)设和四边形的面积分别为和，且，试求的值． 7．在梯形中，，E在边上且． (1)如左图，若点F在边上，且，连结，求证：； (2)如图，已知，点M在边上，连结、、，与交于点N．若，，，求边的长． 8．已知：四边形中，，，分别为中点，相交于点． (1)如图，如果，求证：． (2)当，时，求的长； (3)当为直角三角形时，线段与之间有怎样的数量关系？并说明理由． 题型五：辅助线—平行线类（Ⅱ） 9．如图，已知中，，，点D是边上的动点，过点D作，交边于点E，点Q是线段上的点，且，连接并延长，交边于点P，设，    (1)求y关于x的函数解析式及x的取值范围； (2)当是等腰三角形时，求的长； (3)连接，当和互补时，求x的值． 10．在中，， 点P在线段上，，交于点D，过点B作，垂足为E，交的延长线于点F． (1)如果， ①如图1当点P与点C重合时，求证： ； ②如图，当点在线段上，且不与点、点重合时，问： ①中的“”仍成立吗?请说明你的理由； (2)如果，如图11，已知 (n为常数)，当点P在线段上，且不与点B、点C重合时，请探究的值(用含n的式子表示)，并写出你的探究过程． 题型六：分类讨论—给出数量（关系） 11．已知：在中，，将绕点C旋转使点B落在直线上的点D处，点A落在点E处，直线与直线相交于点F，射线与射线相交于点P，． (1)如图，连接，当时， 求证：①四边形是等腰梯形； ②是与的比例中项． (2)当点D与点A的距离为5时，求的长． 12．已知在中，点D在边上，点E在射线上．直线与直线相交于点F． (1)如图1，当点E在边上时，如果，求证：； (2)如果， ①如图2，当时，求的值； ②填空：当时，那么的长为______． 题型七：分类讨论—特殊三角形、相似三角形 13．已知中，，平分，，．点、分别是边、上的点（点不与点、重合），且，、相交于点． (1)求的长； (2)如图，如果，求的值； (3)如果是以为腰的等腰三角形，求长． 14．如图，在中，，，，点是上一点，且，过点作，垂足为，点是边上的一个动点，连接，过点作交线段于点（不与点、重合）． (1)求证：； (2)设，，求出关于的函数解析式，并直接写出定义域； (3)联结，若与相似，直接写出的长度． 15．如图1，在和中，，，，． (1)求证：； (2)已知点M为边上一点（与点不重合），且，交于点，交的延长线于点E． ①如图2，设，，求y与x的函数关系式，并写出定义域； ②当是以为腰的等腰三角形时，求的长． 题型八：与其他几何性质综合分析 16．如图所示，已知在梯形中，，点为边上一点，且，连接交于点，已知，过点作的平行线交于点，连接交于点． (1)求证：点是的中点； (2)如果，求的长； (3)如图，如果与互补，求的面积． (4) 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 中考压轴题思维培Ⅱ-相似三角形 题型一：辅助线—常用连接两点 题型二：辅助线—常用作垂线 题型三：辅助线—平行线类（Ⅰ） 题型四：梯形综合 题型五：辅助线—平行线类（Ⅱ） 题型六：分类讨论—给出数量（关系） 题型七：分类讨论—特殊三角形、相似三角形 题型八：与其他几何性质综合分析 注：共16题；学习背景—三角形一边的平行线+综合分析法解相似三角形综合、强化 题型一：辅助线—常用连接两点 1．已知，在中，，的顶点D在边上，交于点F（点F在点D的右侧），．    (1)求证：； (2)当时，求的长； (3)若，连接，写出与的位置关系，并证明结论． 【答案】(1)见解析 (2)或3 (3)平行，见解析 【分析】（1）根据等边对等角得出，再由三角形内角和定理及各角之间的关系得出，利用相似三角形的判定证明即可； （2）作于H，利用含30度角的直角三角形的性质及相似三角形的判定得出，设，则，代入求解即可； （3）连接，根据相似三角形的性质及等量代换得出，再利用相似三角形的判定和性质确定，根据内错角相等，两直线平行即可证明 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）作于H，    ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， 设，则， ∵， ∴， ∴， 解得或， ∴或3； （3）平行，证明如下： 连接，如图所示，    ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形性质、相似三角形判定与性质、一元二次方程的应用等知识，理解题意，作出相应辅助线，熟练掌握运用相似三角形的判定和性质是解题关键． 题型二：辅助线—常用作垂线 2．如图，已知等腰中，，点D在的反向延长线上，且，点E在边的延长线上，且． (1)求线段的长； (2)求证：； (3)当平分时，求线段的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3)4 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质和等腰三角形的性质，熟悉图形的特点，从中找到相关图形是解题的关键． （1）根据条件可证明，利用相似三角形的对应边成比例可求得； （2）由（1）中得即，再证明，可得即，进而可得； （3）设，，过点作于，先由勾股定理得即可得，再证，进而得即，再将代入得关于x的一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ． ， ∴， ， ，， ， ； （2）证明：∵，， ， ， ，， 且， ∴， ， ， ； （3）解：设，， 过点作于， ， ， ， ， 平分， ， ， ． ， ∴， ， ， ∴， 即， 解得，（舍去）， 即． 