1.1探索勾股定理第2课时（教学设计）数学北师大版2024八年级上册

1.1.2 探索勾股定理 教学设计（第2课时 定理证明与深化应用）

1.教学内容

本节课是北师大版《义务教育教科书•数学》八年级上册（以下统称“教材”）第一章“勾股定理”1.1 探索勾股定理（第2课时），内容包括：通过“分割”、“补形”、“拼图”等方法与面积法结合证明勾股定理，并运用定理解决与三角形相关问题．

2.数学思想方法

·数形结合：将几何图形（正方形面积）与代数运算（平方和）紧密联系起来。

·几何转化：

·分类讨论：从等腰直角三角形入手，再推广到一般直角三角形。

根据以上分析，确定本节课的教学重点：理解勾股定理的不同证明方法，能利用勾股定理解决实际问题。

1.教学目标

（1）经历勾股定理的证明过程，了解面积法证明勾股定理的不同拼图方法；掌握勾股定理，熟练运用勾股定理计算直角三角形的边长，并能解决一部分实际问题；

（2）通过计算面积、“割、补、拼图”等活动，将几何图形（正方形面积）与代数运算（平方和）紧密联系起来，强化数形结合、转化等的数学思想方法，发展演绎推理能力．

（3）经历“提出问题→分析问题→数学建模→解决问题→总结反思”的勾股定理解决实际问题的例题探究学习过程，提高分析和解决问题的能力，形成勾股定理解直角三角形的数学应用意识，初步形成勾股定理解直角三角形的数学模型观念．

2.目标解析

（1）一部分学生能积极参与割、补、拼图等活动，并能用字母表示出相关图形的面积，利用代数运算证明勾股定理；大部分学生能独立解决含直角三角形的多步计算问题. ​

（2）“发展演绎推理能力”体现在学生能有效观察图形特征，选择转化图形的方法（分割、补全、拼图），通过不同的面积表达，证明a2+b2=c2；在这一探索过程中强化数形结合、转化的思想方法. ​

（3）学生在经历例题学习后，会在简单的情景中，抽象出直角三角形，并应用勾股定理解决问题，形成勾股定理的应用意识.

·知识与能力基础：学生在学习本节课之前，八年级学生已熟练掌握完全平方公式，具备一定的计算能力和代数式表示能力；在之前的学习中（如整式运算、图形面积）接触过数形结合思想，这为勾股定理的学习奠定了基础。

·认知特点：抽象逻辑思维正在发展，通过上一节课的学习，在勾股定理的探索上有一定的数形结合思想分析问题的经验。

·潜在困难与教学策略

结合学生的认知特点分析分析在教学过程中学生会遇到以下困难：①验证环节中利用面积割补法（特别是“补”法或“总统证法”）理解拼图原理及面积相等关系的建立是难点；②在具体情景中抽象出直角三角形，并应用勾股定理解决问题。

根据以上分析确定下面的教学策略：①采用“特殊到一般思想（用字母表示边长和面积）→面积法证明勾股定理→勾股定理的不同证明方法→应用深化”的模式进行勾股定理的证明教学模式；②通过小组合作拼图（面积割补法）对猜想进行逻辑证明，突破验证难点；③例题分析→例题讲解→变式应用→阶梯式练习”的勾股定理的应用的教学模式；④结合数学史激发兴趣。

基于以上分析，确定本节课的教学难点为：利用面积法（割补法/拼图法）证明勾股定理.

1.直接引入

上节课我们已经通过探索得到了勾股定理，那么如何验证勾股定理呢？你有方法验证它吗？据不完全统计，验证的方法有400多种，今天我们就继续探究勾股定理的证明。

2.温故知新

在学习勾股定理之前，先回顾一下相关知识：

(1)勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如图，Rt△ABC中，∠C=90°，则a2+b2=c2.

 

(2)完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2；(a-b)2=a2-2ab+b2

（设计意图：由学生回忆并回答，为学习本节课勾股定理的证明做铺垫）

（教学建议：学生回答．回顾勾股定理和完全平方公式，有利于学生更好的进行勾股定理的证明）

3.学习目标

（1）经历面积法证明勾股定理的不同方法的学习过程，体会数形结合的思想方法，提高推理能力；

（2）熟练运用勾股定理解直角三角形，会利用勾股定理解决实际问题，形成勾股定理的应用意识。

（教学建议与意图：教师和学生一起进行目标解读，让学生明确本节课的学习任务）

探究点（一）　探索勾股定理——验证（证明）勾股定理

问题1.设直角三角形的三边长为a、b、c，分别以三条边的长度为边长向外作正方形，联系上节课的学习内容，你能对其中的大正方形进行分割或补形么？怎么做的？

答：

方法一：补形法

问题2.你有多少方法，用a、b、c表示出大正方形ABCD的面积？（教师提示：先将所有三角形和正方形的面积用a、b、c的关系式表示出来）

答：

大正方形ABCD的面积表示：①4×ab+c2，②(a+b)2，

问题3.如何用上面的两个式子验证勾股定理？