3．若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形． (1)已知是比例三角形，，请直接写出所有满足条件的的长； (2)如图1，在四边形中，，对角线平分．求证：是比例三角形； (3)如图2，在（2）的条件下，当时，求出的值． 【答案】(1)当是比例三角形，为或或． (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查了相似三角形的综合问题，理解比例三角形的定义，熟练掌握和运用相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据比例三角形的定义分、、三种情况分别代入计算可得； （2）先证得，再由知即可得结论； （3）作，由知，再证得，即，结合知，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵是比例三角形，且， ①当时， 得：， 解得：； ②当时， 得：， 解得：； ③当时， 得：， 解得：（负值舍去）； ∴当是比例三角形，为或或； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是比例三角形；． （3）解：如图，过点A作于点H， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型三：辅助线—平行线类（Ⅰ） 4．在中，．点D是射线上一点（不与A、C重合），点F在线段上，直线交直线于点E，． (1)如图，如果点D在的延长线上 ①求证：； ②联结，如果，，求的长． (2)如果，求：的值． 【答案】(1)①见详解；② (2)的值为1 【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键． （1）①由，得，因为，所以，得，由，得，所以，则，即可证明； ②由，得，则，可证明，得，所以，而，得，所以，则，求得，于是得，求得； （2）分两种情况，一是当点在的延长线上，联结，作交的延长线于点，可证明，得，再证明，得，则；二是当点在线段上，可证明与不相似，则不存在的情况． 【详解】（1）证明：如图1，∵， ， ， ， ， ②如图， 解得或（舍去）， （2）如图2，点在的延长线上， 联结，作交的延长线于点，则 ∴， ∵， 在和中， ， 在和中， 如图3，点在线段上， 与不相似， 不存在的情况， 综上所述，的值为1． 5．在中，，，点为直线上一个动点（点不与点，重合），连接，将线段绕点逆时针旋转得线段，连接，    (1)如图1，若点在线段上， ①依题意补全图1； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明 (2)若点在线段的延长线上，且，设，，直接写出的长（用含，的式子表示）； 【答案】(1)①见解析；②，证明见解析 (2) 【分析】（1）①根据题意补充图形，即可求解； ②过点作交于点，证明，得出，进而即可求解； （2）过点作交的延长线于点，同（1）的方法证明，得出，进而根据平行线分线段成比例得出，则，进而在中，勾股定理即可得出结论． 【详解】（1）解：①如图所示，    ②， 证明：如图所示，过点作交于点，    ∵在中，，， ∴，则是等腰直角三角形， ∴， ∵将线段绕点逆时针旋转得线段，则， ∴，， ∴ ∴ ∴ 即 （2）解：如图所示，过点作交的延长线于点，    ∵在中，，， ∴，则是等腰直角三角形， ∴， ∵将线段绕点逆时针旋转得线段，则， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴， 在中，，， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，平行线分线段成比例，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 题型四：梯形综合 6．如图，在梯形中，，，是腰上的一点，连接． (1)如果，求的度数； (2)设和四边形的面积分别为和，且，试求的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解此题的关键是准确地作出辅助线与数形结合思想的应用，难度适中． （1）首先延长与，然后根据相似三角形的判定和性质，求得是等边三角形，即可得为， （2）可利用面积法求解，因为如果三角形的高相等，则其面积的比等于其底的比，所以可求得与的比． 【详解】（1）解：如图，延长、相交于点， ， ， ． ．设，则． ． ， ，． ，为的中点． ， ． ， 梯形为等腰梯形， ， ， 为等边三角形． ； （2）解：如图，延长、相交于点， ， ， ， 设，则，， ， 解得，，． 与等高， ． 设，则，， ． ． ． 7．在梯形中，，E在边上且． (1)如左图，若点F在边上，且，连结，求证：； (2)如图，已知，点M在边上，连结、、，与交于点N．若，，，求边的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）添加辅助线，转移比例线段，得到，从而证出； （2）首先将条件转化成线段和角度关系，由，很容易找到，再根据这个相似结论证出，多组相似转化，再利用勾股定理建立方程，求出未知数． 【详解】（1）证明：延长和交于点， ∵， ∴， ， ，， ，， ，即， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：延长，交于点，过点作，垂足为点． ∵， ， ， ∵， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由，得，， ， ， ， ， 设，则， ∵， ，， ， ， ， 设，则， ，， ， ，即， ，解得， ， 由勾股定理可得：， ， 解得， ， ， 在中，由勾股定理可得，， ， ． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定即勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键． 8．已知：四边形中，，，分别为中点，相交于点． (1)如图，如果，求证：． (2)当，时，求的长； (3)当为直角三角形时，线段与之间有怎样的数量关系？并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或，理由见解析 【分析】（1）过D作交于H，证出四边形为等腰梯形，再证出，利用三角形的外角性质和等量代换即可得出答案； （2）先证出为正三角形，然后设，得出，证出，用相似比得出，利用得出，求出a值，即可得解； （3）先利用三角形边角关系得出，然后分类讨论①②两种情况，即可得解． 【详解】（1）过D作交于H， ∴ ， ∵， ∴ ， ， ， ， 四边形为平四边形， ， ， 四边形为梯形， ， 四边形为等腰梯形， ，又E，F分别为中点， ，，   又， ， ， ， ∴， （2），， ∴， ∵， ∴为正三角形， ∴ 延长．交于M ，设， ∴， ∵E为的中点，， ∴，，， ∴， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴ ， ，，， ， ∴， 又，， ， ∴， ， ， ∴（负值已舍）， ， ∴； （3）， ，   ， ， 仅两种分类， ①，延长交于，过D作于， 设  ， ∵四边形为等腰梯形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ， ， ∴， ∵，， 即， ②，则， ∴四边形为正方形， ， 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等腰梯形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握其性质合理作出辅助线是解决此题的关键． 题型五：辅助线—平行线类（Ⅱ） 9．如图，已知中，，，点D是边上的动点，过点D作，交边于点E，点Q是线段上的点，且，连接并延长，交边于点P，设，    (1)求y关于x的函数解析式及x的取值范围； (2)当是等腰三角形时，求的长； (3)连接，当和互补时，求x的值． 【答案】(1)，x的取值范围是 (2)或 (3) 【分析】（1）过点作，交于，根据平行线分线段成比例定理，可得，进而表示出和，再根据，得到，代入即可得解； （2）当为等腰三角形时，也为等腰三角形，分三种情况讨论：①当时，②当时，③当时，分别进行讨论求得的长即可； （3）先根据已知条件判定四边形是等腰梯形，判定，得出，即，再根据，得出，代入求得的值即可． 【详解】（1）解：如图，过点作，交于，    则， 又， ， 又， ， ，，， ， ， ，即， ． （2）解：， ， 当为等腰三角形时，也为等腰三角形， ①当时，， 又∵， ∴， ，即， 解得， ， 解得； ②当时，， ， 解得； ③当时，点与点重合，不合题意， 综上所述，的长为或． （3）解：如图，   ， ， 又和互补， ， ， ， 四边形是等腰梯形， ， ， 又， ， ， ，即， ，， ， ， ，即， 解得． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，等腰三角形的定义，等腰梯形的判定与性质，解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形和运用分类讨论思想． 10．在中，， 点P在线段上，，交于点D，过点B作，垂足为E，交的延长线于点F． (1)如果， ①如图1当点P与点C重合时，求证： ； ②如图，当点在线段上，且不与点、点重合时，问： ①中的“”仍成立吗?请说明你的理由； (2)如果，如图11，已知 (n为常数)，当点P在线段上，且不与点B、点C重合时，请探究的值(用含n的式子表示)，并写出你的探究过程． 【答案】(1)①证明见解析；②成立，证明见解析 (2)，过程见解析 【分析】（1）①由等角对等边可得，证明，则，证明，则，进而可证；②如图1，过作交于，交于，则，同理①可证，，则，同理①可证，，则，； （2）如图2，过作交于，交于，同理（1）可证：，则，证明，则，证明，则，即，可知，即，进而可得． 【详解】（1）①证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； ②解：仍成立，理由如下： 如图1，过作交于，交于， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理①可证，， ∴， 同理①可证，， ∴， ∴； （2）解：如图2，过作交于，交于， 同理（1）可证：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 题型六：分类讨论—给出数量（关系） 11．已知：在中，，将绕点C旋转使点B落在直线上的点D处，点A落在点E处，直线与直线相交于点F，射线与射线相交于点P，． (1)如图，连接，当时， 求证：①四边形是等腰梯形； ②是与的比例中项． (2)当点D与点A的距离为5时，求的长． 【答案】(1)①见解析，②见解析 (2)或 【分析】（1）①证明，，再证明，可得，证明与不平行，结合，可得梯形是等腰梯形．②证明，，可得，即是与的比例中项． （2）分两种情况讨论：（i）当时，点D在边上．证明，可得．求解（负根舍去），证明，再利用相似三角形的性质可得答案，（ii）当时，点D在边的延长线上．同理可得答案． 【详解】（1）证明：①由旋转条件，得，， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴与不平行． ∴四边形是梯形． ∵， ∴梯形是等腰梯形． ②∵， ∴， ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∴． ∴， ∴． ∴，即是与的比例中项． （2）（i）当时，点D在边上． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴（负根舍去）， ∴． ∵， ∴， ∴，即． 解得． （ii）当时，点D在边的延长线上． 同理可得：． ∴． ∵， ∴， ∴，即． 解得． 综上所述，或． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，旋转的性质，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键． 12．已知在中，点D在边上，点E在射线上．直线与直线相交于点F． (1)如图1，当点E在边上时，如果，求证：； (2)如果， ①如图2，当时，求的值； ②填空：当时，那么的长为______． 【答案】(1)见解析 (2)①；②或 【分析】（1）过点作，交于点G，证明，得到，结合，推出，再推出，即可得出结论； （2）①分别过点作的垂线，垂足分别为，过点A作，交于点N，设，则，，由等腰三角形三线合一求出，证明，利用三角形相似的性质求出，，由勾股定理求出，再证明，推出，求出，，进而求出，由勾股定理求出，即可得到的值；②根据已知求出，分点E在线段上和点E在的延长线上两种情况讨论，同理①即可解答． 【详解】（1）过点作，交于点G， ∵ ， ∴， ∴即， ∵即， ∴即， ∴， ∴； （2）解：①分别过点作的垂线，垂足分别为，过点A作，交于点N， 设，则，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； ②当点E在的延长线上时， ∵，， ∴， 同理①可得：当时，，即； ∴当时，； 点E在线上时，如图，分别过点作的垂线，垂足分别为，过点E作，交于点K， ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； 综上，的长为或． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，综合性较强，计算量较大，正确作出辅助线构造三角形相似是解题的关键． 题型七：分类讨论—特殊三角形、相似三角形 13．已知中，，平分，，．点、分别是边、上的点（点不与点、重合），且，、相交于点． (1)求的长； (2)如图，如果，求的值； (3)如果是以为腰的等腰三角形，求长． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据角平分线的定义以及和的关系，可以得出，，据此求出的长即可； （2）根据和相似，可以求出和的长，过作交于，根据和可求出的值； （3）分情况讨论：当时；当时，即可解答． 【详解】（1）解：，平分， ， ， 又， ， ， ， ， ； （2）解：由（1）知，， ， ， ， ， ， ，， ， 又， ， ， ， ， 过作交于，如图： ， ， ， 又， ， ， ； （3）解：当时， ， ， ， ，， ， ， ， ， 由（2）知，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 当时，在上截取点，使，如图所示： 则， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， 解得：， 综上，的长为或． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、等角的补角相等、相似三角形的判定和性质、平行线的判定及性质、等腰三角形的判定与性质、外角的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，正确判断相似条件与全等是解答本题的关键． 14．如图，在中，，，，点是上一点，且，过点作，垂足为，点是边上的一个动点，连接，过点作交线段于点（不与点、重合）． (1)求证：； (2)设，，求出关于的函数解析式，并直接写出定义域； (3)联结，若与相似，直接写出的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)或 【分析】（1）根据垂直的定义及同角的余角相等得出，即可证明； （2）利用勾股定理求出，根据，得出，即可证明，根据相似三角形的性质得出，，根据，利用相似三角形的性质即可得答案； （3）当时，过点作于，可得，根据角平分线的性质得出利用证明，得出，根据角的和差关系得出，利用证明，进而得出，列方程即可求出的值，代入（2）中关系式即可求出的长；当时，可得，根据可得，可得，，进而可证明四边形是矩形，利用矩形的性质即可得的长；综上即可得答案． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴，，， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：，， ∵，， ∴，， ∵， ∴，即， 整理得：， ∵，， ∴， ∴． （3）解：如图，当时，过点作于， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， 由（2）可知：，， ∴， 解得：， ∴， ∴． 如图，当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． 综上所述：的长为或． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键． 15．如图1，在和中，，，，． (1)求证：； (2)已知点M为边上一点（与点不重合），且，交于点，交的延长线于点E． ①如图2，设，，求y与x的函数关系式，并写出定义域； ②当是以为腰的等腰三角形时，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)①；②或10 【分析】（1）由勾股定理得，再证，然后证，即可得出结论； （2）①证，得，则，然后证，得，即可得出结论； ②当是以为腰的等腰三角形时，也是以为腰的等腰三角形，分两种情况，、当时，、当时，分别求出的长，即可解决问题． 【详解】（1）证明：，，， ， ，， ， ， ∴， ； （2）解：①，，， ， ， ， 即， 由（1）可知，， ∴， ， ， ， ， ， ∴， ， 即， ， 即与的函数关系式为； ②由（2）可知，， 当是以为腰的等腰三角形时，也是以为腰的等腰三角形， 分两种情况： 、当时，， ，， ， ， ， ， 解得：； 、当时，， ， 解得：； 综上所述，的长为或10． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理、平行线的判定与性质、分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握勾股定理和等腰三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型． 题型八：与其他几何性质综合分析 16．如图所示，已知在梯形中，，点为边上一点，且，连接交于点，已知，过点作的平行线交于点，连接交于点． (1)求证：点是的中点； (2)如果，求的长； (3)如图，如果与互补，求的面积． (4) 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（）证明，得，求出，延长交于点，证明四边形为平行四边形，设，则，证明，得，，推出，求出得，即可得证； （）根据推出，证明得，证明得，设，，则，代入可得，进而即可求解； （）延长交于点，证明得，证明得，推出，，代入得，根据勾股定理得，可得，作，垂足为点，证明得，求出，最后根据三角形面积公式计算即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 延长交于点， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， 设，则， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 即点是的中点； （2）解：，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 设，，则， ∴代入得，， 解得， ∴； （3）解：延长交于点， ∵与互补，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 代入得，， 解得， ∵， ∴，即， 解得， 作，垂足为点，则， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 由（）知，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，补角性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 2 / 11 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